II. Lentilles. II.1. Lentilles épaisses. II.2. Lentilles minces. II.3. Doublet. II.4. Lentille séparant deux milieux 1

Transcription

1 Chapitre 3 : systèmes centrés I. Systèmes centrés. I.1. Définition. I.2. Rappel I.3. Eléments cardinaux. I.4. Constructions géométriques I.5. Formules des systèmes centrés I.6. Association de systèmes centrés. II. Lentilles. II.1. Lentilles épaisses. II.2. Lentilles minces. II.3. Doublet. II.4. Lentille séparant deux milieux 1

2 Rappel DIOPTRE SPHÉRIQUE MIROIR SPHÉRIQUE n = - n F' A' SF' SF FA V n' n SC n' SF' n SF 2 G = -1

3 I. SYSTEMES OPTIQUES CENTRES I.1. Définition : Un système centré est formé de plusieurs surfaces réfringentes (système dioptrique) ou réfléchissantes (catadioptrique ou catoptrique), telles que l ensemble présente une symétrie autour d un axe de révolution Oz, appelé axe optique. 3

4 I.2. Rappel Espace Objet et espace image. (Dépend de la type de système) Espace objet réel et virtuel, et Espace image réelle et virtuelle ; (a) : système dioptrique (b) : Système catadioptrique ou catoptrique.

5 SYSTEMES CENTRES Formules de Lagrange Helmholtz Cas d un système centré dioptrique d'où la relation de Lagrange-Helmholtz entre l'objet AB et son image A'B': 5 n AB n' A' B' '

6 SYSTEMES CENTRES I.3. Eléments cardinaux: a. Foyers et plans focaux Foyers principaux (F et F ) P.F.O P.F.I Un faisceau cylindrique incident parallèle à l'axe optique, émerge en passant par F' (foyer principal image). Un faisceau de rayons lumineux, issus de F (foyer principal objet)., émerge parallèlement à l'axe optique. Si les foyers objet et image sont à distance finie, le système est à foyers. S'ils sont rejetés6à l'infini le système est afocal.

7 SYSTEMES CENTRES b. Points et Plans principaux K K P P Les plans principaux sont deux plans conjugués tel que le grandissement linéaire est égal à +1. P est le plan principal objet P' est le plan principal image. H et H' sont les points principaux de l'axe du système centré. 7 La distance HH' mesure l'interstice du système. H: point principal objet H : point principal image

8 Plans principaux Le plan principal image P est l ensemble des points d intersection des incidents parallèles à l'axe et des émergents correspondants passant par F. Le plan principal objet P est l ensemble des points d intersection des incidents passant par F et des émergents correspondants parallèles à l'axe. distance focale image: distance focale objet:

9 Déterminer les plans principaux PPO H PPI H 9

10 F, F', H et H' sont les points cardinaux du système optique. Remarque: Tout rayon passant par un point K du PPO ressort en un point K du PPI tel que H et H deux points conjugués sur l axe optique. K du PPO et K du PPI sont deux points conjugués. Les plans anti-principaux: Les plans anti principaux sont deux plans conjugués entre lesquels le grandissement est égal à -1

11 c. points nodaux. les point nodaux sont des points conjugués tels que le grossissent est égal à l unité. (G = α α = 1)

12 Remarque: Les points anti-nodaux Les points anti-nodaux n et n sont des points conjugués de l axe tels qu à tout rayon passant par le point anti-nodal objet n correspond un rayon émergent passant par n, également incliné sur l axe, mais en sens inverse. n u u n 12

13 Relation entre les points principaux et les points nodaux : Les triangles F s NF et K'H'F' sont égaux et on peut écrire : De même les triangles HNJ et H'N'J' sont égaux : d'où : on en déduit: Cas particulier 1) Les milieux extrêmes sont identiques (n=n f/f =-n/n =-1) Les points principaux et les points nodaux sont confondus. ( H N, H N) 2) Système à interstice nul : ( H H, N N) Le système est équivalent à un dioptre sphérique de rayon (H H S et N N C).

14 I.4. Constructions géométriques a. Règles générales Tout rayon incident parallèle à l axe optique émerge du système en passant par le foyer principal image Tout rayon incident passant par le foyer principal objet ressort du système parallèlement à l axe optique Tout rayon passant par un point K du PPO ressort en un point K du PPI tel que :. Tout faisceau parallèle entrant dans le système converge vers un foyer image secondaire unique. Tout faisceau parallèle sortant du système provient des rayons passant tous par un foyer objet secondaire unique.

15 B Construction de l image d un objet Système centré convergent Placer les élément cardinaux : F ; F ; H et H Faire la construction avec les deux rayons particuliers (passant par F et // à l axe) P P A A F H H F B 15

16 Système centré divergent B B A F H A H F P P Remarques : Les plans principaux d un système centré ne sont pas nécessairement situés entre les dioptres d entrée et de sortie du système. Le plan principal image peut se trouver avant le plan principal objet. Les foyers du système ne sont pas nécessairement réels. 16

17 Cas où le plan principal image P précède le plan principal objet P B B A F A H H F P P 17

18 Construction de l'émergent correspondant à un incident quelconque P P a) En utilisant le foyer secondaire objet F H H F PFO b) En utilisant le foyer secondaire image P P PFI F H H F 18

19 En générale, pour construire l image B de l objet B, il suffit de connaitre les points principaux (H et H ) et les Foyers (F et F ). Exemples. 1) Cas d un système convergent et un objet réel. l image est réelle.

20 Cas d un Système convergent, objet virtuel L image est virtuelle. Cas d un système divergent, objet réel L image est virtuelle.

21 I.5. Formules des systèmes centrés Distances focales H H distance focale objet distance focale image AB u tgu AF ; u' tgu' A' B' A' F' On applique la formule de Lagrange-Helmholtz au couple AB, AB Or; n. u n'. u' AB A' B' A' B' n A' F' n. n'.. AF A' F' AB n' AF n n'. H' F' HF aussi A' B' H' F' f' n' 1. Les distances focales sont AB HF f n toujours de signe contraires. Lorsque les milieux extrêmes sont identiques : n n' H' F' HF

22 I.5. Formules des systèmes centrés Vergence La vergence donnée pour les dioptres sphériques est valable pour les systèmes centrés. V n' n H ' F ' HF Le système est convergent si V > 0 > 0 Le système est divergent si V < 0 < 0 22

23 SYSTEMES CENTRES Relations de conjugaison et de grandissement Avec origine aux points principaux ou relation de Descartes Formule de conjugaison n n Les triangles JFH et JBI étant semblables on peut écrire: de même pour les triangles I'H'F' et I'J'B' on écrira: Or

24 Grandissement On applique la formule de Lagrange-Helmholtz au couple HI, HI n n Dans l approximation de Gauss n u = nu

25 Relation de Newton ou avec origine aux foyers soit les trriangles: ABF et HJF ; A B F et H I F D où FA F A = HF H F = ff =-f 2 =-f 2 si n=n Relation de conjugaison de Newton Le grandissement transversal est donné par la relation suivante γ T = A B AB = F A f = f FA Relation de grandissement de Newton.

26 I.6. Association de deux systèmes centrés H 1 H 1 H 2 H 2 H H (S 1 ) : (H 1, H 1, F 1, F 1 ) (S 2 ) : (H 2, H 2, F 2, F 2 ) (S) : (H, H, F, F )? 26

27 Association de deux systèmes centrés Détermination de F (foyer objet) et H (point principal objet) A (S 1 ) A 1 (S 2 ) A A F (S 1 ) A 1 F (S 2 2 ) A F 2 est l image de F à travers (S 1 ) (P) n N (S 1 ) (S 2 ) (P (PF 1 ) 1 ) (P 1 ) (P 2 ) (P 2 ) n H F F 1 H 1 H 1 F 1 F 2 H 2 H 2 F 2 Φ 1 Formule de Newton appliquée à S 1 avec appelé intervalle optique 27

28 Association de deux systèmes centrés Détermination de F (foyer image) et H ( point principal image) A (S 1 ) A 1 (S 2 ) A A (S 1 ) A 1 F 1 (S 2 ) A F n (S 1 ) (PFO 2 ) (S 2 ) N (P 2 ) (P 2 ) F est l image de F 1 à travers (S 2 ) n (P ) F 1 H 1 H 1 F 1 F 2 H 2 H 2 F 2 Φ 2 F H (P 1 ) (P 1 ) Formule de Newton appliquée à S 2 28

29 Distance focale image du système équivalent n N n 2 j 2 j 2 En appliquant le théorème de Thalès: F H K et F H 2 I 2 et F 1 H 1 I 1 et F 1 H 2 I 2

30 Distance focale objet du système équivalent n N 1 n De même on trouve : On a : Or

31 Vergence du système équivalent (Formule de Gullstrand) Or

32 Vergence du système équivalent (Formule de Gullstrand) La vergence de (S 1 ) : La vergence de (S 2 ) : (Formule de Gullstrand) avec e : l épaisseur du système N : l indice du milieu intermédiaire n et n : ceux des milieux extrêmes (n indice d entré et n indice 32 de sortie)

33 33 Systèmes catadioptriques (SD+M) Un système catadioptrique est équivalent à un miroir de sommet et de centre tels que : est l image du centre C du miroir réel à travers le système dioptrique (Sd), dans le sens de la lumière réfléchie; est l image du sommet S du miroir réel à travers le (Sd) dans le sens de la lumière réfléchie. C S Ξ C Sd (Sd) (M 1 ) (M) S Sd

34 Exemple de Système catadioptrique : donner le type de miroir équivalent à ce système? sens de la lumière réfléchie : indice d entré c est n et de sortie c est 1 % au Dioptre S 2 Le centre du miroir plan (C 2 ) a pour image à travers le dioptre sphérique au sens de la lumière réfléchie DS n 1 C 2 Le sommet du miroir plan S 2 a pour image à travers le dioptre sphérique au sens de la lumière réfléchie DS S 2 n 1 S 2 C 34 C

35 Systèmes catadioptriques Le rayon du miroir équivalent est : S 2 < 0 Le miroir équivalent est concave donc convergent. +

36 II. Lentilles Une lentille est un système centré formé de deux dioptres dont l'un au moins est un dioptre sphérique. Remarque: Ce sont les conditions de l approximation de Gauss, les seules étudiées dans le présent chapitre.

37 On distingue deux familles de lentilles suivant que les bords sont plus minces ou plus épais que l'épaisseur S 1 S 2 : Symbole d une Lentille mince CV Symbole d une Lentille mince DV les lentilles à bords minces (convergentes V>0) les lentilles à bords épais (divergentes V<0)

38 II.1. Lentilles épaisses. Lors de l étude d une lentille épaisse, on la considère comme l association de deux dioptres, air/verre, puis verre/air, de rayons de courbures R 1 et R 2. On utilise donc la relation de conjugaison de Descartes pour le dioptre deux fois, en faisant attention à la distance séparant les deux sommets des dioptres, notée généralement. On peut également calculer la vergence de la lentille grâce à la formule de Gullstrand et trouver la position des éléments cardinaux de celle-ci. Image A B de l objet AB donnée par une lentille épaisse

39 Centre optique C est le point d intersection O avec l axe optique, par lequel passe le rayon réfracté correspondant à un rayon incident qui émerge du système suivant une direction parallèle à la direction incidente. Le centre optique est donné par les relations Les triangles OC 1 I 1 et OC 2 I 2 Sont semblables. Dans l approximation de Gauss on a I 1 S 1 et I 2 S 2 OC 1 OC 2 = OI 1 OI 2 = I 1C 1 I 2 C 2 OS 1 OS 2 = S 1C 1 S 2 C 2 = R 1 R 2 39

40 Exemple : Lentille : Plan convexe Déterminer le centre optique? C 2 S 1 S 2 La face d entrée est plane S 1 C 1 O S 2 Le centre optique est confondu avec le sommet du dioptre sphérique. 40

41 Points nodaux et points principaux N N Les deux relations de conjugaisons sont : le centre optique O est le conjugué de N dans le premier dioptre. Le point N' sera le conjugué de O dans le second dioptre. N D(S 1, C 1 ) O D(S 2, C 2 ) N (n 0 ) (n) (n 0 ) Les milieux extrêmes étant identiques les points principaux H et H' 41 seront confondus respectivement avec les points nodaux N et N'.

42 II.2. Les lentilles minces 1- Condition de minceur d 1 lentille mince Une lentille est dite mince si : e << R 1 ; e << R 2 ; e << R 2 R 1 Avec Dans ce cas on a : S 1 O S 2 Les points nodaux seront également confondus en O (N O N ). N N Les plans principaux sont confondus avec la lentille. N N O H H

43 Les lentilles minces 2- Représentation des lentilles minces L. Convergente L. Divergente O O 43

44 (1) (1) A 1 A C 2 S 1 S 2 C 1 A n Relation de conjugaison Association de 2 dioptres sphériques A D(S 1, C 1 ) A 1 D(S 2, C 2 ) A (1) (n) (1) F. de Conjugaison appliquée au : -1 er Dioptre : - 2 ème Dioptre : Lentille mince : S 1 O S 2 Relation de Conjugaison d une lentille mince 44

45 Grandissement d une lentille mince AB D(S 1, C 1 ) A 1 B 2 D(S 2, C 2 ) AB (1) (n) (1) 1. 2 : le grandissement du système (lentille) 1 : le grandissement du 1 er Dioptre 2 : le grandissement du 2 ème Dioptre Lentille mince : S 1 O S 2 45

46 Position des foyers principaux F et F Foyer objet (A=F et A ): Foyer image (A =F et A ): Remarque : f = - f Distance focale objet Distance focale image Les foyers principaux sont symétriques par rapport à la lentille Relation de Conjugaison d une lentille mince est donc:

47 Vergence d une lentille mince Utilisant la Formule de Gullstrand Lentille mince : S 1 O S 2 V 1 : vergence du 1 er dioptre V 2 : vergence du 2 ème dioptre Si V > 0 (f > 0) Si V < 0 (f < 0) La lentille est convergente (les deux foyers sont réels) La Lentille est divergente (les foyers sont virtuels) 47

48 Autres formes de la relation de conjugaison f = - f Relation de conjugaison avec origine au centre optique Relation de Descartes Relation de Newton 2 2 FA.F' A' f.f' f f' 48

49 Construction de l image d un objet Lentille convergente F et F sont réels et symétriques par rapport à O B A F O F A B 49

50 Construction de l image d un objet Lentille divergente F et F sont virtuels et symétriques par rapport à O B B A F A O F 50

51 Résumé Les lentilles épaisses Le centre optique est donné par : Les Points nodaux Les points principaux N D(S 1, C 1 ) O D(S 2, C 2 ) N (n 0 ) (n) (n 0 ) Les lentilles minces S 1 O S 2 N N O H H ; Formule de Conjugaison : et grandissement : ; 51

52 II.3. Doublet : Association de lentilles minces L L 1 2 F 1 F F 1 2 F 2 O 1 O 2 Doublet : association de deux lentilles minces non accolées Deux lentilles minces de distances focales f ' 1 et f ' 2 séparées par e = forment un doublet de symbole (m, n, p) tel que : C est le cas de l association de deux systèmes centrés et on peut utiliser les formules obtenues dans ces systèmes. Remarque: Lentilles accolées O1 O2 : (e = 0) 52

53 Association de lentilles minces: Doublet Positions de F et H L 1 L 2 I 1 J (PPI) F 1 O F 1 1 F 2 O 2 F 2 I 2 F 2 H F est l image de F 1 à travers la lentille 2 avec F F ' ' 1 2 f1 e f2 (Intervalle optique) 53

54 Le doublet Positions de F et H (PPO) J L 1 L 2 I 2 H F O 1 F 1 F 1 F 2 O 2 F 2 1 F2 est l image de f à travers la lentille 1

55 Doublet si = 0 (F' 1 F 2 ) système optique AFOCAL (foyers à l infini) F L 1 L 2 I 1 F F O 1 1 = F 2 F 1 O 2 2 I 2 F

56 Distance focale image du doublet Formule de Gullstrand : N = 1 et V = V 1 + V 2 e V 1 V 2 f = - f Lentilles accolées (e = 0) :

57 Position de H et H respectivement par rapport à O 1 et O 2 F 1 Lentille 2 F 1 O 2 F 1 O 2 F 1 = 1 O 2 F 1 f 1 e = 1 f 2 Sachant que : O 2 F = O 2 H + H F O 2 H = O 2 F f O 2 H = f 2 f 1 e + f 1 f 2 O 2H = e f 2 = f f 1 e F Lentille 1 F 2 1 O 1 F 2 1 O 1 F = 1 e f 2 1 O 1 F = 1 f 1 Sachant que : O 1 F = O 1 H + HF O 1 H = O 1 F + f O 1 H = f 1 e f 2 f 1 f 2 O 1H = e f 1 = f f 2 e

58 Remarque 1 : Centre optique d un doublet O Si un doublet est placé dans un même milieu alors N=H et N =H. O image de N par rapport à la lentille L 1 de centre optique O 1 et en même temps est l objet de l image N par rapport à la lentille L 2 de l axe optique O 2. 1 O 1 O 1 O 1 N = 1 f 1 et 1 O 2 N 1 O 2 O = 1 f 2 Et 1 O 1 O = 1 O 1 H + 1 f = f 2 1 f e + 1 f = 1 1 f 1 + f 1 f 2 1 f e 1 = 1 O 2 O 1 O 2 H f = f 1 2 f e 1 f 2 = 1 f f 1 f 2 f e f 1 O 1 O = f 2 O 2 O OO 1 = f 1. OO 2 f 2

59 Remarque 2 : Les formules universelles Tous les systèmes optiques simples ont propre relation de conjugaison. Toutes les relations de conjugaison peuvent s écrire sous la même forme universelle : (1) Formule de Descartes (2) Formule de Newton. De même, on a la formule du grandissement d un système optique (3) Formule du grandissement Exemples : Lentille mince il suffit de remplacer p par avec f=-f. Doublet il suffit de remplacer p par et p par et p par H et H sont des points principaux d un doublet, avec f=-f.

60 II.3. Lentille séparant deux milieux Soit A 1 image de l objet A par rapport au dioptre 1 et en même temps l objet de l image A par rapport au dioptre 2. A image de A par rapport à la lentille : Dioptre 1 : Dioptre 2 : Pour une lentille mince en à : S 1 =S 2 =S=O