Statistiques COURS 2. Salle 125. L3 Géographie UE Méthodologie. Intervenants :

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1 L3 Géographie UE Méthodologie Statistiques COURS 2 Salle 125 Intervenants : Nadège Martiny & Julien Crétat UFR Sciences Humaines (Département de Géographie) UMR Centre de Recherches de Climatologie (CRC)

2 Plan du cours I. Introduction à l analyse multivariée II. III. IV. Analyses factorielles : présentation générale L Analyse en Composantes Principales (ACP) L Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) V. La classification automatique

3 Généralités ACP Il s agit d une des méthodes fondamentales de la grande famille des analyses factorielles Cette méthode est particulièrement adaptée à l étude de caractères quantitatifs continus Elle suppose avant tout une étude séparée des variables et des observations

4 Rappels ACP L ACP permet d obtenir un résumé descriptif (sous forme graphique) d un tableau de données (n, p) L ACP permet de décrire des données quantitatives Un nuage de points, où chacun des points e i correspond à un individu projeté sur un plan factoriel, est construit dans un espace de dimension p (=nombre de variables) : c est l espace des variables. Un nuage de points, où chacun des points f i correspond à une variable projetée sur le même plan factoriel, est construit dans un espace de dimension n (=nombre d individus) : c est l espace des individus.

5 Objectifs ACP Décrire séparément la forme des nuages de points projetés : (i) agencement entre les individus e i, leurs proximités, dans un sous-espace de dimension p (car il y a p variables) (ii) agencement entre les variables f i, leurs proximités, dans un sous-espace de dimension n (car il y a n individus) Confronter les espaces d individus et de variables afin d enrichir les interprétations Décrire un maximum d information provenant du nuage de points initial à partir d un nombre q d axes le plus réduit possibles

6 Les données Tableau de données quantitatives (n, p), composés de n individus (points-lignes), p variables (pointscolonnes) Les variables peuvent éventuellement être hétérogènes : unités (kg, nb. Hab., %), moyennes En effet, une ACP est en général normée Rmq 1 : dans une ACP, on considère généralement p < n Rmq 2 : si p > n, transposer le tableau la condition nécessaire étant que les nouvelles variables aient un sens (considérer la moyenne de ces variables)

7 Exemple OBS PAYS CROIPNB PNBH95 URBA95 CROIURB POP1995 CROIPOP EVCALO ACTAGR90 ACTSER90 ACTIND90 CROIACTA CROIACTS 1 Argentina 1, ,10 1,34 34,80 1,13-0,07 12,15 32,37 55,48-3,86 5,78 2 Bolivia 1, ,50 3,11 7,40 2,09 0,09 46,84 17,52 35,64-8,21 10,71 3 Brazil 3, ,40 1,64 159,00 1,14 0,18 23,27 22,95 53,77-23,97 20,98 4 Chile 2, ,90 1,34 14,20 1,16 0,04 18,78 25,38 55,84-5,30 9,19 5 Colombia 2, ,60 1,92 35,80 1,43 0,35 26,62 22,94 50,44-18,52 14,87 6 CostaRica 1, ,30 2,84 3,40 1,81 0,19 26,03 26,77 47,20-16,57 9,79 7 R,Dominic, 2, ,90 2,18 7,80 1,36 0,16 24,83 29,13 46,04-22,71 7,93 8 Ecuador 2, ,90 2,59 11,50 1,66 0,11 33,26 19,11 47,63-18,23 19,16 9 ElSalvador 1, ,10 2,72 5,70 1,83 0,41 36,30 20,70 42,99-20,51 14,11 10 Guatemala 1, ,90 3,72 10,60 2,60 0,09 52,41 17,46 30,13-8,66 7,81 11 Guyana 0, ,40 2,58 0,80 1,03 0,07 21,84 24,71 53,45-10,07 13,88 12 Haiti 0, ,80 3,65 7,10 1,89 0,05 67,80 8,78 23,42-6,61 4,95 13 Honduras 1, ,80 3,65 5,70 2,38 0,08 41,40 19,62 38,98-26,01 17,78 14 Jamaica 1, ,70 1,90 2,50 1,05 0,05 24,76 23,29 51,95-8,30 2,93 15 Mexico 1, ,40 1,65 91,10 1,35 0,15 27,82 23,73 48,45-16,00 16,49 16 Panama 3, ,60 2,15 2,60 1,37 0,10 26,18 16,06 57,77-15,44 16,93 17 Paraguay 1, ,40 3,51 4,80 2,41-0,02 38,91 22,03 39,06-10,82 7,63 18 Peru 0, ,90 2,01 23,50 1,53-0,03 35,58 17,82 46,61-12,69 12,37 19 Surinam 1, ,20 2,27 0,40 1,19 0,16 21,27 17,76 60,97-5,45 9,56 20 Uruguay 0, ,30 0,68 3,20 0,52-0,07 14,25 27,17 58,58-4,43 6,32 21 Venezuela 1, ,80 2,01 21,80 1,75 0,00 12,02 27,31 60,67-13,99 11,52 Unité : % Unité : $ 12 variables 21 individus p < n

8 Exemple OBS PAYS DCR_CROIPNB DCR_PNBH95 DCR_URBA95 DCR_CROIURB DCR_POP1995 DCR_CROIPOP DCR_EVCALO 1 Argentina -0,03 1,57 1,55-1,24 0,36-0,84-1,44 2 Bolivia -0,31-1,05-0,03 0,92-0,39 1,05-0,08 3 Brazil 2,18 0,43 1,00-0,87 3,76-0,82 0,68 4 Chile 0,82 2,21 1,31-1,24-0,20-0,78-0,50 5 Colombia 1,11 0,61 0,67-0,53 0,39-0,25 2,12 6 CostaRica 0,29 0,45-0,67 0,59-0,50 0,50 0,77 7 R,Dominic, 0,86-0,47 0,05-0,21-0,38-0,38 0,51 8 Ecuador 0,80-0,16-0,12 0,29-0,28 0,20 0,09 9 ElSalvador -0,69-1,05-0,91 0,44-0,44 0,54 2,63 10 Guatemala -0,42-0,57-1,26 1,66-0,30 2,05-0,08 11 Guyana -0,72-0,79-1,46 0,27-0,57-1,03-0,25 12 Haiti -1,97-1,80-1,67 1,58-0,40 0,65-0,42 13 Honduras -0,44-1,33-0,98 1,58-0,44 1,61-0,17 14 Jamaica -0,58-0,52-0,42-0,55-0,52-0,99-0,42 15 Mexico -0,22 0,80 0,71-0,86 1,90-0,40 0,43 16 Panama 1,99 0,57-0,31-0,25-0,52-0,36 0,00 17 Paraguay 0,53-0,62-0,49 1,41-0,46 1,67-1,01 18 Peru -0,88-0,46 0,57-0,42 0,05-0,05-1,10 19 Surinam -0,45-0,05-0,67-0,10-0,58-0,72 0,51 20 Uruguay -1,25 0,84 1,68-2,04-0,50-2,03-1,44 21 Venezuela -0,60 1,39 1,42-0,42 0,01 0,38-0,84 DCR_Moy 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 DCR_Ecart-type Les données ont été centrées et réduites l ACP est normée La moyenne des individus centrés/réduits est égale à 0. L écart-type des individus centrés/réduits est égal à 1.

9 Recherche du1 er axe factoriel Il est tel qu il maximise l inertie (ou la variance) des points projetés sur cet axe I 1 n 2 axe1 = d i n i= 1 Inertie du nuage de points attachée à l axe 1 I 1 O centre de gravité du nuage de points n = 2 axe1 d ( O, i axe 1) n i= 1 i axe1 projection du point (i) sur l axe considéré

10 Recherche du1 er axe factoriel Ce principe similaire à celui de la méthode des moindres-carrés utilisée pour les régressions simples et multiples On ne considère plus la distance entre les points et une droite (=résidus) mais la distance entre les projections des points sur un axe (=axe factoriel) et le centre de gravité des points Maximiser la variance (=dispersion maximale des points sur l axe factoriel) revient à différencier de manière optimale les projections des points sur l axe considéré

11 Recherche du 1 er axe factoriel Le 1 er axe factoriel est aussi nommé 1 er axe principal ou 1 ère composante principale On le note aussi CP1 La CP1 est caractérisée par : La variance qu elle explique = sa valeur propre, notée λ 1 Sa direction dans le nuage de points = son vecteur propre, noté V 1 Le nuage de point s allonge maintenant dans (p-1) directions orthogonales à celle de la CP1

12 Recherche du 2 er axe factoriel Il maximise l inertie (ou la variance) des points projetés sur cet axe. Il différencie de manière optimale les projections des points sur cet axe. I O centre de gravité = 1 n 2 axe2 d ( O, i axe 2) du nuage de points n i= 1 i axe2 projection du point (i) sur l axe 2 Avec une contrainte supplémentaire, celle de l orthogonalité avec l axe 1, soit : V1. V2 = 0 2 V : vecteur propre de l axe 2

13 Recherche du 2 er axe factoriel Le 2 ème axe factoriel est aussi nommé 2 ème axe principal ou 2 ème composante principale ou CP2 Avec l axe 1, il constitue le plan principal La CP2 est caractérisée par : La variance qu elle explique = sa valeur propre, notée λ 2 avec λ 2 < λ 1 Sa direction dans le nuage de points = son vecteur propre, noté Le nuage de point s allonge maintenant dans (p-2) directions orthogonales à celle de la CP1 et de la CP2 V 2

14 Exemple Source : J. Riss & A. Marache T_Max T_Min 4,00 3,00 α Var_1 Var_2 4,00 3,00 Y 2,00 2,00 1,00 0,00-4,00-3,00-2,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00-1,00-2,00-3,00 X Y -4,00 Données centrées dans l ancien système X : CP1 Y : CP2 1,00 0,00-2,00-3,00-4,00 X -4,00-3,00-2,00-1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00-1,00 Données dans le nouveau système PLAN PRINCIPAL (X, Y ) ROTATION D UN ANGLE α TEL QUE LA COVARIANCE S ANNULE

15 Recherche des autres axes factoriels On détermine ensuite l ensemble des axes factoriels (il y en a autant que de variables, soit p), Rmq : en général seuls les 1 ers axes présentent un intérêt pour l interprétation: ils expliquent à eux seuls la majorité de l inertie totale La détermination de ces axes passent par le calcul de la matrice décrivant les relations entre toutes les variables (=matrice d inertie). Cette matrice est carrée (p lignes et p colonnes, cad autant que de variables), et symétrique par rapport à la diagonale Ils sont aussi nommés composantes principales ou CP

16 Les matrices d inertie Matrice de variances/covariances : VCOV V11 V12... V21 V V p1 Vp2... V V V 1p 2 p pp Matrice de corrélations : CORR 1 r12... r1 r r r r 1 p p p p V ii : variance ii V ij : covariance ij r ii : coefficient de corrélation ii (=1) r ij : coefficient de corrélation ij ( 1) Il s agit d une métrique

17 Quelles matrices d inertie utiliser? Matrice de variances/covariances (VCOV) Elle privilégie les variables les plus dispersées, cad celles pour lesquelles les différences entre les individus sont les plus fortes, dans l unité qui est celle de la variable Utilisation de la matrice de corrélation (CORR) Permet de donner le même poids (=importance) à toutes les variables. Toutes les variables ont une variance de 1 donc l inertie totale du nuages est égale à p (=nombre de variables) La solution la plus logique si les variables sont exprimées en des unités différentes est d utiliser CORR

18 Calculer VCOV et CORR sous Excel En un seul clic : = PRODUITMAT ( TRANSPOSE ( DC ) ; DC ) / N = PRODUITMAT ( TRANSPOSE ( DCR ); DCR ) / N Dans ce cas, VCOV = CORR

19 Les étapes du traitement 1/ On part d un tableau de données TAB comprenant p caractères (colonnes) décrivant n individus (lignes) 2/ On choisit une métrique Cela revient à transformer les données selon qu on désire ou non affecter à chaque variable une importance (poids) plus ou moins grande Cela revient à centrer les données, ou les centrer/réduire 3/ On calcule la(les) matrice(s) d inertie, notée VCOV et CORR Elle constitue une expression des relations liant les différentes variables entre elles (covariance ou corrélation) 4/ On diagonalise la matrice d inertie choisie Cette opération permet d obtenir les axes factoriels du nuage, chacun étant caractérisé par : - l inertie qu il explique, donnée par la valeur propre λ - sa direction, donnée par le vecteur propre (u) 5/ On calcule les projections des points du nuage sur chacun des axes