Algèbre, coefficients binomiaux

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Jean-Louis Pinard
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1 DOMAINE : Algère AUTEUR : Mtthieu LEQUESNE et Roxe MOREL NIVEAU : Déutts STAGE : Motpellier 013 CONTENU : Cours et exercices Algère, coefficiets iomiux - Itroductio - Le mot lgère viet de l re l-djr qui sigifie resturtio u ses de l réuio de ce qui été cssé. Ce mot est ppru pour l première fois ds l ouvrge Ilm l djr w l muqàlh e 830 pr u stroome re, Al-Khwrizmi (v v. 850). L resturtio (l djr) et l cofrottio (l muqàlh) dot il s git sot des rééquilirges des deux memres d ue équtio, comme pour ue lce. Ce cours porter doc sur les fços de modifier des expressios littérles, e utilist développemet, fctoristio et idetités remrqules. O oter (, ) R et (, ) N. - Développemet / fctoristio - Propositio 1 (L fctoristio simple). ( + ) = + Démostrtio. Propositio (L fctoristio du rectgle). (+) (c+d) = c+d+c+d 1

2 c c d d d Démostrtio. Exercice 1 Touver toutes les solutios de l équtio = 1 vec > > 0 etiers. Solutio de l exercice 1 O fctorise vec ( 1)( 1) = + 1 qui doe ( 1)( 1) = d où l uique solutio (3, ). Exercice Trouver les solutios etières de = +. Solutio de l exercice Toujours vec l fctoristio du rectgle, l équtio deviet ( 1)( 1) = 1. Or est ps u crré, l seule solutio est doc (0, 0). Exercice 3 Soiet et deux omres vérifit = 1. Motrer que = +. Solutio de l exercice 3 O met sur le même déomiteur, ce qui doe (1 + )+(1+) = (1+)(1+) doc e simplifit + = 1+. E multiplit pr ( + ) de chque côté o otiet l églité voulue. Exercice 4 Trouver tel que ( + )( + c)(c + ) = ( + + c)( + c + c) + c. Solutio de l exercice 4 Il suffit de développer les deux memres : ( + )( + c)(c+) = (+c+ +c)(c+) = + c+ +c + c+c +c, (++c)(+c+c)+c = + c+ +c + c+c +3c+c doc = 1.

3 - Idetités remrqules de degré - Propositio 3 (Idetités remrqules de degré ). ( + ) = + + ( ) = + = ( + )( ) Démostrtio. ( ) ( ) + Exercice 5 Trouver tel que soit u crré pour tout. Solutio de l exercice 5 ( + 3) = , ( 3) = doc peut vloir -1 ou 1. Exercice 6 Clculer (ss clcultrice)

4 Solutio de l exercice = ( ) ( ) = 000 = Exercice 7 Soiet et deux omres positifs tels que = 1. Motrer que =. Solutio de l exercice 7 L églité doe = 1. Alors, e multiplit le umérteur et déomiteur de 1+ pr, et e simplifit, o 1+ = + et de même e multiplit le umérteur et déomiteur de 1+ pr, et e simplifit, o 1+ = +. D où = + =. Exercice 8 Motrer que est jmis u omre premier (pour ). Solutio de l exercice = ( + ) () = ( + + )( + ) - Idetités remrqules de degré 3 - Propositio 4 (Idetités remrqules de degré 3). ( + ) 3 = ( ) 3 = = ( )( + + ) = ( + )( + ) Exercice 9 Soiet et deux réels. O pose s = + et p =. Exprimer e foctio de s et p. Solutio de l exercice 9 ( + ) 3 = = ( + ) doc = s 3 3sp. - Degré - O cherche à géérliser les résultts précédets pour u degré quelcoque. Remrque 5 ( ). O vu : = ( )( + ) 3 3 = ( )( + + ) E clcult 4 4 = ( )( + ) = ( )( + )( + ) = ( )( ), o peut ituiter l géérlistio : 4

5 Propositio 6. = ( )( ) Démostrtio. O développe le memre de droite et o otiet : = = Remrque 7 (( + ) ). O : ( + ) 1 = + ( + ) = + + ( + ) 3 = ( + ) 4 = O voit pprître des coefficiets qui sot symétriques. De plus tous les termes sot homogèes. Cherchos commet oteir ces coefficiets. Exmios de plus près le cs = 4. Écrivos ( + ) 4 = ( + )( + )( + )( + ). U terme du développemet s otiet e sélectiot ds chcue des prethèses soit "" soit "". Pr exemple, " 4 " s otiet e sélectiot à chque fois "". Mis si o veut oteir " 3 ", il fut choisir u "" puis sélectioer "" ds les utres prethèses. O qutre possiilités pour choisir le "" : le coefficiet devt " 3 " est doc 4. De même, pour oteir " ", il fut choisir deux "" et sélectioer "" ds les deux utres prethèses. E explicitt à l mi les différetes cofigurtios, o trouve qu il y six fços de choisir deux "" prmi les qutre : le coefficiet devt " " est 6. Pour pouvoir géérliser, il v doc flloir clculer le omre de fços de choisir "" prmi, d où l écessité d itroduire les ses de l comitoire. - Comitoire : ppredre à compter - 5

6 Exercice 10 Comie existe-t-il de mots de 5 lettres? Solutio de l exercice 10 Il y 6 lettres ds l lphet, doc 6 choix possiles pour l première lettre du mot, puis 6 pour l secode, etc... D où 6 5 mots différets. Propositio 8. Soit A u esemle à élémets. Il existe comiisos de élémets de A ordoés. Défiitio 9. O défiit l fctorielle d u etier turel, otée (lire fctorielle ), comme le produit des omres etiers strictemet positifs iférieurs ou égux à. E d utres termes : = ( 1). Exercice 11 Comie existe-t-il de omres formés vec les chiffres de 1 à 4, dot tous les chiffres sot différets. Solutio de l exercice 11 O distigue les omres à 1,, 3 ou 4 chiffres. S il y 1 seul chiffre, o 4 possiilités. S il y e deux, o 4 possiilités pour le premier chiffre et 3 pour le deuxième puisque les chiffres doivet être différets, doc 1 possiilités u totl. De même s il y trois chiffres, o 4 3 possiilités et 4! s il y e qutre. Filemet il y = 64 omres. Propositio 10. Il existe fço d ordoer élémets différets. Démostrtio. O choisit tout d ord l ojet qui ser plcé u rg 1, esuite celui qui ser u rg, etc... Lorsque l o choisit celui qui ur le rg 1, o dispose de ojets : o doc choix. Au rg, il ous reste 1 ojets doc 1 choix et isi de suite jusqu u rg où il e ous reste plus qu u seul ojet, doc u seul choix. Aisi, le omre de possiilités est ( 1) ( )... 1 = Propositio 11 (Arrgemets). Il existe ordoés prmi. ( )! fço de choisir élémets Démostrtio. O dispose de ojets et o les choisit u pr u jusqu à e voir. De fço similire à l démostrtio précédete : o choix pour le premier ojet, 1 pour le deuxième et lorsqu o veut choisir le e, il reste + 1 ojets doc + 1 choix. Aisi le omre de possiilités est ( 1) ( )... ( + 1) = ( )!. 6

7 Exercice 1 Quelle est l proilité que deux stgiires soiet és le même jour (ps écessiremet l même ée)? Rppel : Il y 6 stgiires. Solutio de l exercice 1 O v détermier l proilité du cotrire, doc l proilité qu o e puisse trouver deux persoes ées le même jour. Ds ce cs, o doit choisir 6 jours différets prmi les 365 du cledrier, vec ordre puisque deux stgiires e sot ps iterchgeles : c est u rrgemet. 365! Il y doc (365 6)! cs ds lesquel o e peut trouver deux stgiires étt és le même jour. Le omre de possiilités totl est de Aisi l proilité que deux stgiires soiet és le même jour est de ! 6 (365 6)! = %. Propositio 1. Il existe fço de choisir élémets prmi ss! ( )! teir compte de l ordre. O ote ( ) cette qutité. Démostrtio. O sit qu il y! fço d ordoer les élémets choisis. Doc lorsqu o compte le omre de fços de choisir élémets prmi vec ordre, o e compte! fois trop. Aisi il fut diviser pr! et ( )! o otiet ie! ( )! = ( ). Propositio 13 (Biôme de Newto). ( ) ( ) ( ) (+) = Exercice ( ) =? 0 Solutio de l exercice 13 O recoît u iôme de Newto pour lequel = 1 et = 1. L répose est doc. Exercice ( ) ( ) ( )... + ( 1) ( 1) =? Solutio de l exercice 14 Comme pour l exercice précédet, il s git de recoître u iôme de Newto mis cette fois vec = 1 et = 1. O trouve doc (1 1) = 0. 7

8 Corollire 14. ( ) ( ) = Propositio 15 (Formule de Pscl). ( ) ( ) 1 = Démostrtio. O veut choisir élémets prmi. O isole u élémet. Soit cet élémet fit prtie des choisis, soit il e fit ps prtie. Ds le premier cs, il fut ecore choisir 1 élémets prmi les 1 restts, ds le deuxième cs, o doit choisir élémets prmi les 1restts. Aisi ( ) 1 = + ( 1 1 ). Corollire 16. Pour trouver l vleur de ( ) pour des petits o écrit le trigle de Pscl : Il suffit d écrire des "1" sur les côtés du trigle, puis chque omre est égl à l somme des deux omres u dessus, d près l propositio précédets. O trouve isi fcilemet les vleurs des coefficiets iomiux. 8

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