Chapitre X- Partie A : Géométrie dans l espace. Points, droites et plan de l espace

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1 hapitre X- artie : Géométrie dans l espace oints, droites et plans de l espace Extrait du programme : I Rappels sur les quelques propriétés de la perspective cavalière ➃ ➀ Dans un plan frontal tout est à l échelle : angles, distances,... Les droites perpendiculaires sont alors représentées par des droites perpendiculaires. G ➁ Dans la réalité, cet angle est droit ; il ne l est pas sur le dessin. ➀ D ➄ N K H I E Remarques : ttention, certaines réciproques sont fausses : ➁ F ➂ ➂ Le milieu d un segment est représenté sur le dessin par le milieu du segment obtenu. ➃ Les segments parallèles de même longueur, sont représentés sur le dessin par des segments parallèles et de même longueur. ➄ Les rapports de longueur sur une droite sont conservés sur le dessin. ici [D] est partagé en trois parties égales. De plus, des points alignés sont représentés sur le dessin par des points alignés (ex : D, N, et.) Des points alignés sur le dessin ne le sont pas toujours en réalité (ex :, et K ) Des droits parallèles sur le dessin ne le sont pas toujours en réalité (ex : (K ) et (GH)). II oints, droites et plan de l espace ar trois points non alignés, et passe un et un seul plan noté ( ) 1

2 Si plusieurs points appartiennent à un même plan, on dit qu ils sont coplanaires. Trois points quelconques sont toujours coplanaires. Quatre points ne sont pas forcément coplanaires. S ils ne le sont pas, ils sont alors les sommets d un tétraèdre. Si et sont deux points distincts, tout plan contenant et contient la droite (). Détermination d un plan : Un plan peut-être déterminé par : 3 points non alignés Une droite est un point n appartenant pas à (d ) Deux droites sécantes et (d ) (d ) Deux droites strictement parallèles et (d ) On admet que tous les résultats de géométrie plane sont applicables dans chaque plan de l espace. III ositions relatives de points, droites et plans de l espace 1 ositions relatives d une droite et d un plan ( ) ( ) ( ) et ont un seul point commun est contenue dans le plan ( ) ( ) et n ont aucun point commun. On a ( ) = {} On a : ( ) On a ( ) ( ) et ( ) = et ( ) avec ( ) = et ( ) sont sécants et ( ) sont parallèles et ( ) sont parallèles 2 ositions relatives de deux plans ( 1 ) et ( 2 ) ( 1 ) et ( 2 ) se coupent selon ( 1 ) et ( 2 ) sont strictement une droite appelée droite ( 1 ) et ( 2 ) sont confondus. parallèles. Ils n ont aucun d intersection des deux plans. point commun. ( 1 ) et ( 2 ) sont sécants ( 1 ) et ( 2 ) sont parallèles ( 1 ) et ( 2 ) sont parallèles 2

3 3 oints et coplanarité Si quatre points,, et D sont coplanaires, alors tout couple de droites passant par ces quatre points sont coplanaires : () et (D) ; ( ) et (D) ; (D) et ( ). our prouver que quatre points sont coplanaires, il suffit de montrer que deux droites contenant ces quatre points sont coplanaires. IV arallélisme 1 arallélisme de deux plans Si deux droites sécantes (d 1 ) et (D 1 ) d un plan ( 1 ) sont parallèles respectivement à deux droites sécantes (d 2 ) et (D 2 ) d un plan ( 2 ) alors les plans ( 1 ) et ( 2 ) sont parallèles. (d 1 ) (d 2 ) et (D 1 ) (D 2 ) alors ( 1 ) ( 2 ) d 1 d 2 D 1 D 2 2 vec des plans parallèles Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l un coupe l autre, et les droites d intersections sont parallèles. ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) = (d 1 ) ( ) ( 2 ) = (d 2 ) alors (d 1 ) (d 2 ) (d 1 ) (d 2 ) Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre { ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) alors ( 1 ) ( 3 ) Si deux plans sont parallèles, alors 2 toute droite sécante à l un est sécante à l autre Toute droite parallèle à l un est parallèle à l autre. { ( 1 ) ( 2 ) (d ) ( 1 ) alors (d ) ( 2 ) (d ) 1 ttention : Si deux droites sont parallèles à un même plan, elles ne sont pas obligatoirement parallèles. 3

4 3 Théorème du toit Théorème : Si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites parallèles alors la droite d intersection est parallèle à ces deux droites. (d 1 ) ( 1 ) (d 2 ) ( 2 ) (d 1 ) (d 2 ) et( 1 ) ( 2 ) = alors (d 1 (d 2 ) (d 1 ) (d 2 ) 2 1 Démonstration : Soit un point de la droite intersection de ( 1 ) et ( 2 ). Soit la droite parallèle à (d 1 ) passant par. omme (d 1 ) 1 et ( 1 ) alors est une droite parallèle à ( 1 ) passant par un point de ( 1 ) donc ( 1 ). omme (d 1 ) (d 2 ), est aussi une droite parallèle à (d 2 ) passant par qui est un point du plan ( 2 ), donc ( 2 ). ar conséquent, est la droite d intersection de ( 1 ) et de ( 2 ) et est donc parallèle aux droites (d 1 ) et (d 2 ). QFD V Orthogonalité 1 Orthogonalité de deux droites de l espace Définition 1 Deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sont orthogonales s ils existent deux droites (d 1 ) et (d 2 ) respectivement parallèles à (d 1 ) et à (d 2 ) qui sont perpendiculaires dans le plan qu elles déterminent. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l une est orthogonale à l autre. 2 Orthogonalité d une droite et d un plan Définition 2 Une droite est perpendiculaire à un plan ( ) si est orthogonale à toute droite de ( ). ropriété caractéristique : est perpendiculaire à ( ) si et seulement si est orthogonale à deux droites sécantes de. ropriétés : Il existe une unique droite passant par un point et perpendiculaire à un plan ( ) donné. Il existe un unique plan ( ) passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée. Si deux droites et (d ) donc parallèles, tout plan ( ) perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Si deux plan ( ) et ( ) sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre. 4

5 3 lan médiateur d un segment Définition 3 Le plan médiateur ( ) d un segment [] est le plan passant par le milieu I du segment et perpendiculaire à la droite (). ropriété caractéristique : Le plan médiateur ( ) d un segment [] est l ensemble des points équidistants de et de. I VI Définition de la projection orthogonale 1 rojection orthogonale sur un plan Définition 4 La projection orthogonale sur le plan ( ) est l application qui à tout point de l espace, associe le point d intersection du plan ( ) et de la droite ( ) orthogonale au plan ( ) contenant. On dit que est le projeté orthogonal de sur ( ). 2 rojection orthogonale sur une droite Définition 5 La projection orthogonale sur la droite ( ) est l application qui, à tout point de l espace, associe le point d intersection de la droite ( ) et du plan ( ) orthogonal à ( ) contenant. On dit que est le projeté orthogonal de sur ( ). 5