Des tours sous la neige...

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1 Des tours sous la neige... Guillaume Baudart, Thibault Rieutord 6 octobre 2009 Résumé Lors de ce premier projet nous nous sommes intéressés à deux problèmes de récursivité classiques : Le flocon de Von Koch et les tours de Hanoï. Une première implémentation naïve du flocon s est révélée peu satisfaisante. Nous avons donc remanié l algorithme avant de nous essayer à plusieurs variations libres sur le même thème. (Motifs de flocon variés voire aléatoires). Puis nous nous sommes penchés sur le problème des tours de Hanoï et sur la représentation graphique de sa résolution. 1 Le flocon de Von Koch 1.1 Prélude : Une première tentative Le flocon de Von Koch est une figure fractale classique qui a la particularité d enfermer une aire finie dans un périmètre infini. Ce flocon est un très bon exemple d application de la récursivité En effet il suffit à chaque génération d appliquer le motif de la figure 1 sur chacun des segments qui composent la génération antérieure. Pour dessiner un flocon nous disposons de deux fonctions : une fonction avance distance angle qui trace une ligne de longueur distance dans la direction angle. une fonction motif génération distance angle qui met en place l algorithme récursif décrit cidessus. Un flocon est alors la réunion de trois motifs dont les sommets forment un triangle équilatéral. Cependant cette première implémentation s est révélée par bien des côtés décevante. Nous avons d abord constaté que le flocon avait tendance à se déformer, à s affaisser, à mésure que l on faisait croître le nombre de générations.(voir par exemple la figure 3). Ainsi pour un nombre suffisamment élévé de générations on ne peut plus rien observer. L extinction du flocon semble se produire lorsque la relation suivante est vérifiée : distance 3 génération FIG. 1 Motif de base du flocon 1

2 FIG. 2 Un premier flocon L arrondi effectué lors de la conversion flottant/entier renvoie alors 0 et caml ne peut plus rien dessiner. Enfin dans certains cas particuliers le flocon ne se referme même pas. Nous avons donc essayé de mettre en place un algorithme plus efficace. 1.2 Allemande : Deuxième essai Pour corriger les travers du premier algorithme nous avons eu l idée de prendre comme argument le nombre de générations n et deux points a et b. Si n = 0 on se contente de tracer un trait reliant a et b. Sinon on calcule les quatres points qui forment un motif de base entre a et b et on applique recursivement l algorithme à chacun des quatre sous-segments ainsi formés. L algorithme ainsi modifié fonctionne pour toutes les générations sans affaisement ni déformation du flocon. (Voir figure 4). 1.3 Variation sur un thème Pour obtenir diverses formes sur le même principe nous avons appliqué le même algorithme, celui avec calcul au préalable des points, sur différents motifs de base Courante : Différents motifs Dans un premier temps, nous avons cherché à faire varier le motif de manière régulière. Plusieurs motifs nous sont venus à l esprit.(voir figure 5) Un motif de base de type semi-hexagonal appliqué sur le même schéma de triangle équilatéral. Plus original, un motif de base de type carré appliqué vers l intérieur sur un schéma carré. 2

3 FIG. 3 Dégradation du flocon FIG. 4 Un flocon de génération 12 3

4 FIG. 5 Motifs carré et semi-héxagonal FIG. 6 Un flocon aléatoire à chaque niveau Gavotte : Flocons aléatoires Pour obtenir des flocons plus diversifiés nous avons décidé de dessiner des flocons de forme aléatoire. Pour cela nous avons légérement modifié notre algorithme. Le motif initial est maintenant aléatoirement déformé.on déplace ainsi les trois points qui composent le triangle central tout en veillant à conserver la cohérence globale du dessin. Deux méthodes ont été utilisées : Dans un premier temps nous avons calculé les points aléatoirement à chaque niveau de récursivité indépendamment (voir figure 6). Le rendu est plutôt chaotique. Dans un second temps nous avons au préalable calculé les paramètres aléatoires et nous les avons appliqué de la même manière aux différents niveaux de la récursivité. Les figures obtenus nous ont étonnament satisfais par leur diversité et leur cohérence comme le montre la figure 7. 4

5 FIG. 7 Divers flocons aléatoires 1.4 Sarabande : Complexité du dessin du flocon de Von Koch A chaque génération on effectue quatre appels recursifs. En supposant que le dessin se fait en temps constant, notre algorithme à une complexité en O(n) (où n est le nombre de générations.) 2 Les tours de Hanoï La légende raconte que dans le grand temple de Bénarès, au dessous du dôme qui marque le centre du monde, on pouvait voir trois aiguilles de diamant plantées dans une dalle d airain. Sur une de ces aiguilles, Dieu enfila au commencement des siècles 64 disques d or pur, le plus large reposant sur l airain, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu au sommet. Nuit et jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l autel, occupés à transporter la tour de la première aiguille à la troisième, sans s écarter des règles fixes que nous venons d indiquer. Quand tous sera fini, la tour tombera et ce sera la fin des mondes. 2.1 Menuet : Résolution du problème des tours de Hanoï avec affichage naïf Comme pour le flocon de Von Koch on peut résoudre ce problème très facilement avec une solution récursive. En effet, supposons que l on sache déplacer une tour qui comporte (n-1) disques d une tige à une autre. Pour déplacer une tour composée de n disques de la tige A à la tige C on effectue alors trois déplacements : On déplace les (n-1) premiers disques de la tige A à la tige B On place le dernier disque sur la tige C 5

6 FIG. 8 Solution graphique Enfin on déplace les (n-1) premiers disques de la tige B à la tige C La première version de l algorithme se contente d afficher les instructions à suivre en comptant le nombre d étapes nécessaires à la résolution du problème. 2.2 Trio : Résolution du problème des tours de Hanoï avec affichage graphique Pour aller plus loin nous avons voulu représenter graphiquement les différentes étapes de la résolution. Nous avons alors rencontré un premier problème : Comment mémoriser l état des tours? Nous avons choisi de modéliser le problème à l aide de matrices de taille (nombre de tiges) (nombre de disques). Chacune des colonnes de la matrice est un tableau d entier qui représente l état d une des tige Les entiers correspondent aux diamètres des disques. 4 est associé au plus grand disque, 1 au plus petit. On note 0 l absence de disque. La première matrice représente donc l état initial des tours, la seconde un état intermédiaire de la résolution. Cette modélisation nous permet de réaliser facilement une représentation graphique de la résolution du problème. (Voir figure 8) 6

7 2.3 Menuet : Complexité de la résolution du problème des tours de Hanoï A chaque génération on effectue deux appels récursifs. La complexité de l algorithme des tours de Hanoï est donc en O(n). Comme dans le cas du flocon on a donc un algorithme de complexité exponentielle. 3 Gigue : Conclusion Ce projet nous a permis de nous familiariser avec Ocaml. De plus nous avons apprécié la relative liberté que nous laissait le sujet. Nous avons ainsi pu approfondir les parties qui nous intéressaient tout particulièrement. Enfin une excellente ambiance et une bonne répartition des tâches nous a fait aborder sereinement ce premier projet. 7