Polytech Paris Sud 1

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2 I INTRODUCTION : La matèe dans tous ses états... 5 I- Dfféents types d nteactons... 5 I-- Lason onque... 5 I-- Lason de Van De Waals... 6 I--3 Lason hydogène... 6 I--4 Lason covalente... 6 I--5 Lason métallque... 6 I--6 La foce de épulson... 7 I- Cohéson dans les soldes... 8 I-- Gaz aes... 8 I-- Systèmes d ons... 8 I--3 Emplements compacts... 8 I-3 Dfféents types d ode... 9 I-3-Potée de l ode... 9 I-3-- Ode à coute potée... 9 I-3-- Ode à longue potée... 0 I-3- Exemples de stuctues odonnées à longue potée... 0 I-3-- Stuctues cstallnes péodques... 0 I-3-- Stuctues odonnées non péodques... I-3-3 Matéaux dans un état d ode ntemédae... I-3-3- Les polymèes... I-3-3- Les cstaux lqudes... II LA SYMETRIE... 4 II- Syméte d oentaton... 4 II-- Défnton... 4 II-- Quelques exemples fondamentaux... 5 II--- Les otatons dscètes (notées An)... 5 II--- Les otonvesons dscètes (notées A n )... 5 II---3 L nveson (notée C)... 5 II--3 Repésentaton géométque: la pojecton stééogaphque... 6 II--4 Goupes Ponctuels... 7 II--4- Défnton... 7 II--4- Nomenclatue... 7 II--5 Impotance de la syméte en scence... 7 II--5- Le pncpe de Cue... 7 II--5- Chalté... 7 II- Syméte de poston... 8 II-- Tanslaton... 8 II-- Composton avec les symétes d oentaton... 8 II--- Réflexons à glssement... 8 II--- Rotatons hélcoïdales... 8 Annexe... 0 Composton d une otaton A et d un mo pependculae... 0 Composton de deux mos Composton de deux otatons Cas des otoéflexons... 0 III RESEAU ET CRISTAL...

3 III- Réseau... III-- Défnton... III-- Noton de malle... III--- Malle Pmtve et Malle Multple :... III--- Calculs dans la malle... 3 III---3 Cellule de Wgne-Setz... 3 III--3 Noton de Rangées et de plans étculaes... 3 III--3- Rangées étculaes... 3 III--3- Plans étculaes... 4 III--4 Symétes ntedtes... 4 III--5 Classfcaton des éseaux... 5 III--5- Classes de syméte... 5 III--5- Systèmes de Bavas... 5 III--5-3 Réseaux de Bavas... 5 III- Cstal et Stuctue... 7 III- Cstal et Stuctue... 8 III-- Défnton... 8 III-- Syméte et Goupe d espace... 8 III--- Défnton et nomenclatue... 8 III--- Détemnaton du goupe d espace... 9 III---3 Systèmes cstallns... 9 III--3 Tables ntenatonales... 9 III--4 Résumé... 9 IV RESEAU RECIPROQUE... 3 IV- Défnton... 3 IV- Popétés... 3 IV-- : Relaton avec le éseau dect... 3 IV-- Plans étculaes IV--- Nomale aux plans et dstance nteétculae IV--- Densté de nœuds IV--3 Rangées étculaes IV-3 Calculs dans le éseau dect et le éseau écpoque IV-3- Dstances nteétculaes et volume de malle IV-3- Cas des malles non pmtves- Règles d exstence pou les ndces h,k,l IV-3-- Exemple d un éseau C centé IV-3-- Cas des éseaux I et F IV-4 Zones de Blloun IV-4- Ogne de leu mpotance IV-4- Défnton IV-4-3 Constucton des zones de Blloun V INTERACTION RAYONS X-MATIERE V- Intoducton V- Poducton des ayons X V-- Les tubes et les anodes tounantes V--- Fonctonnement V--- Specte

4 V-- Les synchotons V--- Hstoque V--- Specte... 4 V-3 L nteacton ayons X-matèe... 4 V-3- Absopton... 4 V-3- Réfacton V-3-3 Dffuson V-3-3- Noton de secton effcace V-3-3- Dffuson élastque de Thomson V Dffuson nélastque de Compton V Dffuson magnétque VI DIFFRACTION DES RAYONS X PAR UN CRISTAL VI- Rappels d optque VI-- Inteféences à deux ondes, cas de Faunhofe VI-- Inteféences à N ondes : cas du éseau VI- Dffuson des ayons X pa un atome : facteu de dffuson atomque VI-- Fome classque VI-- Facteu de dffuson anomal... 5 VI-3 Dffuson pa un cstal péodque pafat... 5 VI-3- Facteu de stuctue... 5 VI-3- Facteu de fome Condtons de Laue... 5 VI-3-3 Relaton de Bagg... 5 VI-3-4 Constucton d Ewald VI-3-5 Popétés du facteu de stuctue VI-3-5- Expesson généale VI-3-5- Cas des malles non pmtves- Extnctons dues au mode de éseau VI Cas des opéatons de syméte à glssement Extnctons dues au motf VI Lo de Fedel VII CALCULS D INTENSITE VII- Dffuson pa une poude VII-- Intéêt VII-- Réseau écpoque et ndces de aes d une poude VII--3 Intensté dffactée VII- Intensté ntégée dans le cas d un monocstal VII-3 Pouvo dffusant VII-4 Dffacton pa un cops de stuctue quelconque VII-4- Fome généale VII-4- Quelques exemples VII-4-- Cas des gaz VII-4-- Cas des lqudes VII-4--3 Cas des cstaux péodques VIII VIBRATIONS DE RESEAUX 58 XIX DEFAUTS DANS LES RESEAUX 63 BIBLIOGRAPHIE

5 I INTRODUCTION : La matèe dans tous ses états Depus les phlosophes et mathématcens gecs, le débat concenant la stuctue de la matèe en «patcules dscètes» état lancé. L dée d atome n a été éellement clafée qu à la fn du sècle dene (Ruthefod, Thomson pus Boh ). L aangement tdmensonnel des atomes en matèe condensée ans que la mse en œuve d outls comme la dffacton pou caactése cet ode est le sujet de ce cous. La themodynamque classe les états de la matèe en tos phases : gaz, lqude, solde, selon les condtons de tempéatue et de pesson. Un exemple de dagamme d équlbe ente phases est donné fgue I-. Le passage d une égon du dagamme à une aute, consttue une tanston de phase. En phase gazeuse, les éléments consttuant le système sont dans un état de désode pesque total ca les nteactons ente patcules ne se font patquement pas sent (cas lmte du gaz pafat sans nteacton). En effet, le volume dont dspose chaque patcule (atome ou molécule) est gand, de l ode de V m =30Å 3 (Å=0.nm). S la pesson augmente, les patcules en se appochant vont ente en nteacton (V m =3Å 3 en phase lqude). Cec condut à une mse en ode patelle (lqude) ou totale (solde). L effet de la tempéatue est contae. Quand la tempéatue augmente, l agtaton themque, c est à de le teme d entope engendant le désode, augmente. Pesson Coube de fuson Coube de vaposaton Lqude Solde Gaz Coube de Sublmaton Tempéatue Fgue I-: Repésentaton schématque du dagamme de phases de l eau I- Dfféents types d nteactons Afn de ésoude le poblème à N cops consstant à étude l équlbe d atomes soums à des nteactons multples, on ntodut natuellement la noton smplfcatce de lason. Une gande pate des foces d nteacton attactves ntevenant dans la matèe ont une ogne électostatque (lason onque, lason de Van De Waals, lason hydogène). Les autes sont d ogne puement quantque (lason covalente ou lason métallque). I-- Lason onque C est typquement le cas du Chloue de Sodum (Na + Cl - ). Dans un système consttué de deux types d atomes de natue et donc d électonégatvté dfféente, des électons peuvent 5

6 ête tansféés d un atome à l aute. L nteacton attactve ente les atomes ans onsés est une foce à longue potée : e F = 4πε 0 9 L énege potentelle est de l ode de 5eV ( ev =.60 J ), pou des dstances de quelques angstöm, caactéstques des soldes. I-- Lason de Van De Waals Ce type de lason ntevent dans les composés tels que les gaz aes (A ). En effet, quand l atome possède une stuctue électonque stable, les électons n ont tendance n à mge (lason onque), n à se mette en commun (lason covalente), seules les nteactons dpôledpôle de Van De Waals sont possbles. Cet effet appaaît au hasad des fluctuatons de densté électonque autou de l atome. Le champ électque spontanément céé pa ces fluctuatons, ndut un dpôle su les atomes vosns, ce qu condut à une foce attactve : F 7 3 Il s agt d une foce à tès coute dstance dont l énege est de quelques0 ev pou des dstances de l ode de l angstöm. I--3 Lason hydogène Il s agt d une nteacton ente deux atomes onsés négatvement va un atome d hydogène chagé postvement. Cette foce ntevent sutout dans le cas d atomes tès électonégatfs : F, O, N. Elle est fondamentale dans le cas de l eau et de tous les systèmes hydatés comme les systèmes bologques. L énege d une telle lason est de l ode de 0.eV I--4 Lason covalente Elle consste à patage un électon ente deux atomes. L obtale moléculae ssue du mélange atomque possède des nveaux d énege lants de plus basse énege que ceux des obtales atomques ntales (vo fgue I-3). Dans le cas où les atomes ntaux ont des nveaux électonques non satués, l est énegétquement favoable de fome une lason covalente. Les lasons covalentes sont des lasons fotes attactves (de l ode de 7eV pou le damant), et généalement dectonnelles (la fome des obtales est généalement ansotope ; obtale sp 3 du cabone ). Enege Obtale atomque Obtale moléculae Obtale atomque Fgue I-3 : Gan énegétque los de la fomaton d une lason covalente I--5 Lason métallque Il s agt d une lason collectve médée pa les électons dts de conducton fomant un «gaz d électons lbes». L énege d une telle lason est de l ode de ev. 6

7 Lason H (e) Fgue I- : Pncpaux types de foces dans les soldes. (a) Les atomes neutes lés fablement pa la lason de Van De Waals. (b) Les atomes échangent des ons et foment une lason onque. (c) Les électons de conducton sont lbes dans la lason métallque pa appot au éseau d ons. (d) Intepénétaton des nuages électonques dans une lason covalente. (e) La lason hydogène le des ons fotement électonégatfs, va un ons H +. I--6 La foce de épulson La foce de épulson n est pas d ogne nucléae. Son nfluence est sensble su des dstances caactéstques de l ode de l angstöm, ben plus gande que celle du noyau (Fm =0-4 m). C est le pncpe de Paul qu est à l ogne de cette foce de épulson, ntedsant que deux électons soent dans le même état quantque. Conséquence decte : deux atomes ne peuvent 7

8 se supepose pusque leus nuages électonques ne peuvent se ecouv. Cette mpénétablté de la matèe, est modélsée pa une foce épulsve dont l énege potentelle tend ves l nfn quand la dstance ente patcule dmnue ves zéo : B V ( ) = Dans le cas de patcules chagées, la fome de l énege (pou des dstances non nulles) est plutôt : / ρ V ( ) = Ae I- Cohéson dans les soldes La ésultante de toutes les nteactons pésentes dans le système donne leu à une mse en ode qu dépend évdemment du type d nteacton mas également du nombe de patcules en nteacton. I-- Gaz aes Pou ses systèmes, l énege potentelle totale pend la fome de Lennad-Jones : α α 6 V = C ( ) ( ) qu pésente un mnmum stable autou de 3-4Å (Fgue I-4) V() 0 5 (Å) Fgue I-4 : Repésentaton du potentel de Lennad-Jones. I-- Systèmes d ons Pou des systèmes d ons (dstants de j ), l énege potentelle totale est du type : q q j / ρ V = Ae ± ( ) 4πε j 0 j j Dans le cas d une épatton de chage péodque (cas classque des soldes) et undmensonnelle, le calcul de l équlbe fat nteven une constante dte constante de Madelung : α = ± j pj avec pj = j / a, a étant le paamète de malle. Sans pécauton de calcul, cette sée ne convege pas. La méthode d Evjen qu consste à appae les chages en paes neutes, pemet d obten la convegence. I--3 Emplements compacts En généal, la echeche de l aangement tdmensonnel d un système de N atomes en nteacton peut se amene à un poblème géométque d emplement compact de sphèes 8

9 dues. A deux dmensons la soluton est un éseau hexagonal. A tos dmensons, la ésoluton exacte n est pas tvale. Elle vent d ête démontée pa T. Hales (998). Elle coespond à l emplement de plans compacts hexagonaux. Il exste deux types d emplement : selon une lo ABAB ou une lo ABCABC (vo fgue I-5). Cec donne leu à deux stuctues tdmensonnelles ben connues : la stuctue hexagonale compacte ABAB (stuctue du Co, Zn ) et la stuctue cubque faces centées ABCABC (stuctue de la plupat des métaux N, Cu ). En éalté, d autes stuctues mons compactes appaassent dans la natue qu dévent de la pse en compte plus subtle des nteactons éelles et de leu ansotope. NB : La compacté se défnt comme le appot du volume des objets emplés su le volume total de la malle. Fgue I-5 : Dfféents types d emplements compacts. I-3 Dfféents types d ode Ente le gaz pafat et les stuctues odonnées, l exste toute une gamme d aangements atomques ou moléculaes possédant des degés d ode extêmement vaés. On peut néanmons classe les systèmes en deux catégoes selon que l ode est à coute potée ou à longue potée. I-3-Potée de l ode I-3-- Ode à coute potée Losqu on consdèe la pobablté qu l y at un atome à une dstance, losqu l y en a un à l ogne, on s apeçot que pou les lqudes cette pobablté pésente un (ou pluseus) maxma pou une dstance de l ode du damète de l atome (vo fgue I-6). Cela coespond à un ode à coute dstance ente pemes vosns tadusant des coélatons de poston ente atomes. Ce type d ode caactéstque des lqudes peut se etouve dans les soldes amophes obtenus pa tempe d un lqude. 9

10 (a) (b) Fgue I-6 : (a) Ode à coute dstance dans un lqude. (b) Dans ce lqude, pobablté g() de touve un atome à une dstance d un atome ogne. I-3-- Ode à longue potée Dans l état solde, la plupat des systèmes pésentent un ode à longue potée. La poston et l oentaton de l ensemble des consttuants du système sont pafatement détemnés. Généalement l ode à longue potée condut à une stuctue péodque : le cstal. I-3- Exemples de stuctues odonnées à longue potée I-3-- Stuctues cstallnes péodques -Le cstal pafat : Le cstal est la épétton péodque selon un éseau d un «motf». Le motf peut ête consttué d un atome unque (tels que Cu, Ag, Au ) ou d un ensemble moléculae complexe (molécules bologques pouvant compte jusqu à 0 5 atomes ). Le cstal coespond à un pavage égule de paalléléppèdes dentques appelés malles. La fgue I-7 epésente un exemple de stuctue cstallne : le chloue de césum (CsCl). Le éseau est cubque smple et le motf est Cs et Cl dstants d une deme-dagonale. Fgue I-7 : Stuctue du chloue de césum CsCl. - Le cstal éel : Dans la éalté, les cstaux pafats n exstent pas ca la synthèse cstallne engende systématquement des défauts. Pluseus types de défauts ntevennent dans les matéaux (fgue I-8). Les défauts ponctuels : lacunes (absence d un atome), atome ntesttel, mpuetés. Les défauts lnéaes : dslocatons (nseton patelle d un plan atomque dans un éseau pafat). Les défauts planaes : fautes d emplement, pésence de la suface. 0

11 En fat, l est généalement tès dffcle d obten un monocstal. La pésence d mpuetés dans le système engende des gemes. Ces gemes coespondent à des petts gans cstallsés (cstalltes) dont l oentaton cstallogaphque est aléatoe. On obtent alos, une poude ou un polycstal (fgue I-9). (a) (b) (c) Fgue I-8 : Repésentaton de dves types de défauts : (a) une lacune ; (b) une dslocaton ; (c) un jont de gan consttué de dslocatons. Fgue I-9 : Polycstal

12 I-3-- Stuctues odonnées non péodques Il exste des systèmes où l ode à gande potée ne condut pas à une stuctue péodque. C est le cas des quascstaux, systèmes pésentant des symétes non autosées pou un cstal péodque. Ils ne peuvent donc pas ête décts pa un pavage égule de paalléléppèdes dentques. Cependant, l est possble de pave l espace quascstalln pa pluseus types de bques élémentaes (pavage de Penose fgue I-0). Les quascstaux ont été découvet dans des allages d alumnum pa Shechtman et al en 984 et sont utlses ndustellement pou leus popétés d antadhéson. Fgue I-0 : Pavage de Penose à deux dmensons, constut à pat de deux losanges dfféents. I-3-3 Matéaux dans un état d ode ntemédae I-3-3- Les polymèes Les polymèes sont des composés cabonés consttués de chaînes de N monomèes (N, de l ode de 0000). Les caoutchoucs, le nylon mas également le polyéthylène sont des polymèes couamment fabqués et utlsés dans l nduste pou leu légèeté et leus popétés mécanques (plastcté ). A l état solde, ls ne sont pas totalement cstallsés (à 80% au maxmum). De gandes égons amophes coexstent avec les zones cstallsées. L ogne de cet effet est la pésence de étculatons ou d enchevêtements, c est-à-de de lasons ou de pont d accochage, ente chaînes polymèes. Cec empêchent ou fene la mse en ode totale des chaînes los de la soldfcaton. I-3-3- Les cstaux lqudes Les cstaux lqudes pésentent un ode ntemédae ente le lqude et le solde cstalln. Ce sont des systèmes consttués de molécules tès ansotopes (bâtonnets, dsques ). Aux degés de lbeté de poston s ajoutent donc les degés de lbetés d oentaton. Pluseus types d ode peuvent s nstalle : un ode postonnel mas également un ode oentatonnel. En foncton de la tempéatue (cstal lqude themotope) ou de la concentaton (cstal lqude lyotope : savon ), ces systèmes peuvent pésente toute une successon de phases fasant nteven dfféents odes (fgue -).

13 Fgue I- : Repésentaton de la poston et de l oentaton de molécules ansotopes dans les phases cstallnes lqudes. (a) Phase lqude sotope : désode oentatonnel et postonnel. (b) Phase nématque : ode oentatonnel des molécules selon un «decteu» n. Les centes de gavté estent désodonnés. (c) Phase smectque A : les molécules oentées se mettent en couches. Il y a un ode postonnel à longue potée dans la decton des couches mas un ode lqude au sen de la couche. (d) Phase smectque C : smlae au smectque A mas la nomale aux couches est nclnée pa appot à l oentaton du decteu c est-à-de l oentaton des molécules. 3

14 II LA SYMETRIE «La syméte est un aspect fascnant de la natue, mas auss un concept scentfque fondamental qu a envah les mathématques, la physque, la chme et jusqu à la bologe C est ans l étude de la syméte spato-tempoelle des los de la physque qu a amené Ensten à fomule la théoe de la elatvté, et Dac à péde l exstence de l antmatèe.» (D apès J. Svadèe, La syméte). Dans le domane des matéaux et de la cstallogaphe, l mpotance de la syméte est mmense. Elle ntevent non seulement dans l aspect mcoscopque lé à l aangement cstallogaphque mas auss dans les popétés physques macoscopques (clvage, feoélectcté, dffacton ) qu en découlent. En effet, les popétés physques d un cstal dépendent de la decton d obsevaton et sont donc ansotopes. Il appaaît cependant des dectons équvalentes selon lesquelles, les popétés sont équvalentes. Les opéatons mathématques qu elent les dectons équvalentes sont des opéatons de syméte d oentaton. Elles défnssent la noton de goupe ponctuel. On les dstngue des opéatons de syméte de poston qu agssent su les ponts et défnssent le goupe d espace. Le goupe d espace est l outl pou déce les symétes mcoscopques des cstaux, tands que le goupe ponctuel (dévé du pécédent) déct la syméte des popétés macoscopques du cstal. II- Syméte d oentaton II-- Défnton Les opéatons de syméte d oentaton sont des opéatons qu lassent nvaante une fgue fne. Ce sont des sométes, tansfomatons qu consevent les dstances. A deux dmensons, les opéatons de syméte d oentaton sont unquement les otatons et les éflexons pa appot à une dote. A tos dmensons, l s agt des otatons et des otonvesons : otatons suves d une nveson pa appot à un pont. Démonstaton : Sot M, la matce assocée à une opéaton de syméte : a a a3 M= a a a3 a3 a3 a33 M est une sométe donc véfe oblgatoement : t M.M=. Ce qu mplque : a + a + a3 = et detm=± = a a 0 S le détemnant est +, la tansfomaton est dte «decte» ou «pope», s l est, la tansfomaton est dte «nvese» ou «mpope». - A deux dmensons, les condtons ( a + a = ) pemettent de pose : a = cos θ, a = snθ, a = cosα, a = snα. La denèe condton mplque : π α = θ ±. 4

15 On monte donc ans que les seules sométes sont des otatons d angle θ : des éflexons pa appot à une dote : cosθ snθ snθ cosθ cosθ snθ snθ cosθ - A tos dmensons, on utlse la condton su le détemnant. Elle mpose que les tos valeus popes de la tansfomaton véfent : λ λ λ = 3 ± θ θ Deux sont complexes conjuguées ( e et e ) et la tosème est éelle. Les solutons sont alos : Det M= : tansfomaton otaton d angle θ DetM=- : otoéflexon : otaton d angle θ et syméte mo pependculae à l axe de otaton. Cette opéaton peut se amene à une otonveson. ou II-- Quelques exemples fondamentaux II--- Les otatons dscètes (notées n) π Pa la sute nous consdèeons exclusvement les otatons dscètes d angle θ = avec n n ente, ode de la otaton (n pouvant valo dans le cas des fgues contnues). Elles sont utles pou déce des fgues fnes smples dentques à elles-mêmes apès n otatons. cosθ snθ 0 snθ cosθ θ=π/3 O II--- Les otonvesons dscètes (notées n ) π Il s agt de otatons dscètes d angle θ = suves d une nveson. n cosθ snθ 0 snθ cosθ S II---3 L nveson (notée ou C)

16 II---3 Les éflexons ou mos (noté M) O 0 0 II--3 Repésentaton géométque: la pojecton stééogaphque Une epésentaton patque des opéatons de syméte d oentaton est la pojecton stééogaphque. Consdéons l ensemble des dectons équvalentes pa une opéaton de syméte. L ntesecton de ces dectons avec une sphèe de ayon unté est une descpton smple de l sométe. Les ponts ntesectons sont les pôles sphéques (cecle su la fgue II-a). Consdéons la dote jognant le pôle sud de la sphèe avec un pôle sphéque. L ntesecton ente cette dote et le cecle équateu consttue un pôle stééogaphque (cox su la fgue II-a). La epésentaton stééogaphque est la epésentaton du cecle équateu et de tous les pôles stééogaphques assocés à une opéaton de syméte (Fgue II-b). Pou obten les pôles stééogaphques, on tace le cecle équatoal pus à pat de l ogne des azmuts (OC), on epèe le pont A tel que l angle (COA) sot consevé pa appot à la epésentaton sphéque. En effet, la pojectons stééogaphque conseve les angles et les dstances. On effectue ensute un abattement des pôles S, N et P pa otaton autou de OA. On obtent alos S,N et P. Le pôle stééogaphque T est l ntesecton de PS avec OA. Pa conventon, s le pôle sphéque se touve su l hémsphèe nod, le pôle stééogaphque sea noté pa une cox. S le pôle sphéque est su l hémsphèe sud, on epésentea le pôle stééogaphque (constut à pat de la dote ssue du pôle nod) pa un cecle. Su une pojecton stééogaphque, l opéaton de syméte popement dte est epésentée pa l ensemble de ses ponts nvaants (l axe pou une otaton ; le plan, pou une éflexon). C O ϕ N ρ T x P A N P ρ O T x ϕ A C S S (a) (b) Fgue II- : a) Pôle sphéque P epéé pa les angles ρ (nclnason) et ϕ (azmut). (OC) est l ogne des azmut. b) Constucton du pôle stééogaphque T à pat du pôle sphéque P. 6

17 II--4 Goupes Ponctuels II--4- Défnton Consdéons l ensemble des opéatons de syméte lassant nvaante une fgue fne. Cet ensemble doté d une lo de composton ntene, fome un goupe. Un tel goupe est appelé goupe ponctuel. La noton de goupe ponctuel est extêmement mpotante pou ce qu concene les popétés de syméte macoscopque (popétés physques d un cstal). Pa conte elle n est pas adaptée à la descpton des popétés de syméte mcoscopques du cstal (aangement cstallogaphque ). Pou déce les symétes du cstal on dot fae appel aux goupes d espace. II--4- Nomenclatue Les symboles utlsés pou la dénomnaton des goupes ponctuels sont : n pou une otaton n ; n pou une otonveson n ; m pou un mo M Dans les conventons ntenatonales (notaton d Hemann-Maugn), les goupes ponctuels sont détemnés pa tos symboles : - Le peme symbole : Nom de l élément de syméte de plus haut degé de syméte. Cet élément de syméte est epéé pa une decton (l axe nvaant pou une otaton ; la nomale pou un mo). Cette decton défnt l axe pmae. - Le second : Nom de l opéaton de syméte de degé nféeu. Il défnt l axe secondae. - Le tosème symbole : Nom de l opéaton de syméte de degé nféeu, s elle n est pas équvalente aux pécédentes. Il défnt l axe tetae. (S ce dene est équvalent à l axe secondae, on ne note pas le 3 ème symbole) NB : Le degé de syméte d une opéaton coespond au nombe d équvalents dans sa epésentaton stééogaphque. Pa exemple, une éflexon a un degé de syméte. II--5 Impotance de la syméte en scence II--5- Le pncpe de Cue Le goupe ponctuel est un outl péceux pou déce les symétes macoscopques d un cstal et notamment les symétes de ses popétés physques. Moyennant la connassance du goupe ponctuel d un cstal et gâce au pncpe de Cue, l est pa alleus possble de pévo l exstence de cetanes popétés comme la feoélectcté ou la pézoélectcté. En effet, le pncpe de Cue pévot que : «Les symétes des causes sont nclues dans celles des effets» ou plus smplement «l effet est plus symétque que la cause». Ans s l on consdèe un cstal de goupe ponctuel centosymétque (c est-à-de contenant l élément de syméte nveson), celu-c ne poua pas pésente des popétés de feoélectcté. L effet, c la feoélectcté, possède la syméte d un vecteu M (et ne content donc pas l élément nveson). La cause, c le cstal centosymétque, possède un cente d nveson. L effet seat mons symétque que la cause ce qu est contae au pncpe de Cue. II--5- Chalté Un objet est chal losqu l n est pas supeposable à son mage dans un mo. L exemple type est la man. Deux objets chaux mages l un de l aute sont dts «dot» et «gauche». Ils foment une pae d énantomophes. Cette noton est essentelle en scence ca ben que les los de la physque, chme pésentent une syméte gauche-dote, de nombeux cops sont chaux. 7

18 II- Syméte de poston Les symétes de poston agssent su des ponts et lassent nvaante une fgue nfne (un cstal pa exemple). II-- Tanslaton C est une opéaton qu tansfome un pont défn pa un vecteu en un pont défn pa ' tel que: ' = + t, t vecteu de tanslaton. L ensemble des tanslatons fome un goupe. t t t t II-- Composton avec les symétes d oentaton La composton d une opéaton de tanslaton et d une opéaton de syméte d oentaton peut génée des opéatons de syméte nouvelles : éflexons à glssement et axe hélcoïdaux. II--- Réflexons à glssement Il s agt d une opéaton mo (M) suv mmédatement d une tanslaton t. Toutes les tanslatons ne sont pas autosées ca la composton (M,t) avec elle-même dot lasse le système nvaant (vo démonstaton). L ensemble des éflexons à glssement conventonnelles pou déce des stuctues cstallnes est donné tableau II-. Dém. : La composton de (M,t) avec elle même dot lasse le système nvaant. D où (M,t).(M,t)=(E,t) mpose que t sot une tanslaton T du goupe des tanslatons. Cec lmte les éflexons à glssement à des éflexons (M, T/). On se amène toujous conventonnellement à un glssement dans le plan mo. x x T/ Fgue II-3a : Réflexon à glssement II--- Rotatons hélcoïdales Il s agt d une otaton n suve mmédatement d une tanslaton t. Comme pou les éflexons à glssement, toutes les tanslatons ne sont pas autosées (vo démonstaton). La nomenclatue concenant les opéatons de otatons hélcoïdales conventonnelles est donnée tableau II-3. La notaton d une otaton hélcoïdale (n,ma/n) d angle π / n et de tanslaton m/na selon l axe de otaton est : n m. Dém. : La composton de n opéatons de ce type condut à l opéaton (E, nt). Cec mpose que nt appatenne au goupe des tanslatons. Cela mpose des opéatons du type (n,t/n) où T est une tanslaton du goupe. On se amène toujous à des otatons hélcoïdales avec tanslaton paallèle à l axe de otaton a /3 /3 0 Fgue II-3b : Rotaton hélcoïdale 3 (3,a/3) 8

19 . Tableau II- : Conventons ntenatonales pou les mos à glssement Tableau II- 3: Conventons ntenatonales pou les otatons et otatons hélcoïdales. 9

20 Annexe Une fgue fne peut ête nvaante pa pluseus opéatons de syméte. Il est ntéessant de savo comment se composent ces dfféentes opéatons. Il est évdent que la composton de deux opéatons de syméte d oentaton est sot une otaton, sot une oto-éflexon pusque la composton de deux sométes est une sométe. Néanmons, l est utle de eten quelques ègles mpotantes : Composton d une otaton et d un mo pependculae La composton d une otaton avec un mo pependculae est une nveson (et pemutatons) : /M=C C M Composton de deux mos La composton de deux éflexons dont les éléments de syméte font un angle α/, est une otaton d angle α : M.M =α α α/ 3 Composton de deux otatons La composton de deux otatons est une otaton : n.n =n 3 Les ègles d Eule, basées su la tgonométe sphéque, mposent alos que les odes n, n, n 3 des otatons pécédentes véfent : + + n n n3 > avec n, n, n 3 D où : n n n 3 n quelconque Tableau II- : Lste des possbltés de coexstence ente otatons d ode n. Cec sgnfe pa exemple que la composton d une otaton dscète d ode 5 et d une otaton dscète d ode 4 ne condut pas à une otaton dscète d ode π/n ca aucune valeu de n (n ) ne véfe les ègles d Eule. En concluson, losqu on consdèe les fgues fnes smples et qu on se lmte donc à des otatons dscètes π/n, cela lmte le nombe des compostons possbles aux 5 cas du tableau II-. 4 Cas des otoéflexons Les oto-éflexons sont équvalentes à des oto-nvesons (notées n ). En effet la otoéflexon est la composton d une éflexon avec une otaton n. L opéaton mo peut 0

21 elle-même ête décomposée en un cente d nveson C et un axe. La composton d un avec la otaton n est une otaton n. On obtent donc fnalement une nveson C suve d une otaton n, c est la défnton de la otonveson. M.n=C..n=C.n = n. L exemple type est la otoéflexon /M qu est équvalente à la otonveson.

22 III RESEAU ET CRISTAL A la fn du 8 ème sècle, R. Haüy découvat que l oentaton des faces d un cstal état caactéstque de l espèce cstallne et énonçat la lo des ndces atonnels. Il en dédusat que le cstal est composé de paalléléppèdes untaes, la noton de éseau état ntodute. III- Réseau III-- Défnton Le éseau est un ensemble nfn de ponts, appelés nœuds, épats péodquement. S l on consdèe un nœud ogne, n mpote quel aute nœud du éseau est elé à l ogne pa le u v vecteu : R uvw = ua + vb + wc = ( a b c) v w où u,v,w sont des entes et a, b, c sont des vecteus fomant une base. Le paalléléppède constut à pat des vecteus de base est appelé malle. L ensemble des opéatons de tanslatons (R uvw ) mun de l addton consttue le goupe des tanslatons du éseau. III-- Noton de malle III--- Malle Pmtve et Malle Multple : La malle est le paalléléppède fomé à pat des vecteus de base a, b, c. Les angles ente (b,c), (a,c) et (a,b) sont appelés α, β, γ espectvement. La malle pemet de pave l ensemble du éseau sans vde n ecouvement. Elle est dte pmtve losqu elle ne content qu un seul nœud. Dans le cas contae, elle est appelée malle multple. c b α β a γ a) b) Fgue III- Schéma d une malle pmtve (a) et d une malle double (b) Consdéons 3 aêtes du cstal concouantes en O. Deux faces quelconques du cstal coupent l une des aêtes OP en P et P espectvement. On obseve que le appot ' OP est toujous atonnel.

23 III--- Calculs dans la malle Pou tout calcul dans un éseau déct pa une malle non ectangle, l est ntéessant d utlse le tenseu métque :G. ( a. a) ( a. b) ( a. c) a abcosγ ac cos β ( G) = ( b. a) ( b. b) ( b. c) = ba cosγ b bc cosα ( c. a) ( c. b) ( c. c) ca cos β cbcosα c -En patcule le volume V de la malle vaut : V = det G. Mas on peut également détemne le volume pa le podut mxte : V = a.( b c). - Sot = ( x y z) le vecteu lant deux nœuds. La dstance ente ces nœuds s expme x d ( G) y z également en foncton du tenseu métque : = ( x y z) - L angle φ ente deux vecteus et est donné pa : x (. ) cosφ = avec (. ) = ( x y z )( G) y z III---3 Cellule de Wgne-Setz On appelle cellule de Wgne-Setz, l ensemble des ponts les plus poches d un nœud ogne que de n mpote quel aute nœud. L avantage de cette malle est qu elle est pmtve et possède la syméte du éseau. C est pouquo elle est tès utlsée en physque. L nconvénent est qu elle n est pas focément paalléléppèdque. III--3 Noton de Rangées et de plans étculaes III--3- Rangées étculaes Deux nœuds du éseau défnssent une dote ou angée. Celle-c est caactésée pa sa decton et la péode qu sépae deux nœuds consécutfs. Pou détemne ces paamètes, on chost une dote paallèle à la pécédente, passant pa l ogne. Sot u, v, w, les coodonnées du peme nœud su cette dote : La decton de la angée est : = ua + vb + wc La dstance ntenoeud est : ua + vb + wc On note [u,v,w] l ensemble des angées étculaes paallèles, équdstantes, dgées selon et de péode ua + vb + wc. N.B. : Dans le cas d une malle pmtve, u,v,w sont des entes pemes ente eux. [00] [00] [00] O b a [00] Fgue III- : Rangées étculaes 3

24 III--3- Plans étculaes Tos nœuds défnssent un plan contenant une nfnté de nœuds. Un tel plan consttue un éseau à deux dmensons. L ensemble des plans paallèles et équdstants découpant (ou feulletant) entèement le éseau en feullets sans ouble de nœud, est appelé famlle de plans étculaes. On défnt conventonnellement une famlle de plans étculaes pa les ndces de Mlle (h,k,l) du plan le plus poche de l ogne. Ce dene coupe l axe a en a/h, l axe b en b/k et l axe c en c/l. Pa alleus tout noeud u,v,w appatenant à la famlle de plan étculae (h,k,l) véfe quelque sot le système d axes a,b,c (même dans le cas non othonomé) : hu + kv + lw = m avec m ente (désgnant le m ème plan de la famlle) b /k c /l O a /h a) b) Fgue III-3 : a) Famlle de plans étculaes (h,k,l). b) Fgue de décossance fasant appaaîte la elaton ente le facettage d un cstal et l emplement des plans étculaes III--4 Symétes ntedtes Cetanes opéatons de syméte sont systématquement ntedtes dans les éseaux à cause de la popété de péodcté. Nous allons monte que seules les otatons dscètes An (d angle π/n) et les otonvesons A n avec n=,,3,4,6 sont compatbles avec la noton de éseau. En patcule, les otatons de type n=5, 0 encontées dans les quascstaux ne sont pas compatbles avec un pavage péodque. Démonstaton : Consdéons une otaton R d angle φ. On peut faclement monte qu l exste un plan étculae pependculae à l axe de otaton. On place R(φ) su un nœud A du plan étculae (vo fgue III-4). Sot T la tanslaton du éseau la plus coute dans la decton T. Il est possble de place R(φ) su le nœud A, tanslaté de A pa T. S on applque R(φ) au vecteu A A' et au vecteu A' A, on génèe les ponts B et B tels que BB' = T T cos( φ). Pusque le éseau dot ête nvaant pa l opéaton de syméte R(φ) : A, B, A et B dovent ête des nœuds du éseau. D où BB' = mt (m ente). Cec mpose : mt = T T cos( φ) cos( φ ) = ( m) / Les otatons R(φ) compatbles avec la noton de éseau véfent donc : cos(φ φ n = π / φ m ) 3 - π -½ π /3 3 0 π / 4 0 ½ π /

25 B B φ φ A T A Fgue III-4 : Condton su φ pou qu une otaton sot compatble avec le éseau III--5 Classfcaton des éseaux III--5- Classes de syméte En cstallogaphe, on s ntéesse natuellement aux goupes ponctuels compatbles avec la noton de éseau. Ces goupes ponctuels sont appelés classes de syméte. On décompte 3 classes de syméte. Le tableau III- épetoe les 3 classes de syméte et donne les epésentatons stééogaphques des éléments de syméte qu les caactésent. III--5- Systèmes de Bavas Les classes de syméte sont épetoées en 7 systèmes de Bavas en foncton de leu syméte (vo tableau III-). Tclnque, Monoclnque, m, /m Othohombque, mm, mmm Tgonal 3, 3, 3, 3m, 3 m Tétagonal 4, 4, 4/m, 4mm, 4, 4 m, 4/mmm Hexagonal 6, 6, 6/m, 6mm, 6, 6 m, 6/mmm Cubque 3, m3, 43, 43 m, m 3 m Tableau III- : Classfcaton des classes de syméte en systèmes de Bavas Dans un même système, on appelle classe holoède (encadée dans le tableau III-) la classe qu a le plus haut degé de syméte. NB : Il est souvent ntéessant pou compende cetanes popétés physques (feoélectcté ) de consdée les classes qu possèdent un cente d nveson ou classes centosymétques. Elles sont au nombe de appelées classes de Laue (en gs dans le tableau III-). III--5-3 Réseaux de Bavas Losque la malle pmtve ne pésente pas la syméte de l ensemble du éseau, on est amené à chos une malle multple. Les malles multples conventonnelles nécessaes pou déce la syméte de tous les éseaux sont : (I) : centées ; (F) : faces centées ; (A), (B) ou (C) : deux faces opposées centées (A losqu l s agt des faces opposées à l axe a ). S l on applque ces malles multples aux sept systèmes cstallns, en tenant compte des ncompatbltés de syméte et des edondances, on touve à deux dmensons 5 modes de éseaux ou éseaux de Bavas (Tableau III-3). A tos dmensons, l y a 4 éseaux de Bavas (vo tableau III-4 et fgue III-5). 5

26 Cubque Hexagonal Tétagonal Tgonal Othohombque Monoclnque Tclnque A n A n A _ A n _ =m 3 4 6=3/m A n /M /m 4/m 6/m A n M _ A n M mm 3m 4mm 6mm _ 3m 4m (4m) 6m (6m) A n /MM mmm 4/mmm 6/mmm A n A n 3 43 _ A n A n _ m3 43m m3m Tableau III- : Les 3 classes de syméte et leu epésentaton stééogaphque 6

27 Système de Bavas Modes possbles Paamètes Oblque p a b; γ 90 Rectangulae p, c a b; γ=90 Hexagonal p a=b ; γ=0 Caé p a=b ; γ=90 Tableau III-3 : Réseaux de Bavas à dmensons Système de Bavas Modes possbles Paamètes Tclnque P a b c ; α β γ Monoclnque P, C a b c ; α=γ=90,β Othohombque P, C, I, F a b c ; α=β=γ=90 Rhomboédque R (pmtf nommé R) a=b=c; α=β=γ Tétagonal P, I a=b c; α=β=γ=90 Hexagonal P a=b c; α=β= 90 γ=0 Cubque P, I, F a=b=c; α=β=γ=90 Tableau III-4 : Réseaux de Bavas à 3 dmensons P I F C Tclnque Monoclnque Othohombque Tétagonal Rhomboédque Hexagonal Cubque Fgue III-5 : Les 4 éseaux de Bavas classés en 7 systèmes de Bavas 7

28 III- Cstal et Stuctue III-- Défnton Un cstal ou une stuctue est la épétton d un motf (goupement d atomes, fgue géométque : vo fgue III-6 ) su chaque nœud du éseau. Réseau+ Motf = Cstal ou Stuctue a) b) VIRUS DU PIED ET DE LA BOUCHE c) d) I Fgue III-6 : Exemples de stuctues D : a) Dessn d Esche. b) Achtectue Byzantne. Motfs assocés à des stuctues 3D : c) C 60. d) Vus du ped et de la bouche. III-- Syméte et Goupe d espace III--- Défnton et nomenclatue La syméte du cstal est décte pa les opéatons de syméte de poston. L ensemble des opéatons de syméte de poston d un cstal fome le goupe d espace. Il y a 30 goupes d espace nécessaes pou déce la syméte de tous les cstaux péodques à tos dmensons. On nomme un goupe d espace pa 4 symboles. Le peme est la lette (majuscule à tos dmensons et mnuscule à deux dmensons) coespondant au mode de éseau de Bavas. Les tos autes symboles sont défns comme ceux des goupes ponctuels : 8

29 Peme symbole : Nom de l opéaton de syméte de poston de plus haut degé de syméte. Il défnt l axe pmae. Second symbole : Nom de l opéaton de syméte de degé juste nféeu. Il défnt l axe secondae. Tosème symbole : Nom de l opéaton de syméte de degé encoe nféeu. Il défnt l axe tetae. Les conventons pou les axes défns pécédemment sont données tableau III-5. Système de Bavas Axe Pmae Axe Secondae Axe tetae Tclnque / / / Monoclnque Axe (b ou c) / / Othohombque / / / Tétagonal Axe 4, c a,b Bssectce de a et b Tgonal Axe 3 Axe / Hexagonal Axe 6 (c) a,b, a+b Bssectce des axes secondaes Cubque Axe 4, a Axe 3 (dagonale du cube) Axe (dagonale des faces) Tableau III-5 : Conventons pou les dénomnatons des axes défns pa le goupe d espace III--- Détemnaton du goupe d espace - Cheche tout d abod la malle et le mode de éseau en epéant les ponts équvalents. On en dédut le système de Bavas. On connaît donc le type de syméte attendu ans que les dectons conventonnelles de ces opéatons de syméte (axe pmae, secondae ) - Recheche les opéatons de syméte de poston du cstal. En patque, on estent la echeche à la poton contenue dans la malle - Note le nom des opéatons de syméte dans chaque decton. III---3 Systèmes cstallns On classe les goupes d espace en sept systèmes cstallns globalement dentques aux sept systèmes de Bavas (vo tableau III-). Ce classement s obtent en chechant le goupe ponctuel assocé au goupe d espace du cstal. Pou ce fae, l sufft de suppme la composante de tanslaton de chaque opéaton de syméte du goupe d espace. De la connassance du goupe ponctuel on dédut le système cstalln. III--3 Tables ntenatonales Les goupes d espace sont épetoés dans les tables ntenatonales de cstallogaphe («Intenatonal Tables of cystallogaphy»). Un exemple de fche coespondant au goupe d espace othohombque P est donné fgue III-6. Dans chaque fche est fgué un schéma de malle où sont epésentés les éléments de syméte. Pa alleus est ndqué le goupe ponctuel. On touve également des ensegnements su la multplcté et les coodonnées des postons généales et spécales (atome placé su un élément de syméte) et la lste des extnctons systématques. III--4 Résumé Le schéma de la fgue III-7 fat appaaîte deux ctèes de classement des stuctues : selon leus popétés de syméte et leu type de éseau. 9

30 Fgue III-6 : Fches extates de «Intenatonal tables of cystallogaphy». 30

31 Fgue III-7 : Classement des stuctues selon la cstallogaphe géométque. 3

32 IV RESEAU RECIPROQUE Le éseau écpoque est un outl patque dans l ntepétaton des expéences de dffacton. Nous veons qu l est dectement elé aux condtons de dffactons. IV- Défnton Fgue IV- : Clché de dffacton X pa le composé KMo 6 O 7. Il donne une mage du éseau écpoque. La défnton la plus smple du éseau écpoque est la défnton géométque suvante : Sot le éseau dect et les vecteus de base (a, b, c) de la malle pmtve assocée. On défnt les vecteus de base (a*, b*, c*) de la malle du éseau écpoque pa : ( b c) a* = π ( c a) ; b* = π ( a b) ; c* = π ; V = a.( b c) volume de la malle decte. V V V Une défnton équvalente est a*, b*, c* sont des vecteus de base du éseau écpoque s l véfent : s a *. a = π a *. b = 0 b *. c = 0 b * b = π a *. c = 0 c *. a = 0 c *. c = π b *. a = 0 c *. b = 0 (Note : Il exste une aute conventon, dte du cstallogaphe, qu défnt le éseau écpoque sans le facteu π) S l on consdèe un nœud ogne, n mpote quel aute nœud du éseau écpoque est elé à l ogne pa le vecteu : h v G hkl = ha * + kb * + lc* = ( a * b * c *) k avec h,k,l entes l IV- Popétés IV-- : Relaton avec le éseau dect - Le éseau écpoque possède les mêmes éléments de syméte d oentaton que le éseau dect et en conséquence, les deux éseaux appatennent focément au même système de Bavas (mas n ont pas systématquement le même mode). 3

33 - Réseau écpoque et éseau dect sont duals : le éseau écpoque du éseau écpoque est le éseau dect. IV-- Plans étculaes IV--- Nomale aux plans et dstance nteétculae - A toute angée du éseau écpoque caactésée pa son plus pett vecteu ntenoeud G hkl, est assocée la famlle de plans étculaes (hkl), pependculae à la angée. La dstance ente deux plans successfs, dte dstance nteétculae, vaut : d hkl = π Ghkl (Note : Dans la conventon du cstallogaphe, d hkl est défn sans le facteu π). - Récpoquement, à toute famlle de plans étculaes (hkl) dstants de d hkl est assocée une angée de noeuds du éseau écpoque espacés de G hkl = π/d hkl et pependculae aux plans. Démonstaton : - Le plan (hkl) le plus poche de l ogne content pa constucton les ponts A=( a / h ), B=( b / k ) et C=( c / l ). SG hkl est nomal aux plans (hkl), l est nomal aux vecteus AB et AC. O on véfe ben : Ghkl. AB = ( ha * + kb * + lc*).( b / k a / h) = 0 Ghkl. AC = ( ha * + kb * + lc*).( c / l a / h) = 0 - Sot G hkl un vecteu du éseau écpoque nomal aux plans (hkl) et R uvw le vecteu lant l ogne à un nœud (u,v,w) du plan de la famlle (hkl) le plus poche de l ogne : alos hu+kv+lw=. La dstance nteétculae d hkl vaut : G hkl π ( hu + kv + lw) π d hkl =. Ruvw = = G G G hkl hkl hkl Rangée du éseau écpoque [00] Plans étculaes (00) d 00 =π/g 00 G 00 R uvw Fgue IV- : Relaton ente éseau écpoque et plans étculaes 33

34 IV--- Densté de nœuds On monte que la densté de nœuds D dans un plan étculae (h,k,l) est popotonnelle à la dstance nteétculae d hkl. Démonstaton : En effet, s l on consdèe le volume V d une malle pmtve ayant une base ( a', b ' ) de suface S dans le plan (h,k,l). Alos, V = Sd hkl. O la malle content un seul nœud, d où : D = / S = d hkl / V IV--3 Rangées étculaes Toute angée du éseau dect est pependculae à une famlle de plans du éseau écpoque. La dstance ente plans vaut : d uvw = Ruvw où R uvw est le vecteu de plus pette nome de la angée. IV-3 Calculs dans le éseau dect et le éseau écpoque IV-3- Dstances nteétculaes et volume de malle Selon le système cstalln, les calculs cstallogaphques peuvent ête plus ou mons facles. Quelques ègles généales pemettent cependant de smplfe les choses : - Le tenseu métque écpoque est l nvese du tenseu métque dect : ( G *) = π ( G) - Le volume de la malle écpoque est l nvese du volume de la malle decte : V * = V Système tclnque : π d hkl = h a * + k b* + l c * + hka* b*cos( γ *) + klb* c*cos( α*) + lhc * a *cos( β*) où α,β,γ sont les angles ente (b*,c*), (a*,c*) et (a*,b*) espectvement. V = abc snα sn β * snγ V * = V Système monoclnque : b* = π / b π β* = π β a* = et asn β α = γ = π / π c* = csn β sn β d hkl = h l k sn β hl cos β + + a c b ac V = abcsn β Système hexagonal : a d hkl = + 4 / 3( h + k + hk) l ( a / c ) 34

35 V = 3 a c Système homboédque : 3 a( + cos α 3cos α) d hkl = ( h + k + l )sn α + ( hk + kl + lh)(cos V = a 3 3 ( 3cos α + cos α) Système othohombque : d hkl = h / a + k / b + l V = abc d Système quadatque : = a hkl h + k + l ( a / c) V = a b d Système cubque : = a hkl h + k + l 3 V = a / c α cosα) IV-3- Cas des malles non pmtves- Règles d exstence pou les ndces h,k,l. IV-3-- Exemple d un éseau C centé b b b* b* a* a a a* Réseau dect Réseau écpoque Fgue IV- Réseau écpoque d un éseau C centé - Soent a, b, c les vecteus de base de la malle pmtve et a, b, c les vecteus de base de la malle double C centée. On a : 35

36 a = a + b b = b a et c = c Le éseau écpoque a pou vecteus de base a*, b*, c * défnt à pat des vecteus de la malle pmtve a, b, c. Consdéons les vecteus écpoques a*, b*, c * assocés à la malle multple : πb c * * * * πc a * * a = = / ( a + b ) et b = = / ( b a ) a.( b c ) a.( b c ) Ces vecteus constusent le même éseau écpoque que les vecteus a*, b*, c *, s l on ntodut des ègles d exstence : h+k=n (n ente) pou les nœuds assocés aux vecteus écpoques a*, b*, c *. - Le éseau écpoque d un éseau C centé est un éseau C centé de paamète de malle a *, b *, c *. - Les ègles d exstence pou les nœuds assocés au éseau écpoque de la malle multple sont dentques aux ègles d exstence pou les ndces de Mlle d une famlle de plans étculaes (hkl). En effet, s l on consdèe les ndces de Mlle appotés à la base de la malle multple, on obseve que les famlles de plans du type (00) ne feullètent pas entèement le éseau et ne sont donc pas des famlles de plans étculaes (vo fgue IV-3). Pa conte les famlles de plans (00) qu véfent la ègle d exstence (h+k=n) feullètent ben entèement le éseau. Pa alleus, ces ègles d exstence sont dectement elées aux ègles d exstence des fasceaux dffactés en dffacton X. b b a a d 00 d 00 Fgue IV-3 : Régle d exstence pou les famlles de plans étculaes IV-3-- Cas des éseaux I et F Le même asonnement que pécédemment pemet de monte que le éseau écpoque d un éseau dect F est un éseau I et que le éseau écpoque d un éseau dect I est un éseau F. Cec est elé à des ègles d exstence pou les nœuds constuts à pat des vecteus de base de la malle multple : - Pou un éseau dect F, le nœud du éseau écpoque exste s h,k,l sont de même paté - Pou un éseau dect I, le nœud du éseau écpoque exste s h+k+l=n (n ente) IV-4 Zones de Blloun IV-4- Ogne de leu mpotance Nous veons dans le cous de dffacton qu une popété mpotante de la popagaton du ayonnement dans les cstaux est l appaton d nteféences constuctves s la célèbe lo de Bagg est véfée. Celle-c mpose que, pou une dffuson élastque ( k = k ' ou k est le 36

37 vecteu d onde ncdent et k le vecteu d onde dffusé), on dot véfe Δ k G, où G est un vecteu du éseau écpoque et Δ k = k ' k. La éflexon de Bagg est un phénomène fondamental qu ntevent notamment pou les ondes assocées aux électons de valence dans les soldes. Elle est en effet à l ogne de l appaton de bandes ntedtes (vo cous de stuctue électonque). Ans pou cetanes valeus d énege, l n exste pas de soluton popagatve à l équaton de Schödnge. Cetans nveaux d énege ne sont alos pas accessbles aux électons de valence. Ces bandes ntedtes sont à l ogne des dfféences de popétés électonques ente un métal, un semconducteu et un solant. IV-4- Défnton On peut emaque que le leu des ponts véfant la lo de Bagg défnt le plan médateu du segment poté pa G. Cela appaaît smplement à une dmenson ca la condton de Bagg devent : k = ± G A tos dmensons et dans le cas d un éseau quelconque, on peut constue un polyède délmté pa les plans médateus (plans de Bagg) des segments jognant l ogne et les nœuds plus poches vosns du éseau écpoque. Ce polyède défnt la pemèe zone de Blloun. C est aux abods des lmtes de cette zone que l on obseve les patculatés de la stuctue électonque (ouvetue de bandes d énege ntedtes pa exemple) qu détemnent les popétés électonques d un solde. IV-4-3 Constucton des zones de Blloun Pou constue la deuxème zone, on tace les plans médateus des dstances aux deuxèmes vosns dans le éseau écpoque. La deuxème zone de Blloun est le leu des ponts qu peuvent ête attents à pat de la pemèe zone en ne cosant aucun plan de Bagg. La n ème zone de Blloun est le leu des ponts attents depus la n- ème zone en ne tavesant aucun plan de Bagg. La fgue c-dessous monte la constucton des zones de Blloun successves pou un éseau D caé smple. = Fgue IV-4 : Zones de Blloun d un éseau D caé. Il est utle de connaîte l allue des pemèes zones de Blloun des éseaux cubques centé et cubque faces centées. Dans le cas d un éseau dect cubque faces centées (F), le éseau écpoque est un cubque centé et la pemèe zone de Blloun est un polyède à 4 faces : un octaède tonqué pa un cube. Tands que la pemèe zone de Blloun d un éseau dect cubque centé est un dodécaède ( faces). 37

38 (a) Fg.IV-5 : Pemèe zone de Blloun de éseaux dects cubque I (a) et cubque F (b) (b) La pemèe zone de Blloun constute dans l espace écpoque a son analogue dans l espace dect, l s agt de la cellule de Wgne-Setz (vo chapte III). Ans la cellule de Wgne-Setz d un cubque face centé est un dodécaède coespondant à la pemèe zone de Blloun d un cubque centé. De même la cellule de Wgne-Setz d un cubque centé coespond à la pemèe zone de Blloun d un cubque faces centées. 38

39 V INTERACTION RAYONS X-MATIERE V- Intoducton En 895 en Allemagne, Röntgen découve les ayons X. En quelques années ce nouveau ayonnement évolutonne la physque de la matèe. Ans Von Laue (9), Bagg (93), Ewald, Schee (95) montent que l nteacton des ayons X avec la matèe donne des nfomatons su l aangement cstallogaphque et poposent une ntepétaton smple des phénomènes de dffacton. Les ayons X coespondent à une onde électomagnétque dont la gamme de longueu d onde 400 s échelonne de 0.Å à 00 Å. L énege des photons vaut : E( ev ) =. o λ ( A ) En adocstallogaphe, on utlse des ayons X dont la longueu d onde est dans la gamme de 0.5 Å à.5 Å. Alos que les ayons X médcaux sont plus «dus» (0. Å à Å). V- Poducton des ayons X V-- Les tubes et les anodes tounantes V--- Fonctonnement Les tubes à ayons X modenes fonctonnent selon un pncpe ms au pont dans les laboatoes ndustels de Geneal Electc pa Cooldge (9). Ils sont consttués d un flament métallque (tungstène) chauffé pa un couant électque. Les électons éms sont alos accéléés va une dfféence de potentelle (qq 0kV) ente le flament et l antcathode, élément majeu du dspostf (vo fgue V-). L nteacton des électons énegétques avec l antcathode podut des ayons X. La collson du fasceau d électons avec la cathode généant essentellement de la chaleu, le système dot ête efodt pa une cculaton d eau. A pat des années 960, de nouveaux systèmes à anodes (ou antcathodes) tounantes sont appaus. Ils pemettent de efod plus effcacement l anode et donc de tolée un couant électonque plus mpotant et ans d accoîte le flux de photons podut. Fgue V- : Schéma d un tube à ayons X 39

40 V--- Specte Le specte de ayons X éms pa de tels systèmes est consttué d un fond contnu ssu du ayonnement de fenage des électons dans la cathode (Boemstahlung) et de aes caactéstques de la fluoescence de l antcathode (vo fgue V-). SPEC Spe Fgue V- : Specte démsson d un tube à ayons X En effet, les atomes de l antcathode soums au ayonnement X du fond contnu sont exctés pa effet photoélectque (fgue V-3). Deux types de pocessus pemettent au système de etoune à son état fondamental : l effet Auge (désexctaton adatve couplée à l émsson d un électon Auge) et la fluoescence. La fluoescence est la désexctaton adatve des atomes. Les photons de fluoescence sont caactéstques du emplssage des nveaux électonques de l atome consttuant l antcathode. Les ègles de sélecton de la physque atomque pemettent de pévo le specte de fluoescence de tous les éléments du tableau de Mendeleev. Fgue V-3 : Effet photoélectque V-- Les synchotons V--- Hstoque Les tubes à ayons X et anodes tounantes sont d une mpotance captale dans le domane médcal comme pou la echeche de laboatoe. Cependant, un aute moyen de poducton de ayons X a évolutonné l utlsaton de la dffacton X : le ayonnement synchoton. 40

41 Pévu théoquement depus le début du XX ème sècle, l fut obsevé pou la pemèe fos en 947 su le bétaton 00MeV constut pa Geneal Electc (accéléateu d électons pa nducton magnétque utlsé pou podue des ayons X pa collson avec une cble). Le ayonnement synchoton est le ayonnement électomagnétque éms losqu une patcule chagée elatvste possède une accéléaton centpète. A pat des années 960, les synchotons de pemèe généaton appauent. Il s agssat essentellement d anneaux de stockage. Le ayonnement X état éms au nveau des amants de coubue. Aujoud hu, l y a 30 centes de ayonnement synchoton dédés dans le monde, dont 3 sont dts de tosème généaton. Ces nouveaux synchotons pemettent la poducton de ayons X avec des flux tès mpotants gâce à l nseton d éléments appelés onduleus ou Wggle. Ces éléments sont consttués de multpôles magnétques. Les électons en oscllant dans l onduleu émettent des ayons X. S la longueu d onde des photons est accodée à la péode de l onduleu, l ntensté du ayonnement est enfocée de pluseus ode de gandeu. Un nouveau synchoton de tosème généaton, SOLEIL, est actuellement en constucton en Fance (Saclay). Fgue V-4 : Schéma d un synchoton (cas du LURE) V--- Specte Le specte éms pa un synchoton est globalement blanc (fgue V-6), tangentel à la tajectoe de l électon et polasé. La gandeu physque mpotante est la bllance : appot du flux pa la talle de la souce, la dvegence et la bande spectale du fasceau. La qualté (cohéence, ésoluton ) des fasceaux synchoton est telle que la bllance est de l ode de 0 fos supéeue à celle de tubes à ayons X (vo fgue 5). Cec pemet d magne des études mpossbles jusqu alos : dffuson nélastque des ayons X, dffuson cohéente, dffuson anomale 4

42 Fgue V-5 : Evoluton des pefomances de bllance en foncton du mode de poducton Fgue V-6 : Dstbuton spectale unveselle assocée au ayonnement synchoton. V-3 L nteacton ayons X-matèe Los de l nteacton des ayons X avec la matèe, tos phénomènes fondamentaux ntevennent : l absopton, la dffuson, la éfacton. V-3- Absopton L absopton ésulte pncpalement des phénomènes photoélectques (fluoescence, effet Auge.). Les phénomènes de dffuson élastque et nélastque sont en effet néglgeables (aux éneges qu nous ntéessent) pa appot à l effet photoélectque. Sot un fasceau de ayons X d ntensté I 0. Le fasceau ped de l ntensté en tavesant un matéau d épasseu x (fgue V-7). S l on défnt un coeffcent d absopton lnéïque μ. L ntensté en sote du matéau vaut : μx x I I e = 0 I 0 (λ 0 ) Fasceau ncdent I(λ 0 ) Fasceau tansms Fgue V-7 : Schéma du phénomène d absopton 4

43 μ On défnt également un coéffcent d absopton massque ν = (ρ= masse volumque) gâce ρ auquel l est possble de calcule le coeffcent d absopton d allages. En effet, s on consdèe un composé consttué d une popoton massque x A d un élément A de coeffcent d absopton massque ν A et d une popoton x B d un élément B de coeffcent d absopton massque ν B. Alos le coeffcent d absopton massque total du composé est : ν total = x Aν A + xbν B Le coeffcent d absopton vae en foncton de la longueu d onde et de la natue du matéau comme : μ CZ 3 λ 3 (Lo de Bagg-Pece). Les ayonnements plus énegétques (λ fable) sont donc mons absobés. Cependant, à cette lo empque se supeposent des dscontnuïtés dans la foncton μ(λ). Celles-c coespondent aux ayonnements ncdents ayant une énege poche d un nveau électonque du matéau absobant. Le photon ncdent est alos absobé pa l atome pa effet photoélectque et un électon est éjecté. L'absopton augmente donc butalement : c'est le seul d'absopton (fgue V-8). Los de la désexctaton de l atome pa fluoescence, du ayonnement est éms. Sa longueu d onde est caactéstque de la natue de l atome. Dans l effet photoelectque, l'électon éjecté va sonde les pemes états noccupés au-dessus du nveau de Fem. Cec ndut des modulatons du coeffcent d'absopton pendant et juste apès le seul qu sont lées à la stuctue électonque de l'atome consdéé et sont tès dffcles à ntepéte. Cette égon est appelée XANES (X-ay Absopton Nea Edge Stuctue). Quand l énege du photon ncdent est ben supéeue à celle du seul, l'électon (photoélecton) va ête éjecté hos de l'atome avec une énege cnétque suffsamment mpotante pou ête consdée comme lbe. Il nteaga néanmons avec le cotège électonque des atomes vosns. Cec engende également des oscllatons dans la coube μ(λ), appelées modulatons EXAFS (Extended X-ay Absopton Fne Stuctue). On te de ces modulatons des nfomatons péceuses su l envonnement local de l atome excté et su leus degés d oxydaton. Fgue V-8 Coeffcent d absopton en foncton de la longueu d onde (cas du tungstène). V-3- Réfacton Comme toute onde électomagnétque, les ayons X ne se popagent pas de la même façon dans un mleu que dans le vde. L ndce de éfacton s expme : λ μλ n = n0 + n = Ne + π 4π e Avec, Ν nombe de centes dffuseus, e = est le ayon classque de l électon et μ 4πε 0mc coeffcent d absopton lnéïque. Le phénomène d absopton est elé à la pate magnae de l ndce. La pate éelle a une valeu poche de mas nféeue (-n 0 ~0-5 ). De ce fat, l 43

44 exste un angle ctque au-dessous duquel l n y a pas d onde tansmse : c est la éflexon totale. Cet effet est tès utlsé pou étude les sufaces, le fasceau ncdent n exploant alos pas le volume. V-3-3 Dffuson Los de l nteacton des ayons X avec la matèe, du ayonnement est éms dans dveses dectons, c est le phénomène de dffuson. Cette dffuson peut s effectue avec changement d énege (dffuson nélastque de Compton) ou avec consevaton d énege (dffuson élastque de Thomson). Cec coespond à deux pocessus tès dfféents mas qu ntevennent a po smultanément. V-3-3- Noton de secton effcace On consdèe un dffuseu au epos en O. Il peçot une onde plane se popageant dans la decton Oy d ampltude A 0, de pulsaton ω, de longueu d onde λ et de vecteu d onde k. Los d une dffuson, l atome émet à son tou une onde sphéque A d (vo fgue V-9) de même pulsaton a po et de vecteu d onde k d : b Ad (, t) A0 exp( ( t k d )) de dffuson. = ω où b possède la dmenson d une longueu et est appelé longueu dω O Oy Fgue V-9 : Onde sphéque dffusée pa un atome. Un élément de suface ds eçot une pussance dffusée dp d : dσ dpd = Φ d ds = Φ dω dω Dans l expesson pécédente on défnt une secton effcace dfféentelle de dffuson dσ ds dectement mesuable dans les expéences de dffuson et un angle solde d Ω = dω selon lequel est vu la suface ds stuée à la dstance de O. Φ et Φ d sont les flux ncdent et dffusé. On peut ele les flux à l ampltude des ondes électomagnétques ncdentes et dffusées tel que : hk hk Φ = A = A0 m m Φ d = A d hk m d = A 0 * bb hk m d De ces elatons, on dédut la secton effcace qu est elée à la longueu de dffuson b : d σ kd = bb * dω k Pou la dffuson élastque : dσ * = bb dω 44

45 V-3-3- Dffuson élastque de Thomson Los de ce pocessus, c est le champ électque du ayonnement X qu nteagt avec les chages du système et pncpalement les électons, plus léges. Consdéons une onde plane ncdente polasée lnéaement : E ( ) = E0e exp( ( ω t k. )) Mcoscopquement, les électons du matéau sont soums à une foce : F( ) = ma = ee( ) Les oscllatons des électons ndusent l émsson d une onde sphéque de même longueu d onde que l onde ncdente : e E 0 Ed ( ) = ( e. e') e'exp( ( ωt k. )) d 4πε 0mc - e est la decton de polasaton de l onde dffusée et k d est la decton de popagaton. Le pocessus est élastque et k d = k. - Le sgne - dans l expesson de l onde dffusée tadut un changement de phase de π apès dffuson. e k d e θ k Fgue V-0 : Schéma de la dffuson Thomson d une onde plane de polasaton e et de decton de popagaton k. On extat la longueu de dffuson : e b Th = e. e' 4πε 0mc - Le teme ( e. e ') est appelé facteu de polasaton. Dans le cas d un ayonnement ncdent + cos θ non polasé ce facteu vaut e - Le teme est le ayon classque de l électon ( e ) et vaut.88fm. On compend 4πε 0mc c que pou les potons de masse envon 000 fos plus mpotante que les électons, ce teme sot néglgeable. - La secton effcace élastque de dffuson des ayons X pa un électon vaut : dσ = bth 0. 08ban (ban~0-4 cm ) dω 45

46 V Dffuson nélastque de Compton - Ce phénomène obét à un mécansme dfféent du pécédent. On consdèe l aspect copusculae de l nteacton ayons X-atome. On tate l nteacton comme un choc élastque du photon avec l électon de la matèe (vo fgue V-). hν', photon dffusé hν θ photon ncdent ϕ électon Fgue V- : Schéma du choc élastque los de la dffuson Compton S on suppose que l électon ntalement au epos, acquet apès le choc une vtesse V (on note β = V / c ): Consevaton de l énege : h υ + mc Consevaton de l mpulson : hυ hυ' mv = cosθ + cosϕ c c β hυ' mv 0 = snθ + snϕ c β = hυ' + mc β h La ésoluton du système donne : λ' λ = ( cosθ ) mc L écat pa appot à la longueu d onde ntale dépend de l angle de dffuson. L onde dffusée pa ce pocessus n a pas de elaton de phase avec l onde ncdente. On pale de dffuson ncohéente. Les ondes ans dffusées pa les dfféents électons de la matèe n ntefèent pas. Leus ntenstés se somment. En adocstallogaphe, la dffuson Compton ncohéente est un phénomène paaste. - Les pocessus de dffuson élastque et nélastque ntevennent smultanément dans les expéences de dffacton. C est ce que monte la fgue V-. Cependant, pa opposton à la dffuson de Thomson, la dffuson Compton ntevent essentellement dans les systèmes consttués d atomes léges et s obseve plus patculèement aux gands angles de dffacton. I (u.a.) λ(å) Fgue V- : Specte de fluoescence X d un échantllon de gaphte obsevé à θ=90. On mesue le pc Thomson (à gauche) et le pc Compton (à dote). 46

47 V Dffuson magnétque Dans le pocessus de dffuson élastque nous avons consdéé unquement l nteacton du champ électque de l onde électomagnétque avec les chages pésentes dans le système. Un aute type d nteacton ntevent également : l nteacton magnétque ente le champ magnétque de l onde électomagnétque et le spn de l électon. Cette nteacton est beaucoup plus ténue que l nteacton électostatque, c est pouquo elle est néglgée dans les expéences classques. En effet le appot des ntenstés dffactées en dffacton Thomson et en dffacton magnétque vaut : I magnétque I ch ag e hω = ( ) mc 0 4 Avec l avènement des nouveaux synchotons, des expéences de dffacton magnétques sont néanmons possbles. 47

48 VI DIFFRACTION DES RAYONS X PAR UN CRISTAL La matèe soumse à un fasceau de ayons X éémet du ayonnement dans cetanes dectons caactéstques de l aangement atomque qu la consttue. Ce phénomène dt de dffuson ou dffacton est en fat un phénomène d nteféences ente les ondes cohéentes émses pa les dfféents dffuseus pésents dans le matéau. VI- Rappels d optque VI-- Inteféences à deux ondes, cas de Faunhofe Consdéons une onde plane pogessve monochomatque de vecteu d onde k, de pulsaton ω et d ampltude A 0. Afn de smplfe les calculs nous ntodusons la notaton complexe : A( k, ω ) = A0 exp( ωt) exp( k. ) pou défn l ampltude complexe de l onde. L ampltude éelle A de l onde plane vaut alos A = Re[ A 0 exp( ω t) exp( k. )], tands que son ntensté vaut : I = AA*. Pa la sute nous ne consdéeons pas l aspect tempoel n pou l onde, n pou la stuctue ca en dffacton des ayons X ce n est pas une gandeu accessble. En effet, les ayons X, de féquence tès élevée (0 8 Hz), ne voent pas les mouvements atomques (~0 Hz). La gandeu physque accessble est donc l ntensté I moyennée su la duée de l expéence. Sot deux dffuseus l un stué à l ogne, l aute à, émettant des ondes planes de vecteu d onde k dans la decton S. Les ondes sont supposées cohéentes donc les ampltudes se somment. S OM est la dfféence de chemn optque ente les deux ondes (vo fgue VI-), le déphasage vaut : φ = k OM = π (. S) = k λ L ampltude totale s éct : A = A0 exp( k. ) + A0 exp( k. ) exp( φ) L ntensté vaut alos : I = A0 + exp( φ ) = A0 ( + cosϕ) Selon la valeu de φ, l ntensté peut pésente des maxma ou des mnma, c est le phénomène d nteféences. P M S S O S 0 Fgue VI- : Déphasage ente deux ondes planes émses en O et P(). VI-- Inteféences à N ondes : cas du éseau Le ésultat pécédent se généalse losqu on a N dffuseus épats péodquement selon une decton. Leus postons est epéée pa n = na (n ente, a pas du éseau). Les ondes dffusées sont supposées cohéentes, l ampltude complexe totale est donc la somme des ampltudes : A = N A0 exp( kn ) = A0 exp( nk. a) n n= La somme de l expesson pécédente coespond à une sée géométque et vaut : () 48

49 ( N + ) k. a N exp( ) exp( ( N + ) k. a) sn(( N + ) ka / ) exp( nk. a) = = n= exp( k. a) ka sn( ka / ) exp( ) ( N + ) k. a sn( ) L ntensté totale vaut donc : I = A 0 sn( ka / ) C est une foncton qu pésente des maxma d ntensté popotonnelles à (N+) pou des valeus telles que k. a / = nπ (n ente) (vo fgue VI-) N= x ( N + ) x Fgue VI- : Repésentaton gaphque de la foncton sn( ) / sn( x / ) - Ce calcul peut également se ésoude géométquement pa la constucton de Fesnel. La fgue VI-3 epésente la somme su n allant de à des temes complexes de la sée géométque pécédente. Celle-c coespond à une somme de vecteus u de module k a. à chaque pas. La gandeu physque mpotante est la nome du tounant d un angle vecteu somme OM. Son caé est popotonnel à l ntensté dffusée pa les N dffuseus.. Comme ( N + ) ka k sn( a sn( ) = ), on etouve le ésultat pécédent OM =. OC sn( k. a / ) C O k a. M u Fgue VI-3 : Constucton de Fesnel - S l y a un contnuum de dffuseus épats selon la densté ρ ( ), la somme dscète de l expesson () se tansfome en une somme contnue et l ntensté vaut : 49

50 I 0 ρ ( ) exp( k. ) dv = A0 TF( ρ( )) = A V On econnaît la tansfomée de Foue de la densté de dffuseus. C est un ésultat fondamental en dffacton : L ntensté est popotonnelle au caé de la tansfomée de Foue de la densté de dffuseus. VI- Dffuson des ayons X pa un atome : facteu de dffuson atomque VI-- Fome classque Nous avons vu dans le paagaphe V, que ceux sont les électons qu dffusent le ayonnement X. Le champ électque dffusé a la fome d une onde sphéque : E0 Ed ( ) = bth e' exp( k d ) exp( ωt) avec b Th e = 4πε mc 0 e. e' E 0 est l ampltude du champ ncdent, k d le vecteu d onde dffusé, e et e ' les dectons de polasaton des ondes ncdente et dffusée espectvement. b Th est une constante appelée longueu de dffuson de Thomson et elée au ayon classque de l électon e. P O k M dρ() H k d V Fgue VI-5 : Dfféences de chemns optques ente les ondes dffusées pa les dfféents électons de l atome. Consdéons un atome, de densté électonque ρ ( ). Sot O une ogne dans l atome. En un pont M de volume dv, une densté électonque dρ() d électons va dffuse des ondes cohéentes. La dfféence de chemn optque ente les ondes dffusées en O et en M est δ = MH OP. Cec epésente une dfféence de phase Δφ = ( kd k ). (vo fgue VI-4), où epèe la poston des électons pa appot à l ogne. Les ampltudes se somment, et pou l ensemble des électons de l atome on touve une longueu de dffuson totale : batome = bth d ρ ( ) exp( ( kd k ). ) S l on pose ( kd k ) = q, appelé vecteu de dffuson et sachant que d ρ ( ) = ρ( ) dv, on touve : batome = bth ρ ( )exp( q. ) dv On appelle facteu de dffuson atomque le teme f ( q) = ρ ( ) exp( q. ) dv. Le facteu de dffuson atomque coespond à la tansfomée de Foue de la densté électonque de l atome. Dans le calcul de ce facteu les contbutons des dves couches électonques K,L,M 50

51 ntevennent. Le facteu de dffuson atomque vae non seulement avec la talle et le nombe d électons Z de l atome consdéé mas également avec le vecteu de dffuson q (fg. VI-5). Fgue VI-4 : Evoluton du facteu de dffuson atomque en foncton de q(=4πsnθ/λ) et en foncton de l atome dffactant. VI-- Facteu de dffuson anomal Le facteu de dffuson atomque est généalement éel. Cependant, losque la longueu d onde de l onde ncdente est poche du seul d absopton de l atome, la éponse électonque est tès fote et on ne peut plus néglge les temes de fottement et de appel dans l équaton du mouvement de l électon. Le couplage des féquences se tadut pa de la dspeson que l on appelle dffuson anomale et qu condut à un facteu de dffuson atomque complexe : ' '' f = f 0 + Δf + Δf Les temes de coecton Δf et Δf sont elés ente eux pa les elatons de causalté de Kames-Köng. Le teme complexe est faclement accessble pa des mesues d absopton. VI-3 Dffuson pa un cstal péodque pafat Les ayons X sont dffusés pa les électons de la matèe. Dans un cstal, la densté électonque est épate en atomes (s on néglge les lasons chmques), eux-mêmes épats en motfs épétés selon le éseau. Les ondes dffusées pa l ensemble des atomes sont cohéentes et les ampltudes se somment. Dans la sommaton, on dstngue habtuellement s le cstal est déalement pafat et odonné, le teme lé à une malle (facteu de stuctue) et le teme lé au éseau (facteu de fome). VI-3- Facteu de stuctue Sot un cstal de malle M. Celle-c content des atomes notés, epéés pa les vecteus et de facteu de dffuson atomque f. L ampltude de l onde dffusée pa l ensemble de la malle coespond à la somme des ampltudes des ondes cohéentes dffusées pa les dves atomes. En tenant compte du déphasage Δφ = q. ente ondes émses pa ces dfféents atomes, on touve une longueu de dffuson pou la malle : b malle ( q) = bth f ( q)exp( q. ) On appelle facteu de stuctue le teme : F ( q) = f ( q)exp( q. ) 5

52 VI-3- Facteu de fome Condtons de Laue Sot F le facteu de stuctue d une malle et R uvw = ua + vb + wc le vecteu epéant chaque malle. S on tent compte du déphasage q R Δφ =. uvw ente ondes cohéentes émses pa les dfféentes malles, l ampltude totale dffusée pa le cstal est : A ( q) = A0 b exp( k. ) F( q) exp( q. R ) = A0b F( q) exp( k. ) exp( q. R ) cstal Th d u, v, w La somme peut ête décomposée en tos temes undmensonnels. N N N3 A ( q) = A b F( q) exp( uq. a) exp( vq. b) exp( wq. c cstal uvw 0 Th ) u= v= w= N, N et N 3 epésentent les nombes de malles dans les tos dectons caactéstques du éseau a, b, c. On etouve c les temes caactéstques de la dffacton pa un éseau undmensonnel. L ntensté dffactée vaut alos : I cstal ( q) = A* A = A 0 bth F( q) Th d u, v, w sn ( Nq. a / ) sn ( N q. b / ) sn ( N 3q. c / ) [ ] sn ( q. a / ) sn ( q. b / ) sn ( q. c / ) On note S(q) le facteu de fome du cstal: sn ( Nq. a / ) sn ( N q. b / ) sn ( N3q. c / ) S( q) = [ ][ ][ ] sn ( q. a / ) sn ( q. b / ) sn ( q. c / ) Chaque teme de S(q) se compote comme la foncton epésentée fgue VI- qu pésente des maxma pncpaux d ntensté I N N N3, pou des valeus de q telles que : q. a = nπ q. b = nπ q. c = nπ Cec coespond aux condtons de Laue, qu mplquent que q est un vecteu du éseau écpoque q = ha * + kb * + lc *. La lageu totale des maxma vaut q x ~/N, q y ~/N q z ~/N 3. Les aes de dffacton sont donc d autant plus fnes que le domane cstalln est gand. VI-3-3 Relaton de Bagg Les condtons de Laue sgnfent que dans le cstal, les plans atomques (hkl) sont en poston de éflexon et dffusent en phase. La decton de dffacton est kd = k + q (sachant que k. = k d ). S l on note θ l angle ente k et k d, n la nomale aux plans (hkl) et d hkl la dstance nteétculae, la dfféence de phase ente ondes dffusées pa deux plans successfs de la famlle (hkl) vaut : Δ φ = d hkl n. k + d hkl n. k d = d hkl snθ k (vo fgue VI-6) Les plans dffusent en phase s : d snθ k = nπ hkl Ce qu condut à la lo de Bagg : d hkl snθ = nλ (n ente) On emaque à ce nveau que pou obseve de la dffacton l faut d une pat que uvw λ < d hkl, d aute pat que θ ne sot pas top pett. Cec mpose alos que la longueu d onde du fasceau sot de l ode de gandeu des dstances nteatomques (d hkl ). 5

53 k k d θ n θ θ d hkl Fgue VI-6 : Dffuson en phase des plans atomques (hkl) : Lo de Bagg VI-3-4 Constucton d Ewald Les condtons de Laue et la lo de Bagg ont un équvalent géométque : la constucton π d Ewald. Sot S la sphèe d Ewald de ayon k = = k. Le fasceau ncdent coupe la λ sphèe en I, ps comme cente du éseau écpoque. D apès les condtons de Laue, l y a dffacton dans la decton OM, s q = k d k est un vecteu du éseau écpoque. Cec mplque que M sot un nœud du éseau écpoque. Dans ce cas, les plans de la famlle (hkl) sont en poston de éflexon et véfent la lo de Bagg comme epésenté fgue VI-7. d k d M RX O θ q I k R=π/λ Fgue VI-7 Constucton d Ewald VI-3-5 Popétés du facteu de stuctue VI-3-5- Expesson généale Sot x, y, z les coodonnées d un atome de la malle. Sot h, k, l les coodonnées du vecteu de dffuson q, vecteu du éseau écpoque. Le facteu de stuctue s expme alos comme : * * * Fhkl = f ( q)exp( ( xa + yb + zc).( ha + kb + lc ) = f ( q)exp( π( hx + ky + lz )) Dans la sommaton, on dstngue contbutons : celle du motf et celle du mode de éseau. VI-3-5- Cas des malles non pmtves- Extnctons dues au mode de éseau. - Consdéons une malle centée I consttuée de N atomes. S l exste dans le motf un atome en (x,y,z ), l exste natuellement le même en (x +/,y +/,z +/) pusque la malle est centée. Le facteu de stuctue peut donc s éce : 53

54 F hkl ( q) = N / = [ f ( q) e π( hx + ky + lz ) + f ( q) e π( h( x + / ) + k( y + / ) + l( z + / )) N / h + k + l Fhkl ( q) = f ( q) exp( π( hx + ky + lz ))[ + exp( π( ))] = Losque h + k + l = n + (n ente), le facteu de stuctue s annule systématquement. On pale alos d extncton systématque de ces aes de dffacton due au mode I de éseau. Pou les aes exstantes, le facteu de stuctue vaut : N / F ( q) = f ( q)exp( π( hx + ky + lz )) hkl = - Selon le mode de éseau, les ègles d exstence vaent comme le monte le tableau VI-. Mode de éseau I F C Règle d exstence des aes h+k+l=n h,k,l de même paté h+k=n Tableau VI- : Règles d exstence des aes de dffacton selon le mode de éseau. VI Cas des opéatons de syméte à glssement Extnctons dues au motf - Consdéons un cstal pésentant une syméte du type axe hélcoïdal à glssement selon z. Cela sgnfe que la malle content N atomes, chaque atome de coodonnées (x,y,z ) est assocé pa le à un aute atome en (-x,-y, z +/). Le facteu de stuctue s éct alos : N / F ( q) = [ f ( q) exp( π( hx + ky + lz )) + f ( q) exp( π( hx ky + ( l + / ) z ))] = hkl f ( q) exp( πlz )[exp( π( hx l + ky ) + ( ) exp( π( hx ] ky ))] On emaque que pou les plans du type (00l), l y a extncton systématque des aes de dffacton telles que l=n+. - La pésence d opéatons de syméte à glssement ndut donc des extnctons systématques de cetanes aes de dffacton. On pale d extnctons dues au motf. VI Lo de Fedel L ntensté dffactée pa un cstal vaut : I( q) = A( q) A * ( q) Sot R uvw le vecteu epéant les malles, f le facteu de dffuson atomque de chaque atome de la malle epéés pa. A( q) f ( q)exp( q. ) exp( q. Ruvw) u, v, w * S les facteus de dffuson atomques sont éels alos : A ( q) = A( q) Ans on obtent la lo de Fedel : I ( q) = I ( q) Toutes les stuctues appaassent donc centosymétques (possédant l opéaton de syméte nveson) dans les expéences de dffacton classque. Pa conte, dans les expéences de dffacton anomale, la lo de Fedel n est pas véfée pusque le facteu de dffuson atomque devent complexe au seul d absopton consdéé. 54

55 VII CALCULS D INTENSITE Dans une expéence de dffacton, l analyse de la poston des aes dffactées pa le cstal pemet d avo des nfomatons concenant le éseau cstallogaphque et l analyse de l ntensté dffactée pemet d avo des nfomatons concenant le motf. Ce chapte pésente des calculs d ntensté dans quelques cas patcules. VII- Dffuson pa une poude VII-- Intéêt La dffacton de poudes consste à envoye un fasceau de ayons X étot et monochomatque su un échantllon polycstalln. Elle pésente deux avantages. Tout d abod, d un pont de vue matéaux : les poudes sont beaucoup plus facles à synthétse. D aute pat, avec une poude composée d un tès gand nombe de cstaux élémentaes désoentés les uns pa appot aux autes, on est assué d avo toujous une cstallte en poston de dffacton. La méthode des poudes pemet de mesue les paamètes de malle tès pécsément ans que de détemne le éseau de Bavas d un cstal. Elle est également tès utlsée pou caactése la textue c est-à-de l oentaton péféentelle des cstalltes dans l échantllon. Avec les pogès nfomatques et les nouvelles souces synchoton, la dffacton su poudes est même utlsée pou la détemnaton de stuctue cstallne. VII-- Réseau écpoque et ndces de aes d une poude Pou un monocstal, la dffacton su une famlle de plans (hkl) condut à une decton de dffacton unque. Le éseau écpoque est consttué de ponts stués à G hkl du cente du éseau écpoque O RR. Dans le cas d une poude, chaque gan coespond à une oentaton pou les plans (hkl) et donc à une decton de dffacton. Le éseau écpoque est consttué de sphèes concentques de cente O RR (le cente du éseau écpoque) et de ayon G hkl (vo fgue VII-). En utlsant la constucton d Ewald, on peut en dédue que l ntesecton ente le éseau écpoque et la sphèe d Ewald est fomée de cecles. L ensemble des fasceaux dffactés ssus de l échantllon est alos un cône dont l axe est le fasceau ncdent et dont l angle au sommet est 4θ (dem angle θ). θ est l angle de Bagg véfant la elaton π snθ = nλ. G hkl S pluseus aes hkl coespondent à la même valeu de G hkl, en dffacton de poudes, elles contbueont au même anneau (c est la lo de Bagg). L ogne de l équvalence de ces aes est la syméte du cstal. Le nombe de aes équvalentes en foncton du système cstalln et de l ndce hkl est donné pa le facteu de multplcté (vo tableau VII-). VII--3 Intensté dffactée Dans une expéence de dffacton de poudes, l ntensté totale dffactée dans la ae hkl est I F 3 hkl hkl = I 0λ e hkl P( θ ) m 4 sn( θ ) v V I 0 est l ntensté ncdente, e le ayon classque de l électon, P(θ) le facteu de polasaton (= + cos (θ ) quand le fasceau n est pas polasé), F hkl le facteu de stuctue, v le volume de 55

56 la malle et V le volume de l échantllon. On appelle facteu de Loentz, le teme L(θ)= 4 snθ qu dépend de la géométe de l expéence. Le facteu m hkl est appelé facteu de multplcté. Il tent compte du fat que pa syméte pluseus famlles de plans (hkl) d ndces dfféents sont équvalentes et pésentent la même dstance nteétculae d hkl. Ces famlles de plans contbueont donc au même anneau de dffacton. Le tableau VII- donne les facteus de multplcté pou dfféents types de plans (hkl) et pou chaque système cstalln. Cubque hkl : 48 hhl : 4 0kl : 4 0kk : hhh : 8 00l : 6 Hexagonal ou hk.l : 4 hh.l : 0k.l : hk.0 : hh.0 : 6 0k.0 : 6 00.l : homboédque Quadatque hkl : 6 hhl : 8 0kl : 8 hk0 : 8 hh0 : 4 0k0 : 4 00l : Othohombque hkl : 8 0kl : 4 h0l : 4 hk0 : 4 h00 : 0k0 : 00l : Monoclnque hkl : 4 h0l : 0k0 : tclnque hkl : Tableau VII- : Facteus de multplcté Flm photo cylndque Rayons X ncdents θ 4Rθ O RR Sphèe d Ewald Echantllon de poude Cône de dffacton Sphèes consttuant le éseau écpoque Fgue VII- : Schéma de pncpe d une expéence de dffacton de poudes 56

57 VII- Intensté ntégée dans le cas d un monocstal Une ae de dffacton n est pas ponctuelle, sa lageu est elée à la talle du domane cstalln et à la talle du fasceau. Los d une expéence de dffacton su un monocstal (volume total V et volume de la malle v), la gandeu physque mesuable mpotante est l ntensté ntégée d une ae hkl. Celle-c coespond à l ntensté totale dffactée duant le passage du nœud hkl su la sphèe d Ewald. On monte que celle-c vaut : λ Fhkl I( θ ) = I 0e P( θ ) sn(θ ) v 3 V P(θ) est le facteu polasaton (vo paagaphe V-3-3-) et F hkl le facteu de stuctue. VII-3 Pouvo dffusant La secton effcace de dffacton d un fasceau de ayons X pa un électon est : dσ b Th e dω Pou les nse électons du matéau l ntensté totale dffactée dans toutes les dectons vaut : dσ I I 0 Ωtotal nse = I 0e 4πnSe dω Où n est la densté électonque et Se le volume du cstal d épasseu e. Le pouvo dffusant est défn pa : P = I / I S 4πne d 0 e Pou un matéau d épasseu e=cm, contenant 0 mol/cm 3 d un atome avec Z~0, on a une densté électonque de ~0 4 e - /cm 3 3. Avec e ~ 0 cm, le pouvo dffusant est ~ L ntensté dffusée pa un cstal n est donc que quelques poucents du fasceau ncdent. Ans l est légtme de néglge les effets de dffacton multple. VII-4 Dffacton pa un cops de stuctue quelconque VII-4- Fome généale Losque le système est consttué de dffuseus épats de façon désodonnée, on est amené à consdée la foncton contnue ρ(), densté de dffuseus, pou déce le système. Sot ρ el ( ) la densté électonque des dffuseus supposés dentques. La densté électonque totale vaut : ρ totale = ρ el ( ) * ρ ( ). Le podut de convoluton ndque que ρel ( ) est un «motf» épété selon la foncton ρ ( ). Nous avons vu dans le chapte pécédent que l ntensté est le caé de la tansfomée de Foue de la densté électonque : I =< ( ρ el ( ) * ρ( ))exp( q. ) dv > D apès les popétés de la tansfomée de Foue : TF ( f * g) = TF ( f ) TF ( g) On touve alos pou l ntensté : I =< [ TF( ρ el ( ))] ρ( ) ρ( ' + )exp( q. ) dvdv ' > Le teme ρ ( ) ρ ( ' + ) exp( q. ) dvdv = NTF[ g( )] coespond à la tansfomée de Foue de la foncton de coélatons de pae densté-densté : g( ) = ρ ( ) * ρ( ). La fome de la foncton g() dépend des coélatons dans le système et donc de l ode. g() est 57

58 popotonnelle à la pobablté pou qu ayant un dffuseu à l ogne, l y en at un à (vo fgue I-6). VII-4- Quelques exemples VII-4-- Cas des gaz Losque le système est totalement désodonné comme dans un gaz. La foncton g() est alos constante et égale à. L ntensté dffusée est alos popotonnelle au caé du facteu de dffuson des dffuseus et au nombe N de dffuseus : I N F(q) VII-4-- Cas des lqudes Dans les lqudes, l y a des coélatons pemes vosns ente dffuseus. La foncton de coélaton de pae pésente un (ou pluseus maxmas) (vo fgue I-6). Les maxma de la foncton ntevennent pou des dstances de l ode de nd avec d, damète des dffuseus. L ntensté dffactée pa le système coespond alos à la tansfomée de Foue de g(). g(q) a des caactéstques semblables à g() : elle pésente des oscllatons. Les maxma de g(q) se stuent à des dstances de l espace écpoque de l ode de πn/d. Dans le cas généal, les lqudes sont sotopes (vo fgue VII-). Cette syméte se etouve dans la foncton g(). En conséquence l ntensté dffactée est également sotope. L espace écpoque d un lqude est donc consttué de sphèes concentques de ayons ~πn/d. Fgue VII- : Clché de dffacton X d un cstal lqude themotope 504, en phase sotope. L ntesecton du éseau écpoque (sphèes concentques) avec le flm condut à l obtenton d anneaux dffus. VII-4--3 Cas des cstaux péodques Dans un cstal, la foncton d autocoélaton densté-densté g() pésente des maxma tès fns pou chaque noeud du éseau et ce jusqu à l nfn. En effet, dans un cstal péodque l ode est à longue potée et les coélatons se font sent jusqu à l nfn. La foncton g(q) pésente elle auss des maxma fns aux nœuds du éseau écpoque (fgue III-3). L ntensté en ces nœuds sea popotonnelle au caé du facteu de dffuson et à N : I N F(q) On emaque que l ntensté dffactée pa un cstal péodque est popotonnelle à N su les aes de Bagg tands que l ntensté dffactée pa des cops peu odonnés est popotonnelle à N. 58

59 VIII VIBRATIONS DE RESEAU VIII- Intoducton A tempéatue non nulle, les atomes ne sont pas fxes su le éseau. Ils vbent autou de leu poston moyenne. Ces vbatons sont dues à l agtaton themque. Ce ne sont pas des vbatons ndvduelles. En effet, les atomes nteagssent. Ans, le déplacement d un atome ves un aute, entaîne pa épulson, le déplacement de ce dene. Cec consttue alos une onde de déplacement, une onde pogessve. Cette onde peut ête longtudnale (le déplacement des atomes se fat dans la même decton que la decton de popagaton de l onde) ou tansvese (le déplacement des plans atomques se fat othogonalement à la decton de popagaton) comme le monte la fgue VIII-. Ces vbatons collectves peuvent ête assez ben modélsées pa des atomes lés avec des essots. Le cas usuel coespond au cas hamonque, où les déplacements sont fables et où la foce de appel du «essot» est popotonnelle au déplacement. La ésoluton de ce poblème peut néanmons ête complexe. Nous consdéeons donc c des stuatons smplfées où le système est undmensonnel et où le motf est consttué d un seul atome, pus de deux atomes. Notons que le quanta de vbaton de éseau est appelé un phonon. K : decton de popagaton u n Onde tansvesale u n u n+ Onde Longtudnale Fgue VIII- : Natue d une onde VIII- Cas du éseau D monoatomque Sot une chaîne atomque de paamète de éseau a, consttuée d atomes à la poston moyenne R n =na (n ndce de la n ème malle). Sot u n le déplacement algébque de l atome de la n ème malle pa appot à sa poston moyenne. Sot C p la constante de appel ente atomes dstants de p. La foce ésultante su un atome n est : F n = c p ( u n + p u n ) p Sot M, la masse de l atome, l équaton du mouvement devent : d u n M = ( ) c p u n+ p u n dt p 59

60 Nous chechons des solutons snusoïdales en temps de la fome t e ω : Mω u = c ( u + n p p n p u Supposons des solutons de la fome : n ) u n ue + p = ( n+ p) Ka Cela condut à une équaton du type : Mω u D où enfn : e = c u( e e nka ( n+ p) Ka nka p p pka pka pka Mω = c p ( e ) = c p ( e + e ) p p> 0 ) ω = c p ( cos( pka)) M p > 0 Cec condut à une elaton ente la pulsaton des vbatons et le vecteu de popagaton k. On appelle cela elaton de dspeson. Cette elaton pésente des sngulatés pou k = π / a. En bod de zone de Blloun, la pente de ω est nulle et la foncton pésente un maxmum. O, la pente de la elaton de dspeson coespond à la vtesse de goupe de l onde epésentant ces vbatons d vg = ω. dk Losqu on consdèe unquement les nteactons ente plus poches vosns, on a : C ω = ( cos ka ) M Cec devent : 4C / ω = ( ) sn( ka) M En généale, on consdèe unquement cette elaton pou la pemèe zone de Blloun c est-à-de, à une dmenson, pou k { π / a, π / a} ou encoe ka { π,π}. En effet, un déphasage en dehos de cette zone peut toujous se amene à un déphasage ente { π,π}. En bod de zone de Blloun, la soluton n est pas une onde pogessve mas une onde statonnae. Remaquons que les vbatons dans les cstaux sont de l ode de 0 Hz. Ces vbatons ne peuvent pas ête obsevées pa dffacton de ayons X. En effet, los de l nteacton RX-matèe, les ayons X dont les féquences sont de l ode de 0 8 Hz, ne voent qu un nstantanée des vbatons de éseau. Pa conte, la dffuson de neutons pemet d obseve ces déplacements atomques. En effet, les féquences des neutons sont du même ode de gandeu que les vbatons de éseau. 60

61 6 Fgue VIII- : Relaton de dspeson assocée à des vbatons d un éseau monoatomque VIII-3 Cas d un éseau datomque undmensonnel Consdéons mantenant le cas plus complexe d un éseau D de paamète a et de motf : deux atomes de masse M et M. La constante de appel ente les dfféents atomes sea notée C ca on consdèe unquement les nteactons peme vosn. L équaton du mouvement pou les deux types d atomes devent : ) ( ) ( n n n n n n n n v u u C dt v d M u v v C dt u d M + = + = + Nous chechons les solutons sous la fome : t nka n t nka n e ve v e ue u ω ω = = Cec condut à : Cv e Cu v M Cu e Cv M u Ka Ka ) ( ) ( + = + = ω ω Il y a une soluton non tvale s le détemnant est nul. ) ( ) ( ω ω M C e C e C M C Ka Ka + + Cec condut à : 0 ) cos ( ) ( 4 = + + Ka C M M C M M ω ω Pou Ka pett, cette équaton devent : 0 ) ( ) ( 4 = + + a K C M M C M M ω ω Le dscmnant de cette équaton du second degé en ω est : ) (( a K M M M M c + = Δ )

62 Les acnes sont alos : ( M + M ) ± Δ ω = M M D où : ω = C ( + ) Banche optque M M C ω = K a Banche accoustque M + M Du pont de vue physque, le mode accoustque coespond à la vbaton couplée de tous les atomes en phase. Le mode optque coespond à la vbaton des atomes de type et des atomes de type en opposton de phase (vo fgue VIII-3). Fgue VIII-3 : Vbatons pou un éseau datomque Fgue VIII-4 : Relaton de dspeson pou un éseau D datomque 6

63 XIX DEFAUTS DANS LES RESEAUX XIX-I DEFAUTS PONCTUELS XIX-I- Défnton Il y a deux types de défauts ponctuels. Le peme coespond à une lacune, c est-àde un atome manquant tansféé à la suface du cstal. On le nomme défaut de Schottky. Le second type de défaut coespond à un atome ntesttel. Il se place dans les cavtés de la stuctue, c est le défaut Fenkel. A tempéatue fne (non nulle) T, on touve un cetan nombe de ces défauts ponctuels. La pobablté P de touve ces défauts et donc la popoton n n de défauts ( ) sont foncton de la tempéatue P = = exp( E0 / kt) où E 0 est n + N n + N l énege nécessae pou cée ce type de défaut ca la stuctue déale est la plus stable énegétquement. E 0 est de l ode de 0.5 à ev. A des tempéatues poches du pont de fuson, la concentaton en défauts peut alle jusqu à /. XIX-- Dffuson Dans un matéau s l exste un gadent de concentaton d une espèce chmque A, l y a alos dffuson. La dffuson, c est le déplacement de l atome de l espèce A. Les défauts ponctuels tels que les lacunes peuvent ans dffuse. De même dans un allage AB consttué pa substtuton aléatoe d un atome A dans une matce B, l y a dffuson de l atome de substtuton. La dffuson a leu d une égon de fote concentaton ves une égon de plus fable concentaton. C est su ce pncpe qu un nuage de fumée noe se dsspe ca les molécules dffusent ves des égons mons concentées. La dffuson sut donc une lo appelée lo de Fck : j N = Dgad (C) Où D est le coeffcent de dffuson, j N le flux d atome dffusant A et C la concentaton en atome A. La constante de dffuson dépend généalement de la tempéatue comme : D = D exp( E / k ) 0 BT Pou démonte cette fome, consdéons la dffuson à une dmenson. S ν est la féquence de vbaton d un atome, la pobablté pou qu un atome at assez d énege pou dffuse est : p =ν exp( E / k BT ) Où E est l énege nécessae pou passe d une confguaton à une aute apès dffuson. Sot S(x) le nombe d atomes d mpuetés A pa unté de suface, dans un plan cstalln stué en x. On a S ( x) = C( x) * a (a : dstance nteétculae). Le nombe total d atomes pa unté de suface étant passés en seconde d un plan stué en x ves un plan stué en x+a est la densté de couant j N et vaut : ds ds = S( x) ( S( x) + a ) p = pa = pa dx dx j N dc dx 63

64 On touve alos : D = pa = ν a exp( E / k B T ) Le coeffcent de dffuson peut ête mesué pa des technques de taceu adoactf pa exemple. L ode de gandeu de ce coeffcent de dffuson est cm s -. XIX-II DEFAUTS LINEAIRES : LES DISLOCATIONS XIX II- Intoducton Losqu un matéau est soums à des contantes mécanques, une défomaton s opèe. Cette défomaton peut ête fable et évesble on pale alos de défomaton élastque ; ou plus fote et évesble, on pale de défomaton plastque. Une mage smple de la défomaton de csallement pa exemple seat de consdée que tous les atomes se déplacent en bloc su un plan de glssement comme epésenté fgue XIX-. Cec nécesste alos le passage pa des baèes d énege coespondant à des stuatons telles que epésenté fgue XIX-b. L énege colossale que cela nécesste est popotonnelle au nombe total d atomes du plan de glssement N. Cette mage n estme pas coectement les valeus du csallement ctque obsevé expémentalement. En fat, le csallement ctque obsevé expémentalement est beaucoup plus fable. C est au début du XXème sècle que fut poposée le concept de dslocaton pou explque les ésultats expémentaux. La dslocaton la plus smple est une dslocaton dte con. Elle coespond à l ntoducton d un dem-plan atomque supplémentae dans la pate supéeue du éseau comme epésenté su la fgue XIX-3b. Elle ntodut un champ de contante dans la pate supéeue. La défomaton du cstal coespond alos au déplacement de cette dslocaton qu ne fat nteven qu une lgne d atome N comme le monte la fgue XIX-. Ce phénomène est alos mons coûteux en énege que le modèle smplste poposé ntalement. Fgue XIX- : Déplacement en bloc d atomes los de la défomaton sous csallement 64

65 Fgue XIX- Déplacement d une dslocaton con. XIX II- Caactésaton des dslocatons : vecteu de Buges Pou cée une dslocaton, l faut donc coupe fctvement un dem-cstal. Sépae les lèves suvant un cetan vecteu b, pus ecolle les deux lèves de la coupue. S la sépaaton se fat selon le plan de la coupue, l n y a pas d appot de matèe, c est la dslocaton vs (vo fgue XIX-3a). S la sépaaton se fat pependculaement à la coupue, l faut appote un dem-plan atomque supplémentae, c est la dslocaton con (vo fgue XIX-4b). Dans un mleu péodque tel un cstal on ne peut ecolle que s b est un vecteu du éseau snon, l n y a pas contnuté du cstal lon de la dslocaton. Le fond de la coupue est appelé lgne de dslocaton L. La dslocaton est caactésée pa L et le vecteu b appelé vecteu de Buges. Fgue XIX-3 a) Dslocaton vs b) Dslocaton con Afn de détemne le vecteu de Buges, l faut consdée un cstal déal. Constusons alos un ccut femé en patant d un atome. Ce ccut sea consttué d un cetan nombe de vecteus du éseau écpoque. S l on constut un ccut smlae dans un cstal mpafat autou d un défaut de dslocaton, le ccut ne peut pas se efeme. Le pas supplémentae nécessae pou que le ccut sot femé est alos le vecteu de Buges. La fgue XIX-4 epésente le pncpe de cette méthode. 65