Géométrie dans l espace

Transcription

1 Géométrie das l espace 1 Barycetre 1.1 Barycetre de poits podérés O appelle poit podéré toutcouple(a; α) forméd upoita et d u réel α. O dit que A est affecté du coefficiet α. Théorème 1 (et défiitio) Soiet poits A 1,A 2,...,A et réels α 1, α 2,...,α de somme o ulle. Il existe u et u seul poit G appelé barycetrede(a 1 ; α 1 ), (A 2 ; α 2 ),...,(A ; α )telque GA k = α 1 GA1 + α 2 GA2 + + α GA = ~0 Il est commode de oter G =bar A 1 A 2 A α 1 α 2 α ou G =bar{(a 1 ; α 1 ), (A 2 ; α 2 ),...,(A ; α )} Démostratio. Pour tout etier k tel que 2 6 k 6 : GA k = GA 1 + A 1 A k. ³ Doc GA k = ~0 GA1 + A 1 A k = ~0 A 1 G = A 1 A P k Cette derière relatio défiit G de maière uique car u poit A et u vecteur ~u état doés, il existe u et u seul poit B tel que AB = ~u. Défiitio 1 O appelle isobarycetre des poits A 1,A 2,...,A le barycetre de tous ces poits affectés d u même coefficiet o ul. Remarque 1 L isobarycetre de deux poits A et B est le milieu du segmet [AB]. Remarque 2 L isobarycetre de trois poits o aligés A, B, C est le cetre de gravité du triagle ABC. C est le poit d itersectio des médiaes. 1.2 Réductio de sommes vectorielles Théorème 2 Soit le système de poits podérés (A 1 ; α 1 ), (A 2 ; α 2 ),...,(A ; α ). Ã! X 1. Si 6=0, pour tout poit M de l espace : MA k = MG 2. Si =0, pour tout poit M de l espace : Démostratio. 1. MA k = MG+ GA k D où le résultat puisque MA k = GA k = ~0 MA k est u vecteur costat. Ã ³! X MG+ GA k = MG+ X GA k

2 Géométrie das l espace 2 2. = MA k = Ã X! MO + X ³ MN + OA k = OA k = X MO + OA k OA k vecteur fixe. 1.3 Propriétés du barycetre Théorème 3 λ R :bar A 1 A 2 A α 1 α 2 α =bar A 1 A 2 A λα 1 λα 2 λα Théorème 4 (associativité ou barycetre partiel) Le barycetre de poits podérés peut être obteu e remplaçat ue partie des poits par leur barycetre partiel (s il existe) affecté de la somme des coefficiets correspodat. 1.4 Propriétés aalytiques Théorème 5 Soiet ³ α 1, α 2,...,α des réels tels que α 1 + α α 6=0. Si, das le repère O;~i,~j A k a pour coordoées (x k,y k ), alors le barycetre G du système de poits podérés (A 1 ; α 1 ), (A 2 ; α 2 ),...,(A ; α ) a pour coordoées : x G = x k ; y G = y k Corollaire 1 Soiet α 1, α 2,...,α des réels tels que α 1 + α α 6=0. Das le pla complexe, si les poits podérés (A 1 ; α 1 ), (A 2 ; P α 2 ),...,(A ; α ) ot pour affixe z k, le barycetre G du système {(A k, )} 16k6 apouraffixe z G = P z k Théorème 6 Soiet ³ α 1, α 2,...,α des réels tels que α 1 + α α 6=0. Si, das le repère O;~i,~j, ~ k A k a pour coordoées (x k,y k,z k ), alors le barycetre G du système de poits podérés (A 1 ; α 1 ), (A 2 ; α 2 ),...,(A ; α ) a pour coordoées : x G = x k ; y G = y k ; z G = z k 1.5 Droites, segmets, plas Théorème 7 Si les poits A et B sot disticts, la droite (AB) est l esemble des barycetres des poits A et B. Démostratio. O sait déjà que le barycetre de deux poits A et B appartiet àladroite(ab). Réciproquemet, la droite (AB) est l esemble des poits M tels que AM et AB sot coliéaires. M (AB) λ R : AM = λ AB ³ AM = λ AM + MB (1 λ) MA+ λ MB = ~0. Doc M est barycetre de (A; 1 λ) et(b; λ) carlasomme(1 λ)+λ est pas ulle. Théorème 8 Soiet A (x A ; y A ; z A )etb(x B ; y B ; z B ) deux poits disticts de l espace. U poit M (x; y) appartiet àladroite(ab) si et seulemet si il existe u réel λ tel que x = x A + λ (x B x A ) y = y A + λ (y B y A ) système appelé représetatio paramétriquedeladroite(ab). z = z A + λ (z B z A ) Démostratio. C est la traductio de AM = λ AB. x = x 0 + λa Remarque 3 Le système y = y 0 + λb avec λ R est ue représetatio paramétrique de la droite z = z 0 + λc passat par A (x 0 ; y 0 ; z 0 )etdevecteurdirecteur~u (a; b; c).

3 Géométrie das l espace 3 Théorème 9 Si les poits A et B sot disticts, le segmet [AB] est l esemble des barycetres des poits (A; α) et(b; β) avecαβ > 0. Démostratio. M [AB] λ [0; 1] : AM = λ AB (1 λ) MA + λ MB = ~0 Doc M est barycetre de (A; 1 λ) et(b; λ) carlasomme(1 λ)+λ est pas ulle. E posat α = 1 λ et β = λ : αβ = λ (1 λ) > 0carλ [0; 1]. Réciproquemet, si M est barycetre de (A; α) et(b; β) avecαβ > 0: α MA+ β MB = ~0 AM = β β AB et [0; 1] docm [AB]. α + β α + β α Remarque : α + β amême sige que α(α + β) α =α2 + αβ > 0et α + β = 1 β α + β 6 1 Théorème 10 Soiet A, B, C trois poits disticts o aligés et P le pla qui les cotiet. P est l esemble des barycetres des poits A, B, C. Démostratio. M P (λ; µ) R 2 : AM = λ AB + µ AC (1 λ µ) MA+ λ MB + µ MC = ~0 Il reste à remarquer que la somme (1 λ µ)+λ + µ est pas ulle. 2 Produit scalaire 2.1 Rappel Théorème 11 Das ue base orthoormale ³ ~ i,~j, ~ k, si ~u apourcoordoées (x, y, z) : k~uk = p x 2 + y 2 + z 2 Démostratio. Soit M (x, y, z) telque OM = ~u et soit N la projectio orthogoale de M sur xoy z 6 b 6~ k b b b M O ³ ³³³³³³ - ~j ª ~i x ª N y - D après le théorème de Pythagore : ON 2 = x 2 + y 2 et OM 2 = ON 2 + NM 2.. D où lerésultat puisque NM 2 = z Défiitio Soiet ~u et ~v deux vecteurs de l espace. Choisissos trois poits A, B, C tels que AB = ~u et AC = ~v. Il existe toujours u pla P coteat ces trois poits. Le produit scalaire ~u.~v est par défiitio le produit scalaire AB. AC calculé dasp. Défiitio 2 O appelle produit scalaire des vecteurs ~u et ~v et o ote ~u.~v le ombre réel défii par ~u.~v = 1 2 hk~u + ~vk 2 k~uk 2 k~vk 2i Remarque 4 Si ~u = ~0 ou~v = ~0 :~u.~v =0. Remarque 5 Noter l aalogie de la formule avec ab = 1 h(a + b) 2 a 2 b 2i 2

4 Géométrie das l espace 4 Théorème 12 Si 2.3 Propriétés ³ O;~i,~j, ~ k est u repère orthoormal et si ~u (x; y; z) et~v (x 0 ; y 0 ; z 0 )alors: ~u.~v = x.x 0 + y.y 0 + zz 0 Théorème 13 Soiet ~u, ~v, ~w trois vecteurs de l espace et soit λ R. ~u.~v = ~v.~u ~u. (~v + ~w) =~u.~v + ~u. ~w (λ.~u).~v = λ. (~u.~v) = ~u. (λ.~v) 2.4 Autres expressios du produit scalaire Théorème 14 Si ~u 6= ~0 et~v 6= ~0 : ~u.~v = k~uk. k~vk. cos (~u, ~v) Remarque 6 AB. AC = AB. AC. cos \BAC = AB. AC. cos ³ AB, AC Défiitio 3 ~u.~u est le carré scalaire de ~u. O le ote ~u 2 Théorème 15 Pour tout vecteur ~u o a k~uk 2 = ~u 2 Théorème 16 Pour tous poits A et B du pla : AB 2 = AB 2 = AB 2 = AB 2 Théorème 17 Si est la projectio orthogoale de C sur (AB) : AB. AC = AB.A 3 Orthogoalité das l espace 3.1 Vecteurs orthogoaux - Droites orthogoales Défiitio 4 Deux vecteurs de l espace sot orthogoaux si et seulemet si leur produit scalaire est ul. ~u ~v ~u.~v =0 Remarque 7 Le vecteur ul est orthogoal à tout vecteur. Théorème 18 Les droites D et D 0 de vecteurs directeurs respectifs ~u et ~u 0 sot orthogoales si et seulemet si ~u et ~u 0 sot orthogoaux. Remarque 8 Deux droites de l espace sot dites perpediculaires lorsqu elles sot orthogoales et sécates. 3.2 Vecteur ormal à u pla Défiitio 5 U vecteur ormal àuplap est u vecteur ~u o ul dot la directio est orthogoale à P. 6 ~u P

5 Géométrie das l espace 5 Propositio 1 Il résulte de la défiitio : 1. Si~u et ~v sot ormaux au même pla P : ~u et ~v sot coliéaires 2. si ~u est ormal au pla P : ~u. AB = 0 pour tous poits A et B de P. 3. Si ~u est ormal au pla P, la droite de vecteur directeur ~u est perpediculaire au pla P. 4. Deux plas P et P 0 de vecteurs ormaux ~u et ~u 0 sot parallèles si et seulemet si ~u et ~u 0 sot coliéaires. 5. Le pla P perpediculaire e A àladroite de vecteur directeur ~u est l esemble des poits M tels que AM.~u =0. 6. Le pla passat par A et de vecteur ormal ~u est l esemble des poits M tels que AM.~u =0. 6~u A»»»»»»»:M Théorème 19 Soit ~u u vecteur directeur de la droite et soit P u pla de vecteurs directeurs ~v et ~w. Si ~u ~v et ~u ~w alors est perpediculaire à P. 3.3 Plas perpediculaires Défiitio 6 Deux plas P et P 0 de vecteurs ormaux ~u et ~u 0 sot perpediculaires si ~u ~u 0. P 0 ~u - 0 6~u P 3.4 Equatios d u pla e repère orthoormal ³ Théorème 20 Das u repère orthoormal O;~i,~j, ~ k : 1. Tout pla P a ue équatio de la forme ax + by + cz + d =0avec(a, b, c) 6= (0, 0, 0) et le vecteur ~u (a, b, c) estormalà P. 2. L esemble des poits M (x; y; z) telsqueax + by + cz + d =0avec(a, b, c) 6= (0, 0, 0) est u pla ormal au vecteur ~u (a; b; c). Démostratio.

6 Géométrie das l espace 6 1. Soit P le pla passat par A (x A ; y A ; z A ) et de vecteur ormal ~u (a; b; c). M (x; y; z) P ~u. AM =0 a (x x A )+b(y y A )+c(z z A )=0 Equatio de la forme voulue avec d = ax A by A cz A. 2. Soit P l esemble des poits M (x; y; z) telsqueax + by + cz + d =0 P cotiet au mois u poit. Si a 6= 0 par exemple, M µ da ;0;0 P. Soit A (x A ; y A ; z A ) P. A existe d après ce qui précède A P ax A + by A + cz A + d =0 ~u. AM = a (x x A )+b(y y A )+c(z z A )=ax + by + cz (ax A + by A + z A )=ax + by + cz + z Doc M P ~u. AM =0 P est doc le pla passat par A et de vecteur ormal ~u.