L application de la théorie des réseaux pour l étude du risque systémique

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1 Hazem KRICHENE Stage de fin d étude du 15/02/2010 au 15/06/2010 L application de la théorie des réseaux pour l étude du risque systémique Maitre de stage : Dr. Frédéric ABERGEL Directeur de la chair de finance quantitative BNP PARIBAS Laboratoire Superviseur : Dr. Anirban CHAKRABORTI Chargé de recherche au laboratoire Encadreur : Melle. Maya TURKI Chef département EGES à l Ecole Polytechnique de Tunisie Année Universitaire 2009/2010

2 Remerciements Je tiens tout d abord à exprimer toute ma gratitude à Monsieur Frédéric Abergel, qui m a donné la chance d intégrer l équipe de la chair de finance quantitative BNP Paribas au sein du laboratoire MAS-Ecole Centrale Paris, et qui n a pas hésité à me suivre tout au long de mon Projet de Fin d Etude, et à me fournir toutes les informations nécessaires à la réalisation de mon travail. Tous mes remerciements aussi à Monsieur Anirban Chakraborti, qui n a cessé de me fournir de nouvelles approches et idées scientifiques durant mon stage afin d arriver à des bons résultats. Toute ma gratitude revient à Mademoiselle Maya TURKI, notre enseignante et notre chef de département de l Economie et Gestion Scientifiques, qui n a pas cessée de veiller sur mon travail avant et durant le stage. Je tiens, enfin, à remercier tous les membres de l équipe de la chair de finance quantitative BNP Paribas, qui m ont aidés à m intégrer facilement et à améliorer ce travail par des échanges d informations constructives.

3 Résumé Le travail présenté porte sur «l application de la théorie des réseaux pour l étude du risque systémique». L objectif de ce travail consiste à extraire des propriétés sur le risque systémique et sur les problèmes de contagion sur les marchés, de gré à gré, de contrepartie (en variant la structure ainsi que les définitions du marché), selon l approche réseau. La procédure suivie est la suivante : simuler un réseau financier sur Matlab 2008b, définir les relations de contrepartie entre les différents agents et enfin analyser les résultats en variant la structure du réseau (réseau défini par des contreparties en première étape, réseau caractérisé par la présence des CDS en deuxième étape, et un réseau centralisé autour d une chambre de compensation «compensation par contrepartie centrale CCP» en dernière étape). Ce travail nous a permis de fonder une interprétation et une analyse de la situation financière actuelle, d une part. D autre part, on a ouvert par ce travail des nouvelles opportunités dans la modélisation des effets des swaps de défaut CDS sur les marchés financiers, grâce à l approche réseau utilisée dans la modélisation de ce produit de crédit. Mots clés : Risque systémique, Effets de contagion, Réseau financier, Marché de gré à gré, Swap de défaut CDS, compensation par contrepartie centrale CCP.

4 Table des matières Introduction. 5 Chapitre 1 Etude théorique des modèles utilisés Généralités sur les réseaux Réseaux aléatoires Réseau en petit monde (Small World Network) Réseau aléatoire (Random Network) Réseaux avec attachements préférentiels..10 Chapitre 2 Etude du risque systémique dans un marché de contrepartie Modélisation du réseau bancaire Simulation d un réseau bancaire aléatoire Simulation d un réseau bancaire avec attachement préférentiel Modélisation des relations de contrepartie Modélisation du mécanisme des faillites en cascade.21 Chapitre 3 Etude du risque systémique dans un marché des CDS Dérivés de crédit Swaps de défaut (CDS) CDS et taux actuariel Calcul de la probabilité de défaut d une entreprise Simulation d un temps de défaut Modèles proposés Modèle à N veurs des CDS Définitions des variables du modèle Résultats et interprétations Modèle avec nombre de veurs limité Définition des variables du modèle Résultats et interprétations Comparaison entre les deux marchés 42 1

5 Chapitre 4 Marché des CDS centralisé autour d une CCP Quelques définitions Compensation Chambre de compensation Compensation par contrepartie centrale (CCP) Présentation du modèle Objectif de la modélisation Définition des variables et du mécanisme du modèle Résultats et interprétations..51 Conclusion.57 Références.59 Annexes 61 2

6 Liste des illustrations Figure 1 : A gauche réseau régulier (p=0), à droite réseau aléatoire (p=1) 8 Figure 2 : Réseau régulier à 10 banques. 13 Figure 3 : distribution des degrés des liaisons dans un réseau régulier Figure 4 : Un réseau intermédiaire à 100 banques. 14 Figure 5 : La distribution des degrés des liaisons dans un réseau aléatoire à 100 banques Figure 6 : Un réseau aléatoire à 100 banques. 15 Figure 7 : La distribution des degrés des liaisons d un réseau aléatoire à 100 banques.. 15 Figure 8 : Réseau bancaire avec attachement préférentiel à 100 banques (gamma=3).. 18 Figure 9 : La distribution des degrés des liaisons du réseau avec attachement préférentiel à 100 banques (gamma=3).. 18 Figure 10 : Réseau bancaire avec attachement préférentiel à 100 banques (gamma=1000).. 19 Figure 11 : La distribution des degrés des liaisons du réseau avec attachement préférentiel à 100 banques (gamma=1000) Figure 12 : La distribution de l indice du risque systémique dans un réseau à 100 banques (gamma = 3) 23 Figure 13 : Les emprunts des banques qui ont causées les mêmes nombres des faillites (gamma=3). 23 Figure 14 : Le nombre des banques qui ont prêtées celles qui ont provoquées le même nombre des faillites (gamma = 3) 24 Figure 15 : La distribution de l indice du risque systémique dans un réseau à 100 banques (gamma=5).. 24 Figure 16 : Les emprunts des banques qui ont causées le même nombre des faillites (gamma=5). 25 Figure 17 : Le nombre des banques qui ont prêtées celles qui ont provoquées le même nombre des faillites (gamma=5) 25 Figure 18 : La distribution de l indice du risque systémique dans un réseau à 100 banques (gamma=1000). 26 Figure 19 : Les emprunts des banques qui ont causées le même nombre des faillites (gamma=1000) 26 Figure 20 : Le nombre des banques qui ont prêtées celles qui ont provoquées le même nombre des faillites (gamma=1000).. 27 Figure 21 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=1000). 37 Figure 22 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=500) 37 Figure 23 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=100)

7 Figure 24 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=2). 38 Figure 25 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=1000). 40 Figure 26 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=500) 40 Figure 27 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=100) 41 Figure 28 : La distribution de la différence de la perte moyenne par faillite entre un réseau avec CDS et un réseau sans CDS (gamma=2).. 41 Figure 29 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre les deux marchés (gamma=1000). 43 Figure 30 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre les deux marchés (gamma=500) 43 Figure 31 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre les deux marchés (gamma=100) 44 Figure 32 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre les deux marchés (gamma=2). 44 Figure 33 : Négociations centralisées autour d une CCP (source Duffie et Zhu 2009).. 48 Figure 34 : Négociations bilatérales privées (source Duffie et Zhu 2009).. 48 Figure 35 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre un Marché centralisé autour d une CCP et un marché de gré à gré (gamma=2) 52 Figure 36 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre un Marché centralisé autour d une CCP et un marché de gré à gré (gamma=100). 52 Figure 37 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre un marché centralisé autour d une CCP et un marché de gré à gré (gamma=500). 53 Figure 38 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre un marché centralisé autour d une CCP et un marché de gré à gré (gamma=1000).. 53 Figure 39 : La distribution de la différence des pertes moyennes par faillite entre un Marché centralisé autour d une CCP et un marché de gré à gré (gamma=2,td=800)

8 Introduction La fin de l année 2007 a enregistré le déclenchement de la crise financière, appelée selon plusieurs journalistes «une crise sans précédent». Nombreux sont les phénomènes qu on a observé depuis le déclenchement de cette crise jusqu aujourd hui. En commençant par l observation des faillites des grandes entreprises et banques en cascade (phénomène d avalanche), par l identification des problèmes de contagion qui stimulent la propagation de l avalanche au sein du système financier, sans oublier aussi les états qui galèrent jusqu à cet instant des problèmes macroéconomiques (taux de chômage élevé, inflation importante, des problèmes d assurance de santé ). Depuis ces événements qui ne cessent de se produire partout dans le monde, plusieurs financiers, économistes et politiciens ont remis en cause l utilisation de quelques produits dérivés, la stratégie d ettement suivie par les banques et les entreprises et la régularisation juridique sur les marchés. Toutefois, la question principale qui a suscitée des réponses était: comment pourraiton limité les effets de contagion et des avalanches sur le marché financier? C est dans cette optique que j ai effectué mon Projet de Fin d Etudes au sein de la chair de finance quantitative BNP Paribas, laboratoire MAS-Ecole Centrale Paris, qui a porté sur «l application de la théorie des réseaux pour l étude du risque systémique». Pour réponde à ces attentes, on a appliqué les techniques de simulation des réseaux complexes accompagnées par les définitions des distributions des échanges financiers entre les agents du réseau. Au cours de ce travail, on commencera en premier lieu par la simulation d un réseau financier suivant le modèle d attachement préférentiel. En deuxième lieu, on essaiera d identifier les effets d une faillite sur le marché financier, défini comme étant un marché de gré à gré avec N produits de contreparties, et de dégager des propriétés suivant les caractéristiques du réseau financier (variation de la topologie du réseau simulé). En troisième lieu, on intégrera un marché des CDS (Credit Default Swaps) en parallèle avec le marché à N produits de contreparties, et on mettra en évidence des propriétés liées à la structure du réseau financier d une part, et à la distribution des ventes des CDS d autre part. Enfin, on focalisera notre étude sur la notion de régularisation du marché bilatéral des CDS en le centralisant autour d une chambre de compensation (compensation par contrepartie centrale : CCP), et on répondra 5

9 quand à l efficience de l intégration d une telle unité au sein d un marché des CDS, de gré à gré. 6

10 Chapitre 1 Etude théorique des modèles utilisés 1.1. Généralités sur les réseaux En général, un réseau est décrit comme étant un graphe avec des nœuds et des liaisons, où les nœuds représentent les éléments du système considéré (des individus pour un réseau social, des commutateurs pour un réseau informatique, des banques dans un réseau bancaire ), et les liaisons traduisent l existence d interaction ou de relation entre deux éléments (voisinage entre deux individus, signal de télécommunication entre deux commutateurs, des échanges financiers entre deux banques du même réseau ). On voit clairement, que plusieurs systèmes réels pourraient être modélisés sous forme de réseau. Afin de se rapprocher du cadre empirique, on mettra en place des définitions mathématiques, décrivant le réseau tel qu on l a déjà défini. Naturellement, dans la modélisation des réseaux, on est contraint d éliminer quelques particularités du système considéré, et se focaliser sur les particularités qui nous intéressent. Mathématiquement, un réseau est définit par G(V,E), où V est l ensemble des nœuds (vertices en anglais) et E est l ensemble des liaisons ( edges en anglais). Dans notre cas, on considérera un réseau indirecte ( L = L ) sachant que chaque liaison est indexée par un poids spécifique. Dans cette partie, on restera, toujours, dans un contexte théorique, afin de définir les réseaux d un point de vu mathématique. Et dans la partie empirique, on fera le lien avec la réalité des marchés financiers afin de pouvoir simuler un marché d institutions financières. Il est important de mentionner qu il y a plusieurs modèles de simulation des réseaux, en commençant par celui d Erdos-Rényi (ER) dans les années Dans le cadre de notre travail, nous allons présenter les réseaux aléatoires ainsi que les réseaux avec attachements préférentiels Réseaux aléatoires Le point de départ de l existence d un tel réseau, est la considération d un réseau en petit monde (Small World Network). Alors avant de définir notre réseau aléatoire, on doit définir la notion d un petit monde, appelée selon quelques auteurs, la philosophie d un petit monde. ij ji 7

11 Réseau en petit monde (Small world network) L idée de cette notion part du principe que la distance physique dans un réseau entre deux éléments est petite par rapport à la taille du réseau. L hypothèse de ce modèle a trouvé plus de succès au niveau des applications dans les modèles de sociologie, puisque en général, deux personnes en relation, sont proches physiquement par rapport à la taille globale du monde. Avant d exposer les formules mathématiques décrivant ce type de réseau, on décriera quelques particularités d un réseau en petit monde, qui sont à savoir : Deux éléments inconnus peuvent faire connaissance. L exploration facile de l environnement via les interconnexions aléatoires Entre deux voisins proches, il y a toujours une liaison (au moins au départ), la cause est la localisation géographique. Chaque liaison aléatoire entre deux nœuds est établie suivant une probabilité p. Ce qui donne une distribution du degré de liaison de chaque nœuds concentrée autour d une valeur moyenne noté <k>, avec k i est le degré de liaison d un nœud i. Ce résultat est bien prouvé théoriquement, en démontrant l expression analytique de la distribution. On exposera l équation théorique de la distribution de degré de liaison des nœuds dans un réseau en petit monde, après l explication des mécanismes de simulation Réseau aléatoire (Random Network) Le réseau aléatoire est basé sur la notion du réseau en petit monde. En effet, on a mentionné dans la partie précédente qu une liaison est établie entre deux nœuds suivant une probabilité p. Tant que p augmente, tant que le nombre de liaison augmente. Par conséquent pour p=1, on obtient un réseau aléatoire. Ci-dessous, un schéma qui explique ce mécanisme d évolution. Figure 1 : A gauche : réseau régulier (p=0), à droite : réseau aléatoire (p=1) 8

12 De ce fait, afin de pouvoir réaliser un réseau aléatoire il faut simuler, dans une première étape, un réseau régulier, où chaque nœud est lié à ses K voisins proches (K est choisi par l utilisateur du simulateur). Dans une deuxième étape on change chaque liaison existante entre deux nœuds, par une nouvelle liaison suivant une probabilité p. Pour p=1, on aura des liaisons toutes aléatoires. En fait, pour p=0, on a une distribution de Dirac, concentrée autour de K. Dés que p>0, le désordre commence au sein du réseau, tout en gardant une moyenne de degré de liaison égale à K. Chaque nœud aura au moins K/2 liaisons. De ce fait, pour K>1, aucun nœud n est isolé du réseau aléatoire final. D après Barrat et Weigt (2000) le degré de liaison kide chaque nœud, i, peut être écrit comme suit : K k = + c ; tel que 2 i i c = c + c. En effet, i 1 i 2 i 1 c i est le nombre des liaisons qui n ont pas changées de destination finale, ceci est avec une probabilité de (1-p). Alors que, 2 ci est le nombre des nouvelles liaisons (les liaisons qui ont changé pour un nœud i) avec une probabilité de 1/N, sachant que N est le nombre des nœuds dans le réseau. D après les résultats de Barrat et Weigt, les distributions de 1 2 probabilité de c i et de ci s écrivent comme suit : P( c 1 i ) = C 1 i c K 2 (1 p) 1 i c p K c 2 1 I P( c 2 i ) = C 2 i c k pn 2 1 ( ) N 1 i c 1 (1 ) N K pn c 2 2 i Pour N assez élevé, Barrat et Weigt, ont réussi à combiner ces deux formules afin d obtenir la distribution de la probabilité des degrés de liaison, qui est : P ( k) = f ( k, K ) n= 0 K k n 2 pk K ( ) n n n 2 C (1 ) 2 K p p e K 2 ( k n)! 2 pk 2 Avec :, =min ; quelque soit Dans la deuxième partie de ce rapport, on simulera ce type de réseau, en utilisant Matlab 2008b, et on pourra vérifier que la distribution empirique des degrés de liaisons est concentrée autour d une moyenne <k>. 9

13 Toutefois, il est important de reconnaitre les limites d un tel modèle, surtout, dans le cadre des applications financières on revira après sur ce point-. Mais même dans l ordre général, l hypothèse des attachements aléatoires, des degrés homogènes et des liaisons sans un critère de choix, est très rigide et irréaliste. De ce fait, on a eu l idée d introduire un autre modèle qui se base sur l attachement préférentiel (Preferantial attachment, en anglais). Dans la partie qui suit, on introduira la définition théorique et descriptive de ce modèle, ainsi que les équations mathématiques qui le décrivent Réseaux avec attachements préférentiels Comme son nom l indique, on introduit dans ce réseau, la notion de préférence. En effet, si un nouveau nœud accède au réseau initial, il fait une liaison avec un nœud existant suivant son critère de choix. Cette hypothèse nous rapproche de la réalité des interconnexions entre les éléments de n importe quel réseau. Notre point de départ dans ce cas, est un réseau fixe, contenant m0 nœuds (m0 pourrait être égale à 2, c est la valeur prise tout au long de ce travail), et à chaque itération on introduit un nouveau nœud i, apte de faire m relations dans le réseau déjà existant. Ces m relations, ne vont pas être effectuées uniformément, mais suivant un critère de choix propre à chaque nœud. Le critère de choix, ou encore l attachement préférentiel, suivra une probabilité linéaire proportionnelle à k+a, où k est le nombre de liaison du nœud i, déjà existant et A = a*m. Le choix de la forme linéaire n est pas afin de simplifier la démarche, mais afin de pouvoir arriver au résultat désiré, et ceci d après Dorogovtsev et Mes (2002). Afin de mieux comprre le mécanisme et de pouvoir démontrer l expression analytique de la distribution des degrés de liaisons, on va d abord décrire le mécanisme d évolution de ce réseau à chaque itération : A chaque itération, t, un nouveau nœud est ajouté au réseau de l itération t-1 Simultanément, on ajoute à ce nœud m semi-liaisons Chaque semi-liaison est attachée à un nœud, i, du réseau(t-1) avec une probabilité (k+a)/s Avec k est le nombre de liaison de i, et s est la somme de toutes les liaisons dans le réseau(t-1). Dans une démonstration mathématique déjà faite, en partant d une équation différentielle, en k, degrés de liaisons de chaque nœud, on trouve que : Avec : = +2 P( k) ~ 1 γ k 10

14 De ce fait, un nouveau nœud à l instant t, établit une liaison avec un nœud du k + ( γ 2) m réseau(t-1) avec une probabilité de, où G(t-1) est le cardinale du réseau à la date t-1. G( t 1) k i i= 0 Au cours de cette partie, on a défini d une manière théorique, les réseaux qu on a utilisés. En fait, on est parti, dans une première étape, d un modèle simple, aléatoire, où les degrés de liaisons des différents nœuds varient autour d une valeur moyenne. Dans une deuxième étape, on a essayé de se rapprocher de la réalité des réseaux dans la pratique, pour les réseaux sociaux, via un modèle récemment développé, qui se base sur l attachement préférentiel sous forme linéaire. Une fois on a compris les définitions et les approches théoriques des réseaux, on passera dans la partie suivante à la simulation empirique des réseaux. Une fois le réseau bancaire est mis en place, on génèrera la dynamique du réseau (on expliquera plus tard les mécanismes définis). 11

15 Chapitre 2 Etude du risque systémique dans un marché de contreparties C est au cours de cette partie qu on va commencer à saisir les effets de l exposition face au risque financier dans un marché bilatéral ou encore un marché de gré à gré. Un marché de gré à gré est l opposé d un marché centralisé, tel est le cas du marché boursier qui est centralisé autour des intermédiaires en bourse. En effet, on considère un marché à N dealers en relations bilatérales entre eux. On considérera dans cette partie des contreparties sans spécification d un produit particulier (Swaps de taux, Options, Dérivés de Crédits ). Les institutions financières considérées sont uniquement des banques. En d autres termes on considère un réseau financier composé de N banques Modélisation du réseau bancaire Afin de pouvoir modéliser un marché financier de gré à gré, on a utilisé l aspect réseau, comme on l a déjà indiqué. Les marchés considérés ne contiennent, par hypothèse, que des banques (faciliter l interprétation des propriétés dégagées). La première étape était de considérer, un graphe ou encore un réseau, où les nœuds représentent les banques existantes sur le marché, et les liaisons représentent les contreparties entre les banques. L idée sera de modéliser un réseau à travers une matrice adjacente A, d ordre N et symétrique, s il y a relation entre la banque i et la banque j, A(i,j)=1, sinon A(i,j)=0. Ensuite on définira d autres matrices qui mettront en place les définitions des contreparties entre deux banques en relation. A titre d indication, les relations de contreparties seront définies par plusieurs matrices. En effet, il y aura : Une matrice D, d ordre N antisymétrique, décrira les montants financiers des contreparties simulées suivant une loi normale centrée réduite. Un vecteur C, de taille N, indiquera le capital disponible de chaque banque (on verra dans ce qui suit comment on définira le vecteur C). Une matrice T, d ordre N et symétrique, décrira les différentes maturités des contrats de contreparties. Une matrices MR, d ordre N et symétrique, décrira les différentes modalités des remboursements : si MR(i,j)=1, remboursement par annuité constante, si MR(i,j)=2, remboursement par amortissement constant, et si MR(i,j)=3, remboursement in fine. Après la description du réseau, on définira les mécanismes des simulations des variables définissants les termes des contrats de contreparties. 12

16 Simulation d un réseau bancaire suivant le modèle des réseaux aléatoires Dans la partie précédente on a détaillé, en général, la simulation d un tel réseau à travers une description qualitative, suivie par une autre quantitative à travers des équations mathématiques. Dans notre cas particulier, on considère que chaque banque est liée, en première étape, à quatre banques voisines (K=4). De ce fait, on part d un réseau bancaire régulier, avec un même nombre de relations. Au cours de chaque itération, chaque banque choisira aléatoirement une autre banque partenaire en renonçant à la première relation. Un tel mécanisme est d autant plus remarquable que la probabilité choisie du changement de la relation soit plus grande. A la fin des itérations, on aura un système bancaire complexe, aléatoire, où toutes les banques ont un nombre de relations qui varie autour d une valeur moyenne (cette notion a été déjà démontrée au niveau du premier chapitre). L algorithme de simulation est programmé sur Matlab 2008b et exposé au niveau de l annexe 1. Dans ce qui suit on présentera quelques résultats de cette simulation en variant la quantité de probabilité p. Résultats et interprétations P=0 Figure 2 : Réseau régulier à 10 banques 13

17 Figure 3 : La distribution des degrés des liaisons dans un réseau régulier P=0,5 Figure 4 : Un réseau intermédiaire à 100 banques 14

18 Figure 5 : La distribution des degrés des liaisons dans un réseau intermédiaire à 100 banques P=1 Figure 6 : Un réseau aléatoire à 100 banques 15

19 Figure 7 : La distribution des degrés des liaisons d un réseau aléatoire à 100 banques Interprétations A travers ces trois graphes on remarque la différence au niveau du nombre des relations, comme on l a remarqué au niveau de la figure 1. En effet, en partant de P=0, on avait un réseau régulier, où chaque banque est liée à ses k voisins. Ensuite, en augmentant P le désordre augmente au sein du réseau, jusqu à P=1 où le réseau devienne aléatoire. En d autres termes le réseau devient de plus en plus interconnecté en augmentant P. Néanmoins, même avec l augmentation du désordre dans le réseau, le degré des liaisons varie autour d une moyenne, K, telle que K est le nombre des voisins initiaux. Ce résultat nous montre que ce modèle de simulation considère que tous les agents sont homogènes en termes de nombre des liaisons, donc même au niveau des montant échangés, absence du critère de choix spécifique à chaque agent. Par conséquent, même en variant P, on aura un réseau de plus en plus interconnecté, mais sans donner de l importance à des nœuds particuliers dans le réseau. Or dans la réalité des marchés financiers, il existe des banques importantes en termes de relations et de capital, et d autres plus faibles. En outre, il y a toujours des différences en termes des montants échangés. Suite à cette contrainte nous avons eu l idée d introduire un réseau bancaire simulé avec le modèle d attachement préférentiel, précédemment expliqué. Durant la suite de ce travail, on considèrera, uniquement, un réseau bancaire avec attachement préférentiel. 16

20 Simulation d un réseau bancaire suivant le modèle d attachement préférentiel La mise en place d un réseau aléatoire, tel qu il était présenté, suppose que toutes les banques de la place financière suivent les mêmes stratégies. En d autres termes, un tel modèle ne donne pas une liberté de choix, ou de stratégie pour chaque banque. Par conséquent, le modèle de réseau aléatoire simule des relations homogènes entre les banques du réseau, d une part, et élimine le critère de l importance d autre part. Afin d éviter une telle limite, on a introduit un modèle de réseau avec un attachement préférentiel. Ce modèle donne à chaque banque introduite dans le système un choix différent, ce qui crée une hétérogénéité au niveau des relations et un poids spécifique à chaque banque dans le réseau. Pour réaliser ce réseau, on part d un petit réseau, où cardinal de V est égale à m0 (m0 peut être égale à 1 ou 2), et à chaque itération une nouvelle banque est introduite dans le système. A l instant t, la banque numéro m0+t, aura m semi relations à l état initial. Son critère de choix dépra de m (un choix propre à ses capacités), du nombre des voisins de la banque i (un choix qui se base sur la situation de la banque partenaire par rapport au réseau) et du gamma (un paramètre propre au réseau : degré d hétérogénéité). La simulation d un tel réseau a donné à chaque banque une liberté de choix qui se base sur : son état, l état de son partenaire et celui du réseau. Une telle modélisation nous rapproche de plus en plus de la réalité des marchés financiers et nous donne plus de liberté au niveau des simulations (en variant gamma) et au niveau des interprétations économiques. En effet, la variation de Gamma est un moyen de changer la loi de distribution des degrés des liaisons et de varier par la suite la topologie du réseau. Les résultats seront exposés ci-dessous. L algorithme de simulation de ce réseau est présenté au niveau de l annexe 2. 17

21 Résultats et interprétations = Figure 8 : Réseau bancaire avec attachement préférentiel à 100 banques (gamma=3) Figure 9 : La distribution des degrés des liaisons du réseau avec attachement préférentiel à 100 banques (gamma =3) 18

22 = Figure 10 : Réseau bancaire avec attachement préférentiel à 100 banques avec une valeur gamma infinie Figure 11 : La distribution des degrés des liaisons du réseau avec attachement préférentiel de 100 banques avec une valeur de gamma infinie 19

23 Interprétations Avant de commencer l analyse des deux graphes, ci-dessus, on va comparer les deux modèles proposés à travers les graphes. En effet, la figure 9 nous montre, clairement, que la distribution est loin d être autour d une moyenne, ce qui signifie l hétérogénéité en termes de nombres de relations entre les banques. En outre, ce modèle met en évidence les différences en taille entre les banques (via le nombre des liaisons), où on voit une seule banque qui a plus que 25 liaisons. Or dans la réalité des marchés financiers, on ne trouve pas une infinité de banques qui sont importantes. En outre, en comparant les deux graphes pour les différentes valeurs de gamma, on voit bien que l augmentation de gamma favorise les interconnexions dans le réseau. Pour gamma infinie, le nombre des interconnexions est important et l aspect du réseau change vers un réseau aléatoire à cause de l absence du critère de choix. La preuve est claire au niveau de la figure 11, où on remarque que les degrés de liaisons sont concentrés autour d une moyenne de 60 liaisons, environ, mais avec une variance importante, ce qui fait la différence entre les banques. Donc, en augmentant gamma on t vers un réseau de plus en plus connecté et homogène Modélisation des relations de contrepartie Au cours d une partie précédente, on a défini les matrices utilisées afin de décrire d un point de vu quantitative le réseau bancaire. En effet, une fois le réseau est en place, on doit définir les relations entre les banques du marché simulé. Dans notre cas, on traite en général des relations de contrepartie, sans définir un produit spécifique, modélisées par des flux financiers suivant une distribution normale centrée réduite. En effet, on considère une matrice carrée D d ordre N : si A(i,j)=0 alors D(i,j)=0, sinon D(i,j)>0, D(i,j) est tiré suivant une normale centrée réduite, si la banque i prête (v un produit) la banque j et vice-versa. Avec chaque simulation de la matrice des contreparties financières, on simule une matrice échéance, T, carrée d ordre N. Cette dernière est symétrique, T(i,j)=T(j,i). Les éléments de T sont simulés aléatoirement suivant une loi uniforme avec une maturité maximale de 10 ans. En outre, on définit une autre matrice MR carrée d ordre N et symétrique, modélisant les modalités de remboursement entre deux banques. Les éléments de MR sont simulés aléatoirement, tels que : MR(i,j)=1 : Remboursement par annuité constante MR(i,j)=2 : Remboursement par amortissement constant MR(i,j)=3 : Remboursement in fine 20

24 Après avoir défini ces matrices, on déduit pour chaque banque le vecteur capital, C. En effet, le capital est calculé à partir des cash flow futurs actualisés. Si Alors ( j V ( i ) CF i j j V ( i ) CF j i ) actualisé C ( i) = CF i j CF j V ( i) j V ( i) Sinon = ; ε tiré entre 0 et 1 Cette définition du montant du capital va nous aider dans la détermination et l analyse du risque dans le système. En fait, un défaut d une seule banque, provoque un manque de paiement ce qui engrerait, probablement, un défaut d une de ses voisines et ainsi de suite. Ce mécanisme sera détaillé de plus au cours de la partie suivante. L algorithme de simulation de ces variables, sera introduit au niveau de l annexe Modélisation du mécanisme des faillites en cascade Durant la crise financière , on a vécu des phénomènes des faillites en cascade. En effet, la faillite d une banque, entrainera des charges financières sur les banques partenaires (à cause des non paiements, des faillites d autres entreprises et des défauts des crédits en général ). On peut alors dire, que la faillite d une banque pèsera lourd sur une banque voisine, ce qui provoquerait, probablement, la faillite de cette dernière. L approche considérée se base sur la condition de solvabilité de la banque. En effet, si une banque n arrive plus à payer ses dettes à partir de son capital disponible à t=0, fait défaut. Dans ce qui suit on commencera par présenter cette approche, en détaillant un peu plus le mécanisme à travers les équations mathématiques et en la traduisant par l algorithme approprié, implémenté sur Matlab. Ensuite, on essayera d apporter quelques analyses et interprétations des résultats qui seront exposés par la suite. Comme on l a déjà annoncé, chaque banque du système dispose d un capital,, défini de façon à ce que chaque banque pourra payer ses dettes. A chaque instant t<max(t) (max(t) étant le maximum des maturités dans le système), une banque i paie ses prêteurs et reçoit des CF de ses emprunteurs. Soit,, le montant que reçoit la banque i de la banque j à l instant t, et, le remboursement fait par la banque i à la banque j à l instant t. j i + ε f 0 21

25 Condition de solvabilité : C ( i) + L j L i j V ( i) j V ( i) Si cette condition n est pas satisfaite, la banque i en question fait défaut. Par conséquent : = =0, <max. i j 0 L algorithme décrivant un tel mécanisme est exposé au niveau de l annexe 4. Explications L idée de cet algorithme est de mesurer un indice de risque systémique, noté ssigma (le cardinal de l ensemble des banques qui ont fait défaut) dans notre algorithme. En effet, on mesure le risque suite à un défaut provoqué à t=0. On part d un réseau bancaire A, défini par d autres éléments à savoir la matrice des contreparties D, le vecteur de capital C, la matrice des maturités T et la matrice des modalités de remboursement MR. A chaque itération, suivant l indice v de 1 à N, on provoque la faillite de la banque, v, à t=0 et on observe l impact sur le système (suite à T étapes on obtient un ensemble des banques qui ont fait faillites, le cardinal de cet ensemble est l indice macro du risque systémique). A la fin on obtient N simulations expérimentales de l indice macro du risque systémique décrites par l histogramme de distribution de ce dernier. Ainsi, après les N simulations, on obtient la distribution de l indice du risque systémique associé à chaque faillite initiale provoquée par une banque v (v=1 à N) du réseau. Afin de pouvoir apporter quelques analyses et interprétations de la situation financière, on a ajouté deux représentations avec celle de la distribution de l indice du risque systémique. En effet, on a essayé d extraire les caractéristiques des banques (nombres de voisins et montants d emprunts) qui ont provoquées la faillite à t=0 et qui ont causées un même nombre de faillite à la fin. En effet, pour la banque qui a provoquée le défaut initial on présente ses montants empruntés (car c est un manque de ressources futures pour ses prêteurs), ainsi que le nombre de ses prêteurs. Ces graphiques seront exposés ci-dessous accompagnés par une analyse de la situation. En outre, on va varier à chaque fois le paramètre Gamma du réseau bancaire A, on prra Gamma égale à 3, 5 et Les résultats sont obtenus sur un réseau bancaire de 100 banques, avec un taux d intérêt, pratiqué entre elle, fixe à 5%. 22

26 Résultats et interprétations = Figure 12 : La distribution de l indice du risque systémique dans un réseau à 100 banques (gamma=3) Figure 13 : Les emprunts des banques qui ont causées le même nombre des faillites (gamma=3) 23

27 Figure 14: le nombre des banques qui ont prêtées celles qui ont provoquées le même nombre des faillites (gamma=3) = Figure 15 : La distribution de l indice du risque systémique dans un réseau à 100 banques (gamma=5) 24

28 Figure 16 : Les emprunts des banques qui ont causées le même nombre des faillites (gamma=5) Figure 17 : Le nombre des banques qui ont prêtées celles qui ont provoquées le même nombre des faillites (gamma=5) 25

29 = Figure 18 : La distribution de l indice du risque systémique dans un réseau de 100 banques (gamma=1000) Figure 19 : Les emprunts des banques qui ont causées le même nombre des faillites (gamma=1000) 26

30 Figure 20 : Le nombre des banques qui ont prêtées celles qui ont provoquées le même nombre de faillites (gamma=1000) Interprétations Les graphes 12, 15 et 18 montrent les distributions de l indice du risque systémique dans un même réseau, suivant les valeurs de gamma. En effet, on voit, par exemple, sur la figure 12, une distribution de l indice du risque systémique autour d une certaine moyenne suite à 100 simulations, ou encore à 100 faillites différentes provoquées (on parle dans ce cadre d une mesure du risque suite à un défaut provoqué). A chaque itération i de 1 à N, la banque i fait défaut à t=0, et on observe l impact de cette faillite. Les graphes 13, 16 et 19 nous montrent en abscisses les numéros des banques qui ont provoquées un même nombre de faillites, et en ordonnés leurs montants des emprunts (on ne s intéresse pas au prêt, car si une banque est en position de prêteur et fait défaut, elle n aura aucun impact sur le système). Enfin, on a les graphes 14, 17 et 20 qui accompagnent les deux précédents. En effet ces derniers montrent en abscisses les numéros des banques qui ont provoquées un même nombre de faillites, et en ordonnés les nombres de voisins qui leur ont prêtés. On commencera notre analyse pour une valeur fixe de gamma, toutes choses étant égales par ailleurs. Pour gamma=3, on pr les banques qui ont causées, par exemple, 5 faillites à la fin. Voici ci-dessous leurs caractéristiques en termes des montants empruntés et des nombres de leurs prêteurs. 27

31 Prenons dans ce cas, les banques suivantes : 2 : emprunts= 6,3 et nombre de voisins = : emprunts = 3,5 et nombre de voisins=7 43 : emprunts= 1,2 et nombre de voisins = 1 90 : emprunts= 2,1 et nombre de voisins = 1 Au départ s attait à ce que les banques les moins ettées causeront moins de faillites. Or en regardant les données caractéristiques de ces dernières, on remarque une différence importante en termes de montants empruntés et du nombre de voisins prêteurs. Les résultats que nous venons de montrer confirme que la propagation d un tel mécanisme des faillites ne dép pas de la banque qui a fait défaut à t=0. En effet, les quatre banques présentées ci-dessus, à savoir la banque 2, la banque 10, la banque 43 et la banque 90, ont causé toutes le même nombre de faillites, égale à 5, malgré qu il y ait des différences au niveau de l importance dans le réseau via le nombre des voisins prêteurs et au niveau des montants des emprunts. Par conséquent, on peut déduire que le nombre des faillites réalisées ne dép pas en grande partie de la banque qui a fait défaut à t=0, mais dép, aussi, du voisinage de cette dernière. En effet, si la banque qui fasse faillite est entourée (en termes de prêteurs) par des banques rigides qui présentent des réserves de capital quasi importantes pour faire face à de tels défauts, le mécanisme de cascade s arrêtera et on n aura pas d avalanche sur le réseau bancaire en question. Le deuxième volet de l analyse portera sur les graphes de distribution de l indice du risque systémique en variant la valeur de gamma. Comme on a vu dans les parties précédentes, où on a défini les réseaux par attachements préférentiels, l augmentation du gamma, réduit de plus en plus les critères de choix des liaisons d une banque avec les autres et favorise les liaisons aléatoires. Pour gamma infinie, il y a absence des différences au niveau des degrés des liaisons entre les banques et le réseau sera de plus en plus interconnecté. On est donc en présence d un marché de gré à gré très interconnecté. L impact de cette interconnexion est clair sur le système financier en place, or on voit clairement que le nombre de faillites augmente, en moyenne, de gamma égale à 3 jusqu à gamma égale à 1000 en passant par gamma égale à 5. Dans l article [4], Ducan J.Watts prouve que la diminution de l hétérogénéité, en augmentant gamma, favorise les mécanismes de cascade et entraine plus de dégâts dans un réseau (Watts traite le cas d un réseau social). En revenant à notre cas d un réseau financier, on prouve que l homogénéité des degrés des liaisons entre les banques, et la quasi absence des critères de choix pour l établissement des relations financières, pour gamma infinie, cause beaucoup plus 28

32 de dégâts et des faillites au sein de système bancaire, surtout avec le taux énorme des interconnexions, et ce d après la comparaison entre la figure 9 et la figure 15. Pour conclure, deux importants résultats doivent être retenus. En premier lieu on a démontré que la propagation des mécanismes des faillites en cascade (l effet contagion), ne dép pas du premier agent qui a fait défaut ou de son importance dans le réseau uniquement, mais dép aussi de son voisinage et de la rigidité du réseau bancaire. En d autres termes, même la faillite d un agent «petit» dans le réseau en termes de relations financières peut causer plusieurs faillites par la suite. En deuxième lieu, on rejoint avec nos résultats la théorie qui dit «Too interconnected to fail» [11]. Ce qui veut dire : tant que le réseau est interconnecté, et le nombre de liaisons est élevé tant que la contagion sera plus aigue. Conclusion Dans cette première partie (2 ème chapitre), on s est intéressé à un réseau où il y a uniquement des banques, d une part. D autre part, on a considéré l existence d un seul type de produit, ou en général des échanges financiers homogènes dans le réseau et entre toutes les banques. En d autres termes, s il y a relation entre la banque i et la banque j, alors il y a une contrepartie entre elles avec les mêmes caractéristiques de celle d une autre relation entre deux autres banques différentes. Ces hypothèses nous ont permis d identifier des caractéristiques des réseaux afin de minimiser la propagation des faillites lors d un défaut initial. Bien entu, lorsqu on parle de la minimisation des effets de contagion, il faut que les banques du réseau aient des stratégies différentes de financement dans le système. Il faut par la suite que le système ne soit pas très lié en termes des interconnexions. Il ne faut pas ignorer la faillite des petites banques car on a vu que le nombre de faillites total réalisé ne dép pas de la taille de la banque et de son nombre de relations, mais il dép entre autre de la fragilité financière de son voisinage. Il faut rappeler que l objectif de ce travail est l étude du risque de la contrepartie en se rapprochant, toutefois, du cadre de la crise financière actuelle. Economistes et financiers, depuis 2007, ont remis en cause l utilisation des produits de crédit comme déclencheurs des mécanismes de contagion au sein du système financier mondial. Le principal produit remis en cause, était le swap de crédit, CDS (Credit Default Swap). Pour cette raison, notre deuxième approche de modélisation était d introduire ce produit sur notre réseau, tel qu il était déjà défini, afin de pouvoir dégager des propriétés quand à son utilisation sur les marchés financiers. 29

33 Pour ce faire on a gardé notre première approche et on a introduit des entreprises externes au réseau. Les banques financent les entreprises, et achètent des CDS d auprès d autres banques veuses des CDS. Un tel mécanisme était utilisé par la Grèce au début des années 2000 afin d accéder à l union européenne. En effet, on achetant des CDS, les banques prêtes plus d argent, vu qu elles sont protégées. Exemple : Une banque qui prête 100$ sans CDS, prêtera 500$ avec les CDS. Donc une augmentation de la richesse, grâce à l éventuelle protection. Dans le chapitre suivant, cette approche sera détaillée point par point, afin de pouvoir analyser les effets d un tel produit de crédit sur le risque systémique et sur les mécanismes de contagion. 30

34 Chapitre 3 Etude du risque systémique dans un marché des CDS 3.1. Dérivés de crédit Les dérivés de crédit, étaient les innovations les plus importantes sur les marchés financiers vers la fin des années 90. En 2000 on assistait à 800 milliards de dollars de sous-jacent des dérivés de crédit, avec une augmentation de 2200 milliards de dollars à la fin de l année L un des produits les plus populaires sur les places financières est le swap de défaut (CDS). Dans ce qui suit, on présentera les différentes définitions de ce produit, ainsi que son mécanisme de fonctionnement. Ensuite, on intégrera ce mécanisme au niveau de notre algorithme de contagion, afin de pouvoir identifier l impact d un tel produit sur les marchés bilatéraux de gré à gré Swaps de défaut (CDS) Le dérivé de crédit le plus populaire est le swap de défaut, connu sous le sigle CDS (Credit Default Swap). C est un contrat qui procure une assurance contre un défaut éventuel d une entreprise donnée. L acheteur de l assurance acquiert le droit de recevoir le principal du prêt en cas de défaut de l entreprise en question. L acheteur du CDS paie au veur des montants convenus, à intervalles réguliers, jusqu à l échéance du CDS, ou bien à la survenance d un défaut de crédit. Dans ce dernier cas, l acheteur de l assurance, CDS, recevra le principal de prêt du veur de la protection. Le montant payé chaque période, en pourcentage du principal, est appelé spread du CDS. Le spread varie d un contrat à un autre, suivant la position de l entreprise en question. En effet, le spread est mesuré, par analogie avec la physique, en «Hz» (Hertz), car il est l inverse du temps estimé de défaut. C'est-àdire, tant que le spread est élevé tant que l entreprise risque de faire défaut. Exemple : Pour une entreprise, x, le spread est de 15%. Ceci implique, qu elle pourrait faire défaut avec une période de 1/0.15 = 6,66 années (1/T = Hz) CDS et taux actuariel Un CDS peu être utilisé pour couvrir une position sur une obligation risquée. Supposons qu un investisseur ait acheté une obligation à 5 ans avec un taux de coupon de 7% pour sa valeur nominale et qu il ait conclu en même temps un CDS à 5 ans pour se protéger contre un défaut éventuel de l émetteur de l obligation. Supposons, en outre, que le spread du CDS est de 2%. Schématiquement, l effet de ce CDS est de transformer l obligation risquée en une obligation sans risque de défaut. Si 31

35 l obligation ne fait pas défaut, durant les 5 ans, l investisseur aura obtenu une rentabilité de 5% par an en net. Si un défaut survienne à t<5ans, l investisseur aurait réalisé une rentabilité de 5% jusqu à la date de défaut, et, par le CDS, il sera de même d échanger l obligation contre sa valeur nominale. Ce raisonnement montre que le spread d un CDS à n années sur une obligation du secteur privé doit être approximativement égal à l écart du taux actuariel entre cette obligation risquée et l obligation sans risque de caractéristique équivalente. En conséquence les spreads de CDS donnent aussi une indication sur les taux sans risque utilisés par les opérateurs de marché. En outre, comme conséquence de ces interprétations, nous avons considérés dans notre modèle, des prêts pour les entreprises à des taux (Libor + spread), et la banque paie le spread au veur du CDS. Ce mécanisme sera détaillé de plus, dans ce qui suit Calcul de la probabilité de défaut d une entreprise Ce qui importe dans le cas de la couverture contre le risque du défaut d un crédit, c est de pouvoir estimer la probabilité de défaut de l entreprise en question. Comme on a mentionné précédemment, tant que le spread de l entreprise est élevé tant qu elle risque de faire défaut. En réalité il y a deux techniques différentes de l estimation du défaut dans le cas de l utilisation des CDS. Une première technique consiste à déterminer le spread de l entreprise en question à partir des données historiques de la probabilité de défaut. En effet, il y a des agences de notation qui travaillent sur ces thèmes afin de pouvoir classer les entreprises suivant le risque qu elles présentent. Une de ces agences est Moody, qui note les entreprises suivant des indices en lettre. Celles les moins risquées, à travers leurs probabilités de défaut, sont notées Aaa, alors que les plus risquées sont notées, Caa. Une deuxième technique consiste à estimer la probabilité de défaut à partir de l intensité de défaut, ou encore la fréquence du défaut. Comme on l a déjà évoqué, le spread d une entreprise est une mesure en «Hz», par analogie, qui nous donne une idée sur l intensité de défaut de l entreprise en question. Raisonnement par les unités : Supposons que la quantité, est la fréquence de défaut d une entreprise donnée. On souhaite par la suite déterminer la probabilité de défaut de cette entreprise sur l intervalle. La quantité,, est sans unité et elle représente une quantité de probabilité. Elle sera la probabilité de défaut sur l intervalle [t, t+ ], conditionnelle à l absence de défaut avant t. Si est la probabilité de survie cumulée jusqu à la date t, c'est-à-dire la probabilité que le défaut ne survienne pas avant la date t, on a : 32

36 + = En passant à la limite, on peut écrire : On en déduit alors : = = exp Notons la probabilité de défaut jusqu à la date t. On peut alors écrire : = 1 exp En fait, c est la 2 ème technique qu on a simulé au niveau de notre algorithme, vu qu on ne dispose pas de données historiques. Toutefois, on a utilisé la 2 ème technique afin de définir une autre approche d estimation du défaut, à partir de la simulation d une trajectoire du temps de défaut Simulation d un temps de défaut Soit τ le temps d arrivée d un défaut pour l entreprise, i. l objectif de cette partie est de pouvoir simulé une trajectoire du temps de défaut, à partir de la valeur du spread de l entreprise, i, en d autres termes, de sa fréquence de défaut. En effet, on a : Ce qui donne : τ< =λ P τ< =1 exp λt On simule une loi uniforme, n=rand(), et on obtient : Par la suite : =1 exp λt = 1 33