Maîtrise de Physique : Option Hyperfréquences et Optique non-linéaire. Travaux Dirigés N 4: Diffraction par un réseau de tiges infiniment conducteurs

Transcription

1 Mîtrise de Physique : Option Hyperfréquences et Optique non-linéire Trvux Dirigés N 4: Diffrction pr un réseu de tiges infiniment conducteurs I Un réseu de tiges infiniment conducteur utilisé en trnsmission est représenté sur l fig.1 qui définit les nottions utilisées dns l suite. Les génértrices, non-représentées, sont prllèles à l xe Oz. Les zones hchurées sont remplis d un métl infiniment conducteur. Les zones nonhchurées sont remplis de diélectriques trnsprents dont les indices de réfrction ν, ν 1 sont indiqués sur l figure. On noter que les indices du superstrt et du substrt sont égux. Une onde plne incidente, de vecteur d onde k i pprtennt u pln xoy, tombesurleréseu sous l ngle d incidence θ, et l on suppose son chmp éléctrique prllèle à l xe Oz, d mplitude unité. Figure 1: 1. Donner l expression de l mplitude complexe E i du chmp incident. Dépendnce en temps e iωt E i = A 0 exp i k i ] r =1exp i k i ] r =1exp ik 1 x sin θ y cos θ] 1 exp i αx βy]. Montrer que le chmp totl est pseudo-périodique pr rpport à x. Il doit exister un opérteur linéire disons l opérteur R qui dépend des coordonnées x et y u module de d près : voir ci-dessous et qui relie le chmp incident u chmp totl E x, y : E x, y =RE i x, y 1 1

2 L linérité de cette opérteur implique que pour C où C est une constnte : C CE x, y =RCE i x, y Fisons subir u trièdre de référence une trnsltion d mplitude d le long de Ox. L structure infini idéle étnt invrinte dns cette trnsltion, l opérteur R est inchngé tndis que E i x, y ete x, y sont respectivement remplcés pr E i x + d, y et E x + d, y. On peut donc écrire que : E x + d, y =RE i x + d, y ou encore E x + d, y =Re ik 1 sin θd E i x, y =e ik 1 sin θd RE i x, y ce qui près l éq.1 entrîne E x + d, y =e ik 1 sin θd E x, y qui est l expression de pseudo-périodicité du chmp totl. Puisque le chmp incident stisfit l même expression, le chmp diffrcté E d x, y Ex, y E i x, yestéglement pseudo-périodique. En déduire qu il est représentble pr une série que l on préciser. On constte lors que En effet : E x, y e iαx est périodique sur x de période d. E x + d, y e iαx+d ] = E x, y e iαd e iαx e iαd = E x, y e iαx Un chmp périodique est développble en série de Fourier, i.e. E x, y e iαx = E n y e in π d x = n= n= E n y e inkx K = π d Le chmp totl E x, y est donc développble en série de Fourier générlisée : E x, y = n= n= E n y e αnx vec α n = α + nk = k sin θ + nk 3. Etblir les expressions des chmps diffrctés dns le superstrt y > hetlesubstrt y<0 sous l forme de développements de Ryleigh. En déduire les ngles de diffrction θ n et θ n des ordres réfléchis et trnsmis. Le demi-espce y>hest un milieu homogène. Le chmp totl dns cette région stisfit donc E + k1 E =0 vec k1 = ν1 ω c = ω.insérnt ε1 c l éq.3 dns l éq.7 nous donne E n y+ k1 n α En y ] e iαnx =0 n

3 où en multiplint pr e iαx +lbsedefourier n : E n y+β n E n y =0 β n = Cette éqution implique E n y =A n e iβny + B n e iβny E n x, y = n 1 : chmp incident ou non borné à y A n e iβny e }{{ iαnx + } n 1 { k 1 α n si k 1 α n > 0 i α n k 1 si k 1 α n < 0 B n e iβny e iαnx }{{} + Condition d onde sortnte A n = δ n,0 : chmp diffrcté, propgteur ou évnescnt E d x, y = n= n= B n e iβny e iαnx α n = k 1 sin θ + nk Le développement du chmp totl dns l espce y>hs exprime donc : E n x, y =e iβ 0y e iα 0x + n B n e iβny e iαnx Les mêmes considértions pour le chmp totl trnsmis y<0 donne : E T n x, y = n A ne iβny e iαnx + n B ne iβny e iαnx L condition d onde sortnt donne B n =0, n. Le chmp trnsmis y <0 s exprime : E T n x, y = n A ne iβny e iαnx Les ondes propgteurs doivent stisfire k n = k i = k1 or α n = α + nk. Dns le domine y>hon donc k 1 sin θ n = k 1 sin θ + nk sin θ n =sinθ + n λ 1 d Dns le domine y<0 on vec l convention des signes hbituelle sin θ n =sinθ + n λ 1 d 3

4 4. On choisit l incidence θ correspondnt u montge de Littrow dns l ordre 1, c est-à-dire tel que l ordre 1 réfléchi se propge dns l même direction que l onde incidente, mis en sens inverse. Etblir l reltion lint θ, l longueur d onde λ 1 dnslesuperstrtetl période d du réseu. Il fut que θ 1 = θ 1 sin θ 1 = sin θ =sinθ λ 1 d sin θ = λ 1 d L vleur de α dns le montge de Littrow est donc : α L, 1 = k 1 sin θ = π λ 1 λ 1 d = π d Cette condition ser supposé dns toute l suite II Théoriemodle: 1. On s intéresse u chmp électrique totl, E s qui s étblit à l intérieur du premier sillon défini pr x, ] et y 0,h], etonlereprésente pr l série : E s = u m y G m x 3 m=1 Déterminer les fonctions G m x en écrivnt les conditions ux limites en x = ±. Conditions ux limites en x = ± : E =0 u m y G m x =0 y 0,h] G m x =0enx = ± m=1 or chque mode doit vérifier Helmholtz : où k = ν ω c u m y G m x+k u m y G m x =0 = ε ω c. L ppliction de l éqution de Helmholtz d u m dy G d G m m + u m + k u dx m y G m x =0 Divisnt le tout pr u m G m on obtient : 1 d u m + k + 1 d G m =0 4 u m dy }{{ G } m dx }{{ } fonction de y fonction de x L solution d une telle éqution de vrible séprés doit prendre l forme 1 d u m + k = Cte = 1 d G m u m dy G m dx 4

5 Cte : est une vleur propre de l opérteur d plus les conditions ux limites de dx Dirichlet G m ± =0 Cte = η réelle > 0 d G m dx = η G m 5 L solution générle est de l forme Les conditions limites sont : G m x =C cos ηx + D sin ηx C cos η + D sin η = 0 C cos η D sin η =0 6 6b On obtient une solutions non-trivil si le déterminnt de ces équtions est nul i.e. cos η sin η cos η sin η =0 Ce qui indique des solutions non-trivil si cos η sin η =0 Il y deux solutions possibles à cette éqution : sin η =0: sin η =0 η = qπ où q est un entier η = q π Le fit que sin η = 0 cos η 0. Eninsérnt sin η C cos η =0 C =0et G q x =D q sin q π x = 0 dns l éq.6 qui sont des solutions impires de x. i.e. G q x = G q x. cos η =0: cos η =0 η = π + pπ, où p est un entier 0 η = π 1 + p = π p +1 Le fit que cos η =0 sin η 0. Eninsérnt cos η = 0 dns l éq.6 D sin η =0 D =0et π G p x =D p sin p +1x 5

6 qui sont des solutions pires de x. i.e. G p x = G p x. Définissons mintennt un indice m tel que : { q solution impire m = p + 1 solution pire Les constnts C p et D q peuvent être ssimilé dns les fonctions u m y. On peut donc écrire : { cos m π G m x = x m impire, 1 : solution impire sin m π x m pire, : solution pire b Montrer que les fonctions u m y peuvent s écrire sous l forme : u m y = m exp iµ m y + h] + b m exp iµ m y h] 7 et préciser l vleur de µ m. Discuter le crctère propgteur ou évnescent de l solution élémentire u m y G m x. Revennt àl éq.4. On trouve L solution est donc de l forme : Posons 1 d u m u m dy + k = ηm = m π d u m = k m π u dy m µ mu m k m π si k m π > 0 µ m = i m π k si k m π < 0 u m y = m eiµmy + b m e iµmy m = me iµmh et b m = b me iµmh u m = m e iµmy+h + b m e iµmy h 8 Il s git d une onde propgteur si µ m > 0 si π m <k m< k 9 π c Déterminer l vleur limite de u dessous de lquelle toutes les solutions données pr l expression 7 conduisent à des ondes évnescentes. Toutes les ondes sont évneescentes si même qund m = 1,on9nonvérifiée k π < 1 < π k = πλ π = λ 6

7 Toutes les ondes sont évnescentes si < λ L ordre m = 1 est propgteur si > λ mis il est le seul ordre propgteur si k π < <λ Montrer qu lors, à l bse des sillons, le chmp E s x, 0 peut être pproximé pr: π E s x, b 1 expiµ 1 hcos x dès que h est suffismment grnd. Si h est ssez grnd, seule subsiste u cours de propgtion trvers les sillons l onde vec le plus petit µ m,c est-à-dire m =1. π π E s x, 0 = 1 + b 1 expiµ 1 hcos x + + b expiµ hsin x +... π 1 + b 1 expiµ 1 hcos x En déduire l vleur du chmp Ex, 0 u bs des deux plus proches sillons et conclure sur l prité delfonctionex, 0, x. Si x x+d, E x, 0 = E s x, 0 est multiplié pre iαd = e iπ = 1 Rppelα L, 1 = π. d Idem si x x d. E x, 0 est donc périodique en x de période d. Puisque le chmp E est entièrement tngentiel u pln xoy, nousvonse x, 0 = Es x, 0 u bs des sillons rempli du diélectrique. Donc E s x, 0 est églement une fonction périodique en x de période d et E x, 0 comme E s x, 0 doit être une fonction pire de x. Donc, E x, 0 est une fonction pire comme E s x, 0. Puisque il n y ps de chmp incident en y<0, le chmp et E x, 0 peut être vu comme l source du chmp pour toute y<0. Ceci impliquent que E x, y est une fonction pire pour y<0.. On choisit l période d du réseu telle que l on it : d 3 <λ 1 < d 10 Déterminer le nombre d ordres diffrcté dns le substrt. sin θ n =sinθ + n λ 1 d or nous trvillons dns les conditions de Littrow voir I.4: On obtient donc : sin θ = λ 1 d sin θ n = λ 1 d + nλ 1 d = λ n d 7

8 Le fit que sin θ n 1, 1] implique que les seules ordres propgteurs sont ceux qui stisfont 1 < λ n < 1 d On peut réécrire l éq.10 sur d : Pour les différents n, on 1 3 < λ 1 d < 1 n =0, sin θ 0 = λ 1 d et 1 3 < λ 1 d < 1 n =1, sin θ 1 = 3λ 1 d et 1 < 3λ 1 d OK ordre 0 est propgteur < 3 ordre + 1 est evncescnt n = 1, sin θ 1 = λ 1 d et 1 3 < λ 1 < 1 OK ordre 1 est propgteur d n =, sin θ = 3λ 1 d et 1 < 3λ 1 < 3 ordre est evncescnt d Seuls les ordres 0 et 1 se propgent dns deux directions symétrique pr rpport à Oy en dessus et en dessous : b Expliquer sommirement sns détiller les clculs l démrche à suivre pour clculer l mplitude complexe des ordres diffrctés. On des développements du chmp qusi-périodiques du chmp dns le substrt, le superstrt, et dns les sillons. Sur les diélectriques il fut stisfire l continuité dee et de de à y = et y =0. dy Sur le métl il fut E =0eny = et y =0. On v introduire une fonction F. F x = { 1 si x, ] 0 si x/, ] Les conditions ux limites s écrivent donc : E x, =F x E s x, F x de dy = F x de s y= dy y= E T x, 0 = F x E s x, 0 F x de T dy = F x de s y=0 dy y=0 x d, d ] x d, d ] x d, d ] x d, d ] Les développements pseudo-périodiques des ces équtions nous donne un système linéire à résoudre vec comme inconnues les qutre vecteurs de coefficients ], b], B] eta ]. 8

9 c Pouvez-vous prévoir une reltion simple entre les efficcités des ordres trnsmis? Puisque le chmp E x, 0 est pir, il reste pir pour toute y<0. Loin du réseu, il n y que des ordres propgteurs qui contribuent u chmp. Ces deux ordres son émis en ngles opposés et égles pr rpport à l xe Oz. Pr conséquence, leur mplitudes et leurs efficcités doivent être égles, e T 1 = et 0. d Pouvez-vous suggérer une ou plusieurs pplictions de ce composnt? Filtre Photolithogrvure Cpteur interférentiel 9