Cours 4: Le sens de la métrique 1. Cours 4. Géométrie d une surface courbe, géométrie d un espace-temps courbe, le trou noir de Schwarzschild!

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1 Cours 4: Le sens de la métrique 1 Cours 4. Géométrie d une surface courbe, géométrie d un espace-temps courbe, le trou noir de Schwarzschild!

2 Cours 4: Le sens de la métrique 2 Résumé du cours d aujourd hui Résumé du dernier cours sur la métrique, le produit scalaire, la transformation des coordonnées d un tenseur et un vecteur. Interprétation physique de la métrique en explorant les exemples : 1. Exploration de la géométrie d une sphère. 2. Exploration de la géométrie de Schwarzschild.

3 Cours 4: Le sens de la métrique 3 Résumé du dernier cours sur le calcul vectoriel sur une variété pseudo-riemannienne Tous les vecteurs en quatre dimensions peuvent être écrivés comme : V = a e 0 + b e 1 + c e 2 + d e 3 = V α e α où les e α sont les vecteurs de bases et V α sont les composants contravariants. Si nous changeons les vecteurs de bases, le vecteur ne change pas mais les coordonnées nouvelles, A α, sont liées aux coordonnées ancients, A β, par une transformation linéaire : A α = Λ α βa β

4 Cours 4: Le sens de la métrique 4 où la matrice de transformation est donnés par Λ α β = xα x β Les mathematiques de RR sont plus belles que ceux de mécanique newtonnienne. Comparons un changement de référentiel inertiel dans lequel un observateur se deplace le long de l axe X à un vitesse constante v. Dans la mécanique newtonnienne, ça implique un changement des vecteurs de position, de vitesse, d impulsions etc. Il sont liées par une transformation de Galilée. Mais de la RR c est simplement un changement des vecteurs de bases! Et donc tous les quadrivecteurs ne changent pas, mais bien sur les coordonnées changent par une transformation linéaire de

5 Cours 4: Le sens de la métrique 5 Lorentz : (Λ α α) = α = 0 α = 1 α = 2 α = 3 α = 0 γ βγ 0 0 α = 1 βγ γ 0 0 α = α = où, β = v c, γ = 1 1 β 2. (1) On peut utiliser les vecteurs de bases duals ω α aussi pour la base, V = V α e α = V α ω α où V α sont les composants covariants.

6 Cours 4: Le sens de la métrique 6 Les composants covariants se transform sous un changement de base comme les vecteurs de base. On peut aisément se rappeler les transformations par l idée d équilibrer des indices : V α e α = xβ x α V β = xβ x α e β ω α = xα x β ωβ (2) On prend le produit scalaire avec le tenseur métrique : A B = g( A, B) g αβ A α B β Le tenseur métrique joue le double rôle d encoder la géométrie et de nous dire comment faire le produit scalaire.

7 Cours 4: Le sens de la métrique 7 Une autre définition du tenseur métrique est g αβ e α e β Dans une variété riemannienne, l élément linéaire est vraiment une distance comme nous avons vu pour la sphère : ds 2 = r 2 sdθ 2 + r 2 s sin 2 θ dφ 2 Dans une variété Lorentzienne, l élément linéaire est la limite infinétesimale de l intervale de RR lim s 0 s2 = ds 2

8 Cours 4: Le sens de la métrique 8 Cours 4 : Interprétation physique de la métrique

9 Cours 4: Le sens de la métrique 9 La sphère est courbe Métrique pour la sphère : ds 2 = rsdθ rs 2 sin 2 θ dφ 2 Le rayon, r c, d un cercle centré sur l axe des z : ds 2 φ = rsdθ 2 2 ds φ = R s dθ r c = θc 0 ds φ = R s θ c. (3)

10 Cours 4: Le sens de la métrique 10 Le périmètre d un cercle, p c : ds 2 θ = r 2 s sin 2 θ c dφ 2 ds θ = R s sin θ c dφ Rapport : p c = 2π 0 ds θ = 2πR s sin θ c. (4) p c r c = 2π sin θ c θ c < 2π. (5)

11 Cours 4: Le sens de la métrique 11 Courbure de l espace-temps autour d un trou noir de Schwarzschild La métrique de Schwarzschild ds 2 = (1 + 2Φ)dt 2 (1 + 2Φ) 1 dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ), (6) où Φ = GM/c 2 r, G est la constante newtonienne, c la vitesse de la lumière, M la masse. Donc Φ est comme le potentiel gravitational sauf que le fait que r n est pas la distance au centre, c est juste la coordonnée radiale. Ces coordonnées de Schwarzschild sont comme les coordonnées sphèrique : 0 θ π et 0 φ 2π sont les coordonnées angulaires ; r est la coordonnée radiale ; t est la coordonnée temporelle.

12 Cours 4: Le sens de la métrique 12 Mais dt n est pas un intervalle de temps, et dr n est pas une petite distance. Il faut utiliser la métrique pour définir les intervalles physiques. On va voir bientôt! Considérons la sous-variété r = R s, t = t 0. On a dl 2 ds 2 Rs,t 0 = R 2 s(dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ). (7) Remarquez-vous que l intervalle (au carré) peut être négatif ou positif. Quand il est négatif nous disons que il est «du genre espace» ; l intervalle positif est «du genre temps».

13 Cours 4: Le sens de la métrique 12-1 Table 1 Interpretation physique de l intervalle ds 2 < 0, dl = ds 2 dl = distance propre dl = distance on mesure avec une règle ds 2 > 0, ds2 = dτ dτ = temps propre dτ = temps on mesure avec une horloge Les mesures en RR et RG sont effectuées avec des horloges et des règles au repos. En fait, on define un référentiel comme un essemble d observateurs chaqun portant une horloge et une règle avec lesquelles ils font leurs mesures.

14 Cours 4: Le sens de la métrique 13 Géométrie de Schwarzschild est sphèrique symetrique C est claire à partir de Eq. (7) que les surfaces obtenues avec t = t 0, r = R s sont les sphères. Pourquoi? Rappelez-vous que toutes les informations géométriques sont continues dans la métrique et donc l élément linéaire. Et d ailleurs nous savons la métrique de la sphère a la forme de Eq. (7). Alors, elles sont des sphères. Nous dissons que l espace-temps ou géométrie de Schwarzschild est symétrique sphèrique. En effet, on peut presque trouver la métrique Eq. (6) cherchant les espace-temps qui sont indépendents du temps et symétriques sphèriques. C est la piste normalement utilisée pour introduire l espace-temps de Schwarzschild (Hobson et al.,

15 Cours 4: Le sens de la métrique , 9.1) ou (Schutz, 2009, 10.1 et 10.2).

16 Cours 4: Le sens de la métrique 15 Géométrie de Schwarzschild : sens de r On peut calculer la surface des sphères utilisant l élément linéaire dl 2 en Eq. (7). A = π 0 2π 0 dl 2 = π 0 2π 0 (R s dθ)(r s sinθ dφ) = R 2 s4π. (8) Attention!! Malgré la familiaritée de cet expression, on ne peut pas dire que R s est la distance au centre de la sphère! Les distances sont définis par un intégral de la racine carrée de l intervalle du genre espace ; voir Table 1 ci-dessus. En effet, pour le trou noir de Schwarzschild il y a un singularité

17 Cours 4: Le sens de la métrique 16 de coordonnée à r = r s 2MG/c 2 où g rr = (1 + 2Φ) 1 = 1 1 2MG c 2 r s = La sphère r = r s est l horizon de trou noir de Schwarzschild. Si vous traversez cette sphère vous ne pouvez pas resortir. Même la lumière ne peut pas échapper l interieur de l horizon d un trou noir. Restons à l extérieur de l horizon! (L analyse à l intérieur de l horizon est bizarre car r devient une coordonnée du genre temps et t devient une coordonnée du genre espace!).

18 Cours 4: Le sens de la métrique 17 L espace-temps de Schwarzschild est courbe On peut trouver les sphères dans l espace plat (espace euclidien ou espace-temps de Minkowski à un instant du temps). Nous l avons déjà fait en cours 4! Et donc jusqu à maintenant c est n est pas claire que l espace est courbe autour d un trou noire de Schwarzschild. Comparons la surface de deux sphères avec coordonnée radiale r = R > r s et r = 2R. La surface de la deuxième est 4 fois la première : A 2 = 4(2R)2 π A 1 4R 2 π = 4. Dans l espace plat, ça implique que la distance entre les

19 Cours 4: Le sens de la métrique 18 deux sphères est R. Mais dans l espace-temps de Schwarzschild la distance est : 2R 2R 2R 1 ds t,θ,φ = grr dr = dr R Φ R R L espace dans l espace-temps de Schwarzschild est courbe. La courbure d espace n est pas comme une sphère c est plutôt comme un chapeau. R

20 Cours 4: Le sens de la métrique 19 Figure 1 Plongement du plan équatoriel coupant la terre. Il y a juste deux dimensions d espace montrés. L hauteur est une dimension imaginaire pour montrer la courbure.

21 Cours 4: Le sens de la métrique 20 Explication qualitative Imaginez-vous que la Terre est homogène, sphérique, et qu elle ne tourne pas. La géométrie autour d elle serait celle de Schwarzschild. Et la géométrie ne change pas avec le temps ; elle est permanente et figée comme une statue. En fait, le trou noir de Schwarzschild a la même géométrie en dehors de l horizon. On peut mettre en évidence la courbure d un tranche d espace ou d espace-temps à deux dimensions avec la cartographie. On a vu que la sphère est courbe. Si je coupe la sphère en deux morceaux et que je mets les deux morceaux sur une surface plate, ils ne restent pas plats sur la surface. Si je le coupe en 4 morceaux, c est toujours la même situation.

22 Cours 4: Le sens de la métrique 21 Si je le coupais en beaucoup de morceaux, j aurais les morceaux très minces. Je n ai pas changé la courbure de chaque morceau mais et j arriverais à les aplatir avec minimum distorsion! Je vais utiliser cette idée tout à l heure! Ce n est pas le cas avec le cylindre. Je peux le couper une seule fois, le découler, et il devient parfaitement plat. Pour la surface d une sphère je peux continuer de la couper en plusieurs morceaux jusqu à ce qu ils paraissent plats, même si la courbure reste la même que la sphère de départ. Et ça c est vrai pour n importe quelle surface en deux dimensions si la surface est lisse. Une surface lisse a une courbure finie ; il n y a pas de singularité. La courbure des bords des morceaux met en évidence la courbure globale de la surface. Pour reconstruire la surface globale, il faut mentalement «recoudre» les bords, sans détendre la surface, c est à dire ne pas changer la distance

23 Cours 4: Le sens de la métrique 22 entre les points.

24 Cours 4: Le sens de la métrique 23 Figure 2 Qu est-ce qu il y a dans l espace blanc sur la carte? Par exemple, l espace entre les deux cotés de Grœnland? Rien! Il s agit du néant! La surface de la terre consiste uniquement en la région colorée de la carte!

25 Cours 4: Le sens de la métrique 24 Courbure d espace à 3 dimensions Rappelez-vous que nous parlons de la surface, une chose en deux dimensions. Nous avons, juste pour l instant, imaginé que la troisième dimension d espace n existe pas. Bien entendu c est normal d imaginer la surface courbe dans la troisième dimension, mais ce n est pas nécessaire de réintroduire la troisième dimension quand on recoud les bords des morceaux. Ça c est le grand effort d imagination qu on doit faire pour comprendre la courbure d espace. Quand vous êtes à l aise avec cette idée de la courbure pour l espace en deux dimensions, vous devez simplement faire exactement pareil pour l espace en trois dimensions. C est à dire, vous devez imaginer qu il est possible d avoir une

26 Cours 4: Le sens de la métrique 25 courbure dans l espace à trois dimensions. Je ne peux pas facilement le dessiner, mais ce n est pas important.

27 Cours 4: Le sens de la métrique 26 Références Bibliographie Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité Générale, de boeck, Bruxelles. Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK.