Mathématiques financières

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1 Mathématques fnancères Erwan Penchèvre Espérance condtonnelle Tous les espaces de probablté Ω seront, jusqu à menton explcte du contrare, des ensembles fns et tels que ( ω Ω) p({ω}) >. Défnton 1.1 Sot A et B deux événements, p(b), on rappelle que la probablté condtonnelle de A sachant B est le nombre noté p(a B) p(a B) = p(b) Défnton 1.2 (espérance condtonnelle sachant un événement) Sot X une varable aléatore et B un événement. L espérance condtonnelle de X sachant B est le nombre E(X B) = n X (Ω) np(x = n B) Proposton 1.1 E(X B) = E(X 1 B ) p(b) Défnton 1.3 Sot ξ une varable aléatore et ϕ : ξ(ω) E une foncton à valeurs dans un ensemble E quelconque. Alors ϕ ξ est une varable aléatore à valeurs dans E, notée ϕ(ξ). On dt que c est une foncton détermnste de ξ (pusque sa valeur, ben qu aléatore, est entèrement détermnée par celle de ξ) Défnton 1.4 (lo condtonnelle d une varable sachant ξ) Sot ξ et X deux varables aléatores, et ϕ la foncton défne par : ϕ : X (Ω) ξ(ω) [,1] (n,k) p(x = n ξ = k) Alors à n fxé, ϕ(n,ξ) est une varable aléatore, foncton détermnste de ξ, que l on note π X (n ξ) Autrement dt ( (n,ω) X (Ω) Ω) π X (n ξ)(ω) = p(x = n ξ = ξ(ω)) 1

2 Défnton 1.5 (espérance condtonnelle sachant ξ) Sot ξ et X deux varables aléatores. L espérance condtonnelle de X sachant ξ est une foncton détermnste de ξ, notée E(X ξ) et défne par : E(X ξ) = nπ X (n ξ) Autrement dt, n X (Ω) E(X ξ)(ω) = E(X ξ = ξ(ω)) Proposton 1.2 L espérance condtonnelle sachant ξ vérfe les proprétés suvantes : () Lnéarté : E(λX + µy ξ) = λe(x ξ) + µe(y ξ) () Postvté : s X, alors E(X ξ) (et alors l égalté n est possble que s X est dentquement nulle). () S X est une foncton détermnste de ξ, alors E(X ξ) = X (v) S Z est une foncton détermnste de ξ, et X une varable aléatore quelconque, alors E(Z X ξ) = Z E(X ξ) (v) Sot Z une foncton détermnste de ξ à valeurs dans un ensemble F, et X une varable aléatore quelconque à valeurs dans un ensemble E. Sot H : E F R une foncton de deux varables ; alors H(X, Z ) est une varable aléatore. Sot K la foncton défne par : K : Ω F R (ω, z) E(H(X, z) ξ)(ω) Alors on a : ( ω Ω) E(H(X, Z ) ξ)(ω) = K (ω, Z (ω)) (v) E(X ξ) est l unque varable Y foncton détermnste de ξ vérfant la proprété suvante : Pour toute varable Z foncton détermnste de ξ, on a E(X Z ) = E(Y Z ). (v) S X est une varable aléatore quelconque, alors E(E(X ξ)) = E(X ) (v) S X et ξ sont des varables aléatores ndépendantes, alors E(X ξ) = E(X ) Remarques La proprété (v) rappelle le calcul d une moyenne statstque au sen d une populaton groupée par classes. La récproque de la proprété (v) est fausse. N oublons pas qu on a fat l hypothèse d un modèle fn dscret. La défnton 1.5 est dffcle à généralser ; en revanche, la proprété (v) fournt une caractérsaton de l espérance condtonnelle valable auss pour les varables contnues. 2

3 2 Algèbres et trbus Défnton 2.1 Une trbu sur Ω est un ensemble A de partes de Ω stable par passage au complémentare et par réunon dénombrable. Autrement dt, A P (Ω), et pour toute sute (A n ) n N d éléments de A, l événement est encore un élément de A. A n n N Au moyen de la formule de Morgan, on montre qu une trbu est stable par ntersecton dénombrable : l événement est auss un élément de A. A n n N Remarques Quand Ω est un ensemble fn (comme c est c le cas), on appelle une trbu algèbre, l opératon étant alors l analogue de l addton algébrque, et l opératon l analogue de la multplcaton. L ensemble des partes de Ω noté P (Ω) est lu-même une trbu. Dans un espace de probablté (Ω,A, p), l ensemble A de tous les événements (conçus comme des sous-ensembles de l ensemble Ω des événements élémentares) dot être une trbu. Cec garantt l unversalté de la règle pour calculer la probablté d une réunon dsjonte : ( ) p A n = p(a n ) n N n N Lorsque Ω est de cardnal fn (comme c est c le cas), on peut toujours prendre A = P (Ω) ; au contrare, pour les modèles contnus, ce n est pas toujours possble. Défnton 2.2 S A et B sont deux trbus telles que A B, on dt que A est une sous-trbu de B, et que B est plus fne que A. Exemple fondamental Sot B 1,B 2,...,B n des événements consttuant une partton de Ω : Posons ( j ) Ω = n B =1 B B j = B = {B 1 B 2... B k k N, 1, 2,..., k 1,n } B est une trbu, appelée trbu engendrée par cette partton. On dt que les B sont les atomes de cette trbu. 3

4 Récproque En fat, toute trbu fne est une trbu engendrée par une partton. Sot en effet B une trbu de cardnal fn. Nommons B 1,B 2,...,B n les éléments de B qu ne contennent pas d autre élément de B qu eux-mêmes et la parte vde. Autrement dt : ( 1,n ) ( A B) A B A = B ou A = Alors les B consttuent une partton de Ω, et B est la trbu engendrée par cette partton. Remarquons que, s ω est un élément quelconque de Ω, l atome contenant ω peut s écrre : A A B, ω A Défnton 2.3 Sot X une varable aléatore. Les événements de la forme X = k consttuent une partton de Ω et donc les atomes d une trbu σ(x ) appelée trbu engendrée par X. On a : σ(x ) = {X Γ Γ X (Ω)} Défnton 2.4 Sot B une trbu. Une varable aléatore X est dte B-mesurable s ( Γ X (Ω)) (X Γ) B Remarques S A et B sont deux trbus fnes, dre que B est plus fne que A revent à dre que les atomes de A sont des réunons d atomes de B. Dre que X est B-mesurable revent à dre que cette varable est constante sur les atomes de B. S X 1, X 2,..., X n 1, X n est une famlle de varables aléatores, le (n 1)-uplet (X 1, X 2,..., X n 1 ) et le n-uplet (X 1, X 2,..., X n 1, X n ) sont auss des varables aléatores, et la trbu engendrée par l un est plus fne que celle engendrée par l autre : σ(x 1, X 2,..., X n 1 ) σ(x 1, X 2,..., X n 1, X n ) σ(x ) est la trbu la mons fne pour laquelle X sot mesurable. Les varables σ(x )-mesurables ne sont autres que les fonctons détermnstes de X. Défnton 2.5 (espérance condtonnelle sachant B) Sot B une trbu fne d atomes B 1,B 2,...,B n. Sot X une varable aléatore. L espérance condtonnelle de X sachant B est la varable aléatore B-mesurable suvante : n E(X 1 B ) E(X B) = 1 B p(b ) =1 Remarque S X et ξ sont deux varables aléatores, on a E(X σ(ξ)) = E(X ξ) : ans, l espérance condtonnelle sachant une varable ne dépend pas vrament des valeurs de cette varable, mas seulement de la trbu qu elle engendre. C est ben en cela que résde l ntérêt de travaller avec des trbus. On pourrat auss défnr une sorte de «mesure de probablté condtonnelle sachant B», notée p(... B). On pourrat alors montrer que les éléments de la trbu sont précsément les événements A tels que p(a B) = ou 1. Autrement dt, les éléments d une trbu sont les événements que l on juge être entèrement détermnés «sachant cette trbu» : réalsés, de probablté condtonnelle égale à 1, ou ben au contrare, mpossbles, de probablté condtonnelle nulle. Proposton 2.1 L espérance condtonnelle sachant B vérfe les proprétés suvantes : () S X est B-mesurable, alors E(X B) = X. 4

5 () E(E(X B)) = E(X ). () Pour toute varable aléatore Z B-mesurable, on a E(ZE(X B)) = E(Z X ). (v) Lnéarté : E(λX + µy B) = λe(x B) + µe(y B). (v) Postvté : s X, alors E(X B) (et alors l égalté entraîne que X est dentquement nulle). (v) S B est plus fne que A, alors E(E(X B) A ) = E(X A ). (v) S Z est B-mesurable, alors E(Z X B) = ZE(X B). (v) S X est ndépendante 1 de B, alors E(X B) = E(X ). (x) Une varable aléatore réelle X est ndépendante de la trbu B s et seulement s : ( u R) E(e ux B) = E(e ux ) (on rappelle que le membre de drote est la foncton caractérstque de X, elle caractérse la lo de X c est en quelque sorte la transformée de Fourer de la lo de X ) (x) E(X B) est l unque varable aléatore Y B-mesurable vérfant la proprété suvante : ( B B) E(X 1 B ) = E(Y 1 B ) (x) Sot Z une varable aléatore B-mesurable à valeurs dans un ensemble F. Sot X une varable quelconque à valeurs dans un ensemble E. Sot H : E F R une foncton de deux varables ; alors H(X, Z ) est une varable aléatore. Notons K : Ω F R (ω, z) E(H(X, z) B)(ω) Alors, ( ω Ω) E(H(X, Z ) B)(ω) = K (ω, Z (ω)). 1. On dra qu une varable X est ndépendante d une trbu B quand chaque événement de la forme X = k est ndépendant de chaque événement de B. 5

6 3 Proprété de Markov Défnton 3.1 (chaîne de Markov) Sot E un ensemble fn de cardnal N appelé espace d états, et (X n ) n N une sute de varables aléatores à valeurs dans E. Pour tout n, on note F n = σ(x 1,..., X n ). Ces trbus sont de plus en plus fnes, et on appelle (F n ) n N la fltraton naturelle assocée à la sute (X n ). On dt que la sute (X n ) vérfe la proprété de Markov, ou qu elle est une chaîne de Markov, lorsque, pour toute foncton f : E R, on a ( n N) E(f (X n+1 ) F n ) = E(f (X n+1 ) X n ) Quand la sute (X n ) représente un processus aléatore et que l enter n représente une date, la proprété de Markov sgnfe que «le futur ne dépend du passé qu à travers le présent». Remarque Posons f = 1 {j }. Les valeurs de l espérance condtonnelle E(1 {j } (X n+1 ) X n ) sur les atomes de la trbu σ(x n ) sont les probabltés condtonnelles p(x n+1 = j X n = ). Il est alors facle de vor que la proprété de Markov est équvalente à la proprété suvante : (, 1,..., n 1,, j E) p(x n+1 = j (X = )... (X n 1 = n 1 ) (X n = )) = p(x n+1 = j X n = ) Défnton 3.2 (matrce stochastque) Sot (X n ) une chaîne de Markov. S les probabltés condtonnelles p(x n+1 = j X n = ) ne dépendent pas de n, on dt que c est une chaîne de Markov homogène. On lu assoce alors une matrce carrée M dte matrce stochastque dont les coeffcents sont : M,j = p(x n+1 = j X n = ) Il est auss commode de représenter ces probabltés condtonnelles sur les arêtes d un graphe orenté dont les nœuds sont les éléments de E. Exemples Vor les exercces (problème des deux urnes, téléphone arabe, fortune du joueur). Il est commode de représenter toute foncton µ : E R par un vecteur- Probablté nvarante lgne dans R N : (µ(k)) k E En partculer, notons µ n la lo de probablté de X n, on assmle donc µ n au vecteur-lgne suvant : On a alors (vérfez-le) : (p(x n = k)) k E µ n+1 = µ n M Queston ntéressante : la sute de vecteurs (µ n ) n N est-elle convergente? Remarquons que, s tel est le cas, alors sa lmte µ dot être une «lo de probablté nvarante» au sens où : µ = µ M La queston de la convergence des chaînes de Markov est donc étrotement lée à celle de l exstence de probabltés nvarantes. J énoncera c-dessous tros théorèmes répondant à ces questons, sans les démontrer. Théorème 3.1 Pour toute chaîne de Markov homogène de matrce stochastque M, l exste des los de probabltés nvarantes : ( µ R N ) µ = µ M, µ (k) = 1 et ( k) µ (k) k 6

7 Défnton 3.3 On dt qu une chaîne de Markov est rréductble s tous les états communquent, au sens où : (, j E) ( n N) p(x n = j X = ) > Théorème 3.2 Pour toute chaîne de Markov homogène rréductble, l exste une unque lo de probablté nvarante µ. De plus, ( k) µ (k) >. Défnton 3.4 On montre faclement que toute valeur propre d une matrce stochastque M est de module nféreur ou égal à 1. S 1 est l unque valeur propre de M de module 1, on dt que M est apérodque. Théorème 3.3 Pour toute chaîne de Markov homogène rréductble apérodque, la lo de X n converge vers l unque lo de probablté nvarante µ. Classfcaton des états d une chaîne de Markov Sot y E un état. Quelque sot l état d une chaîne de Markov homogène (X n ) n N au temps, on peut s ntéresser au «premer temps de retour en y», c est-à-dre à la varable aléatore T y défne par : T y = nf{n 1 X n = y} Quand ( n 1) X n y, on notera T y =. Sot un état x E, notons ρ x y = p(t y < X = x) On dra que l état y est récurrent s ρ y y = 1 ; snon, on dra qu l est transtore. Il y a toujours au mons un état récurrent. Tous les états d une chaîne rréductble sont récurrents. Sot C E un ensemble d états récurrents. On dra que C est clos s l est mpossble d en sortr, au sens où ( x C) ( y C) ρ x y =. Il est alors possble de décomposer E en un réunon dsjonte E = E T C 1... C p où E T est l ensemble des états transtores, et les C sont des ensembles clos rréductbles. 7

8 4 Marchés fnancers Défnton 4.1 Un marché fnancer est un espace de probablté (Ω, A, p) mun d une fltraton crossante (F n ) n N (une sute de trbus de plus en plus fnes), et d une sute de vecteurs aléatores S n S 1 n S n =. à valeurs dans (R + )d+1, adaptée à la fltraton, chaque varable aléatore Sn étant F n -mesurable et représentant le prx de l actf -ème du marché à la date n. L actf -ème (Sn ) est un actf sans rsque, c est-à-dre un placement sur un compte en banque au taux d ntérêt r, et S = 1. La valeur de la monnae change au cours du temps, et pour comparer des prx à des nstants 1 dfférents on actualse les valeurs : pour posséder 1 à la date n, l faut placer (1 + r ) n à la date sur un compte épargne au taux d ntérêt r. Dans la sute, on notera ce coeffcent d actualsaton 1 β n = (1 + r ) n Pour comparer les prx des actfs, on les exprme selon la valeur de la monnae à la date. Le prx actualsé du -ème actf sera alors noté : S d n S n = β ns n Défnton 4.2 Une stratége de geston de portefeulle ϕ est une sute prévsble de vecteurs aléatores ϕ n = à valeurs dans R d+1, c est-à-dre telle que pour tout n, les ϕ n sont des varables aléatores F n 1 - mesurables. Peu mporte la valeur de ϕ, on pose par conventon ϕ = ϕ 1. La valeur du portefeulle à la date n est d V n (ϕ) = ϕ n S n = ϕ n,s n = Le fat que (ϕ n ) sot une sute prévsble sgnfe qu à la date n, vous réorgansez votre portefeulle de composton ϕ n en achetant et en revendant des actfs aux cours S n, et vous décdez ans de la composton ϕ n+1 de votre portefeulle au vu des cours passés et présents jusqu à la date n ncluse. Pus le cours des actfs évolue et devent S n+1 à la date (n + 1). On a : V n+1 (ϕ) V n (ϕ) = ( ϕ n+1,s n+1 ϕ n+1,s n ) + ( ϕ n+1,s n ϕ n,s n ) c est-à-dre ϕ n ϕ 1 n. ϕ d n V n+1 (ϕ) = ϕ n+1, S n+1 + ϕ n+1,s n (1) Le terme de gauche de cette somme est la varaton de la valeur du portefeulle due à la varaton des cours des actfs à la date (n +1), le terme de drote est la varaton de la valeur du portefeulle 8

9 due aux ventes, achats, apports extéreurs et consommaton que vous effectuez à la date n, au cours S n. Notez qu on autorse ϕ n < : pour l actf sans rsque, cela sgnfe un emprunt au taux sans rsque r, et pour les actfs rsqués, cela sgnfe une vente à découvert. Défnton 4.3 Une stratége autofnancée est une stratége ϕ telle que ϕ n+1,s n ϕ n,s n = pour tout n. Autrement dt, dans une stratége autofnancée, apports extéreurs et consommaton sont nterdts. Le terme de drote s annule alors dans l équaton 1, et on a : V n (ϕ) = ϕ,s + n ϕ k, S k Les valeurs actualsées vérfent une équaton analogue à l équaton 1 : k=1 Ṽ n+1 (ϕ) = ϕ n+1, S n+1 + ϕ n+1, S n (2) où l faut ben noter que S n+1 = β n+1 S n+1 β n S n. Dans le cas d une stratége autofnancée, on a donc auss n Ṽ n (ϕ) = ϕ,s + ϕ k, S k mas la valeur actuelle de l actf sans rsque est constante, S = pour tout k ; on peut donc k récrre l équaton plus smplement : Ṽ n (ϕ) = V (ϕ) + k=1 n ϕ 1 k S 1 k ϕd k S d k k=1 où l on vot qu une stratége autofnancée est entèrement détermnée par la donnée de V (ϕ) R et des N vecteurs aléatores suvants, à valeurs dans R d : ϕ 1 n. ϕ d n On vot d autre part que l ensemble des Ṽ N (ϕ) est un sous-espace vectorel de l espace vectorel des varables aléatores défnes sur Ω. Défnton 4.4 Une stratége autofnancée ϕ est dte admssble s V n (ϕ) pour tout n. Défnton 4.5 Une stratége admssble ϕ est un arbtrage s V (ϕ) = et p(v N (ϕ) > ) >. Autrement dt, un arbtrage est une stratége qu n entraîne aucune perte (vous êtes sûr de toujours pouvor lquder votre portefeulle sans perte) et qu présente des gans à la date N avec probablté non nulle. Défnton 4.6 Un marché vable est un marché fnancer où n exste pas de stratége d arbtrage. Dans la pratque, un marché qu n est pas vable tend à le devenr à cause de la lo de l offre et de la demande : s le cours d un actf est très bas, c est-à-dre s l on peut s attendre, en l achetant, à fare des profts à coup sûr sans prendre de rsque, tout le monde va le fare, donc son cours va augmenter beaucoup et la stuaton ne durera pas... 9

10 5 Martngales et vablté des marchés Défnton 5.1 Sot (F n ) n N une fltraton crossante et (X n ) une sute adaptée de varables aléatores à valeurs réelles. s ( n) E(X n+1 F n ) = X n, on dt que (X n ) est une F n -martngale s ( n) E(X n+1 F n ) X n, on dt que (X n ) est une F n -sous-martngale s ( n) E(X n+1 F n ) X n, on dt que (X n ) est une F n -sur-martngale Remarquez que ces tros condtons dépendent smplement du sgne de E(X n+1 F n ) X n = E(X n+1 X n F n ) = E( X n+1 F n ) Proposton 5.1 () La sute adaptée (X n ) est une F n -martngale (resp. sous-martngale, surmartngale) s et seulement s ( n, N ) ( m n) E(X m F n ) = X n (resp. X n, X n ) () Une combnason lnéare de martngales est une martngale. Une combnason lnéare à coeffcents postfs de sous-martngales (resp. sur-martngales) est une sous-martngale (resp. sur-martngale). () La sute (X n ) est une sous-martngale s et seulement s ( X n ) est une sur-martngale. (v) Sot ϕ une foncton convexe et (X n ) une martngale, alors ϕ(x n ) est une sous-martngale. (v) S (X n ) est une martngale, on a E(X N ) = E(X ). Défnton 5.2 Sot (X n ) une sute adaptée à (F n ) et (U n ) une sute prévsble. La transformée de (X n ) par (U n ) est la sute notée (U X ) n et défne par : (U X ) n = U X + n U k X k Autrement dt, (U X ) n = U n X n. Toute cette théore s étend aux dmensons supéreures. Par exemple, la sute de vecteurs aléatores (S n ) à valeurs dans (R+ )d+1 vue dans la secton précédente est une martngale s chaque composante Sn est une martngale. S (ϕ n ) est une sute prévsble de vecteurs aléatores à valeurs dans R d+1, la transformée de la sute (S n ) par la sute (ϕ n ) est défne au moyen du produt scalare : (ϕ S) n = ϕ n, S n On a donc : k=1 V n (ϕ) = (ϕ S) n Théorème 5.1 S (X n ) une martngale et (U n ) une sute prévsble, alors (U X ) n est une martngale. S (X n ) est une sous-martngale (resp. sur-martngale) et (U n ) une sute prévsble à valeurs postves, alors (U X ) n est une sous-martngale (resp. sur-martngale). Théorème 5.2 Récproquement, sot (X n ) une sute adaptée telle que pour tout sute prévsble (U n ) on at E((U X ) N ) = E(U X ), alors (X n ) est une martngale. Théorème 5.3 Un marché fnancer est vable s et seulement s l exste une mesure de probablté p (dte probablté rsque neutre) équvalente 2 à p et sous laquelle les prx actualsés des actfs sont des martngales. 2. c est-à-dre que, comme p, la mesure p vérfe ( ω) p ({ω}) >. 1

11 Remarques Le fat que l exstence d une probablté rsque neutre mplque la vablté du marché est une conséquence assez évdente des défntons et du théorème 5.1. En effet, supposons que ( S n (d) ) est une martngale, et sot ϕ une stratége autofnancée telle que V (ϕ) = et V N (ϕ). Alors Ṽ n (ϕ) = (ϕ S) n est une martngale donc E(Ṽ N (ϕ)) = V (ϕ) =, et cec mplque (postvté de l espérance) que V N (ϕ) est dentquement nulle. La récproque (cf. [7] pp ) est beaucoup plus subtle et repose sur le théorème de Hahn-Banach. On a vu que la vablté des marchés état une hypothèse assez naturelle, renforcée par la lo de l offre et de la demande. Sous cette hypothèse, et sous une certane mesure de probablté, les prx actualsés des actfs sont donc des martngales ; le théorème 5.1 mplque qu alors la valeur actualsée de tout portefeulle est elle-même une martngale. Cec ne réjoura guère le spéculateur qu souhaterat au contrare avor une sous-martngale (c està-dre des espérances futures supéreures à la valeur présente du portefeulle). On comprend là pourquo les marchés fnancers organsés pratquent les arbtrages : en cas de dérve, l auto-régulaton de l offre et de la demande permet alors le retour à la vablté et donc l mpossblté des stratéges d arbtrages et de la spéculaton. 11

12 6 Couverture et marchés complets Sot un marché fnancer consttué d un actf sans rsque S n et d un actf rsqué S n. Défnton 6.1 Une opton européenne est une varable aléatore postve F N -mesurable h. Autrement dt, on s ntéresse à une opton européenne, dont la date d échéance est égale à l horzon N du marché, et sa valeur à cette date est h. Tout le problème est alors d estmer le prx d une telle opton à la date. Exemples Le call européen sur le sous-jacent S n, de prx d exercce K et d échéance N est la varable h = (S N K ) + = max(,s N K ). Cette opton donne le drot à son possesseur d acheter l actf S n à l échéance au prx K. Elle n aura de valeur que s S N > K, et sa valeur est alors (S N K ) : l achète l actf S N au prx K, qutte à le revendre mmédatement au prx S N en empochant la dfférence (S N K ). Le put européen sur le sous-jacent S n, de prx d exercce K et d échéance N est la varable h = (K S N ) +. Un put européen asatque sur le sous-jacent S n, de prx d exercce K et d échéance N est une varable aléatore de la forme h = (K U) + où avec I, N. S k k I U = cardi En pratque Les optons sont des nstruments de couverture du rsque de varaton du cours de l actf sous-jacent S n (vor exemple étudé au début de l année). S, à la date, quelqu un me vend une opton h, l s engage alors à me fournr la somme h à l échéance (date N). À charge à ce vendeur de consttuer un portefeulle qu, à l échéance, lu permettra de me payer. On appelle cela un «portefeulle de couverture» ou une «stratége de réplcaton». Plus précsément : Défnton 6.2 Une stratége de réplcaton est une stratége ϕ admssble telle que V N (ϕ) = h. Remarque S le marché est vable, l exstence d une stratége ϕ autofnancée telle que V N (ϕ) = h entraîne son admssblté. Proposton 6.1 Sot h une opton réplcable par une stratége ϕ dans un marché vable. Alors s l on adjont au marché un nouvel actf H n = V n (ϕ), le marché reste vable. On dt que H n est un «prx excluant l arbtrage». Autrement dt, pour que le vendeur de l opton pusse consttuer son portefeulle de couverture à la date, l aura tout ntérêt à vendre son opton h à un prx V (ϕ). Les arbtrages et la lo de l offre et de la demande feront même tendre ce prx vers V (ϕ). Démonstraton. Sous p, la sute (Ṽ n (ϕ)) n est une martngale car c est une transformée de martngales... 12

13 Remarque Sot h une opton réplcable par une stratége ϕ dans un marché vable, alors son prx excluant l arbtrage est, à la date n : V n (ϕ) = β N n E (h F N ) Ce prx ne dépend donc n de la stratége de couverture ϕ, n de la tendance du marché (pusque l espérance E est calculée sous la probablté p sous laquelle les cours des actfs sont, en moyenne, constants). Il y a là un paradoxe. S l est davantage probable que le cours de l actf crosse, alors j a l mpresson de devor vendre mes calls plus chers ; mas en réalté l n en est ren, car je me couvre contre la hausse justement en achetant de cet actf, ce qu compense le désavantage que je rsque de subr... Encore faut-l qu l exste une stratége de réplcaton! Défnton 6.3 Un marché est dt complet s toute opton européenne est réplcable. Théorème 6.1 Un marché vable est complet s et seulement s l exste une unque probablté rsque neutre p sous laquelle les prx actualsés des actfs sont des martngales. Démonstraton : pour l nstant, on se contentera de montrer la seconde mplcaton ( ). Sot une quelconque varable aléatore réelle postve h, et ϕ sa couverture. Sot p et p deux probabltés rsque neutre. Sous chacune, ( S n ) est une martngale, et on a donc : V (ϕ) = β N E (h) = β N E (h) Toutes les varables aléatores réelles postves ont donc même espérance sous p et sous p. Cec mplque que ces deux mesures de probabltés sont égales. Quelques arbtrages Sot h une opton réplcable, vendue à un prx H > V (ϕ). Voc une stratége d arbtrage. Je «smule» une telle opton en me consttuant un tel portefeulle ϕ, cela me coûte V (ϕ) à la date. Je peux alors vendre cette opton, et je la vends au prx du marché, c est-à-dre H. J empoche la dfférence H V (ϕ) que je place sur un compte épargne au taux sans rsque. À l échéance, sot mon acheteur exerce l opton et je sus tenu de lu donner h = V N (ϕ) (c est facle, l me sufft de revendre mon portefeulle), sot l n exerce pas parce que h = V N (ϕ) =. Dans les deux cas, j a ben gagné β N (H V (ϕ)) ; l s agt donc d un arbtrage. Sot h une opton réplcable, vendue à un prx H < V (ϕ). Voc une stratége d arbtrage. J achète mmédatement une telle opton. Pour ce fare, je «vends à découvert» les actfs consttuant la stratége de réplcaton ϕ, au prx V (ϕ). J empoche la dfférence (V (ϕ) H ) que je place sur un compte épargne. À l échéance, sot j exerce mon opton et je touche h = V N (ϕ), ce qu me permet d honorer mes emprunts et ventes à découvert, sot h = V N (ϕ) = et je sus qutte de toute dette. Dans les deux cas, j a ben gagné β N (H V (ϕ)) ; l s agt donc d un arbtrage. Même sans connaître de stratége de réplcaton, l y a une relaton entre call, put et actf sous-jacent qu peut donner leu à des arbtrages : c est la relaton de parté call-put P + S = β N K +C où C et P sont les prx respectfs (à la date ) d un call et d un put européens de sous-jacent S n, d échéance N et de prx d exercce K. Supposons par exemple P +S > β N K +C. Voc un arbtrage. Je smule un put en vendant à découvert un actf rsqué S et en achetant un call. Je vends ce put au prx du marché, c est-à-dre P. J empoche la dfférence P +S C > β N K, et je place cette somme sur un compte épargne. J attends l échéance. S S N > K, j exerce mon call et j achète au 13

14 ( P + S C prx K l actf que je dos (pusque je l a vendu à découvert) ; l restera donc β N ) K sur mon compte épargne. S au contrare S N < K, j achètera l actf que je dos au prx S N, et je devras ( encore honorer) mon contrat avec l acheteur du put en lu donnant (K S N ). Là auss, l P + S C restera K sur mon compte épargne ; l s agt donc d un arbtrage. β N 14

15 7 Cox-Ross-Rubnsten Sot un marché fnancer consttué d un actf sans rsque au taux r et d un actf rsqué (S n ) défn par : { S = s S n+1 = T n+1 S n où les T n sont des varables aléatores à deux valeurs (1+a) < (1+b), pas forcément ndépendantes n équdstrbuées (quand elles le sont, (S n ) est une chaîne de Markov homogène et (lns n ) une marche aléatore). ( n 1, N ) T n {1 + a,1 + b} Ω = {1 + a,1 + b} N (F n ) est la fltraton naturelle engendrée par la sute (T n ) : { F = {Ω, } F n = σ(t 1,T 2,...,T n ) Proposton 7.1 S r ]a, b[, alors l exste un arbtrage. Démonstraton. Supposons par exemple que r b. Alors je vends à découvert un actf à la date : ϕ = 1, ϕ = s Pus j attends la date N sans ren fare. V N (ϕ) = s (1 + r ) N S N et l arrve même, avec probablté non nulle, que V N (ϕ) >. En effet, S N = s T 1 T 2...T N s (1 + b) N s (1 + r ) N ; l égalté mplque que tous les T n valent (1 + b), mas l dot arrver, avec probablté non nulle, que certans des T n vallent (1 + a), car ( ω) p({ω}) >. Autre démonstraton. Supposons qu l n exste pas d arbtrage, alors d après le théorème 5.3, l exste une probablté p sous laquelle ( S n ) est une martngale, donc : c est-à-dre : On a alors 1 + a < 1 + r < 1 + b r S ne (T n+1 F n ) = S n (1 + a)p (T n+1 = 1 + a F n ) + (1 + b)p (T n+1 = 1 + b F n ) = 1 + r (3) Exstence d une probablté p dans Cox-Ross-Rubnsten Il sufft de trouver une mesure de probablté vérfant l équaton (3) c-dessus. Autrement dt, le couple (p (T n+1 = 1 + a F n ), p (T n+1 = 1 + b F n )) dot être soluton du système d équatons suvant : { (1 + a)x + (1 + b)y = (1 + r ) x + y = 1 15

16 Ce système a une unque soluton donnée par les formules de Cramer. Il faut donc que : r b p 1 1 (T n+1 = 1 + a F n ) = a b = b r b a 1 1 a r p 1 1 (T n+1 = 1 + b F n ) = a b 1 1 = r a b a Quand r ]a, b[, ces deux nombres tombent dans l ntervalle [, 1], et cela défnt entèrement la probablté p. En partculer, on vot que la lo de (T n ) sous p est la même pour tout n, et que T n+1 est ndépendante de F n : la sute (S n ) est donc une chaîne de Markov homogène. Dans ces condtons, le modèle de Cox-Ross-Rubnsten défnt un marché vable. Couverture effectve ϕ d une opton européenne h À la date n, notons H n le prx de h excluant l arbtrage. On va détermner les H n, ϕ n, ϕ n par nducton descendante en partant de l échéance n = N de l opton. Il est commode de représenter Ω par un arbre bnare : les dfférents chemns menant de la racne à un nœud de nveau n représentent alors les dfférents atomes de F n. Consdérons un atome de F n 1. À la date suvante, cet atome se scnde en deux atomes de F n : S n 1 = s H n 1 = c ϕ n = x ϕ n = y r a b a b r b a { Sn = (1 + b)s H n = c + { Sn = (1 + a)s H n = c Le fat qu aux dates (n 1) et n, le portefeulle ϕ couvre l opton h s exprme par les tros équatons lnéares suvantes : (1 + r ) n 1 x + sy = c (1 + r ) n x + (1 + b)sy = c + (1 + r ) n x + (1 + a)sy = c Les deux dernères suffsent à détermner y : y = c + c (1 + b)s (1 + a)s Ce quotent est souvent appelé rato de couverture. On peut auss exprmer y comme soluton des deux premères équatons et l écrre alors sous la forme y = β nc + β n 1 c β n (1 + b)s β n 1 s Enfn, la premère et la dernère équatons donnent : y = β nc β n 1 c β n (1 + a)s β n 1 s 16

17 On a donc en tout cas ϕ n = H n H n 1 S n S n 1 = H n S n, autre forme du rato de couverture qu fat beaucoup penser à un quotent dfférentel. Le prx ex- Formule explcte de prx d un call européen sous Cox-Ross-Rubnsten cluant l arbtrage à la date n est : H n = β N n E ((S N K ) + F n ) = β N n E ((S ( n T n+1 T n+2...t N K ) + F n ) ( ) ) N n b r k ( r a ) N n k = β N n (S n (1 + a) k (1 + b) N n k K ) + C k N n b a b a k= 17

18 8 Enveloppe de Snell et optons amércanes Défnton 8.1 Sot (Z n ) une sute adaptée à la fltraton (F n ). L enveloppe de Snell de la sute (Z n ) est la sute (U n ) défne par : U N = Z N U n = Z n E(U n+1 F n ) ( n < N) Proposton 8.1 L enveloppe de Snell (U n ) de la sute (Z n ) est la plus pette F n -surmartngale majorant (Z n ). Démonstraton. Le fat que (U n ) sot une surmartngale majorant (Z n ) résulte mmédatement de sa défnton. Montrons que c est la plus pette. Sot (Y n ) une autre surmartngale majorant (Z n ). Par récurrence descendante, supposons que Y n+1 U n+1. Alors Y n E(Y n+1 F n ) E(U n+1 F n ). Comme d autre part Y n Z n, on a ben Y n Z n E(u n+1 F n ) = U n Applcaton Une opton amércane dans un marché fnancer (Sn,S n) est une sute Z n adaptée. Par exemple, un call amércan est une sute de la forme Z n = (S n K ) + Pour tout n, Z n est le proft que permet l exercce de l opton à la date n : contrarement aux optons européennes, on n est pas oblgé d attendre l échéance pour exercer une opton amércane. Un rasonnement par récurrence descendante permet de calculer la valeur d une telle opton dans un marché complet. Supposons qu elle valle U n à la date n. C est le prx de la couverture de l opton à cette date. À la date (n 1), s le possesseur de l opton exerce, l empoche Z n 1, et le vendeur de l opton dot donc être prêt à lu payer cette somme ; mas s l n exerce pas, le vendeur dot avor un portefeulle de couverture dont la valeur à la date n sera au mons égale à U n. Un tel portefeulle, actualsé, est une martngale sous p, donc sa valeur à la date (n 1) sera au mons E (β n U n F n 1 ) Pour que le vendeur ne sot jamas prs à dépourvu, l faut donc que On a alors donc (Ũ n ) est l enveloppe de Snell de ( Z n ). U n 1 = Z n 1 E (U n F n 1 ) 1 + r Ũ n 1 = Z n 1 E (Ũ n F n 1 ), Remarque Le call amércan est en fat dentque au call européen! On va le démontrer par récurrence. Supposons qu ls ont même valeur pour les dates > n. La convexté de la foncton S N ( S N β N K ) + entraîne l négalté suvante : E (Ũ n+1 F n ) = E ( C n+1 F n ) = E (( S N β N K ) + F n ) ( E ( S N F n ) β N K ) + = ( S n β N K ) + On a d autre part β N β n donc : ( S n β N K ) + ( S n β n K ) + = Z n Fnalement, E (Ũ n+1 F n ) Z n donc Ũ n = E (Ũ n+1 F n ) = E ( C n+1 F n ) = C n, ans les deux optons ont déja même valeur à la date n, ce qu l fallat démontrer. 18

19 Quand faut-l exercer une opton amércane? Il ne faut surtout pas exercer tant que Z n < Ũ n. Dans le beson, on a meux à fare : vendre l opton à son prx U n. Dès que Z n touche son enveloppe de Snell Ũ n, on peut exercer, mas l peut être dommageable d attendre trop longtemps. La décomposton de Doob de la surmartngale (Ũ n ) nous permettra de détermner la dernère date optmale d exercce d une opton amércane. Décomposton de Doob Dans un marché complet, la valeur actualsée d un portefeulle de couverture d une opton amércane est une martngale. Notons-la M n. Pour qu un tel portefeulle suffse à couvrr l opton, l faut que ( n) M n Ũ n. Ecrvons donc M n = Ũ n + à n, avec à n. Supposons connue la valeur d un tel portefeulle jusqu à la date n, et M = Ũ. Pour que ( M n ) sot une martngale, l faut et l sufft que sot ( n) E ( M n+1 F n ) = M n, ( n) E (à n+1 F n ) = M n E (Ũ n+1 F n ). Cette quantté est postve car la sute (Ũ n ) est une surmartngale. Il sufft donc de poser à n+1 = M n E (Ũ n+1 F n ) M n+1 = Ũ n+1 + à n+1 Cette constructon par récurrence des sutes ( M n ) et (à n ) s appelle décomposton de Doob de la surmartngale (Ũ n ). Proposton 8.2 Dans la décomposton de Doob de la surmartngale (Ũ n ), la sute (à n ) est une sute postve, prévsble et crossante. Démonstraton. De par sa défnton, à n+1 est clarement F n -mesurable. On a vu qu elle état postve car (Ũ n ) est une surmartngale. De plus à n+1 à n = E (à n+1 à n F n ) = E ( M n+1 M n F n ) E (Ũ n+1 Ũ n F n ) et cette quantté est auss postve, donc (à n ) est crossante. Dernère date optmale d exercce Tant que à n+1 est nul, on peut attendre : l opton se comporte comme la martngale M n. En revanche, dès que à n+1 > (et on peut le prévor à la date n) l faut exercer ou ben vendre cette opton, qutte à consttuer mmédatement le portefeulle de valeur M n qu majorera toutes les valeurs ultéreures de l opton. Exemple On consdère un put amércan de prx d exercce K = 1, d échéance N = 3, sur un actf sous-jacent obéssant au modèle de Cox-Ross-Rubnsten avec S = 1, a = 6 %, b = 12 %, et le taux sans rsque r = 3 %. Outre Z n, U n, A n, on calculera la quantté d actf sous-jacent ϕ n entrant dans la composton du portefeulle de couverture de valeur M n (par la méthode du rato de couverture). Enfn, on calculera auss la valeur du put européen de mêmes paramètres pour comparer ces deux optons. Attenton : pour les optons européennes, on pouvat représenter Ω par un «arbre bnare recombnant», mas non pour les optons amércanes (car les sutes A n, M n ne sont pas construtes par récurrence descendante) et la complexté des algorthmes s en ressent. 19

20 S 1 = 94 P 1 = 4,48 Z 1 = 6, U 1 = 6 A 2 =,11, ϕ 2 =,66 S = 1 P = 2,29 Z =, U = 3,3 A 1 =, ϕ 1 =,32 S 1 = 112 P 1 =,24 Z 1 =, U 1 =,24 A 2 =, ϕ 2 =,2 S 2 = 88,36 P 2 = 8,73 Z 2 = 11,64, U 2 = 11,64 A 3 = 3,11, ϕ 3 = 1 S 2 = 15,28 P 2 =,5 Z 2 =, U 2 =,5 A 3 =,11, ϕ 3 =,5 S 2 = 15,28 P 2 =,5 Z 2 =, U 2 =,5 A 3 =, ϕ 3 =,5 S 2 = 125,44 P 2 = Z 2 =, U 2 = A 3 =, ϕ 3 = S 3 = 83,6 P 3 = 16,94 Z 3 = 16,94, U 3 = 16,94 S 3 = 98,96 P 3 = 1,4 Z 3 = 1,4, U 3 = 1,4 S 3 = 98,96 P 3 = 1,4 Z 3 = 1,4, U 3 = 1,4 S 3 = 117,91 P 3 = Z 3 =, U 3 = S 3 = 98,96 P 3 = 1,4 Z 3 = 1,4, U 3 = 1,4 S 3 = 117,91 P 3 = Z 3 =, U 3 = S 3 = 117,91 P 3 = Z 3 =, U 3 = S 3 = 14,49 P 3 = Z 3 =, U 3 = 2

21 9 Le mouvement brownen a Brown a opéré avec des grans de pollen de certanes plantes, c est-à-dre, des partcules ou granules d une grosseur naccoutumée, dont la longueur varat d un quatre mllème à un cnq mllème d un pouce. Il dt en outre : Pendant que j examnas la forme de ces partcules mmergées dans l eau, j a observé que beaucoup d entre elles étaent manfestement en mouvement... Ces mouvements étaent tels que, après des observatons souvent répétées, je fus persuadé qu ls ne pouvaent provenr n du courant du flude, n de son évaporaton graduelle, mas qu ls appartenaent à la partcule même. Ce que Brown observat, c état l agtaton ncessante de granules en suspenson dans l eau et vsbles au mcroscope. C est un spectacle mpressonnant. Pour observer ce phénomène, est-l essentel de fare un chox de plantes partculères? Brown a répondu à cette queston en répétant l expérence avec beaucoup de plantes dfférentes ; l a trouvé que tous les granules, s ls sont suffsamment petts, manfestent un tel mouvement quand ls sont en suspenson dans l eau. Il a de plus constaté le même genre de mouvement ncessant et rréguler de pettes partcules de substances norganques auss ben qu organques. Même en pulvérsant un fragment de sphnx, l a observé le même phénomène. Comment faut-l explquer ce mouvement? Il paraît contradctore à toute l expérence antéreure. L observaton de la poston d une de ces partcules en suspenson pendant trente secondes par exemple révèle la forme fantastque de son chemn. La chose bouleversante, c est le caractère de son mouvement apparemment éternel. Un pendule oscllant mmergé dans l eau s arrête bentôt, s on ne lu mprme pas un mouvement par une force extéreure. L exstence d un mouvement qu ne s arrête jamas paraît contrare à toute l expérence. Cette dffculté fut éclarce d une manère éclatante par la théore cnétque de la matère. Quand on observe l eau avec un de nos plus pussants mcroscopes, on ne vot pas de molécules en mouvement, telles que les dépent la théore cnétque de la matère. Il faut en conclure que s la théore qu consdère l eau comme un amas de partcules est juste, leur volume dot être au delà des lmtes de vsblté des melleurs mcroscopes. Restons néanmons fdèles à la théore et admettons qu elle représente une mage conforme à la réalté. Les partcules brownennes vsbles au mcroscope sont bombardées par les partcules plus pettes qu consttuent l eau. Le mouvement brownen exste, s les partcules bombardées sont suffsamment pettes. Il exste, parce que ce bombardement n a pas leu d une manère unforme de tous les côtés, et l on ne peut pas, à cause de son caractère rréguler et contngent, en établr une moyenne. Le mouvement observé est ans le résultat d un mouvement non observable. Le comportement des grosses partcules reflète jusqu à un certan pont celu des molécules et consttue, pour ans dre, un grossssement s élevé qu l devent vsble au mcroscope. Le caractère rréguler et contngent du chemn que parcourent les partcules brownennes reflète une rrégularté smlare des chemns que parcourent les partcules plus pettes qu consttuent la matère. Nous comprenons ans qu une étude quanttatve du mouvement brownen nous permette de pénétrer plus profondément dans la théore cnétque de la matère. Il est évdent que le mouvement brownen vsble dépend de la grosseur des molécules nvsbles qu effectuent le bombardement. Il n y aurat pas de mouvement brownen du tout, s les molécules bombardantes ne possédaent pas une certane quantté d énerge, ou, en d autres termes, s elles n avaent pas une masse et une vtesse. Il n est, par conséquent, pas étonnant que l étude du mouvement brownen pusse condure à la détermnaton de la masse d une molécule. a. Albert Ensten et Leopold Infeld, The Evoluton of Physcs : From Early Concept to Relatvty and Quanta, 1938, Cambrdge Unv. Press, chap

22 9.1 Motvaton : les marchés contnus Il faut adapter les défntons vues dans les sectons précédentes au cas d une varable temps contnue. On se lmtera au cas d un unque actf rsqué. Défnton Un processus stochastque à valeurs réelles et à temps contnu est une famlle (X t ) t de varables aléatores réelles sur (Ω,A, p) ndcées par une varable temps t R. Remarque C est une sorte de foncton aléatore. À ω fxé, on a ben une foncton, appelée trajectore : t X t (ω) Défnton Un marché fnancer contnu est un espace de probablté (Ω, A, p) mun d une fltraton crossante (F t ) t, avec un actf sans rsque captalsé en contnu S () t = e Rt, et un processus stochastque (S t ) t représentant l actf rsqué, tel que chaque S t est F t -mesurable. Défnton Une stratége ϕ est un couple de processus stochastques (H () t, H t ) où H () t et H t sont F t -mesurables. H () t est le quantté d actf sans rsque et H t la quantté d actf rsqué présentes dans le portefeulle à l nstant t. La valeur du portefeulle à l nstant t est : V t (ϕ) = H () t e Rt + H t S t Remarque On a vu (cf. exercce) qu en fasant tendre le nombre N de pas de dscrétsaton vers l nfn, le modèle de Cox-Ross-Rubnsten devent un marché contnu avec un actf sans rsque S () t = e Rt captalsé en contnu au taux nomnal R, et un actf rsqué S t tel que lns T ln s suve une lo normale de paramètres (RT σ 2 /2,σ) s T est l horzon du marché (en années). Or le mouvement des atomes dans un gaz ou de pettes partcules dans un lqude a un comportement semblable aux trajectores du processus (lns t ). C est ce qu on appelle en physque un mouvement brownen. 9.2 Défnton, exstence, lo de probablté Hypothèse Comme dans le cas dscret, on a c auss beson de fare une hypothèse sur les événements de probablté nulle. Dans un modèle contnu, on rencontre souvent de tels événements. On fat l hypothèse que F content au mons tous les événements de probablté nulle : ( A A ) [ p(a) = ] [A F ] Défnton 9.1 Un F t -mouvement brownen est un processus stochastque (X t ) t adapté à la fltraton, à valeurs réelles, à ncréments ndépendants et statonnares, et à trajectores contnues. C est-à-dre que : () les trajectores t X t (ω) sont presque sûrement contnues () ( s t) X t X s est ndépendant de F s () (X t X s ) et (X t s X ) ont la même lo de probablté 22

23 Remarque On dra parfos mouvement brownen sans précser la fltraton : c est alors un mouvement brownen pour la fltraton naturelle assocée au processus (X t ) t. La fltraton naturelle est la fltraton (F t ) telle que F t sot la trbu la mons fne rendant F t -mesurables tous les X s pour s t. Théorème 9.1 S (X t ) est un mouvement brownen, alors l exste des réels r et σ tels que, pour tout t, la varable (X t X ) suve une lo normale de paramètres (r t,σ t). Démonstraton (juste l dée) cf. exercce sur le passage à la lmte dans le modèle de Cox- Ross-Rubnsten avec X t = ln S t. On dscrétse l ntervalle [, t] en N pérodes, on obtent une sute de varables X (N),..., X (N) N, avec X (N) = X k kt/n. Ces varables ne suvent pas nécessarement les mêmes los que dans le modèle de Cox-Ross-Rubnsten, mas peu mporte. On fat tendre N vers l nfn. L ndépendance et la statonnarté des ncréments suffsent à prouver que (X t X ) sut une lo normale grâce au théorème Central Lmt. Remarque Cette démonstraton montre auss qu l exste un mouvement brownen! Défnton 9.2 Un mouvement brownen standard est un mouvement brownen tel que X = presque sûrement, et que, pour tout t, E(X t ) = et E(X 2 t ) = t. Pour un mouvement brownen standard, r = et σ = 1 dans le théorème c-dessus, et la densté de X t est la foncton x 1 2πt e x2 /(2t) 9.3 Applcaton à la physque Dans l extrat cté plus haut, Ensten et Infeld affrment que le mouvement brownen est une vérfcaton expérmentale de l exstence de l atome. Le concept d atome est le fondement de la «théore cnétque de la matère». L observaton du mouvement brownen permettrat même de compter le nombre d atomes dans 1 g d hydrogène 3. Comment est-ce possble? Détermnaton de σ En observant le mouvement brownen d une partcule sur une durée assez longue, ou ben pluseurs partcules, on peut estmer statstquement l écart-type de (X t X ) pour t fxé, c est-à-dre σ t, d où une estmaton de σ. Énerge cnétque moyenne E d un atome d hydrogène σ dot dépendre de la nature du flude (son coeffcent de vscosté µ en kg.s 1 ) et des los de chocs entre la partcule et les atomes : La conservaton de la quantté de mouvement (mas la quantté de mouvement moyenne d un atome est nulle) La conservaton de l énerge cnétque. 3. Les moyens technques de l époque ne permettaent probablement pas de vor les atomes. Aujourd hu, on peut vor les atomes d un métal au moyen d un mcrocope à émsson de champ. 23

24 Notons E l énerge cnétque moyenne d un atome. Un smple calcul d analyse dmensonnelle lasse penser que d où une estmaton de E. σ 2 E µ Nombre d atome dans un volume donné Sot N le nombre d atomes dans un volume V d hydrogène à la presson P. La thermodynamque ensegne que la presson est une densté volumque d énerge : 4 P = NE V Alors N = PV E 9.4 Non-dérvablté des trajectores brownennes Les trajectores brownennes sont en général des objets très pathologques. Sot (X t ) un mouvement brownen. Le fat que la trajectore sot dérvable en t = est un événement de probablté nulle (cf. exercce). Plus généralement, quelque sot l ntervalle [a, b] R, auss pett sot-l, le fat que la trajectore sot partout dérvable sur [a, b] est un événement de probablté nulle. Exemple Sot un marché fnancer dscret (obtenu au terme d un passage à la lmte comme on l a fat pour Cox-Ross-Rubnsten). Supposons que ( ln S t )t est un mouvement brownen. Sot un call européen à couvrr. Son prx à l nstant t sera noté C t = F (t, S t ) Il faut construre une stratége de réplcaton ϕ. En temps dscret, on l écrrat sous la forme V t (ϕ) = V (ϕ) + ϕ k S k où ϕ k = C est donné par le rato de couverture. En passant à la lmte, le rato de couverture S devent la dérvée partelle de F par rapport à la seconde varable F, on devrat donc avor : x F V t (ϕ) = V (ϕ) + x (t, S t )d S t F d S t = V (ϕ) + S t x S t F = V (ϕ) + x S t d(ln S t ) F = V (ϕ) + x S d(ln S t ) t dt Mas, outre tous les problèmes de convergence que pose un tel passage à la lmte, la dérvée d(ln S t ) n exste même pas pusque les trajectores brownennes ne sont pas dérvables... dt 4. C est la formule classque PV = NkT, où k est la constante de Boltzman et E = kt. dt 24

25 Plus généralement S l on rasonne en termes de dscrétsaton pus de passage à la lmte, étant donné un processus stochastque (H t ) et un mouvement brownen (X t ), l ntégrale semble avor un sens. Mas on ne peut pas la défnr en posant H t d X t = H t d X t dt dt H t d X t car d X t n exste pas. Une défnton rgoureuse de cette ntégrale dte stochastque sera donnée dt dans le chaptre suvant. 9.5 Varaton quadratque fne Sot (X t ) un mouvement brownen. Sot (t (j ) ) n j une sute de subdvsons de plus en plus fnes de l ntervalle [,T ]. C est-à-dre que, pout tout j N, Sot a j le pas de la subdvson défn par Supposons que lm j a j =. Alors : lm j n j 1 = t (j ) t (j ) 1 t (j ) 2... t (j ) n j a j = max n j 1 t (j ) +1 t (j ) T ( ) 2 X (j ) t X (j ) +1 t = σ 2 T, presque sûrement. Cette lmte s appelle la varaton quadratque de la trajectore sur l ntervalle [, T ]. Démonstraton : admse. Remarque S une trajectore a une varaton quadratque non nulle, alors elle a une varaton (au sens usuel) nfne. S une trajectore a une varaton (au sens usuel) fne, alors sa varaton quadratque est nulle. Démonstraton : la varaton, au sens usuel, d une trajectore, serat défne comme Or donc n j 1 = ( X (j ) t X (j ) +1 t X t (j ) +1 lm j n j 1 = ) 2 max X t (j ) X t (j ) +1 X t (j ) +1 X t (j ) X t (j ) ( n j 1 X (j ) = t +1 max X t (j ) +1 X t (j ) X t (j ) X t (j ) +1 ) 2 X t (j ) Quand j tend vers +, le numérateur tend vers σ 2 T presque sûrement, et le dénomnateur tend vers presque sûrement car les trajectores sont contnues presque sûrement. Donc le quotent tend vers +., 25

26 Conséquence La longueur d un quelconque segment d une trajectore d un mouvement brownen à deux dmensons (X t,y t ) t est, presque sûrement, nfne. Démonstraton. D habtude, on défnt la longueur d un segment de courbe paramétrée par l ntégrale ( ) dx 2 ( ) d y 2 + dt dt dt mas c c est mpossble car X t et Y t ne sont pas dérvables. La longueur est donc conçue comme lmte : n j 1 ( ) 2 ( ) 2 lm X j t (j ) X (j ) +1 t + Y (j ) t Y (j ) +1 t = + = Fractales Une trajectore brownenne est, presque sûrement, contnue, mas la longueur de tout segment de cette trajectore étant nfne, une telle trajectore n est pas vrament un objet à une dmenson. C est un objet un peu ntermédare entre les objets à une dmenson (les lgnes) et les objets à deux dmensons (les surfaces). On parle de «dmenson fractale». D alleurs, le mouvement brownen possède une autre proprété des fractales, une proprété d nvarance par changement d échelle : l mage d un mouvement brownen de paramètres (r,σ) par une homothéte de rapport λ est un mouvement brownen de paramètres (r λ,σ λ). 1 L ntégrale stochastque 1.1 Questons S (X t ) est un mouvement brownen, et (H t ) un processus stochastque, comment défnr l ntégrale «stochastque» H s d X s? Quel sens donner à une équaton dfférentelle contenant la dfférentelle d un processus stochastque? S (lns t ) est un mouvement brownen, l équaton dfférentelle suvante est-elle vérfée : ds t = d(lns t )? (on verra que non) S t De manère équvalente, s X t = lns t est un mouvement brownen, l équaton ntégrale suvante est-elle vérfée : S t = s + S s d X s? (on verra que non) 1.2 Exstence d une ntégrale stochastque Théorème 1 Sot (B t ) un F t -brownen standard. Alors pour tout processus stochastque (H t ) adapté à la fltraton et tel que ( T ) E Hs 2 ds < +, l exste une (F t )-martngale (M t ) t T appelée ntégrale stochastque et vérfant les proprétés attendues (lnéarté, relaton de Chasles, postvté, calcul approché par des sommes de Remann, etc.). Elle est notée, pour tout t [,T ] : M t = H s db s 26

27 De plus M = et (M t ) est de carré ntégrale (c est-à-dre que t E(Mt 2 ) < + ). On a même : ( 1 4 E sup Mt 2 t ) E ( ( M 2 ) T ) T = E Hs 2 ds Démonstraton : cf. exercce dans le cas où H s = f (s) est une foncton détermnste, et Lamberton-Lapeyre [7] p dans le cas général. Théorème 2 Sot (B t ) un mouvement brownen standard, (F t ) la fltraton naturelle, et (M t ) t T une (F t )-martngale de carré ntégrable. Alors l exste un processus stochastque (H t ) F t - mesurable tel que ( T ) E Hs 2 ds < + et que, presque sûrement : Démonstraton : cf. Karatzas-Shreve [6]. ( t [,T ]) M t = M + H s db s Remarque Ayant ans défn l ntégrale stochastque pour un mouvement brownen standard, on peut faclement étendre cette défnton à d autre processus stochastques (X t ). En partculer, s X t est de la forme X t = X + K s ds + H s db s, alors on pose, par défnton : f (s)d X s = f (s)k s ds + f (s)h s db s. L ntégrale ans défne vérfe encore toutes les proprétés attendues. On dt qu un tel (X t ) est un «processus d Itô». On écrra auss : 1.3 Formule d Itô d X s = K s ds + H s db s. Sot f une foncton ntégrable et F une prmtve de f. S s x(s) est une foncton suffsamment régulère, le théorème fondamental du calcul ntégral affrme que x(t) x() f (x)dx = f (x(s))x (s)ds = F (x(t)) F (x()) mas les trajectores d un mouvement brownen (B s ) ne sont pas dérvables, et en général f (B s )db s F (B t ) F (B ). S F est suffsamment régulère, l exste pourtant une formule (due à Itô et Döbln, années 4) exprmant F (B t ) F (B ) au moyen des dérvées de F : F (B t ) F (B ) = F (B s )db s F (B s )ds