Chapitre 11 : Géométrie dans l espace. Un patron d un solide est une figure plane qu on pourrait obtenir par

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1 Chapitre 11 : Géométrie dans l espace Définition : Patron Un patron d un solide est une figure plane qu on pourrait obtenir par Inversement, à partir d un patron d un solide, on peut fabriquer ce solide par. Remarque : Il n existe pas forcément un unique patron par solide. De même, certains solides n ont pas de patron (C est le cas de la ). Définition : Perspective cavalière La perspective cavalière est une convention mathématique de représentation des solides dans un plan. Ce n est en aucun cas ce que nous voyons effectivement Dans la réalité sur le solide Un arrêt caché Des arrêtes perpendiculaires. Conséquence sur le dessin Les arrêtes ne seront pas forcément perpendiculaire (par rapport à un angle en perspective appelé angle de fuite). Des arrêtes parallèles Des points alignés Un point au milieu d un segment Propriétés :. Remarque : La réciproque du dessin en perspective cavalière vers la réalité est souvent fausse. Par exemple : - Deux droites parallèles en perspective cavalière,. - Des points alignés en perspective cavalière. 1

2 II. Caractérisation des droites et plans dans l espace Définition : Les axiomes d Euclide (Segment et droite) On définit un segment par deux points distincts A et B comme On définit trois points alignés On définit une droite par deux points distincts A et B comme Il est compliqué de définir un plan de manière rigoureuse. Même le grand mathématicien Euclide a rencontré des problèmes sur sa définition. En seconde, on va laisser une boîte noire et seulement dire qu un plan est défini par trois points non-alignés. Tout au long de ce chapitre, on va considérer nos objets géométriques dans l espace sans besoin de le préciser. 2

3 III. Positions relatives dans l espace Définition : Coplanaire (points, vecteurs ou droites) Des points coplanaires sont des points. Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu il Deux droites sont coplanaires lorsqu elles. Dans le cas contraire, on utilise le terme de. Remarque : Trois points distincts sont toujours Deux vecteurs sont toujours. Définition : Orthogonale Dans l espace, on dit que deux droites sont orthogonales lorsqu elles. Dans l espace, on dit que deux droites sont perpendiculaires lorsqu elles On peut aussi parler de deux vecteurs orthogonaux (voir en première S ou STI2D). 3

4 Dans la suite, on distingue deux cas du mot «parallèle» : le cas «strictement parallèle» et «le cas confondue». Propriété : Position relative de deux droites dans l espace Deux droites de l espace peuvent être et dans ce cas elles peuvent être : - et leur intersection est - et leur intersection est. - et leur intersection est. Ou sinon deux droites de l espace peuvent être et leur intersection est. Propriété : Position relative d une droite et d un plan dans l espace Une droite peut être et dans ce cas leur intersection est. Une droite peut être et dans ce cas leur intersection est Une droite peut être et dans ce cas leur intersection est 4

5 Propriété : Position relative de deux plans dans l espace Deux plans de l espace peuvent être et leur intersection est un.. Deux plans de l espace peuvent être et leur intersection est. Deux plans de l espace peuvent être et leur intersection est une. 5

6 IV. Deux théorèmes de géométrie dans l espace Théorème : Plan et droites parallèles L intersection d un plan avec deux plans parallèles donne Théorème : Théorème du toit Soient deux plans sécants P et P ayant pour intersection une droite Δ. On considère une droite (d) appartenant à P et une droite (d ) appartenant à P. Si (d) et (d ) sont parallèles (donc coplanaire) alors. Réciproquement, Si (d) et (d ) sont parallèles à Δ alors. 6