Ch.3 RAPPELS DÉRIVATION CONTINUITÉ D'UNE FONCTION ( + ) ( ) I. Rappels sur la dérivation ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Terminale S

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1 Termiale S / LFA Mme MAINGUY Termiale S C3 RAPPELS DÉRIVATION CONTINUITÉ D'UNE FONCTION f est ue foctio défiie sur u itervalle I I Rappels sur la dérivatio défiitio a et a+ ( ) désiget deu ombres réels de I Dire que f est dérivable e a, sigifie que le tau d'accroissemet de la foctio f e a, admet ue limite fiie l e a, c'est-à-dire : ( + ) ( ) f a f a lim = l Cette limite fiie est appelée ombre dérivé e a et o le ote f ( a) Dire que f est dérivable sur I sigifie que f est dérivable e tout ombre réel de I La foctio dérivée de f, otée f, est la foctio qui, à tout I, associe le ombre f ( ) Remarques Les pysicies eprimet volotiers ue variatio à l'aide du symbole Δ ; ils otet aisi : a Δ y= f f a pour ue variatio très petite, o ote alors d et dy O obtiet alors Δ = et ( ) ( ) la otatio différetielle de la dérivée : f dy d dy = d = et f ( a) ( a) Eercice f ( ) = si Soit f la foctio défiie par morceau par : f ( ) = si > La foctio f est-elle dérivable e =? O étudiera la limite à gauce de et la limite à droite de du tau d'accroissemet de f e solutio soit < : ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) f f + + = f ( + ) f ( ) O e déduit que : lim = lim = soit > : = < < + 3 = + f f = = = = ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) f ( + ) f ( ) O e déduit que : lim = lim = + > < ( ) ( ) ( ) ( ) f + f f + f Il e résulte que : lim lim doc f 'est pas dérivable e < >

2 Termiale S / LFA Mme MAINGUY / iterprétatio grapique Défiitio et propriété f est ue foctio dérivable e a I Das u repère, la tagete à la courbe Cf au poit A d'abscisse a est la droite ( T ) passat par A, de coefficiet directeur f ( a) Ue équatio de ( T ) est : y= f ( a)( a) + f ( a) / iterprétatio umérique Téorème Lorsqu'ue foctio f est dérivable e a, ue boe approimatio affie, lorsque a+ est voisi de a est : ( + ) ( ) + ( ) f a f a f a Eemple : détermier ue approimatio affie de,3 O pose f ( ) =, a = et =,3 O calcule la dérivée e f ( ) = doc ( ) O e déduit que f (,3) f ( ) +,3 = +,7 5,7 5 à comparer à la valeur doée à la calculatrice,7 86 La précisio est doc de f = = 3 / iterprétatio ciématique (pour aller plus loi) Si o appelle t ( ) la loi oraire d'u mouvemet, alors ( t) si o appelle vt ( ) la vitesse istataée à l'istat t, alors v ( t) otatios des pysicies, la vitesse istataée v et l'accélératio a s'écrivet : d v = et a = = = dt dt dt dt dt dv d d d / Sige de la dérivée et ses de dérivatio propriété f est ue foctio dérivable sur I Si pour tout ombre réel de I, f ( ) > (resp f ( ) s'aule, alors f est strictemet croissate (respdécroissate) sur I Si pour tout ombre réel de I, f ( ) 5 / Dérivée et etrémum local représete la vitesse istataée à l'istat t De même, représete l'accélératio à l'istat t Aisi, avec les < ) sauf peut-être e u ombre fii de poits où f =, alors f est costate sur I propriété f est ue foctio dérivable sur u itervalle ouvert I coteat Si f ( ) est u etrémum local de f alors ( ) Remarque f = 3 La réciproque est fausse E effet, pour f ( ) = : f ( ) = 3 doc ( ) ( ; f ( ) ) (cad ( ; )) 'est pas u etrémum local de f f = et pourtat le poit de coordoées

3 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 3 propriété f est ue foctio dérivable sur u itervalle ouvert I coteat Si f s'aule e e cageat de sige alors ( ) f est u etrémum local f + f f ( ) f + f f ( ) Eercice La courbe ci-cotre représete, das u repère, ue foctio f dérivable e [ ; 6 ] O a tracé la tagete au poit d'abscisse / Lire grapiquemet : f ( ) ; f ( ) ; f ( ) et f ( 5) E déduire ue équatio de la tagete au poit de la courbe d'abscisse / Résoudre grapiquemet das l'itervalle [ ; 6 ] : = l'équatio f ( ) = l'équatio f ( ) l'iéquatio f ( ) II Formules de dérivatio / Rappels propriétés f ( ) f ( ) f dérivable sur a+ b a! ( )!,!! ] ; [ ou ] ; + [! et sot deu foctios dérivables sur u itervalle : est dérivable sur et est dérivable sur et est dérivable sur et si pour tout,, alors : - la foctio est dérivable sur et ; - la foctio est dérivable sur et / Composée de foctios / défiitio Soiet f ue foctio dot l'esemble de défiitio est Df et g ue foctio dot l'esemble de défiitio est Dg Défiitio et otatio O ote g f o la foctio défiie par : ( go f )( ) g f ( ) = Eemples Si f et g sot deu foctios défiies sur! par f ( ) = + et g( ) ( o )( ) ( ) ( ) ( ) g f = g f = f = + = + + = + =, alors o a :

4 Termiale S / LFA Mme MAINGUY Si f et g sot deu foctios défiies par f ( ) ( go f )( ) g f ( ) = = = f + ( ) ( ) et g( ) = ( Dg ) = + Df =! Das ce deuième eemple, l'esemble de défiitio de go f ( ici! \ / esemble de défiitio À quelle(s) coditio(s) sur peut-o calculer ( go f)( )? Il faut déjà que Df pour que f ( ) soit calculable Esuite, il faut que les valeurs f ( ) que g f ( ) soit calculable Doc go f est défiie pour les valeurs de telles que : Df et f ( ) Dg =, alors o a : { } est différet de ceu de f et g appartieet à Dg pour Eemple O doe f ( ) = + 3 et g( ) o f : La foctio go f est défiie ssi les deu coditios suivates sot vérifiées : Df cad [ 3; + [ Dg cad + 3 O résout doc : + 3= + 3= = O e déduit que l'esemble de défiitio de go f est : [ 3; [ U ] ; + [ f ( ) 3 / dérivée d'ue foctio composée propriété Si u est ue foctio défiie et dérivable sur u itervalle I et à valeurs das u itervalle J, si v est ue foctio dérivable sur J alors la foctio vo u est dérivable sur I et pour tout de I : ( vo u) ( ) = v u( ) u ( ) cas particuliers er cas u est ue foctio dérivable sur u itervalle I telle que ( ) La foctio! u eme cas désige u etier relatif o ul u > = ( ), otée u est dérivable sur I et ( u ) si : si u est ue foctio dérivable sur u itervalle I alors la foctio u ( ) u = uu et ( ) u u a est dérivable sur I si : si u est ue foctio dérivable sur u itervalle I et qui e s'aule pas sur I alors la foctio! u ( ) 3eme cas est dérivable sur I et ( ) u = uu Soit f est ue foctio dérivable sur u itervalle I et a et b deu réels avec a alors : la foctio g : f ( a+ b) est dérivable sur J tel que, pour tout J, a + b I O a alors : g ( ) = a f ( a+ b)

5 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 5 Eercice 3 f = + / f est la foctio défiie sur! par : ( ) ( ) Détermier ue écriture simplifiée de la dérivée f ( ) de la calculatrice (o pesera à factoriser) puis vérifier ce résultat à l'aide / Calculer la dérivée de la foctio g la foctio défiie sur I = ] 3 ; + [ par g( ) l'aide d'u logiciel de calcul formel 3 / Calculer la dérivée de la foctio défiie sur! 5 3 par ( ) = 3 5 / Calculer la dérivée de la foctio s défiie sur! par s( ) ( ) logiciel de calcul formel = + 3 puis vérifier à = et vérifier le résultat à l'aide d'u solutio / f ( ) = u( ) v( ) avec : u( ) = et v( ) O a doc : f ( ) = u ( ) v( ) + v ( ) u( ) u ( ) = ( ) = + ( + ) f ( ) ( = + + ) v = = = Forme simplifiée : ( ) ( ) = + + f ( ) + + ( ) f = + + = + = + = / la foctio g est de la forme O a doc : u ( ) Vérificatio u avec u défiie sur I par u( ) ( + ) ( ) + + ( + 3) ( + 3) ( + 3) = = = = + 3 g ( ) ( ) ( ) ( ) = = / ( ) = f( 3 5 ) avec la foctio f qui est la foctio iverse défiie et dérivable sur! ; o a f ( X) = Doc : dérivable sur! 5 3 = et ( ) 3 ( 3 5) / s = vo u avec : u défiie et dérivable sur par : u( ) = 5 3+ et v défiie et dérivable sur par : 6 v( X) = X O a doc : s défiie et dérivable sur! et : s ( ) = v u( )!## "## $ u ( ) = 6( ) 5 ( 3 3) = 6( 3 3) ( ) 5 = X X

6 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 6 défiitio III Cotiuité d'ue foctio / Limite fiie e u poit Dire qu'ue foctio a pour limite l e a, sigifie que tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs de f ( ) pour assez proce de a, c'est-à-dire tous les de l'itervalle ] a η; a+ η[ O ote alors lim ( ) f = l a / Cotiuité défiitio f est ue foctio défiie sur u itervalle I et a réel de I Dire que f est cotiue e a sigifie que : lim f ( ) f ( a) a = Dire que f est cotiue sur I sigifie que f est cotiue e tout ombre réel de I Si f 'est pas cotiue e a, o dit que f est discotiue e a Remarque Grapiquemet, la cotiuité d'ue foctio sur u itervalle I se traduit par ue courbe e u seul morceau foctio f discotiue e foctio f cotiue sur [, 5 ; 5, 5] La foctio de gauce présete ue discotiuité par "saut" C'est aussi le cas par eemple de la foctio partie etière défiie par E = ( ) ( ) = ; E(,5) = ; E( ) = ( ) = ; E( ) = ; lim E,57 Étude de la cotiuité e : lim E < la foctio partie Etière 'est pas cotiue e = > E( ) =,! tel que + Plus gééralemet, la foctio partie Etière est cotiue sur cacue des itervalles ; + ] [, (! ) Elle 'est cotiue pour aucue valeur! (O dit que la foctio partie Etière est cotiue sur! " < Alors : propriété cas des foctios défiies par morceau ( f est défiie par des epressios différetes à gauce de a et à droite de a ) f est cotiue e a ssi : lim f ( ) = lim f ( ) = f ( a) a a < a > a

7 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 7 Eercice m désige u ombre réel et f est la foctio défiie sur! + par : f ( ) = solutio lim 8 m si < Pour quelle valeur de m, la foctio f est-elle cotiue e? 3 + si ( ) f = lim 3+ = 7 et lim + + f cotiue e ssi lim f ( ) lim f ( ) + D'où f cotiue e pour m = ( 7) f ( 8 m ) = lim = 8 m 8 m = 7 = 8 m = 7 m = 7 8 ( ) m = 7 3 / Cotiuité des foctios usuelles propriété les foctios polyômes sot cotiues sur! ; les foctios ratioelles sot cotiues sur leur itervalle de défiitio ; la foctio racie carrée est cotiue sur [ ; + [ ; la somme et le produit de deu foctios cotiues e a, est cotiue e a ; l'iverse d'ue foctio cotiue qui e s'aule pas e a est cotiue e a ; si f est cotiue e a, alors f est cotiue e a ; si f est cotiue e a et si g est cotiue e ( ) f a, alors go f est cotiue e a / Téorème du poit fie Téorème u ue suite défiie par so premier terme Soit ( ) Si la suite ( ) démostratio u et par la relatio de récurrece u = + f ( u) u est covergete vers u réel l et si f est cotiue e l alors la limite l de la suite vérifie f ( l) O sait que la suite ( ) u est covergete vers l doc limu = l De plus, la foctio f est cotiue e l doc lim f ( l ) = f ( l) O e déduit que Par compositio avec X = u, o a lim f ( u ) = lim f ( X) = f ( l) cad u f ( l) Or limu = limu+ = l + + Par uicité de la limite, o a l = f ( l) Eercice 5 Soit ( u ) la suite défiie par + X l u = u+ = 3u + / Motrer que la suite ( u ) est positive + lim + + = = l

8 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 8 / À l'aide de la calculatrice cojecturer les variatios de la suite ( u ) et l'eistece d'u majorat Démotrer ces résultats 3 / La suite est-elle covergete? Si oui, détermier sa limite l Élémets de correctio / utilisatio d'u raisoemet par récurrece / Étude des variatios de la foctio f défiie par :! 3 + La suite ( u ) est croissate et majorée par, ecore ue fois, raisoemet par récurrece 3 / La suite ( u ) est croissate et majorée doc elle coverge Notos l sa limite La foctio! 3 + est cotiue sur [ ; ] doc l est solutio de l'équatio = f ( ) O résout : = 3+ o élève au carré 3 3+ > sur ; ) = + (car [ ] 3 = Cette équatio admet ue racie évidete ; l'autre racie vérifie = Doù = Or o sait que pour tout, u doc la seule solutio acceptable est 5 / Cotiuité et dérivabilité Téorème admis Si f est dérivable e a, alors la foctio f est cotiue e a Si f est dérivable sur u itervalle I, alors la foctio f est cotiue sur I Attetio! La réciproque de ce téorème et fausse Pour s'e redre compte, o peut s'appuyer sur la représetatio grapique qui suit La foctio est bie cotiue e a car la courbe est "e u seul morceau" Par cotre, la foctio 'est pas dérivable e a, car la représetatio admet au poit A deu demi-tagetes O dit que la courbe admet u poit aguleu l = La suite ( ) u coverge vers Eemple : la foctio valeur absolue! est cotiue e mais 'est pas dérivable e défiitio a et a+ ( ) désiget deu ombres réels de I Dire que f est dérivable e a, sigifie que le tau d'accroissemet de la foctio f e, admet ue limite fiie l ( ) ( ) f a+ f a e a, c'est-à-dire : lim = l Cette limite fiie est appelée ombre dérivé e a et o le ote f ( a) Dire que f est dérivable sur I sigifie que f est dérivable e tout ombre réel de I La foctio dérivée de f, otée f, est la foctio qui, à tout I, associe le ombre f ( ) IV Cotiuité et équatio / Propriété fodametale des foctios cotiues Téorème des valeurs itermédiaires (admis) Soit f ue foctio cotiue sur u itervalle I [ a; b] Pour tout réel k compris etre f ( a ) et ( ) = f b, il eiste au mois u réel c I tel que f ( c) = k

9 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 9 Remarque Ce téorème résulte du fait que l'image d'u itervalle de! par ue foctio cotiue est u itervalle de! f b Illustratio grapique : Ici, k est bie compris etre f ( a ) et ( ) L'équatio f ( ) = k admet doc des solutios Attetio, le fait que c eiste e sigifie pas que c est uique Das cet eemple, il y a e effet trois valeurs pour c / Cas des foctios cotiues et strictemet mootoes Téorème des valeurs itermédiaires bis Si f est ue foctio cotiue et strictemet mootoe sur u itervalle [ a; b ]alors pour tout ombre réel k compris etre f ( a ) et f ( b ), l'équatio f ( ) = k admet ue solutio uique das l'itervalle [ a ; b ] démostratio de l'uicité de la solutio cas où f est strictemet croissate sur [ a; b ] f état cotiue, d'après le TVI, il eiste au mois u réel α de [ a; b ] tel que f ( α ) = k Soit [ a; b] avec α alors ou bie [ a; α[ ou bie ] α ; b] si [ a ; α[, f état strictemet croissate, o a f ( ) < f ( α ) soit f ( ) < k ; de même, si ] α ; b], o a f ( ) > f ( α ) soit f ( ) > k Aisi pour tout [ a; b], α, f ( ) k O e déduit que α est l'uique solutio de l'équatio f ( ) = k Covetio importate sur les tableau de variatios O coviedra que das u tableau de variatio, les flèces de variatio traduiset la cotiuité et la stricte mootoie de la foctio sur l'itervalle cosidéré Eercice 6 f = + Soit la foctio f défiie sur! par ( ) 3 / À l'aide de la calculatrice, cojecturer le ombre de solutios de l'équatio f ( ) = / Étudier la foctio f et dresser so tableau de variatios 3 / Motrer que l'équatio f ( ) = admet ue solutio uique sur ; puis sur! / Détermier à l'aide d'u algoritme, u ecadremet à solutio 6 de cette solutio / O peut cojecturer que l'équatio f ( ) = admet ue uique solutio et que cette solutio est comprise etre et / La foctio f est dérivable sur! comme foctio polyôme Sa dérivée f est défiie par : ( ) f = 3 +, strictemet positive sur! O e déduit que la foctio f est strictemet croissate sur! α + f

10 Termiale S / LFA Mme MAINGUY 3 / f est dérivable sur ; doc cotiue sur ; De plus f est strictemet croissate sur ; et pred ses valeurs das f Or ( ) = ( ) = f f ( ) ; f ( ) d 'où f ( ) ; f ( ) f α = Alors d'après le TVI, il eiste u uique réel α compris etre et tel que ( ) D autre part : Sur ;, la foctio f est strictemet croissate, ce qui sigifie que : <, f ( ) < f ( ) cad : f ( ) < La foctio f est doc strictemet égative et l équatio f ( ) = a aucue solutio sur ; Sur ; +, la foctio f est ecore strictemet croissate, ce qui sigifie que : >, f ( ) > f ( ) cad f ( ) > La foctio f est doc strictemet positive et l équatio f ( ) = admet aucue solutio sur ; + coclusio : α est l uique solutio de l équatio f / Algoritme de dicotomie : A et B sot les bores de l'itervalle P est la précisio (etier positif) N est le ombre d'itératios O retre alors : A = ; B = ; 6 f = + P = et ( ) 3 ( ) = sur! O obtiet alors : A =,68 37 ; B =,68 38 et N = Il faut doc itératios pour obteir la précisio demadée Attetio! Cet algoritme e foctioe que si k = Si l'o veut gééraliser cet algoritme à u réel k quelcoque, o peut : demader à lire k et cager la lige ( ) par : f A ( ( ) k) f ( C) k ( )> au lieu de retrer la foctio f, o retre la foctio g défiie par : g( ) = f ( ) k Eercice 7 O cosidère la foctio f défiie sur! { } par : f O admet que : lim f ( ) =, lim f + ( ) =, lim f ( ) = + 3 ( ) = et lim + f ( ) = + ) Étudier la dérivabilité de la foctio f et calculer sa foctio dérivée ) O cosidère la foctio g défiie sur! par : g ( ) = + et lim ( ) = ( ) = 3 3 O admet que lim g g + a / Étudier les variatios de la foctio g et dresser so tableau de variatios b / E déduire que l équatio g ( ) = admet ue uique solutio α das! c / À l aide de la calculatrice, doer ue valeur approcée de α à 3 près d / E déduire le sige de g 3) Dresser la tableau de variatios de la foctio f

11 Termiale S / LFA Mme MAINGUY solutio ) La foctio f est défiie sur! esemble de défiitio Pour tout : { } ; f état ue foctio ratioelle, elle est aussi dérivable sur so f ( ) = ( 3 ) 3 ( +) = = 3 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ) a / Soit g la foctio défiie sur! par : g( ) = 3 3 La foctio g est ue foctio polyôme doc dérivable sur! et pour tout de!, g ( ) = ( 3 ) 3( ) = 6 = 6( +) O observe aisémet que g ( ) admet deu racies réelles qui sot et Sige de g ( ) : il a le sige de a doc égatif à l etérieur des racies et de a doc positif etre les racies D où le tableau de variatios suivat : α g ( ) + + g 9 + b / sur ; +, la foctio g atteit so maimum e et ce maimum vaut 9 Aisi pour tout >, g( ) < L équatio g( ) = a doc aucue solutio sur ; : la foctio g est cotiue car dérivable, strictemet décroissate et : lim g ( ) = + ; g( ) = Aisi, sur ;, la foctio g pred ses valeurs das ; + De plus, ; + Alors d après le téorème des valeurs itermédiaires, l équatio g sur cet itervalle c / Détermios ue valeur approcée de α à près : utilisatio judicieuse de la calculatrice afi de motrer les étapes : ( ) = admet ue uique solutio α étape : o costruit das la partie grapique, la représetatio grapique de la foctio g CTRL T permet d afficer la table de valeurs de la foctio g Par défaut elle affice la table avec u pas de O observe alors que : g( ) < et g( ) > Doc α ; étape : o modifie le pas de la table da valeurs de la faço suivate : o place le curseur sur importe quelle cellule de la table de valeur et o effectue la procédure : meu 5 o obtiet la feêtre :

12 Termiale S / LFA Mme MAINGUY O valide et o obtiet ue ouvelle table de valeurs : étape 3 : O réitère la démarce : O observe que g(, ) > et g(,) < Doc α, ;, O modifie la table de valeurs e coisissat u pas de, et e démarrat à, : O observe que g(,) > et g(,3) < Doc α, ;,3 étape : o recommece ue fois ecore : modificatio des paramètres de la table : début à, et pas de, O obtiet : O observe que : α,37 ;,36 Aisi α <,35 Ue valeur approcée de α à près est doc : α!, 3) O peut doc placer α das le tableau de variatios de la foctio g et e déduire le tableau de sige de g : a le même sige que α + ( ) + g α + f ( ) + ( ) + f α

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