Systèmes disperseurs

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1 Systèmes disperseurs Un prisme peut être employé comme réflecteur (cf n ), nous verrons ici qu'il peut être utiliser aussi comme réfracteur pour modifier la direction d'un faisceau lumineux monochromatique et comme disperseur pour analyser un faisceau de lumière polychromatique. L'analyse spectroscopique de la lumière peut aussi être faite avec un réseau. Les caractéristiques de ces deux systèmes disperseurs sont données dans cette fiche. I. Indice de réfraction I. 1 Définition de l'indice de réfraction Un milieu est caractérisé par son indice de réfraction n défini par le rapport sans dimension : n = c u où c représente la vitesse de la lumière dans le vide et u sa vitesse dans le milieu considéré. La vitesse de la lumière dans le vide est une constante de la physique égale à : c = ms -1 cette valeur sert depuis 1983 à la définition du mètre à partir de celle de la seconde. Dans les milieux transparents l'indice de réfraction n est un nombre supérieur ou égal à un. Un milieu transparent dont l'indice est supérieur à un est appelé milieu réfringent. L'indice de réfraction n dépend de la longueur d'onde de la lumière qui traverse le milieu, ce phénomène est appelé dispersion. Il dépend aussi de la température. I. 2 Dispersion chromatique La loi de dispersion dépend du matériau. Pour caractériser cette dispersion une grandeur caractéristique a été définie : le nombre d'abbe n d égale à : n d = n D -1 n F - n C où n F, n C et n D représentent respectivement, les indices de réfraction du matériau pour les longueurs d'onde l F = 486,1 nm, l C = 656,3 nm et l D = 587,6 nm. Ces trois longueurs d'onde correspondent à des raies particulières de différentes lampes spectrales. Le nombre d'abbe compare l'écart moyen (n D - 1) entre l'indice pour une longueur d'onde moyenne du spectre visible et l'indice du vide à l'écart (n F n C ) entre les indices correspondant à deux longueurs d'onde proches des extrémités de ce spectre. Par exemple le nombre d'abbe relatif au verre de type BK7 vaut 64,2. On a l'habitude de classer les verres en deux catégories : les crown dont l'indice est inférieur à 1,6 et de nombre d'abbe supérieur à 55 et les flint dont l'indice est supérieur à 1,6 et de nombre d'abbe inférieur à 50. Plus un matériau est dispersif, plus le nombre d'abbe est faible. On peut développer en série la loi de la dispersion. Le développement en série est usuellement mis sous la forme suivante : Disperseurs 1/8

2 n 2 = A 0 + A 1 l 2 + A 2 l -2 + A 3 l -4 + A 4 l -6 + A 5 l -8 les coefficients A i dépendent de la nature du matériau (tableau 1). Type de verre BK7 LaSFN9 F2 SF10 A A x x x x10-2 A x x x x10-2 A x x x x10-3 A x x x x10-4 A x x x x10-5 tableau 1 Pour la silice et le quartz fondu la loi est du type : n 2 = 1 + A 0l 2 + A 1l 2 + A 2l 2 l 2 - B 0 l 2 - B 1 l 2 - B 2 avec : A 0 = B 0 = A 1 = B 1 = A 2 = B 2 = II. Dispersion par un prisme triangulaire d'un faisceau de lumière parallèle Un prisme est un solide constitué d'un milieu réfringent à faces non parallèles. Les bases d'un prisme sont des polygones réguliers et les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans de base. II. 1 Déviation Avant d'aborder l'étude d'un faisceau de lumière polychromatique on donne ici quelques résultats relatifs à la déviation d'un faisceau de lumière monochromatique. La dispersion ne se manifeste que lorsque la lumière est polychromatique. On considère un prisme triangulaire d'indice de réfraction n d'angle au sommet A situé dans l'air d'indice 1 (figure 1). Un rayon lumineux monochromatique perpendiculaire à l'arête du prisme, traverse celui-ci en subissant deux réfractions au niveau de chacun des deux dioptres. L'angle formé entre le rayon incident et le rayon émergent est l'angle de déviation D qui a pour valeur : D = i 1 + i 2 - A où i 1 représente l'angle d'incidence et i 2 l'angle d'émergence du faisceau. i 1 air r 1 A r2 i 2 D n figure 1 Disperseurs 2/8

3 La valeur de i 2 dépend des angles r 1 et r 2 et donc dépend de i 1 et n par la loi de Descartes sur la diffraction. L'angle de déviation D dépend par conséquent du matériau par son indice de réfraction, de l'angle au sommet A du prisme et de l'angle d'incidence i 1. Sur la figure 2 ont été tracées pour un matériau donné les courbes correspondant à la déviation D en fonction de l'angle d'incidence i 1 pour différentes valeurs d'angle  du prisme. 80 D ( ) A=80 60 A=60 40 D m A=30 20 A=10 O O i 1( ) io i m figure 2 Cette famille de courbes montre que l'angle d'incidence i 1 doit être supérieur à une certaine valeur i o dépendant de la valeur de l'angle A. Si l'angle d'incidence est inférieur à cette valeur, il existe un phénomène de réflexion totale à l'intérieur du prisme sur le second dioptre ou même le faisceau peut ne pas rencontrer le second dioptre. On remarque aussi qu'il existe un angle d'incidence i m pour lequel l'angle de déviation D passe par une valeur minimale D m. Lors de l'utilisation d'un prisme on se place toujours dans les conditions du minimum de déviation. Dans ce cas, les angles d'incidence et d'émergence sont égaux : i m1 = i m2 = i m et la valeur minimale de l'angle de déviation est égale à : D m = 2i m A Utilisé dans ces conditions il est possible de déterminer l'indice n d'un prisme d'angle au sommet A par la mesure de l'angle de déviation minimum D m car : Ê siná A + D m ˆ Ë 2 n = sin A (1) Ê Á ˆ Ë 2 cette configuration est entièrement symétrique : les angles d'incidence et d'émergence sont égaux entre eux et les angles de réfraction sont égaux à A/2 (figure 3). air A/2 im A/2 r m i m n figure 3 Disperseurs 3/8

4 II. 2 Dispersion angulaire Une conséquence de la dispersion chromatique est la séparation d'un faisceau polychromatique en ses différentes couleurs. Pour un prisme donné et un angle d'incidence i 1 donné, l'angle de déviation D dépend de la longueur d'onde l de la lumière puisque l'indice n est une fonction de l. La dispersion angulaire d'un prisme est mesurée par la différence de déviation DD entre les raies bleue et rouge du spectre atomique de l'hydrogène, le prisme étant utilisé dans les conditions du minimum de déviation (figure 4). air Lumière blanche DD n Rouge Orange Jaune Vert Bleu figure 4 L'équation (1) montre que la déviation augmente quand l'indice de réfraction augmente. Or dans la plupart des matériaux l'indice augmente quand la longueur d'onde diminue, par conséquent un faisceau de lumière bleue est plus dévié qu'un faisceau de lumière rouge. III. Dispersion angulaire d'un réseau Il existe un autre élément optique capable de disperser la lumière : le réseau. Un réseau de longueur L est constitué de motifs de largeur a, régulièrement espacés d'une quantité p appelée le " pas " du réseau (figure 5). Les dimensions a et p sont très inférieures à la longueur L. Le motif peut modifier l'amplitude ou la phase ou encore les deux à la fois de la lumière incidente. Dans le premier cas, on dit que le réseau est un réseau d'amplitude, dans le second cas un réseau de phase. Le nombre de motifs par millimètre dans un réseau est toujours élevé, il est couramment de l'ordre de 100 à mais il peut atteindre pour des réseaux holographiques. a p L figure 5 Dans le cas des réseaux classiques les motifs sont tracés par un diamant dans une couche d'aluminium déposée par évaporation sous vide sur un support en pyrex. Les traits sont tracés l'un après l'autre, aussi la réalisation d'un réseau peut durer plusieurs semaines. L'erreur de positionnement des traits doit être très faible ; elle est en moyenne de l'ordre de deux nanomètres. La couche d'aluminium est remplacée par une couche d'or quand la longueur d'onde du faisceau tombant sur le réseau est supérieures à 600 nm car le pouvoir de réflexion Disperseurs 4/8

5 de l'aluminium diminue fortement au-delà de 700 nm. De même, pour les longueur d'onde inférieures à 100 nm la couche métallique est une couche d'or ou de platine. Pour les réseaux holographiques une résine photosensible est exposée dans un champ d'interférences puis elle subit un développement chimique. Dans ce cas tous les traits du réseau sont enregistrés simultanément. L'erreur moyenne de positionnement des traits par rapport à la position théorique est ici de l'ordre de 0,5 nanomètre. Les réseaux holographiques ont dans l'ultraviolet et le visible des performances supérieures à celles des réseaux gravés. On distingue deux types de réseaux, les réseaux par réflexion et les réseaux par transmission. La lumière est suivant le cas réfléchie ou transmise, on dit encore "diffractée", suivant des directions privilégiées repérées par les angles q d qui vérifient pour les réseaux en transmission : sinq d - sinq i = kl/p (2) où q i représente l'angle d'incidence du faisceau de lumière arrivant sur le réseau (figure 6). L'entier k est appelé "ordre" d'interférence. q i qd Sens d orientation positif choisi pour les angles Lumière incidente Lumière transmise Réseau par transmission Pour les réseaux par réflexion on a : figure 6 sinq d + sinq i = k l p (3) Comme avec le prisme un faisceau de lumière monochromatique qui arrive avec un angle d'incidence q i est dévié d'un angle D tel que : D = q d -q i La déviation est minimale (en valeur absolue) pour la configuration symétrique q i = - q d, et dans ce cas : Ê siná D min ˆ l = k Ë 2 2p Si la lumière incidente est polychromatique, les positions angulaires q d diffèrent pour chacune des longueurs d'onde ; la lumière est décomposée en ses différentes longueurs d'onde à l'exception de l'ordre k = 0 qui ne disperse pas la lumière. Le spectre donné par le réseau est dit "normal" si le montage optique est tel que l'angle d'incidence q i correspond à un angle de diffraction q d égal à zéro pour la longueur d'onde moyenne étudiée (figure 7). Disperseurs 5/8

6 L 2 Récepteur L 1 S F q i Réseau Objectif Collimateur figure 7 Il faut remarquer qu'avec le réseau c'est la lumière rouge (l r > l b ) qui est plus déviée que la lumière bleue [voir les équations (2) et (3)]. Le réseau a l'avantage d'être plus dispersif que le prisme mais l'inconvénient d'être en général moins lumineux car la lumière se répartit sur les différents ordres. Cette répartition énergétique dépend de la géométrie exacte du motif constituant chaque trait élémentaire du réseau. Il existe des réseaux "blazés" qui remédient à cet inconvénient, tous les ordres sont pratiquement éteints à l'exception d'un seul où tout l'énergie lumineuse incidente est concentrée. Il faut noter que les relations précédentes donnent les positions centrales pour lesquelles on observe de la lumière mais elle ne fournissent aucun renseignement sur la répartition lumineuse angulaire au voisinage de ces directions q d. IV. Spectrométrie et pouvoir de résolution L'intérêt d'un élément disperseur est qu'il va permettre l'étude du spectre de la lumière émise par la source. Une des caractéristiques essentielles d'un spectromètre est son aptitude à séparer deux raies voisines. Pour caractériser cette aptitude, on définit le pouvoir de résolution par : l R = dl min dl min représentant l'écart minimal entre deux raies que le spectromètre peut distinguer. IV. 1 Prisme En général le prisme disperseur est placé dans un faisceau de lumière parallèle de diamètre F supérieur à la hauteur du prisme (figure 8). Si la fente F est suffisamment fine pour que ce ne soit pas son image géométrique qui limite la résolution mais la diffraction due à la dimension du prisme, la dispersion angulaire a dans ce cas pour expression : dd dl = b dn F dl b représentant la dimension de la base du prisme. La dispersion linéaire au niveau du récepteur a pour valeur : dx dl = b dn F dl f ' f' étant la distance focale image de la lentille de projection L 2. Le pouvoir de résolution a pour expression : R = l dl min = b dn dl Disperseurs 6/8

7 il augmente quand la variation de l'indice avec la longueur d'onde augmente donc quand le nombre d'abbe diminue. L 1 S F F dd Objectif Collimateur b Récepteur L 2 dx figure 8 IV. 2 Réseaux Comme pour le prisme le réseau est placé dans un faisceau de lumière parallèle de diamètre F supérieur à la dimension L du réseau (figure 7). Dans ce cas la dispersion angulaire et la dispersion linéaire dans l'ordre k s'expriment respectivement par : dq d dl = k dx et pcosq d dl = k f ' pcosq d si f' représente la distance focale image de la lentille de projection L 2 (figure 7). Elles augmentent quand le pas p diminue. Le pouvoir de résolution qui a pour expression : l R = = kn (k étant un entier naturel) dl min augmente avec le nombre total N de motifs du réseau. Par conséquent un réseau à haut pouvoir dispersif et très résolvant aura un grand nombre de motifs séparés par un petit pas. Contrairement à ce que pourrait suggérer la dernière relation le pouvoir de résolution ne peut pas être indéfiniment augmenter. En effet on peut montrer que la luminosité décroît quand l'ordre k augmente et pour un réseau de longueur L, le pouvoir de résolution limite est égal à : R lim = 2L l. Bibliographie D. BARCHIESI Cours, exercices corrigés et problèmes résolus posés aux concours, ellipses, 1998, ISBN J.Ph. PEREZ Optique géométrique et ondulatoire, 4 ème édition, Masson, 1994 SEXTANT Disperseurs 7/8

8 Optique expérimentale, collection enseignement des sciences, Hermann, ISBN X J. SURREL Optique instrumentale - Optique de Fourier, Ellipses,1996, ISBN N. VANSTEENKISTE-WESTBROOK Optique instrumentale, les éditions de physique, collection de la SFO, ISBN Catalogues Melles Griot Joëlle SURREL Université Jean Monnet IUT Saint-Étienne surrel@univ-st-etienne.fr Article paru dans la revue de la Société française d Optique ( : «Optique et Phonique» n Revue dont «Photoniques» ( a pris la suite en janvier Disperseurs 8/8