Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières"

Transcription

1 Master ISIFAR 2ème année Exercices pour le cours Mathématiques Financières Chapitre 1 Exercice 1. * Calculer le prix à terme d échéance T d une obligation de nominal N, qui verse un coupon C à la date t < T. Exercice 2. * A la date 0, le prix à terme d échéance T d un actif financier ne versant pas de dividendes est égal à F. Supposant que vous avez pris une position longue dans un contrat forward sur cet actif, calculez le prix de votre contrat à la date t < T. Exercice 3 (Dividendes discrets). On considère une action dont le prix sera noté par S, et qui verse un dividende connu D à la date t < T. Les prix à l instant 0 des options call et put sur S d echéance T et de strike K seront notés C(T, K) et P (T, K). Le taux d intérêt est supposé constant et égal à r. 1. Calculer le prix forward d échéance T à l instant 0 de l action. 2. Donner la relation de parité call-put pour C(T, K) et P (T, K). 3. En déduire les bornes inférieures pour C(T, K) et P (T, K). Donner également les bornes supérieures pour les prix de ces options. Chapitre 2 Exercice 4 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modèle Black- Scholes standard avec volatilité σ et taux d intérêt r. Un risk reversal est un contrat qui consiste à vendre un put de strike K 1 et à acheter un call de strike K 2 > K Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent à l échéance S T. 2. Tracer le vega du risk-reversal à l instant T = 0 en fonction de la valeur du sous-jacent S Pour une valeur fixée de S 0, donner une condition sur les strikes K 1 et K 2 pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpréter cette condition en termes du delta du call et du put. Exercice 5 (Le strangle). Le strangle est un achat simultané d un put de strike K 1 et d un call de strike K 2 > K 1, les deux options ayant la même échéance. 1. Tracer le pay-off d un strangle à l échéance en fonction de la valeur S T. 1

2 2. Tracer le prix, le delta et le vega d un strangle à la date t = 0, en fonction de la valeur S 0, en justifiant brièvement la forme des différentes courbes. 3. Donner la valeur de S 0 pour laquelle le strangle est delta-neutre à la date t = A la date t = 0, on achète un strangle en utilisant un call et un put qui ont 3 mois jusqu à l échéance, alors que la volatilité implicite de toutes les options vaut σ 0 = 20%. Dans un mois, le strangle est revendu. En négligeant l effet de taux d intérêt, déterminer si cette opération, sera gagnante ou perdante dans les deux cas suivants: (a) Dans un mois, la valeur du sous-jacent et la volatilité implicite restent inchangées. (b) Dans un mois, la valeur du sous-jacent reste inchangée mais la volatilité implicite monte à σ 1 = 30%. Justifiez votre réponse par un calcul des sensibilités. Exercice 6 (Robustesse du modèle Black-Scholes). Une option asiatique est une option dont le pay-off à l instant T est H T = ( + 1 T S u du K). T 0 Le but de cette partie est de donner une borne supérieure pour le prix d une option asiatique, ainsi qu une stratégie de surcouverture, en utilisant le résultat de robustesse du modèle de Black-Scholes rappelé dans la première partie. 1. Soit [ 1 t) X t = E e r(t T T 0 ] S u du F t. En utilisant la forme explicite de S u, calculer l espérance conditionnelle ci-dessus. 2. Montrer que l option asiatique peut être vu comme une option européenne sur l actif X. 3. Calculer la dynamique de X t et montrer qu elle a la forme dx t X t = rdt + σ t dw t avec la volatilité σ t à préciser. 4. Montrer que cette volatilité σ t admet une borne supérieure déterministe σ max. 2

3 5. En utilisant la première partie, en déduire une borne supérieure sur le prix de l option asiatique. 6. Décrire la stratégie de surcouverture correspondante. 7. En conclusion, montrer que le prix de l option asiatique est majoré par le prix de l option européenne de même strike. Dans les trois exercices suivants on se place dans le modèle de Black-Scholes, où le sous-jacent S t est solution de ds t = σs t dw t + bs t dt. Les paramètres b et σ ainsi que le taux d intérêt r sont constants. On note par E l espérance sous la probabilité risque-neutre. Exercice 7 (Options puissance). On considère une option de pay-off h(s T ) = ST n dans le modèle de Black-Scholes. Calculer le prix de cette option en utilisant la règle d évaluation risque-neutre. Exercice 8 (Option forward start). On considère une option Call d échéance T 2 dont le strike est fixé à une date future T 1 < T 2 à un certaine proportion m de la valeur du sous-jacent à cette date. Calculer le prix de cette option dans le modèle de Black-Scholes à la date t < T 1, en utilisant la règle d évaluation risque-neutre. Exercice 9 (Option à choix). Une option à choix sur un titre est un produit dérivé qui donne le droit au détenteur de choisir à une date τ s il veut un call ou un put de maturité T > τ, et de strike K. On notera C t et P t les prix du call et du put à la date t. 1. Quel est le pay-off de l option à choix? 2. Vérifier que le prix d arbitrage à la date t = 0 de cette option à choix est 3. Montrer que ce prix s écrit encore: Π 0 = C 0 + E Q [e rt (K S T )1 Cτ <P τ ]. Π 0 = C 0 +E Q [e rτ (Ke r(t τ) S τ ) + ] = P 0 +E Q [e rτ (S τ Ke r(t τ) ) + ]. Exercice 10 (Power straddle dans le modèle de Black-Scholes). Dans cette exercice on considère un power straddle, une option dont le pay-off à l instant T est égal à H T = (S T K) En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix du power straddle dans le modèle Black-Scholes à une date t < T. 3

4 2. Calculer le delta du power straddle et donner la stratégie de couverture dynamique pour cette option. Quelle doit être la valeur de S t pour que le power straddle soit delta neutre? 3. Calculer le gamma et le vega du power straddle à la date t. Representer ces quantités sur un graphique (en fonction de S t ). Quels sont les avantages du power straddle en tant qu instrument de couverture du risque de volatilité? 4. Supposons que la volatilité n est pas connue, mais on sait qu elle se trouve dans l intervalle [σ 1, σ 2 ]. Donner les bornes sur le prix du power straddle en utilisant le résultat de robustesse de la formule de Black-Scholes. Exercice 11 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option puissance de type A, de pay-off H A T = (S 2 T K 2 ) + et une option puissance de type B de pay-off H B T = ((S T K) + ) 2, dans le cadre du modèle de Black-Scholes. 1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie S 2 T à l instant T. Montrer que F 1 t suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 2. Montrer que l option puissance de type A peut être vue comme une option call standard sur l actif F 1. En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l instant t de l option puissance de type A. 3. Calculer le delta (en utilisant la formule de dérivation d une fonction composée) et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option. 4. Montrer que le pay-off de l option puissance de type B peut être exprimé en termes du pay-off de l option de type A et du pay-off de l option call de strike K. 5. En déduire le prix de l option de type B à l instant t < T. 6. Calculer le delta de l option puissance de type B. 7. En déduire le gamma de l option puissance de type B et montrer qu il est borné par une constante indépendante de t et S t. Quelles sont les implications pour la couverture de cette propriété? Exercice 12 (Leveraged ETF). * On considère le modèle de Black-Scholes standard avec un actif sous-jacent risqué (indice de marché) de dynamique ds t S t = µdt + σdw t, 4

5 où W est un mouvement brownien, et un actif sans risque S 0, capitalisé avec le taux sans risque r. On suppose que µ > r. Un Leveraged ETF est un fonds géré en utilisant la stratégie dynamique suivante: à chaque instant t, Une proportion m de la valeur du fonds est investie dans l actif risqué S; Un proportion 1 m de la valeur est investie dans l actif sans risque. Ici, m est une constante, qui peut être supérieure à 1. Cette dernière situation correspond à emprunter pour investir plus dans l actif risqué: on appelle cela levier ou leverage. La valeur du leveraged ETF à l instant t sera notée par V t ; on pose V 0 = v (investissement initial). 1. Ecrire l équation différentielle stochastique vérifiée par V. Quelle est la volatilité de V? 2. Calculer la valeur V t en resolvant explicitement l EDS. 3. Calculer l espérance de V T. Au vu de votre résultat, quelle est la valeur de m à prendre pour maximiser la performance de la stratégie. 4. La médiane d une variable aléatoire Z est la valeur z 0 telle que P[Z z 0 ] = P[Z > z 0 ] = 1 2, c est-à-dire, Z est inférieur ou égal à z 0 dans 50% des cas. Calculer la médiane de W t. 5. Calculer la médiane de V T. Si le but de l investisseur est de maximiser la performance du fonds dans 50% des cas, quelle valeur de m doit-il prendre? 6. Calculer le prix d une option call de pay-off (V T K) Imaginez que vous êtes conseiller en investissement, et un client vous demande un produit avec les caractéristiques suivantes: Il souhaite investir un montant initial x, avec un horizon d investissement T. Le capital en T, noté par X T doit dans tous les cas être supérieur ou égal à B > 0. L espérance du rendement E [ X T ] x x doit être égale à α > B x x. (a) Est-il toujours possible de satisfaire les souhaits de l investisseur? Donner la relation entre x et B pour qu un tel produit puisse exister. (b) Dans le cas où un tel investissement est possible, proposer une stratégie utilisant un actif sans risque et un leveraged ETF, avec le multiplicateur m à préciser. 5

6 Chapitre 3 Exercice 13. Soit W un mouvement brownien sur R. On considère un marché avec un actif sans risque (de taux d intérêt constant r) et deux actifs risqués S 1 et S 2 de dynamique ds 1 t = S 1 (b 1 dt + σdw t ), ds 1 t = S 1 (b 2 dt + σdw t ), avec b 1 b 2, c est-à-dire, les deux actifs ont la même volatilité et sont dirigés par le même mouvement brownien, mais leurs rendements moyens sont différents. Montrer qu on peut construire un portefeuille d arbitrage dans ce marché. Quelle est la condition nécessaire pour construire un arbitrage si les deux actifs ont des volatilités différentes (mais sont toujours dirigés par le même brownien)? Exercice 14. On considère un marché financier avec un actif sans risque de taux d intérêt r, un actif risqué S 1 suivant le modèle de Black-Scholes ds t = σs t dw t + bs t dt, et un actif risqué S 2 (par exemple, une option) dont le prix à toute date est donnée par une fonction déterministe regulière du temps et de la valeur de S 1 : S 2 t = v(t, S 1 t ). 1. En appliquant la formule d Itô, calculer la volatilité et le taux de rendement de S En utilisant la caractérisation de non-arbitrage via l existence d une prime de risque, montrer directement que v(t, S) vérifie l EDP de Black-Scholes. Exercice 15 (Option sur panier). On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2, leurs volatilités sont σ 1 et σ 2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d intérêt est égal à r. 1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre, en faisant apparaître deux mouvements browniens indépendants W 1 et W 2. On considère une option de pay-off à l instant T donné par H T = (αs 1 T + (1 α)s 2 T K) +, avec α (0, 1). Soit P (t, S 1 t, S 2 t ) le prix de cette option à l instant t. Soient également P 1 (t, S 1 t ) le prix de l option de pay-off H 1 T = (S1 T K)+ et P 2 (t, S 2 t ) le prix de l option de pay-off H 2 T = (S2 T K)+. 2. Donner la formule pour la fonction P (t, S 1 t, S 2 t ) faisant intervenir une espérance sous la probabilité risque-neutre. 3. En appliquant la formule d Itô, déterminer l EDP vérifiée par la fonction P (t, x, y). Ne pas oublier la condition terminale. 6

7 4. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) αp 1 (t, S 1 t ) + (1 α)p 2 (t, S 2 t ). 5. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) E Q [e r(t t) (e α log S1 T +(1 α) log S2 T K) + ]. 6. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie e α log S1 T +(1 α) log S2 T à l instant T. Montrer que cet actif suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 7. En utilisant la formule de Black-Scholes, déduire de la question précédente une borne inférieure explicite pour le prix de l option sur panier. Exercice 16 (Options asiatiques). 1. Soit K une constante. Montrer que le processus est une martingale. M t = E[( 1 T T 2. Montrer que, si l on pose ζ t = St 1 (K 1 T M t = S t E[( 1 T T t 3. Soit φ(t, x) = E[( 1 T x) + F t ] et que M t = S t φ(t, ζ t ). 0 T t S u du K) + F t ] t 0 S udu), on a S u S t du ζ t ) + F t ]. S u St du x) + ]. Montrer que φ(t, x) = E[( 1 T S u T t St du 4. Ecrire la formule d Itô pour M. En déduire une équation aux dérivées partielles vérifiée par φ. Exercice 17 (Options de change). On considère une économie avec deux marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaire domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les deux marchés X t est défini comme le prix à l instant t d une unité de monnaie étrangère dans le marché domestique. Les taux d intérêt dans les deux marchés seront notés r f et r, et sont supposés constants. La dynamique du taux de change (sous la probabilité historique) est donnée par dx t X t = b X dt + σ X dw X t, où W X est un mouvement Brownien standard. On considère des options écrites sur une action S cotée dans le marché étranger, qui ne paie pas de dividendes et suit la dynamique ds t S t = bdt + σ(ρdw X t + 1 ρ 2 dw t ), où W est un mouvement Brownien standard indépendant de W X. 7

8 1. Calculer le prix sur le marché domestique à l instant t = 0 d une option call de strike K en monnaie étrangère. 2. Option sur un actif étranger avec strike en monnaie domestique. Dans cette question on considère une option de pay-off H T = (S T X T K) + en monnaie domestique, où K est le strike en monnaie domestique. a. Montrer que le processus S t X t est un mouvement Brownien géométrique, calculer son drift et sa volatilité. b. Justifier par des arguments financiers que S t X t est le prix d un portefeuille autofinançant dans le marché domestique. c. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes. Exercice 18 (Formule de Garman-Kolhagen avec taux stochastiques). On cherche à généraliser la formule de Garman-Kolhagen au cas où les taux doméstiques et étrangers sont stochastiques. On se donne la dynamique des zéro-coupons (un zéro-coupon est une obligation qui verse le pay-off de 1 à la date T, en monnaie doméstique ou étrangère selon les cas): db t (T ) B t (T ) = bb dt + σ B dw t db f t (T ) B f t (T ) = f bb dt + σ Bf dw t, et la dynamique de taux de change dx t X t = b X dt + σ X dw t où W est un mouvement Brownien en dimension 3. Calculer le prix à l instant t d une option qui verse le pay-off (X T K) + à la date T. Donner la stratégie de couverture associée. Exercice 19 (Le numéraire de marché). On considère le marché Black-Scholes avec d actifs risqués tel qu il a été introduit en cours. Soit un actif M de dynamique dm t = r(t)dt + λ(t) (λ(t)dt + dw t ), M 0 = 1. M t 1. Montrer que les prix de tous les actifs exprimés en utilisant M comme numéraire sont des martingales sous la probabilité historique. Ce numéraire s appelle le numéraire de marché. 2. Donner une règle de pricing sous la probabilité historique utilisant le numéraire de marché. 8

9 3. Donner une stratégie de portefeuille qui permet de repliquer le numéraire de marché avec les actifs disponibles. 4. Montrer la formule de arbitrage pricing théory, l excès de rendement d un actif Z est donné par l excès de rendement du numéraire de marché, multiplié par le beta de l actif: b z (t) r(t) = β Z (b M (t) r(t)), β Z = Cov t( dmt M t, dzt Cov t ( dmt M t Z t ), dmt M t ) Remarque: on peut demontrer (mais les techniques de la preuve sortent du cadre de cet exercice) que le numéraire de marché correspond à un multiple du portefeuille de l ensemble des agents du marché, sous l hypothèse que chaque agent detient un portefeuille efficient, c est-à-dire, optimal au sens de l optimisation moyenne-variance de Markowitz. Exercice 20 (Option one-touch ). Soit S un actif sous-jacent de dynamique ds t S t = bdt + σdw t. Le taux d intérêt est supposé nul dans tout l exercice. On considère une option à barrière digitale de pay-off à la date T donné par H T = 1 τb T, avec τ B := inf{t 0 : S t B}. 1. Montrer que l inégalité suivante est valable pour tout K < B: 1 τb T (S T K) + B K + S τ B S T B K 1 τ B T. 2. En déduire une stratégie de surreplication pour l option one-touch, utilisant une position statique en un call Européen de strike K et un contrat forward. 3. Montrer que le prix Π 0 [H T ] admet la borne supérieure C 0 (K, T ) Π 0 [H T ] inf K<B B K, où C 0 (K, T ) est le prix à la date 0 d un call européen de strike K et d échéance T. 4. Justifier que ce résultat est valable sans supposer que le sous-jacent suit la dynamique Black-Scholes. Exercice 21 (Replication d une option reverse). Soit S un actif sous-jacent de dynamique ds t S t = bdt + σdw t. 9

10 On considère une option à barrière UIC reverse avec K < B. Dans la terminologie du cours cette option est reverse car il a un pay-off non nul au-délà de la barrière. Le taux d intérêt est supposé nul dans cet exercice, ce qui fait que le paramètre γ du cours est égal à Par une decomposition de la fonction pay-off, montrer que cette option peut être representée comme la somme d une option européenne de payoff (S T K)1 ST B et d une option UI regular. 2. Montrer que la partie européenne peut être repliqué par un call et une option digitale. 3. En utilisant les résultats du cours, donner la stratégie de replication pour l option UI regular. 4. Montrer que l option européenne qui apparaît dans la stratégie de replication peut être synthétisée avec 2 puts et une option digitale. Exercice 22 (Power straddle et swap de variance pondéré). Dans cet exercice on se place dans le cadre d un modèle général de la forme où σ est un processus aléatoire. l instant T est donné par ds t S t = rdt + σ t dw t, V P T = On s intéresse au produit dont le pay-off à T 0 S 2 t σ 2 t dt, c est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur du sous-jacent au carré. Dans tout l exercice, le taux d intérêt est supposé nul. 1. Expliquer comment le pay-off d un power straddle peut être répliqué par les pay-offs des calls et des puts. En déduire le prix du power straddle à l instant t = 0, en fonction des prix des options européennes à cette date. Les prix des options européennes seront notés par C t (T, K) et P t (T, K). 2. Appliquer la formule d Itô au pay-off du power straddle. En déduire que le pay-off V P T peut être répliqué par un power straddle et un portefeuille dynamique contenant l actif sous-jacent et le cash. 3. Calculer le prix à l instant t = 0, d un produit qui paie V P T à la date T, en fonction des prix des options européennes. Chapitre 4 Exercice 23. En utilisant l equation (4.17) du poly, calculer la limite en temps court de la volatilité implicite dans le modèle CEV (4.3). Montrer que cette limite est différente du premier terme dans le développement de Hagan et Woodward (4.4), mais que les deux formules s accordent à l ordre 2 en F 0 K. 10

11 Exercice 24. Montrer que la paramétrisation de Gatheral et Jacquier (4.19) vérifie les contraintes de non-arbitrage sous les conditions données en bas de la page 69 du poly. du poly. Travail pratique sur ordinateur: simulation de la couverture en delta Le but de ce TP est d étudier la performance de la couverture en delta dans le modèle de Black et Scholes, dans le cas où le portefeuille n est reajusté qu un nombre fini de fois pendant la durée de vie de l option. Le P&L (profit and loss) d une stratégie de couverture est mesuré comme la différence entre le prix de l option C BS (T, S T ) à la date finale (égal au pay-off de l option) et la valeur terminale du portefeuille de couverture X T. Pour simuler l évolution du portefeuille de couverture en delta sur une grille de temps t i = it/n, i = 0,..., N, on utilisera l algorithme suivant: Simuler le prix du sous-jacent aux dates t i, i = 0,..., N, à partir de l équation σ2 (µ S t = S 0 e 2 )t+σwt. Poser le ratio initial de couverture égal à δ 0 = C BS S (0, S 0) et la valeur initial du portefeuille égale à X 0 = C BS (0, S 0 ) (on suppose que tous les revenus provenant de la vente de l option sont affectés au portefeuille de couverture). Pour toute date t i, i = 1,..., N, calculer le nouveau ratio de couverture (t i, S ti ) et ajuster la valeur du portefeuille δ ti = C BS S X ti = X ti 1 + (X ti 1 δ ti 1 S ti 1 )(e r(ti ti 1) 1) + δ ti 1 (S ti S ti 1 ). Exercice 25. Simuler une trajectoire du prix de l action et l évolution du prix de l option call et du portefeuille de couverture correspondant dans le modèle Black-Scholes. Utiliser la même valeur de volatilité pour la valorisation de l option et la simulation du prix de l action. Tracer le prix de l option et l évolution du portefeuille de couverture sur le même graphique. Exercice 26. Simuler plusieurs (par exemple 10000) trajectoires et tracer La moyenne et la variance du P&L en fonction du temps. L histogramme du P&L à la date finale. Exercice 27. Calculer la moyenne et la variance du P&L final pour le nombre de dates de rebalancement égal à 1024, 512, 256 etc. Etudier la dépendance de la moyenne et de la variance en fonction du nombre d interventions. Que constatez-vous? 11

12 Exercice 28. Tracer l histogramme du P&L final dans le cas où La volatilité utilisée pour le pricing et le calcul du delta est supérieure à celle utilisée pour simuler le cours de l action. La volatilité utilisée pour le pricing et le calcul du delta est inférieure à celle utilisée pour simuler le cours de l action. Que constatez-vous? Indications informatiques Vous pouvez faire ce TP en C++, Scilab ou un autre langage de programmation de votre choix. Les variables aléatoires gaussiennes peuvent facilement être générés avec la méthode de Box-Muller: si X 1 et X 2 sont deux variables uniformes sur (0, 1) indépendantes alors Y 1 = 2 log X 1 cos 2πX 2 Y 2 = 2 log X 1 sin 2πX 2 sont deux variables N(0, 1) indépendantes. Le code pour calculer la fonction de repartition de la loi normale est disponible à l adresse Pour tracer des graphiques vous pouvez utiliser Scilab, Gnuplot, Excel, ou une autre application graphique de votre choix. 12

13 Variante 1 Exercice 1 (Le risk reversal). On se place dans le cadre du modèle Black- Scholes standard avec volatilité σ et taux d intérêt r. Un risk reversal est un contrat qui consiste à vendre un put de strike K 1 et à acheter un call de strike K 2 > K Tracer le pay-off du risk-reversal en fonction de la valeur du sous-jacent à l échéance S T. 2. Tracer le delta, le gamma et le vega du risk-reversal à l instant T = 0 en fonction de la valeur du sous-jacent S 0, en justifiant brièvement la forme des courbes. 3. Pour une valeur fixée de S 0, donner une condition sur les strikes K 1 et K 2 pour que le risk-reversal soit vega-neutre. Interpréter cette condition en termes du delta du call et du put. Exercice 2 (Options sur panier et robustesse de la formule de Black-Scholes). On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2, leurs volatilités sont σ 1 et σ 2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d intérêt est égal à r. Le prix à l instant t d un panier contenant S 1 et S 2 avec poids α et 1 α pour un α (0, 1) sera noté par X t = αs 1 t + (1 α)s 2 t. Soit P (t, S 1 t, S 2 t ) le prix à l instant t d une option qui paie H T = (X T K) + à l instant T. Le prix Black-Scholes à l instant t d une option call sur un actif S avec volatilité σ, date d expiration T et strike K sera noté par C BS (t, S t, T, K, σ). et le ratio de couverture correspondant sera noté par BS (t, S t, T, K, σ). 1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre, en faisant apparaître deux mouvements browniens indépendants W 1 et W Ecrire la dynamique du panier sous la probabilité risque-neutre. Quelle est la volatilité du panier? Supposons que le trader utilise la stratégie suivante pour la couverture approchée de l option sur panier. Vendre l option à l instant t = 0 pour le prix Black-Scholes avec volatilité σ: C BS (0, X 0, T, K, σ). A tout instant t, detenir dans le portefeuille le nombre d unités du panier X t donné par le delta Black-Scholes calculé avec volatilité σ: BS (t, X t, T, K, σ). 13

14 La valeur du portefeuille du trader sera notée par V t 3. Ecrire la dynamique du portefeuille du trader. 4. Calculer, en utilisant la formule d Itô, la différence C BS (T, X T, T, K, σ) C BS (0, X 0, T, K, σ). 5. En déduire l expression pour l erreur de couverture, c est-à-dire, la différence entre le portefeuille du trader et H T, notée par E T = V T H T. 6. En utilisant l EDP de Black-Scholes, exprimer cette erreur en termes de la différece entre la volatilité σ utilisée par le trader et la volatilité du panier. 7. Calculer la valeur minimale de la volatilité σ telle que l erreur de couverture E T est positive p.s. En déduire une stratégie de sur-couverture pour l option sur panier et une borne supérieure sur son prix. 8. Calculer la valeur maximale de la volatilité σ telle que l erreur de couverture E T est negative p.s. En déduire une stratégie de sous-couverture pour l option sur panier et une borne inférieure sur son prix. 14

15 Variante 2 Exercice 1 (Dividendes discrets). On considère une action dont le prix sera noté par S, et qui verse un dividende connu D à la date t < T. Les prix à l instant 0 des options call et put sur S d echéance T et de strike K seront notés C(T, K) et P (T, K). Le taux d intérêt est supposé constant et égal à r. 1. Calculer le prix forward d échéance T à l instant 0 de l action. 2. Donner la relation de parité call-put pour C(T, K) et P (T, K) tenant compte du versement du dividende. 3. En déduire les bornes inférieures pour C(T, K) et P (T, K). Donner également les bornes supérieures pour les prix de ces options. Exercice 2 (Option sur panier). On se place dans le modèle Black-Scholes standard en dimension 2. Les prix des actifs risqués sont notés S 1 et S 2, leurs volatilités sont σ 1 et σ 2 et il y a une corrélation ρ entre les rendements. Le taux d intérêt est égal à r. 1. Ecrire la dynamique des actifs S 1 et S 2 sous la probabilité risque-neutre, faisant apparaître deux mouvements browniens indépendants W 1 et W 2. On considère une option de pay-off à l instant T donné par H T = (αs 1 T + (1 α)s 2 T K) +, avec α (0, 1). Soit P (t, S 1 t, S 2 t ) le prix de cette option à l instant t. Soient également P 1 (t, S 1 t ) le prix de l option de pay-off H 1 T = (S1 T K)+ et P 2 (t, S 2 t ) le prix de l option de pay-off H 2 T = (S2 T K)+. 2. Donner la formule pour la fonction P (t, S 1 t, S 2 t ) faisant intervenir une espérance sous la probabilité risque-neutre. 3. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) αp 1 (t, S 1 t ) + (1 α)p 2 (t, S 2 t ). 4. Montrer que P (t, S 1 t, S 2 t ) E Q [e r(t t) (e α log S1 T +(1 α) log S2 T K) + ]. 5. En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie e α log S1 T +(1 α) log S2 T à l instant T. Montrer que cet actif suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 6. En utilisant la formule de Black-Scholes, déduire de la question précédente une borne inférieure explicite pour le prix de l option sur panier. 15

16 16

17 Variante 3 Exercice 1 (Power straddle dans le modèle de Black-Scholes). Dans cet exercice on considère un power straddle, une option dont le pay-off à l instant T est égal à H T = (S T K) En utilisant le principe de valorisation risque-neutre, calculer le prix du power straddle dans le modèle Black-Scholes à une date t < T. 2. Calculer le delta du power straddle et donner la stratégie de couverture dynamique pour cette option. Quelle doit être la valeur de S t pour que le power straddle soit delta neutre? 3. Calculer le gamma et le vega du power straddle à la date t. Representer ces quantités sur un graphique (en fonction de S t ). 4. Supposons que la volatilité n est pas connue, mais on sait qu elle se trouve dans l intervalle [σ 1, σ 2 ]. Donner les bornes sur le prix du power straddle en utilisant le résultat de robustesse de la formule de Black-Scholes. Exercice 2. Option de surperformance On considère une économie avec deux marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaie domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les deux marchés X t est défini comme le prix à l instant t d une unité de monnaie étrangère dans le marché domestique. On considère une option de pay-off à l instant T donné par H T = ( S (1) T S (1) 0 X S(2) T S (2) 0 ) +, où S (1) est un titre domestique, par exemple, Eurostoxx50, et S (2) est un titre étranger, par exemple, FTSE100. L option paie donc la différence entre la performace de l actif domestique et celle de l actif étranger, multiplée par un taux de change fixe X. Les taux d intérêt domestique et étranger seront notés par r et r e respectivement, et sont supposés constants. La dynamique des titres sous la probabilité historique s écrit: ds (1) t S (1) t ds (2) t S (2) t = b (1) dt + γ (1) dw t = b (2) dt + γ (2) dw t, où γ (1) et γ (2) appartiennent à R 3 et W est un mouvement brownien standard en dimension 3. La dynamique du taux de change X est avec γ X R 3. dx t X t = b X dt + γ X dw t, 17

18 1. Calculer les prix F (1) t et F (2) t X S(2) T S (2) 0 des portefeuilles de replication des flux S(1) T et S (1) 0. Montrer que ces actifs sont log-normaux, calculer leurs volatilités. 2. En utilisant la formule de Black-Scholes généralisée, calculer le prix à l instant t de l option de surperformance. 3. Donner la stratégie de couverture pour cette option. 18

19 Variante 4 Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option puissance, de pay-off H T = (S 2 T K 2 ) + dans le cadre du modèle de Black-Scholes. 1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie ST 2 à l instant T. Montrer que F t suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 2. Montrer que l option puissance peut être vue comme une option call standard sur l actif F. En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l instant t de l option puissance. 3. Calculer le delta à l instant t (en utilisant la formule de dérivation d une fonction composée) et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option. 4. Calculer le gamma et le vega de l option puissance à l instant t et représenter ces quantités sur un graphique. Exercice 2 (Option à barrière digitale). On se place dans le cadre du modèle de Black-Scholes standard. Une option digitale de type call est une option de pay-off à l instant T donné par 1 ST K, et une option digitale de type Put a un pay-off 1 ST K. 1. Calculez les prix des options digitales de type Call et Put à une date t < T en utilisant le principe de valorisation risque-neutre. On considère une option à barrière digitale de pay-off à l instant T donné par H T = 1 ST K1 max0 t T S t B. 2. En utilisant la technique de replication des options à barrière regulières, donner la stratégie de replication semi-statique pour l option à barrière digitale utilisant une option digitale et une option européenne dont le pay-off est a préciser. 3. Exprimer le prix de cette stratégie de couverture à l instant t = 0 en termes du prix d une option digitale. 4. En supposant que le taux d intérêt est nul, representer la stratégie de couverture au moyen d une option digitale et une option européenne de type call/put. 19

20 20

21 Variante 5 Exercice 1 (Le vega-weighted butterfly). On se place dans le cadre du modèle Black-Scholes standard avec volatilité σ et taux d intérêt r. On considère un contrat qui consiste à acheter x puts de strike K 1, x calls de strike K 3 et de vendre 1 2 x calls et 1 2 x puts de strike K 2, avec K 1 < K 2 < K 3, où x (0, 1) est un paramètre. 1. Tracer le pay-off de ce contrat en fonction de la valeur du sous-jacent à l échéance S T pour x = 0, x = 1 4 et x = 1 2. Quels contrats reconnaissezvous? 2. Tracer le delta, le gamma et le vega du contrat à l instant T = 0 en fonction de la valeur du sous-jacent S 0 pour x = 1 4, en justifiant brièvement la forme des courbes. 3. Pour une valeur fixée de S 0, donner la condition sur x pour que le contrat soit vega-neutre. Il s appelle alors vega-weighted butterfly. Exercice 2 (Gamma swap). Dans cet exercice on se place dans le cadre d un modèle général de la forme ds t S t = rdt + σ t dw t, où σ est un processus aléatoire. On s intéresse au gamma swap dont le pay-off à l instant T est donné par V P T = T 0 S t S 0 σ 2 t dt, c est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur normalisée du sousjacent. Dans tout l exercice, le taux d intérêt est supposé nul. 1. Soit f(x) = x S 0 log x S 0 x S Expliquer comment le pay-off f(s T ) peut être répliqué par les pay-offs de calls et de puts. En déduire le prix à l instant t = 0 d une option qui paie f(s T ) en T, en fonction des prix des options européennes en t = 0. Les prix des options européennes seront notés par C t (T, K) et P t (T, K). 2. Appliquer la formule d Itô à f(s T ). En déduire que le pay-off V P T peut être répliqué par une option de pay-off f(s T ) et un portefeuille dynamique contenant l actif sous-jacent et le cash. 3. Calculer le prix à l instant t = 0, d un produit qui paie V P T à la date T, en fonction des prix des options européennes. 21

22 22

23 Variante 6 Exercice 1 (Stratégie du coussin). La stratégie du coussin est une stratégie de gestion de portefeuille dont l objectif est de profiter du rendement d un actif risqué tout en assurant à l investisseur un montant garanti N à l échéance T. Pour cela, le gestionnaire investit une fraction de la richesse dans l actif risqué dont le prix est noté par S t et le reste dans une obligation zéro-coupon d échéance T et de nominal N, dont le prix est noté par B t. La valeur du portefeuille est notée par V t et la stratégie consiste à investir le montant mc t dans l actif risqué où C t = V t B t s appelle le coussin, et m > 1 est un multiplicateur constant. 1. Calculer le prix B t de l actif sans risque à l instant t < T si le taux d intérêt est constant et égal à r. 2. Ecrire la dynamique du portefeuille V t sachant que le prix de l actif risqué suit le modèle de Black-Scholes ds t S t = bdt + σdw t. En déduire la dynamique du coussin C t. 3. Montrer que la dynamique du coussin est également la dynamique Black- Scholes. Quelle est la volatilité du coussin? En déduire la valeur du coussin à l échéance C T et la valeur du portefeuille à l échéance V T. 4. Calculer l espérance et la variace de la valeur du portefeuille. Que peut-on en déduire concernant le choix du multiplicateur m? Exercice 2 (Power straddle et swap de variance pondéré). Dans cet exercice on se place dans le cadre d un modèle général de la forme où σ est un processus aléatoire. l instant T est donné par ds t S t = rdt + σ t dw t, V P T = On s intéresse au produit dont le pay-off à T 0 S 2 t σ 2 t dt, c est-à-dire, la variance intégrée, pondérée par la valeur du sous-jacent au carré. On considère également un power straddle, une option dont le pay-off à l instant T est égal à H T = (S T K) 2. Dans tout l exercice, le taux d intérêt est supposé nul. 1. Expliquer comment le pay-off d un power straddle peut être répliqué par les pay-offs des calls et des puts. En déduire le prix du power straddle à l instant t = 0, en fonction des prix des options européennes à cette date. Les prix des options européennes seront notés par C t (T, K) et P t (T, K). 23

24 2. Appliquer la formule d Itô au pay-off du power straddle. En déduire que le pay-off V P T peut être répliqué par un power straddle et un portefeuille dynamique contenant l actif sous-jacent et le cash. 3. Calculer le prix à l instant t = 0, d un produit qui paie V P T à la date T, en fonction des prix des options européennes. 24

25 Variante 7 Exercice 1 (Options puissance). Dans cet exercice on considère une option puissance, de pay-off H T = [(S T K) + ] 2 dans le cadre du modèle de Black-Scholes. 1. En utilisant la valorisation risque-neutre, calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie ST 2 à l instant T. Montrer que F t suit le modèle de Black-Scholes, calculer sa volatilité. 2. Montrer que l option puissance peut être representée comme la différence d une option call standard sur F T et de 2K options calls standard sur S T. En utilisant la formule de Black-Scholes, calculer le prix à l instant t de l option puissance. 3. Calculer le delta à l instant t et décrire la stratégie de couverture dynamique pour cette option. 4. Calculer le gamma et le vega de l option puissance à l instant t et représenter ces quantités sur un graphique. Exercice 2 (Options de change). On considère une économie avec deux marchés, le marché domestique, où les prix sont exprimés en monnaie domestique, et le marché étranger avec les prix en monnaie étrangère. Le taux de change entre les deux marchés X t est défini comme le prix à l instant t d une unité de monnaie étrangère dans le marché domestique. Les taux d intérêt dans les deux marchés seront notés r f et r, et sont supposés constants. La dynamique du taux de change (sous la probabilité historique) est donnée par dx t X t = b X dt + σ X dw X t, où W X est un mouvement Brownien standard. On considère des options écrites sur une action S cotée dans le marché étranger, qui ne paie pas de dividendes et suit la dynamique ds t S t = bdt + σ(ρdw X t + 1 ρ 2 dw t ), où W est un mouvement Brownien standard indépendant de W X. 1. Calculer le prix sur le marché domestique à l instant t = 0 d une option call de strike K en monnaie étrangère. 2. Option sur un actif étranger avec strike en monnaie domestique. Dans cette question on considère une option de pay-off H T = (S T X T K) + en monnaie domestique, où K est le strike en monnaie domestique. 25

26 a. Calculer le prix F t à l instant t d un actif qui paie S T X T en monnaie domestique à l instant t. Monter que F t suit le modèle Black-Scholes, calculer sa volatilité. b. Exprimer le prix de cette option avec la formule de Black-Scholes généralisée. c. Donner la stratégie de couverture pour cette option. 26

Modèles en temps continu pour la Finance

Modèles en temps continu pour la Finance Modèles en temps continu pour la Finance ENSTA ParisTech/Laboratoire de Mathématiques Appliquées 23 avril 2014 Evaluation et couverture pour les options européennes de la forme H = h(s 1 T ) Proposition

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 1. a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S = 5 C et qu à la date t = 1 on a (S u 1 = 51, S d 1 = 48).

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

EXAMEN 14 janvier 2009 Finance 1

EXAMEN 14 janvier 2009 Finance 1 EXAMEN 14 janvier 2009 Durée 2h30 heures Exercice 1 On considère un modèle de marché de type arbre binomial à trois étapes avec un actif risqué S et un actif non risqué. On suppose S 0 = 1000$ et à chaque

Plus en détail

3. Evaluer la valeur d une option. 1. Arbres binomiaux 2. Modèle de Black, Scholes et Merton

3. Evaluer la valeur d une option. 1. Arbres binomiaux 2. Modèle de Black, Scholes et Merton 3. Evaluer la valeur d une option 1. Arbres binomiaux. Modèle de Black, choles et Merton 1 Les arbres binomiaux ; évaluation des options sur actions Cox, Ross, Rubinstein 1979 Hypothèse absence opportunité

Plus en détail

Options, Futures, Parité call put

Options, Futures, Parité call put Département de Mathématiques TD Finance / Mathématiques Financières Options, Futures, Parité call put Exercice 1 Quelle est la différence entre (a) prendre une position longue sur un forward avec un prix

Plus en détail

Dérivés Financiers Options

Dérivés Financiers Options Stratégies à base d options Dérivés Financiers Options 1) Supposons que vous vendiez un put avec un prix d exercice de 40 et une date d expiration dans 3 mois. Le prix actuel de l action est 41 et le contrat

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012. Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret

IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012. Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret Université de Paris Est Créteil Mathématiques financières IAE Master 2 Gestion de Portefeuille Année 2011 2012 1. Le problème des partis 1 Feuille 3 Pricing et couverture Modèles discret Le chevalier de

Plus en détail

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Pricing d options Monte Carlo dans le modèle Black-Scholes» Etudiant : / Partie A : Prix de Call et Put Européens Partie B : Pricing par Monte Carlo et réduction

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010 27 octobre 2010 Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 13. Théorie des options II Daniel Andrei Semestre de printemps 2011 Principes de Finance 13. Théorie des options II Printemps 2011 1 / 34 Plan I Stratégie de réplication dynamique

Plus en détail

Formation ESSEC Gestion de patrimoine

Formation ESSEC Gestion de patrimoine Formation ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire «Savoir vendre les nouvelles classes d actifs financiers» Les options Plan Les options standards (options de 1 ère génération) Les produits de base: calls

Plus en détail

Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques

Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques Etude de Cas de Structuration Magistère d Economie et de Statistiques David DUMONT - TEAM CALYON 22 avril 2008 Dans 2 ans, si l EURODOL est inférieur à 1,40 touchez 116% du nominal investi en euros, sinon

Plus en détail

Valorisation d es des options Novembre 2007

Valorisation d es des options Novembre 2007 Valorisation des options Novembre 2007 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère

Plus en détail

Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 1 Examen 1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein On considère une option à 90 jours sur un actif ne distribuant pas de dividende de nominal 100 francs, et dont le prix

Plus en détail

Les options : Lien entre les paramètres de pricing et les grecs

Les options : Lien entre les paramètres de pricing et les grecs Cette page est soutenue par ALGOFI Cabinet de conseil, d ingénierie financière et dépositaire de systèmes d information financiers. Par Ingefi, le Pôle Métier Ingénierie Financière d Algofi. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Hedging delta et gamma neutre d un option digitale

Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Daniel Herlemont 1 Introduction L objectif de ce projet est d examiner la couverture delta-gamma neutre d un portefeuille d options digitales Asset-Or-Nothing

Plus en détail

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire Auriault Plan de la présentation Introduction. Le problème des options 2. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 3. Les

Plus en détail

Delta couverture de produits dérivés en Finance. ESILV Ingénierie Financière S8 Cours du 24 avril 2012 Partie 2 Marie Bernhart

Delta couverture de produits dérivés en Finance. ESILV Ingénierie Financière S8 Cours du 24 avril 2012 Partie 2 Marie Bernhart Delta couverture de produits dérivés en Finance ESILV Ingénierie Financière S8 Cours du 24 avril 2012 Partie 2 Marie Bernhart Plan de la présentation Couverture de produits dérivés en Finance Principe

Plus en détail

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies 0.1. LES GRECQUES 1 Simulations des Grecques : iavin vs Différences finies Christophe Chorro Ce petit document vise à illustrer de manière numérique les techniques présentées lors du mini cours sur le

Plus en détail

Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation

Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation Le Modèle de taux de Ho-Lee - Pricing d obligation Le modèle de Thomas S. Y. Ho et Sang-bin Lee [1] est un modèle simple de fluctuation de taux d intérêts. Il est utilisé sous l hypothèse d absence d opportunité

Plus en détail

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE.

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 1 / 16 PLAN DU COURS 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options

Méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options Méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 14 février 2013 Nous allons tester les différentes méthodes probabilistes vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Modélisation mathématique et finance des produits dérivés

Modélisation mathématique et finance des produits dérivés Modélisation mathématique et finance des produits dérivés Ecole Polytechnique Paris Académie Européenne Interdisciplinaire des Sciences Paris, 28 novembre 2011 Outline Introduction 1 Introduction 2 3 Qu

Plus en détail

Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,

Plus en détail

Options et des stratégies sur dérivés

Options et des stratégies sur dérivés Options et des stratégies sur dérivés 1. Les stratégies impliquant les options 2. Les propriétés des options sur actions 1. Stratégies sur les options De nombreuses combinaisons sont possibles Prendre

Plus en détail

Introduction aux produits de taux d intérêts

Introduction aux produits de taux d intérêts Introduction aux produits de taux d intérêts R&D Banque CPR 8 avril 2002 Plan 1. Notations et préliminaires 2. Euribor, caplets, caps 3. Swaps, swaptions 4. Constant Maturity Swap (CMS) 5. Quelques produits

Plus en détail

Les mathématiques appliquées de la finance

Les mathématiques appliquées de la finance Les mathématiques appliquées de la finance Utiliser le hasard pour annuler le risque Emmanuel Temam Université Paris 7 19 mars 2007 Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la

Plus en détail

La Volatilité Locale

La Volatilité Locale La Volatilité Locale Bertrand TAVIN Université Paris 1 - Panthéon Sorbonne 26 mai 2010 Résumé Dans cette courte note nous introduisons le concept de volatilité locale et les modèles de pricing basés sur

Plus en détail

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci

Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci Ecole Supérieure d Ingénieurs Léonard de Vinci «Evaluation et couverture de produits dérivés» Etudiants : Colonna Andrea Pricing d'un Call Lookback par Monte Carlo et Ponts Browniens Rapport de Projet

Plus en détail

Principes de Finance

Principes de Finance Principes de Finance 12. Théorie des options I Daniel Andrei Semestre de printemps 211 Principes de Finance 12. Théorie des options I Printemps 211 1 / 43 Plan I Introduction II Comprendre les options

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Introduction aux Mathématiques et Modèles Stochastiques des Marchés Financiers

Introduction aux Mathématiques et Modèles Stochastiques des Marchés Financiers Introduction aux Mathématiques et Modèles Stochastiques des Marchés Financiers Huyên PHAM Université Paris 7 Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, CNRS UMR 7599 pham@math.jussieu.fr Version

Plus en détail

Options exotiques complexes

Options exotiques complexes Options exotiques complexes Cette série d exercices porte sur les options exotiques (chapitre 14 ) avec éventuellement des taux d intérêt stochastiques (chapitres 16 et 17). Les exercices les plus difficiles

Plus en détail

Les techniques des marchés financiers

Les techniques des marchés financiers Les techniques des marchés financiers Exercices supplémentaires Christine Lambert éditions Ellipses Exercice 1 : le suivi d une position de change... 2 Exercice 2 : les titres de taux... 3 Exercice 3 :

Plus en détail

Chapitre 17 Le modèle de Black et Scholes

Chapitre 17 Le modèle de Black et Scholes Chapitre 17 Le modèle de Black et Scholes Introduction Au début des 70 s, Black, Scholes et Merton ont opéré une avancée majeure en matière d évaluation d options Ces contributions et leurs développements

Plus en détail

Méthodes numériques pour le pricing d options

Méthodes numériques pour le pricing d options Méthodes numériques pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 6 février 013 Nous allons tester les différentes méthodes de différence finies vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Prix d options européennes

Prix d options européennes Page n 1. Prix d options européennes Une société française tient sa comptabilité en euros et signe un contrat avec une entreprise américaine qu elle devra payer en dollars à la livraison. Entre aujourd

Plus en détail

Liste des notes techniques... xxi Liste des encadrés... xxiii Préface à l édition internationale... xxv Préface à l édition francophone...

Liste des notes techniques... xxi Liste des encadrés... xxiii Préface à l édition internationale... xxv Préface à l édition francophone... Liste des notes techniques.................... xxi Liste des encadrés....................... xxiii Préface à l édition internationale.................. xxv Préface à l édition francophone..................

Plus en détail

Mathématiques Financières

Mathématiques Financières Mathématiques Financières 3 ème partie Marchés financiers en temps discret & instruments financiers dérivés Université de Picardie Jules Verne Amiens Par Jean-Paul FELIX Cours du vendredi 19 février 2010-1

Plus en détail

2- Comment les traders gèrent les risques

2- Comment les traders gèrent les risques 2- Comment les traders gèrent les risques front office middle office back office trading échange d'actifs financiers contrôle des risques, calcul du capital requis enregistrement des opérations traitement

Plus en détail

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale.

Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Aix Marseille Université. Algorithmes Stochastiques. M MIS. Fabienne Castell... Chapitre : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Le but de ce chapitre

Plus en détail

VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE :

VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE : VALORISATION DES PRODUITS DE CHANGE : TERMES, SWAPS & OPTIONS LIVRE BLANC I 2 Table des Matières Introduction... 3 Les produits non optionnels... 3 La méthode des flux projetés... 3 Les options de change

Plus en détail

Les produits dérivés. Chapitre 2. 2.1 Forwards et futures

Les produits dérivés. Chapitre 2. 2.1 Forwards et futures Chapitre 2 Les produits dérivés Di érents types des taux d intérêt. Formule de valorisation d un forward sur un actif financier (action, obligation). Classification des options et terminologie associée,

Plus en détail

4- Instruments de gestion des risques de marché (suite)

4- Instruments de gestion des risques de marché (suite) 4- Instruments de gestion des risques de marché (suite) 3- OPTIONS 3.1- PRINCIPES : Option = droit de réaliser une transaction future à des conditions fixées à l'avance. 3.1.1- Options «vanilles» call

Plus en détail

QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE

QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE Le présent document est un recueil de questions, la plupart techniques, posées à des candidats généralement jeunes diplômés, issus d école d ingénieurs, de commerce

Plus en détail

Dérivés Financiers Caractéristiques des contrats d options

Dérivés Financiers Caractéristiques des contrats d options Dérivés Financiers Caractéristiques des contrats d options Owen Williams Grenoble Ecole de Management Accréditations > 2 Introduction Une option donne au détenteur le droit de faire quelque chose dans

Plus en détail

Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés

Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.

Plus en détail

Cours de Méthodes Déterministes en Finance (ENPC) Benoît Humez Société Générale Recherche Quantitative benoit.humez@sgcib.com

Cours de Méthodes Déterministes en Finance (ENPC) Benoît Humez Société Générale Recherche Quantitative benoit.humez@sgcib.com Cours de Méthodes Déterministes en Finance (ENPC) Benoît Humez Société Générale Recherche Quantitative benoit.humez@sgcib.com Points abordés Méthodes numériques employées en finance Approximations de prix

Plus en détail

ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES)

ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES) ENONCE : La formule de Black et Scholes sur les marchés financiers (Niveau terminale S ou ES) Depuis sa publication en 1973, la formule de Black et Scholes s est imposée comme la référence pour la valorisation

Plus en détail

Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan

Chapitre 15 Options et actifs conditionnels. Plan Chapitre 15 Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d option Modèle

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

Modèles structurels. Chapitre 4. 4.1 Modèle de Merton

Modèles structurels. Chapitre 4. 4.1 Modèle de Merton Chapitre 4 Modèles structurels 4.1 Modèle de Merton L idée principale de modèles structurels est basée sur l article fondateur de Merton [?], où un défaut est provoqué quand une entreprise n arrive pas

Plus en détail

3- Valorisation d'options

3- Valorisation d'options 3- Valorisation d'options Valorisation des options classiques : options d'achat (call) options de vente (put) Une pierre angulaire de la finance moderne : décisions d'investissement (options réelles) conditions

Plus en détail

Dérivés Financiers Evaluation des options sur action

Dérivés Financiers Evaluation des options sur action Dérivés Financiers Evaluation des options sur action Owen Williams Grenoble Ecole de Management > 2 Définitions : options sur actions Option : un contrat négociable donnant le droit d acheter ou vendre

Plus en détail

Document d implémentation - Logiciel ModAFi. Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO

Document d implémentation - Logiciel ModAFi. Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO - Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO Grenoble, 11 juin 2012 Table des matières 1 Avant-propos 3 2 Présentation de l architecture du logiciel 3 2.1 Core..........................................

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES DE L UNIVERSITE DE LAUSANNE. Professeur Matière Session. A. Ziegler Principes de Finance Automne 2005

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES DE L UNIVERSITE DE LAUSANNE. Professeur Matière Session. A. Ziegler Principes de Finance Automne 2005 ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES DE L UNIVERSITE DE LAUSANNE Professeur Matière Session A. Ziegler Principes de Finance Automne 2005 Date: Lundi 12 septembre 2005 Nom et prénom:... Note:... Q1 :...

Plus en détail

Présentation des formations à l étranger

Présentation des formations à l étranger NEK-Math App Présentation des formations à l étranger Présentation des formations à l étranger Mardi 11 Octobre 2005 deux séances aux horaires de petites classes Le lieu sera précisé par mail 1 NEK-Math

Plus en détail

B&S Pratique et limites

B&S Pratique et limites B&S Pratique et limites Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) Université Paris 1 Décembre 2008 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (Université Paris BS 1) Pratique et limites

Plus en détail

NOTICE MÉTHODOLOGIQUE SUR LES OPTIONS DE CHANGE

NOTICE MÉTHODOLOGIQUE SUR LES OPTIONS DE CHANGE NOTICE MÉTHODOLOGIQUE SUR LES OPTIONS DE CHANGE Avec le développement des produits dérivés, le marché des options de change exerce une influence croissante sur le marché du change au comptant. Cette étude,

Plus en détail

Couverture dynamique des produits dérivés de crédit dans les modèles à copules

Couverture dynamique des produits dérivés de crédit dans les modèles à copules Couverture dynamique des produits dérivés de crédit dans les modèles à copules David Kurtz, Groupe de Recherche Opérationnelle Workshop Copula in Finance, 14 mai 2004, ENS Cachan Sommaire 1 Le marché des

Plus en détail

La méthode Monte-Carlo. DeriveXperts. 19 mai 2011

La méthode Monte-Carlo. DeriveXperts. 19 mai 2011 19 mai 2011 Outline 1 Introduction Définition Générale Génération de nombre aléatoires Domaines d application 2 Cadre d application Méthodologie générale Remarques Utilisation pratique Introduction Outline

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Correction de l exercice 2 du cours Gestion de patrimoine : «Analyse d un produit structuré à capital garanti»

Correction de l exercice 2 du cours Gestion de patrimoine : «Analyse d un produit structuré à capital garanti» Correction de l exercice 2 du cours Gestion de patrimoine : «Analyse d un produit structuré à capital garanti» Question 1 : représenter graphiquement le taux de rentabilité du produit à capital garanti

Plus en détail

Produits financiers dérivés. Octobre 2007

Produits financiers dérivés. Octobre 2007 Produits financiers dérivés Octobre 2007 Plan Généralités sur les produits dérivés Les contrats Forward Les contrats Futures Les swaps Les options «plain vanilla» Les options exotiques Page 2 Généralités

Plus en détail

Estimation du coût de l incessibilité des BSA

Estimation du coût de l incessibilité des BSA Estimation du coût de l incessibilité des BSA Jean-Michel Moinade Oddo Corporate Finance 22 Juin 2012 Incessibilité des BSA Pas de méthode académique reconnue Plusieurs méthodes «pratiques», dont une usuelle

Plus en détail

Les options classiques

Les options classiques Les options classiques des options sur contrat : 1) Spéculation : Les options sur contrat est un remarquable instrument de spéculation permettant de spéculer sur la hausse ou la baisse du prix du contrat

Plus en détail

Exercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible»

Exercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible» Exercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible» Quand la trésorerie d une entreprise est positive, le trésorier cherche le meilleur placement pour placer les excédents.

Plus en détail

Finance des matières premières (2) Les options, marchés complets, AOA

Finance des matières premières (2) Les options, marchés complets, AOA Finance des matières premières (2) Les options, marchés complets, AOA Joël Priolon - 12 mars 2014 Définition générale Une option est un contrat financier qui lie : l émetteur de l option et le détenteur

Plus en détail

Les techniques des marche s financiers Exercices supple mentaires

Les techniques des marche s financiers Exercices supple mentaires Les techniques des marche s financiers Exercices supple mentaires Exercice 1 : le suivi d une position de change... 2 Exercice 2 : les titres de taux... 3 Exercice 3 : mathématiques et statistiques...

Plus en détail

Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options

Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options 1 Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options Semaine «éléments finis», ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME) 2 Plan Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes

Plus en détail

Intégrale stochastique

Intégrale stochastique Intégrale stochastique Plan L intégrale stochastique générale Intégrale de Wiener Exemples Processus d Itô Formule d Itô Formule de Black & Scholes Le processus B est un mouvement Brownien et { Ft B,t

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo

Simulations de Monte Carlo Simulations de Monte Carlo 2 février 261 CNAM GFN 26 Gestion d actifs et des risques Gréory Taillard GFN 26 Gestion d actifs et des risques 2 Biblioraphie Hayat, Sere, Patrice Poncet et Roland Portait,

Plus en détail

Stratégies sur options et Pricer d'options

Stratégies sur options et Pricer d'options Stratégies sur options et Pricer d'options Définition Une option (ou Warrant) est un contrat qui confère à son porteur le droit d acheter ou de vendre un sous-jacent (action, obligation, indice synthétique,

Plus en détail

Couverture et calcul de Malliavin

Couverture et calcul de Malliavin Couverture et calcul de Malliavin L. Decreusefond TPT L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 1 / 1 Modèle binomial L. Decreusefond (TPT) Couverture et calcul de Malliavin 2 / 1 Modèle

Plus en détail

Contrat didactique Finance stochastique

Contrat didactique Finance stochastique Contrat didactique Finance stochastique Les compétences de ce cours sont à placer dans le contexte général de l appropriation de la notion de modèle mathématique et de son utilisation pratique en gestion

Plus en détail

Question 1: Analyse et évaluation des obligations

Question 1: Analyse et évaluation des obligations Question 1: Analyse et évaluation des obligations (48 points) M. Smith, responsable des investissements obligataires dans une société de conseil en investissements, a analysé la courbe des taux des obligations

Plus en détail

Examen Gestion d Actifs

Examen Gestion d Actifs ESILV 2012 D. Herlemont Gestion d actifs Examen Gestion d Actifs 2 pt 1. On considère un portefeuille investi dans n actifs risqués, normalement distribués d espérance en excès du taux sans risque µ =

Plus en détail

LISTE D EXERCICES 2 (à la maison)

LISTE D EXERCICES 2 (à la maison) Université de Lorraine Faculté des Sciences et Technologies MASTER 2 IMOI, parcours AD et MF Année 2013/2014 Ecole des Mines de Nancy LISTE D EXERCICES 2 (à la maison) 2.1 Un particulier place 500 euros

Plus en détail

Examen Mesures de Risque de Marché

Examen Mesures de Risque de Marché ESILV 2012 D. Herlemont Mesures de Risque de Marché I Examen Mesures de Risque de Marché Durée: 2 heures. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées. 2 pt 1. On se propose d effectuer

Plus en détail

Options et Volatilité (introduction)

Options et Volatilité (introduction) SECONDE PARTIE Options et Volatilité (introduction) Avril 2013 Licence Paris Dauphine 2013 SECONDE PARTIE Philippe GIORDAN Head of Investment Consulting +377 92 16 55 65 philippe.giordan@kblmonaco.com

Plus en détail

MEMOIRE Présenté pour l obtention du diplôme de : MAGISTER EN MATHEMATIQUES

MEMOIRE Présenté pour l obtention du diplôme de : MAGISTER EN MATHEMATIQUES REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEURE ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE MENTOURI - CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Plus en détail

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009

Projets scilab. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 02 Avril 2009 Projets scilab L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 2 Avril 29 REMARQUE: quelques résultats importants concernant le théorème central limite et les intervalles de confiance sont rappelés dans la

Plus en détail

Calibration de Modèles et Couverture de. Peter TANKOV Université Paris VII tankov@math.jussieu.fr

Calibration de Modèles et Couverture de. Peter TANKOV Université Paris VII tankov@math.jussieu.fr Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés Peter TANKOV Université Paris VII tankov@math.jussieu.fr 2 Table de matières 1 Les marchés de produits dérivés 7 1.1 Historique...............................

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Les Variable Annuities sous la directive Solvabilité II

Les Variable Annuities sous la directive Solvabilité II Les Variable Annuities sous la directive Solvabilité II Mémoire présenté le vendredi 10 juin 2011 par Clément Schmitt clement.schmitt@fixage.com Introduction Solvabilité II impose des fonds propres réglementaires

Plus en détail

Introduction aux Produits Structurés

Introduction aux Produits Structurés QUATRIEME PARTIE Introduction aux Produits Structurés Mai 2012 Sommaire Sect 1 Le concept de Produit Structuré Définition Historique Les clients et leur problématique d investissement Sect 2 Introduction

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année)

Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Tutorat 3 de Mathématiques (2ème année) Marches aléatoires et marchés financiers Groupe 4 tuteur : J. Bouttier 8 février 2010 Résumé Depuis la thèse de Bachelier, les marchés nanciers ont constitué un

Plus en détail

Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés

Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés Peter TANKOV Université Paris VII tankov@math.jussieu.fr Edition 28, dernière m.à.j. le 1 mars 28 La dernière version de ce document est disponible

Plus en détail

Chapitre 9 Le modèle Cox-Ross-Rubinstein

Chapitre 9 Le modèle Cox-Ross-Rubinstein Chapitre 9 Le modèle Cox-Ross-Rubinstein Considérons un actif valant S 0 à la période initiale et qui, à chaque période, peut être haussier (et avoir un rendement u) avec une probabilité p ou baissier

Plus en détail

Cours Gestion de patrimoine. Les produits structurés

Cours Gestion de patrimoine. Les produits structurés Cours Gestion de patrimoine Les produits structurés Plan Introduction Importance de la garantie pour les épargnants Utilité des fonds garantis Méthodes de gestion des fonds garantis Méthode du coussin

Plus en détail

Séminaire Valorisation des Instruments Complexes 09/03/2012

Séminaire Valorisation des Instruments Complexes 09/03/2012 Du Bon Usage de la Valorisation Eric Benhamou Séminaire Valorisation des Instruments Complexes 09/03/2012 Plan Méthode de valorisation Problématiques actuelles Analyse de Cas Réconciliation avec d autres

Plus en détail