Fiches de Révision MPSI

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1 Fiches de Révision MPSI TOME II - Mathématiques Jean-Baptiste Théou Creactive Commons - Version 0.1

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3 Licence J ai décidé d éditer cet ouvrage sous la licence Créative Commons suivante : CC-by-nc-sa. Pour plus d information : http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/. Ce type de licence vous offre une grande liberté, tout en permettant de protéger mon travail contre une utilisation commercial à mon insu par exemple. Pour plus d information sur vos droits, consultez le site de Créative Commons i

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5 Avant-propos Il y a un plus d un an, au milieu de ma SUP MP, j ai décidé de faire mes fiches de révision à l aide de Latex, un "traitement de texte" très puissant. Il en résulte les fiches qui suivent. Je pense que travailler sur des fiches de révision, totalement séparé de notre cours, est un énorme plus, et réduit grandement la quantité de travail pour apprendre son cours, ce qui laisse plus de temps pour les exercices. Mon experience en tout cas va dans ce sens, j ai notablement progressé à l aide de ces fiches. J ai décidé de les rassembler sous forme d un "livre", ou plutôt sous forme d un recueil. Ce livre à pour principal interet pour moi d être transportable en cours. C est cet interet qui m a poussé à faire ce livre. Dans la philosophie de mes fiches de révision, ce livre est disponible gratuitement et librement sur mon blog. Il est édité sous License Créative Commons. Vous pouvez librement adapter ce libre à vos besoins, les sources Latex sont disponibles sur mon blog. Je pense que pour être en accord avec la philosophie de ces fiches, il serai bien que si vous effectuez des modifications de mon ouvrage, vous rendiez ces modifications disponible à tous. Je laisserai volontiers une place pour vos modifications sur mon blog. Je pense sincèrement que ce serai vraiment profitable au plus grand nombre, et dans la logique de mon travail. J ai hiérarchisé mon ouvrage de façon chronologique, tout en rassemblant les chapitres portant sur le même sujet sous une même partie. Les parties sont rangées dans l ordre "d apparition" en MPSI. J ai mis en Annexe des petites fiches de méthodologie, qui peuvent s avérer utiles. Je vous souhaite une bonne lecture, et surtout une bonne réussite. Jean-Baptiste Théou iii

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7 Remerciements Je tient à remercier tout particulièrement Yann Guillou, ex Professeur de Physique-Chimie en MPSI au Lycée Lesage, actuellement en poste en Guadeloupe, qui m a permis de consolider mes connaisances en physique et qui m a ouvert les yeux sur la réalité de la physique et sur son histoire. Ces "digressions historiques" resterons de bons moments dans mon esprit, pour longtemps. Je remercie aussi Paul Maheu, Professeur de Mathématiques en MPSI au Lycée Lesage, qui m a permis d aquérir de solides connaisances en Mathématiques. Sans eux, ce livre ne pourrai exister. Pour finir, je me dois à mon avis d insérer cette citation dans mon ouvrage, citation que nous a donné Mr Guillou pour nos premiers coups de crayon en Prépa. Elle est à méditer... Je suis convaincu qu il est plus bénéfique pour un étudiant de retrouver des démonstrations à partir de quelques indications que de les lire et de les relire... Qu il les lisent une fois, qu il les retrouvent souvent SRINIVÂSA AIYANGÂR RÂMÂNUJAN( ) v

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9 Première partie Fonctions de R dans R 1

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11 Chapitre 1 R 1.1 Définitions 1.2 Structure Définition 1 (R,+, ) est un corps totalement ordonnée. On dit qu il est archimédien. Définition 2 La relation " " est une relation d ordre. Elle est : Reflexive : x R x x Anti-symétrique : Transitive : (x, y) R 2 si : (x y, y x), alors x = y (x, y, z) R 3 si : (x y, y z), alors x z Majorant - Minorant Soit A un ensemble Majorant Définition 3 Si M est un majorant de A, avec M A, alors : M = Max(A) Définition 4 Si M est le plus petit des majorants de A, alors M est la borne supérieure de A : M = Sup(A) Propriété 1 Si A c R, si Max(A) existe, alors Sup(A) existe et : Sup(A) = Max(A) Minorant Définition 5 Si M est un minorant de A, avec M A, alors : M = Min(A) 3

12 Définition 6 Si M est le plus grand des minorant de A, alors M est la borne inférieure de A : M = Inf(A) Propriété 2 Si A c R, si Min(A) existe, alors Inf(A) existe et : Min(A) = Inf(A) Borne supérieure - Borne inférieure Propriété 3 Toute partie de R non vide et minorée possède une borne inférieure. Propriété 4 Toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure. Propriété 5 Toute partie de Z non vide et majorée possède un plus grand éléments. (Max) Partie bornée de R Soit A une partie de E. On note ceci : A P (E). A est bornée si et seulement si : M R tq a A, a M Propriété 6 Propriété d Archimède : Soient (x,y) R et x>0, alors : Partie entière p Z tq y < px Définition 7 Soit x R. Il existe un unique entier p telque p x<p+1 Cette entier p en la partie entière de x. On le note E(x). Définition 8 En complément, on défini la partie décimale de x, notée D(x) : Densité Définition 9 Soit A une partie de R A est dense dans R si, avec x y : D(x) = x E(x) (x, y) R 2 a A tq a ]x; y[ Propriété 7 Puisque l espace des fractions rationnels, notée Q, est dense dans R, si x R, alors il existe une suite de rationnelle qui converge vers x. 1.3 Partie de R Définition 10 Soient (a,b) R 2. On appelle segment d extrémité a,b : [a, b] = {x R/a x b} Définition 11 Soit I une partie de R. I est un intervalle si : x I, y I, [x; y] c I

13 1.3.1 Sous-groupes de (R ;+) Critère de reconnaissance des sous-groupes Définition 12 Soit H une partie de R. On dit de H est un sous-groupe de (R ;+) si (H ;+) est un groupe. Propriété 8 H est un sous-groupe si et seulement si : 1- H c R et H non vide 2- (x; y) H 2, x y H

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15 Chapitre 2 Dérivation des fonctions de R dans R 2.1 Définitions Définitions Définition 13 Soit f définie sur un voisinage d un réel a. f est dérivable en a si : f(x) f(a) lim x a x a existe dans R Si f est dérivable, cette limite est le nombre dérivée de f en a. Propriété 9 Le nombre dérivé est la pente d une droite passant par a. Cette droite est appelé tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. L équation de cette tangente est : y = f(a) + f (a)(x a) Lien entre tangente et dérivabilité Soit x D f. Propriété 10 Si on peut écrire f(x) sous la forme : f(x) = f(a) + A(x a) + ε(x)(x a) avec : alors f est dérivable en a et f (a) = A. lim ε(x) = 0 x a Continuité et dérivabilité Propriété 11 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a Propriété 12 f est dérivable en a si et seulement si : f est dérivable à droite en a f est dérivable à gauche en a f d (a) = f g(a) 7

16 2.1.4 Théorème de Rolle Théorème 1 Si : alors : f est continue sur [a,b] f est dérivable sur ]a,b[ f(a) = f(b) c ]a, b[ tq f (c) = Théorème des accroissement finies Théorème 2 Si : { f est continue sur [a,b] f est dérivable sur ]a,b[ alors : c ]a, b[ tq f(b) f(a) b a = f (c) Inégalité des accroissement finies Théorème 3 Si : Soit M un majorant de f, alors : f est continue sur [a,b] f est dérivable sur ]a,b[ f est borné sur ]a,b[ f(b) f(a) M b a Conséquence Si f est croissante sur I, alors f (a) 0 Si f et g sont dérivable sur [a,b], avec : x [a, b] f (x) g (x), alors : f(b) f(a) g(b) g(a) Classe d une fonction Soit f fonction, I un intervalle Définition 14 f est de classe C n sur I si f (n) est définie et continue sur I Opération Propriété 13 Soit I un intervalle, soit n N. La somme, le produit, la composé de fonction C n sur I, sont des fonctions C n sur I Formulaire n N, x R : cos (n) (x) = cos(x + nπ 2 ) sin (n) (x) = sin(x + nπ 2 )

17 2.1.9 Formule de Leinbniz Soient f et g deux fonctions n fois dérivable sur I : (fg) n) = n k=0 ( n k ) f (k).g (n k)

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19 Chapitre 3 Étude locale d une fonction 3.1 Étude locale Dominance - Équivalence - Négligeabilité Soit a R {+, }. Soient f et g deux fonctions définie au voisinage de a sauf peut être en a. Définition 15 On dit que f est dominée par g au voisinage de a si V a, voisinage de a telque f g soit majorée de V a (f(x) = 0(g(x))) ( V a, voisinage de a, M R telque x V a f(x) M g(x) ) Définition 16 On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, si, pour a R : ε > 0 α > 0 telque x ]a + α; a α[ f(x) ε g(x) On le note f(x) g(x) et f(x) = o(g(x)). On a : La définition est identique si a est infini Définition 17 On dit que f est équivalent à g, si : On note f(x) g(x). Et on a : Comparaison successives (f(x) g(x)) ( lim x a f(x) g(x) = 0) f(x) g(x) g(x) (f(x) g(x)) ( lim x a f(x) g(x) = 1) Soit f,g,h trois fonctions défini au voisinage de a, sauf peut être en a. Si : Si f(x) g(x), g(x) h(x) alors : Si f(x) g(x), g(x) h(x) alors : f(x) h(x) f(x) h(x) 11

20 Si f(x) g(x), g(x) h(x) alors : f(x) h(x) Si f(x) g(x), g(x) h(x) alors f(x) g(x) Échelle de comparaison Au voisinage de 0 : 0.. x 2 x 1 ln(x) 1 x Au voisinage de 0 1 x 2 1 x 1 1 ln(x) x x 2 e x Règles de Manipulation Somme de deux fonctions Si, au voisinage de a : f(x) αu(x) g(x) βu(x) α + β 0 Alors f(x) + g(x) (α + β)u(x) Produit, rapport, valeur absolu De plus : Soit α un réel : f(x) u(x) g(x) v(x) } Alors f(x) g(x) u(x) v(x) f(x) g(x) u(x) v(x) (f(x)) α (u(x)) α f(x) u(x) Changement de variable Le changement de variable dans un équivalent est autorisé, mais pas la composé ne l est pas. Propriété 14 Si f(x) g(x), alors lim a f et lim b f ont même nature et si elles existent sont égales Formule de Taylor avec reste de Young Préliminaire Théorème 4 Si ϕ est une fonction dérivable sur V 0, un voisinage de 0, et si Si ϕ est dérivable sur V 0 et si : ϕ(0) = 0 n N telque si x 0, ϕ (x) = O(x n ) ϕ(0) = 0 si x 0, ϕ (x) = o(x n ) } Alors ϕ(x) = O(x n+1 ) } Alors si x 0 ϕ(x) = o(x n+1 )

21 Formule de Taylor Définition 18 Si f est de classe C n sur V 0, alors x V 0 : f(x) = f(0) + f (0)x xn n! f (n) (0) + o(x n ) Si f est de classe C n sur un voisinage de a, V a, a R, alors x V a : f(x) = f(0) (x a)n f (n) (a) + o((x a) n ) n!

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23 Chapitre 4 Développements limités 4.1 Notation de Landau Définition 19 Si, lorsque x 0, f(x) g(x), on note : f(x) = o(g(x)) Soit n,p entiers : x n o(x p ) = o(x n+p ) o(x n ) o(x p ) = o(x n+p ) o(x n ) + o(x p ) = o(x inf(n,p) ) Si A est un réel fixé : A o(x n ) = o(x n ) 4.2 Définitions Définition 20 Soit f une fonction définie au voisinage de O. On dit que f possède un développement limité d ordre n si il (a 0,...a n ) R n telque : f(x) (a 0 + a 1 x a n x n ) x n donc, au voisinage de 0, f(x) = a 0 + a 1 x a n x n + o(x n ). Il y a unicité du développement limité. On peut faire une combinaisons linéaire de développement limité. Définition 21 On appelle partie principale du développement limité la fonction polynomiale suivant : x a 0 + a 1 x a n x n 4.3 Équivalence et développement limité Définition 22 Si f possède un développement limité d ordre n au voisinage de 0, si k telque a k 0, notons p l indice du 1 er terme non nuls, alors, au voisinage de 0 : f(x) a p x p 4.4 Régularité au voisinage de 0 et développement limité Définition 23 Au voisinage de 0 : f est de classe C 0 un développement limité d ordre O 15

24 f est dérivable un développement limité d ordre 1 f est de classe C 1 un développement limité d ordre 1 f est de classe C 2 un développement limité d ordre 2 } Formule de Taylor-Young 4.5 Développement limités usuels (1 + x) α α(α 1) = 1 + αx + x 2 + o(x 2 ) 2! cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + o(x6 ) sin(x) = 1 x3 3! + x5 5! x7 7! + o(x7 ) e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + o(x4 ) 1 1 x = 1 + x + x x n + o(x n ) ch(x) = 1 + x2 2! + x4 x2n ! 2n! + o(x2n+1 ) sh(x) = 1 + x3 3! + x5 x2n ! (2n + 1)! + o(x2n+1 ) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + o(x3 ) 4.6 Dérivation et Intégration Définition 24 Pour obtenir le développement limité de f (x), on dérive terme à terme le développement limité de f(x). Pour obtenir le développement limité de F(x), une primitive de f(x), on intègre terme à terme : Si f(x) = a a n x n + o(x n ), alors : F (x) = F (0) + a 0 x a n n + 1 xn+1 + o(x n+1 ) 4.7 Développement limité au voisinage d un réel a Définition 25 Soit f fonction défini au voisinage de a. On dit que f possède, au voisinage de a, un développement limité d ordre n si P R n [X] telque : f(x) = λ 0 + λ 1 (x a) λ n (x a) n + o((x a) n ) De plus : (f est dérivable en a) (f est défini en a, et f possède au voisinage de a un développement limité d ordre 1) Tangente Propriété 15 Si, au voisinage de a, f(x) = λ 0 + λ 1 (x a) + o((x a)), alors : y = λ 0 + λ 1 (x a) est tangent à la courbe en a. Le terme suivant non nul détermine la position relative de la tangente par rapport à la courbe.

25 4.8 Développement limité généralisé Soit α R Définition 26 Si au voisinage de 0, on peut écrire : f(x) = λ 0 x α λ n x α+n + o(x α+n ) Alors ceci constitue un développement limité généralisé de f en 0. Définition 27 Si x +, avec f défini au voisinage de +. Si on peut écrire : f(x) = λ 0 x α λ n x α n + o(x α n )

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27 Deuxième partie Les suites 19

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29 Chapitre 5 Suite numérique - Géneralité 5.1 Propriétés Opérations Soit (a),(b),(c) trois suites. On peut effectuer trois types d opérations sur les suites : Une somme : ((a) + (b) = (c)) ( n N a + b = c) Un produit : Un produit par un scalaire : ((a).(b) = (c)) ( n N a.b = c) ((a) = λ(c)) ( n N a = λc) 5.2 Suites particulière Suite arithmétiques Soit (u n ) une suite arithmétiques : Suite géométrique n k=0 Soit (u n ) une suite géométrique, de raison q : u k = (n + 1). u 0 + u n 2 n k=0 u k = u 0. 1 qn+1 1 q 5.3 Suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à coefficiants constants Soit (u n ) une suite vérifiant la récurrence : u n+2 = a.u n+1 + b.u n Alors, on obtient l équation caractéristique, en simplifiant par r n : r 2 = ar + b 21

30 Donc : (A, B) R 2 tq (u n ) = A(r 1 ) n + B(r 2 ) n

31 Chapitre 6 Convergence des suite numériques réelles 6.1 Suites convergentes Définition 28 Soit (u n ) n 0 une suite de nombre réels. On dit que (u n ) n 0 converge vers 0 si : ε > 0, n 0 N tq n n 0 u n < ε Définition 29 Soit l R. La suite u n converge vers l si : ε > 0, n 0 N tq n n 0 u n l < ε Les suites convergentes possède les propriétés suivantes : Une suite constante est convergente Une suite géométrique de raison a avec a <1 converge vers 0 La suite ( 1 n ) n 1 converge vers 0 Si (u n ) converge vers une limite l, elle est unique. Un suite (u n ) converge vers 0 si et seulement si ( u n ) converge vers 0 Une suite convergente est bornée Si (a n ) converge vers 0 et n 0 N tq n n 0 u n a n, alors (u n ) converge vers Caractérisation de la borne supérieur On peut caractériser la borne supérieur d un ensemble non vide et majorée à l aide d une suite. Soit A une partie de R ( M est la borne supérieur de A ) { M est un majorant de A (a n ) tq n Na n A et a n converge vers M 23

32 6.1.2 Caractérisation d une partie dense Soit A une partie de R ( A est dense dans R) ( x R, (u n ) R n, n u n A et a n converge vers x) Opération sur les suites convergentes Nous avons les propriétés suivantes : La somme de deux suites convergente est convergente, et la limite de la somme est la somme des limites. Le produit par une constante d une suite convergente est convergente Le produit d une suite bornée par une suite convergente de limite nul est une suite convergente de limite nul. Le produit d une suite convergente par une suite convergente de limite nul est une suite convergente de limite nul. Le produit de deux suite convergentes est une suite convergente Si (u n ) est une suite convergente de terme tous non nuls, si l 0, alors 1 u n converge vers 1 l Si (u n ) est une suite convergente de limite l, alors ( u n ) converge vers l Lien entre le signe de la limite et le signe des termes de la suite Si l>0, alors n 0 N, tq n n 0, u n > 0 Si l<0, alors n 0 N, tq n n 0, u n < 0 Si n 0 N tq n n 0, u n < 0, alors l 0 Si n 0 N tq n n 0, u n > 0, alors l 0 De ces correspondances, on détermine les comparaisons entre deux suites convergentes Théorème d encadrement Si : Alors x n converge vers l Suite extraites (u n ) converge vers l (v n ) converge vers l n 0 N, n n 0, u n x n v n Propriété 16 Si (u n ) converge, alors toutes ses suites extraites converge vers la même limite. Propriété 17 Si : { (uϕ(n) ) et (u ψ (n) ) converge vers la même limite {ϕ (n) / n N} {ψ (n) / n N} = N

33 Alors la suite (u n ) converge 6.2 Suites divergentes Caractéristation des suites divergentes Si : Alors la suite (u n ) diverge { (uϕ(n) ) et (u ψ (n) ) converge vers des limites différentes {ϕ (n) / n N} {ψ (n) / n N} = N Suites qui diverge vers ± Définition 30 Soit (u n ) n 0 une suite de nombre réels. On dit que (u n ) n 0 diverge vers + si : A R +, n 0 N tq n n 0 u n > A Définition 31 Soit (u n ) n 0 une suite de nombre réels. On dit que (u n ) n 0 diverge vers si : Propriétés B R, n 0 N tq n n 0 u n < B ((u n ) diverge vers ) (( u n ) diverge vers + ) La somme d une suite bornée et d une suite qui diverge vers + diverge vers + L inverse d une suite qui tend vers + converge vers Théorème de minoration Théorème 5 Si (u n ) et (v n ) sont deux suites telque : { (un ) diverge vers + Alors (x n ) diverge vers + n 0 tq n n 0 u n x n 6.3 Suite monotone et convergente Théorème 6 Soit (u n ) une suite croissante. Si elle est majorée, alors elle converge. Sinon, elle diverge vers + Théorème 7 Soit (u n ) une suite décroissante. Si elle est minorée, alors elle converge. Sinon, elle diverge vers Suites adjacentes Définition 32 Soient (u n ) et (v n ) deux suites. Elle sont dites adjacentes si : 1. (u n ) croissante 2. (v n ) décroissante 3. (u n v n ) converge vers 0 Propriété 18 Si (u n ) et (v n ) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite, notée l et : n N, u n l v n

34 6.3.2 Segments emboités Définition 33 On considère une suite de segments. On dit que la suite est emboitée si : n N [a n+1, b n+1 ] C [a n, b n ] Propriété 19 Nous avons les propriétés suivantes : L intersection de tous les intervalles d une suites d intervalle emboitée est non vide Si la longeur de l intervalle tend vers 0, alors l intersection est un singleton Théorème de Bolzano-Weierstrass Théorème 8 De toutes suites réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

35 Chapitre 7 Suite à valeur complexe 7.1 Convergence Définition 34 Soit (z n ) une suite à valeur complexe. On dit que cette suite converge vers λ si et seulement si : ε > 0, n 0 N tq n n 0 u n λ < ε 7.2 Partie réeles, partie imaginaire Propriété 20 Si Re(z n ) converge vers a et Im(z n ) converge vers b, alors (z n ) converge vers a+ib. 7.3 Suites des modules et suites des arguments Soit (z n ) la suite défini par : n N z n = ρ n e iθn Propriété 21 Si : alors (z n ) converge vers ae ib { (ρn ) converge vers a (θ n ) converge vers b Mais si la suite des arguments ne converge pas, la suite (z n ) peut quand meme converger. 7.4 Opération Somme de deux suites convergente Propriété 22 Soient (z n ) et (z n) deux suites convergentes de limite λ et λ. On obtient que (z n + z n) converge vers λ + λ 27

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37 Chapitre 8 Etude des suites 8.1 Suite complexe Soit (z n ) une suite de complexe Propriété 23 ((z n ) converge vers λ) ( z n λ converge vers 0 ) Propriété 24 ((z n ) converge vers λ) (Re(z n ) converge vers Re(λ) et Im(z n ) converge vers Im(λ)) Propriété 25 Si (z n ) converge vers λ, alors ( z n ) converge vers λ. Mais aucune information sur le comportement de l argument. Propriété 26 Si le module de z n converge vers R et que l argument de z n converge vers α, alors (z n ) converge vers Re iα Propriété 27 Soit (z n ) suite complexe défini par : Avec a C. Si : a=0, (z n ) est une suite constante a ]0,1[, (z n ) converge vers 0 a > 1, (z n ) diverge vers + a = 1. Si a 1, alors la suite diverge Si a = 1, (z n ) est une suite constante n N z n = a n 8.2 Suites définies par récurrence Définition 35 Soit f une fonction de R dans R, définie sur D f, et (u n ) une suite définie telque : u 0 R n, u n+1 = f(u n ) 29

38 8.2.1 Existance de la suite Propriété 28 Soit (u n ) une suite de réel, défini par récurrence à l aide de la fonction f. ( n, u n existe) (u 0 D f et D f est stable par f) ( n, u n existe) (u 0 D f et f(d f )CD f ) Sens de variation Propriété 29 Soit (u n ) une suite de réel, défini par récurrence à l aide de la fonction f. ((u n ) est croissante ) ( n N, u n+1 u n ) ((u n ) est croissante ) ( n N, f(u n ) u n ) En pratique, si x I, f(x) x et si n N, u n I, alors (u n ) est croissante Limite éventuelle Si (u n ) converge vers l et que f est continue en l, alors l = f(l) 8.3 Règle de d Alembert Soit (u n ) une suite de réels positifs. Supposons que : Si a [0, 1[, (u n ) converge vers 0 Si a>1, (u n ) diverge vers + u n+1 lim = a n u n 8.4 Comparaison des suites Définitions Définition 36 Soit (u n ) et (v n ) deux suites à valeur réelle. On dit que (v n ) domine (u n ) si : On note u n =O(v n ) A R + tq n N u n A. v n Définition 37 On dit que (u n ) est négligable devant (v n ) ou que (v n ) est préponderant devant (u n ) si : On note u n v n ou u n = o(v n ) ε > 0 n 0 N tq n n 0 u n ε v n Définition 38 On dit que (u n ) est équivalent à (v n ) si (u n v n ) est négligable devant (v n ) Comparaison des suites de référence Propriété 30 Soit (c n ) une suite telleque : lim c n = + n + Si (a n ) converge vers 0, si (b n ) converge vers l, l 0, alors : a n b n c n

39 Comparaison des suites qui divergent vers + Soit A > 1, α > 0 : ln(n) n α A n n! n n Comparaion des suites qui converge vers 0 Soit B < 1, β < 0, alors : 0 B n n β 1 ln(n) Comparaion des suites convergente de limite non nul Soient l,l deux réels non nuls. Soient (u n ) et (v n ) deux suites qui convergent respectivement vers l et l. Alors : u n l l v n 8.5 Règles d utilisation des équivalents et négligabilité Propriété 31 Soient (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites. u n v n et v n w n u n w n u n v n et v n w n u n w n u n v n et v n w n u n w n u n v n et v n w n u n w n Propriété 32 Soient (u n ), (v n ) deux suites et (a n ), (b n ) deux autres suites. Si : (u n ) (v n ) et (a n ) (b n ) alors : (u n )(a n ) (v n )(b n ) Ceci n est pas vrai dans le cas de l addition. Propriété 33 Soient (u n ), (v n ) et (a n ) trois suites et λ, µ deux réels de somme non nuls. Si : (u n ) λ(a n ) et (v n ) λ(a n ) Alors : u n + v n (λ + µ)a n Si la somme des deux réels est nul, nous n avons aucun résultats. Propriété 34 Si u n v n, alors u α n v α n Propriété des équivalents Propriété 35 Soient u n et v n deux suites telque u n v n. Si u n diverge, alors v n diverge Si u n converge, alors v n converge vers la même limite Si la limite de u n en l infini est l infini, alors la limite de v n en l infini est aussi l infini

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41 Troisième partie Arcs Paramétré 33

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43 Chapitre 9 Arcs Paramétrés et Arcs Polaire 9.1 Étude locale d un arc Définition 39 Soit τ un arc paramétré défini par (F,I), avec I un intervalle et F une fonction : F : I R 2 avec : M(t) = ( ) x(t) y(t) t M(t) Propriété 36 Supposons que x et y soient de classe C n sur I, alors on dit que (τ) est de classe C n Point Régulier Si d M dt (t 0) 0, alors d M dt (t 0) est un vecteur directeur de la tangente au support de l arc en M(t 0 ). On dit alors que M(t 0 ) est un point régulier de l arc Point Singulier Si d M dt (t 0) = 0, alors M(t 0 ) est un point singulier. Par application de la formule de Taylor, on obtient les deux entiers caractéristiques suivants. Premier entier caractéristique de (τ) en M(t 0 ) Définition 40 Notons p, si il existe : alors dp M dt p (t 0) est tangent à l arc en M(t 0 ) Deuxième entier caractéristique de (τ) en M(t 0 ) Notons q, si il existe : q = Min{k/ dk M dt k p = Min{k/ dk M dt k (t 0) O } (t 0) et dp M dt p (t 0) soient non colinéaire} 35

44 Coordonnée de M(t) dans un repère particulier Soit R le repère défini par : (M(t 0 ), dp M dt p (t 0), dq M dt q (t 0)) Dans ce repère, on obtient les coordonnées suivantes pour M(t) : X(t) (t t 0) p p! Y (t) (t t 0) q q! On obtient donc : p paire, q impaire : Point de rebroussement du première ordre p paire, q paire : Point de rebroussement du deuxième ordre p impaire, q paire : Point ordinaire p impaire, q impaire : Point d inflexion 9.2 Etude métrique des arc paramétré Longeur d un arc Soit (τ) un arc de classe C 1 sur I = [a,b], avec a < b. Soit l( M(a)M(b)) la longeur de l arc (τ) reliant M(a) à M(b). On obtient : Abscisse curviligne b l( M(a)M(b)) = Soit τ un arc de classe C 1 sur un intervalle I. On défini une abscisse curviligne avec : 1- Un point de l arc, appelé origine. 2- Une orientation sur l axe : Le sens des t croissants Ou le sens des t décroissants a d M dt (t) dt Soit M(t 0 ) l origine de l abcisse, soit s(t) l abscisse du point M(t). t s(t) = ε d M t 0 dt (u) du avec ε = ±1 selon l orientation de l axe. On obtient aussi : ds dt = d M dt.ε s est un paramétrage du support de l arc. De plus, on obtient : Repère de Frenet en M(t) d M ds = 1 On note T = d M ds le premier vecteur de Frenet en M(t). On le calcul en utilisant le faite que : d M ds = ε. d M dt d M dt

45 On note N l unique vecteur vérifiant que (M(t), T, N ) soit un repère orthonormée directe, appelé repère de Frenet en M(t). Soit ϕ = ( i, T )[2π], avec i vecteur horizontal passant par M(t). Alors : ( ) cos(ϕ) T = sin(ϕ) ( ) sin(ϕ) N = cos(ϕ) Courbure d un arc en un point Définition 41 On défini le rayon de courbure en M(t), notée R, par : R = ds dϕ Définition 42 La courbure en M(t), notée γ, est défini par : γ = 1 R = dϕ dϕ ds = dt ds dt Formules de Frenet Soit ( ) cos(ϕ) T et N sin(ϕ) Sachant que : On obtient : De meme, on obtient que : ( sin(ϕ) cos(ϕ) ) les deux vecteurs de la base de Frenet. d T dϕ = N d T ds = γ N d N ds = γ T Lien entre courbure, vitesse et accélération Notons V = d M dt On obtient : et v = V. V = ε.v. T. Notons a = d V dt. Alors : De cette expression, on en déduit que : a = ε. dv dt. T + v 2.γ. N γ = ε. Det( V, a ) v 3

46 9.3 Plan d étude d un arc paramétré 1- Domaine de définition 2- Réduction du domaine d étude : Periodicité Symétrie Partié 3- Dérivablité : Faire un double tableau de variation (un pour x, un pour y) 4- Tangentes En un point régulier : Le vecteur de coordonée (x (t 0 ), y (t 0 )) est tangent en t 0. En un point singulier : y (t) lim t t 0 x (t) Ou on peut utiliser la méthode des entiers caractéristiques En un point limite 5- Branches infinies : Si limx = + et limy = + t0 t0 y lim t0 x : Branche de direction Oy a R : lim t0 y ax : b R : y = ax+b asymptote ou : Branche de direction ax 0 : Branche de direction Ox : Aucune méthode y(t) limy t0 lim t t 0 x(t) limx t0 6- Concavité : Etude du signe de Det( v ; Γ ) L angle ( v ; Γ ) donne la position de la tangente Les points d inflexion sont les points de changements de concavité

47 7- Point double : On résoud le système suivant, d inconnu (t,t ), avec t t : { x(t) = x(t ) y(t) = y(t ) 9.4 Arcs polaire Liens polaire-cartésien Soit (ρ,θ) les coordonnée de M, telque : OM = ρ u (θ) On obtient les coordonées cartérisien de M avec : { x = ρcos(θ) y = ρsin(θ) On a donc : Equivalence et symétrie ρ = ± x 2 + y 2 Soit M(ρ, θ) = M( ρ, θ + π) (cette égalité est vérifie pour tout point du plan) : M 1 symétrique de M par rapport à (Ox) si : M 2 symétrique de M par rapport à (Oy) si : M 1 (ρ, θ + k2π/k Z) M 2 (ρ, π θ) M 3 symétrique de M par rapport à l origine si : Étude des tangentes Si ρ(θ) est dérivable en θ : dm(θ) θ avec : Si ρ(θ) = 0 : u (θ) est tangent en Etude d une branche infini Si : M 3 (ρ, π + θ) est tangent en M(θ) dm(θ) = ρ u + ρ v θ ( ) cos(x) u (θ) sin x v (θ) ( sin(x) cos x lim ρ(θ) = θ θ 0 Alors la courbe possède une branche infini de direction u (θ 0 ). On réalise alors une étude dans le repère (0, u (θ 0 ), v (θ 0 )) : lim θ θ 0 Y (θ) avec Y (θ) = ρsin(θ θ 0 ) )

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49 Chapitre 10 Les coniques 10.1 Définition Définition 43 On appelle conique de foyer F, de directrice et d excentricité e l ensemble : {M/e.distance(M, ) = MF } Définitions bifocale d une ellipse Définition 44 Soit F et F les deux foyers de l ellipse. On défini cette ellipse par : ( M appartient à l ellipse ) (MF + MF = cte = 2.a) avec a le demi-grand axe Définitions bifocale d une hyperbole Définition 45 Soit F et F les deux foyers de l hyperbole. On défini cette hyperbole par : ( M appartient à l hyperbole ) ( MF MF = cte = 2.a) avec a la valeur absolue de la distance du point d intersection entre l axe 0x et l hyperbole avec l origine. Définition 46 On appelle cercle principale d une ellipse le cercle de centre O et de rayon a Les différentes coniques L ellipse Une ellipse est définie par l équation suivante : x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Avec a>b, a est appelé le demi grand axe, et b le demi petit axe. On peut aussi paramétrer un point M de l ellipse par : { x(t) = acos(t) y(t) = bsin(t) Avec t l angle entre l axe Ox et OP, avec P le point correspondant à M sur le cercle principale de l ellipse. M est obtenir à partir de P à l aide d une affinité. 41

50 L hyperbole Une hyperbole est définie par l équation suivante : x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Pour vérifier cette formule, on prend y=0, et on doit obtenir deux solutions. De plus, on obtient les asymptotes en annulant 1. On peut aussi paramétrer un point M de l hyperbole par : { x(t) = ach(t) y(t) = bsh(t) Parabole L équation réduite est : y 2 = 2px 10.3 Équation polaire dans un repère de centre F Soit M(ρ, θ), droite d équation x = x. L équation générale est : ρ = ex 1 + ecos(θ) avec e l excentricité de la conique. Notons c l abscisse de F. Si e < 1 : C est une ellipse. Nous avons donc les résultats suivants e = c a c 2 = a 2 b 2 x = a2 c Si e = 1 : C est une parabole. Si e > 1 : C est une hyperbole. e = c a c 2 = a 2 + b 2 x = a2 c

51 Quatrième partie Fonctions de R 2 dans R 43

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53 Chapitre 11 Fonctions de R 2 dans R 11.1 Norme Définition 47 Soit E un espace vectoriel. n est une norme de E si : telque : x E n(x) 0 λ R, x E, n(λx) = λ n(x) x E, n(x) = 0 x = 0 (x, y) E 2 n(x + y) n(x) + n(y) n : E R Propriété 37 La norme euclidienne, notée (x, y) 2 est défini par : Définition 48 On défini la norme (x, y) n par : Définition 49 On défini la norme infini par : Boules (x, y) R 2 (x, y) 2 = x 2 + y 2 (x, y) n = ( x n + y n ) 1/n (x, y) R 2 (x, y) = Max( x, y ) Définition 50 Soit n une norme sur E, soit x 0 E, et r R +. On appelle Boule de centre x 0, de rayon r : Norme équivalentes B(x 0, r) = {x E/n(x 0 x) r} Définition 51 Soient n 1, n 2 deux normes sur E. n 1 et n 2 sont dites équivalentes si il existe deux réels strictement positifs telque x E : αn 2 (x) n 1 (x) βn 2 (x) 1 β n 1(x) n 2 (x) 1 α n 1(x) Propriété 38 Dans un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. 45

54 Convergence d une suite Soit (u n ) une suite de vecteur de E : On dit que (u n ) converge vers 0 pour la norme n si la suite des réels (n(u n )) converge vers 0 Si deux normes sont équivalente, toutes suites convergentes pour l une est convergente pour l autre Dans un espace de dimension finie, la définition de la convergence ne dépend pas de la norme considéré Limite d une fonction de R 2 dans R Définition 52 Soit A une partie de R 2, et n une norme de R 2. Soit f une fonction de A dans R. Soit (x 0, y 0 ) A, et l un réel. On dit que : lim f = l (x 0,y 0) ε > 0 α > 0 tq (x, y) B((x 0, y 0 ), α) : f(x, y) l < ε Propriété 39 Soit f et g deux fonction défini sur A : La limite de la somme et la somme des limites. La limite du produit et le produit des limites Composition : Soit f : R 2 R et ϕ : R R. Si lim (a,b) f = l et si lim l ϕ = m, alors : Théorème d encadrement lim ϕof = m (a,b) Soient f,g,h fonctions défini sur A. Si (x, y) A : h(x, y) f(x, y) g(x, y) et si lim (a,b) g = lim (a,b) h = l, alors : lim f = l (a,b) Caractérisation de la divergence Si : limx 1 = a t0 limy 1 = b t0 limx 2 = a α lim α y 2 = b et lim t t0 f(x 1 (t), y 1 (t)) = l et lim u α f(x 2 (y), y 2 (u)) = l, avec l l, alors : Continuité lim f n existe pas (a,b) Définition 53 Si f est une fonction définie en (a,b) et sur un voisinage de (a,b), avec : Alors, on dit que f est continue en (a,b). lim f = f(a, b) (a,b)

55 11.3 Dérivation Dérivées partielles Soit f fonction définie au voisinage de (a,b). Définition 54 On appelle première dérivée partielle de f en (a,b) : f f(x, b) f(a, b) (a, b) = lim x x a x a Définition 55 On appelle deuxième dérivée partielle de f en (a,b) : Dérivée suivant un vecteur f f(a, y) f(a, b) (a, b) = lim y y b y b Définition 56 Soit u (α, β) un vecteur de R 2. On défini le nombre dérivée de f en (a,b) suivant u, notée d u f(a, b), par : f(a + α.t, b + β.t) f(a, b) d u f(a, b) = lim t 0 t Fonction de classe C 1 Définition 57 Soit A une partie de R 2. On dit que f est de classe C 1 sur A si : f possède sur A deux dérivées partielles Ces deux fonctions sont continue sur A Développement limité d ordre 1 Si f est de classe C 1 sur A, voisinage de (a,b), alors : (x, y) A f(x, y) = f(a, b) + f f (a, b).(x a) + (a, b).(y b) + o( (x, y) (a, b) ) x y Propriété 40 Soit u (α, β) et f une fonction de classe C 1 au voisinage de (a,b). d u f = α. f f (a, b) + β (a, b) x y On en déduit que si f est de classe C 1 au voisinage de (a,b), alors u R 2, d u f existe et est continue Plan tangent Définition 58 On appelle plan tangent à la surface représentative d une fonction de classe C 1 le plan définie par le repère : (M(a, b, f(a, b), t i, t j ) avec : t i = t j = 1 0 f (a, b) x f y 0 1 (a, b)

56 Vecteur normale au plan tangent Définition 59 On défini un vecteur normale au plan tangent, notée n, par : Dérivées partielles d ordre 2 n = grad(f(x, y) z) Définition 60 Soit f définie sur une partie A de R 2. Si f est défini sur A et possède des dérivées partielles, on les notes : x Respectivement pour f, on obtient : y Théorème 9 Si 2 f x 2 = x. f x 2 f y x = y. f x 2 f y 2 = y. f y 2 f x y = x. f y 2 f x y et 2 f sont continue sur A, alors : y x Dérivée des composées Premier type de composées 2 f x y = 2 f y x Soit f une fonction de classe C 1 de A dans R, avec AcR. Soit ϕ une fonction dérivable sur R. Soit g = ϕ o f. g : A R On obtient les dérivées partielles suivantes : Second type de composées (x, y) ϕ(f(x, y)) g f (x, y) = x x (x, y).ϕ (f(x, y)) g f (x, y) = y y (x, y).ϕ (f(x, y)) Soit x,y deux fonctions de R dans R, dérivable sur R. Soit f une fonction de R 2 dans R, de classe C 1 sur R 2. Soit ϕ la fonction définie par : ϕ : R R On obtient, à l aide d un développement limité : t f(x(t), y(t)) t : ϕ (t) = x (t). f x (x(t), y(t)) + y (t). f (x(t), y(t)) y

57 Cinquième partie Equations differentielles 49

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59 Chapitre 12 Équation différentielle 12.1 Fonction exponentielle complexe Soit : Avec r = a+ib. On obtient, t R : f : t x(t) + iy(t) = e rt f (t) = re rt 12.2 Équation différentielle Première ordre ( x R ay (t) + by(t) = 0) ( K R, tq x R y = Ke b a x ) Second ordre On établie l équation caractéristique, de la forme : ax 2 + bx + c = 0 On détermine et on obtient : > 0 : (A, B) R 2 tq x R y(x) = Ae r1x + Be r2x = 0 : > 0 : Solution dans C, avec r 0 = ±iω (A, B) R 2 tq x R y(x) = (Ax + B)e r0x (A, B) R 2 tq x R y(x) = (Acos(ωx) + Bsin(ωx))e r0x 12.3 Recherche d une solution particulière Second membre constant Soit (E) l équation différentielle suivante : ay + by + cy = d 51

60 Si C 0 : y 0 : x d c est une solution particulière. Si C = 0 : y 0 : x d b x est une solution particulière Second membre polynomiale En géneral, on recherche un polynome de meme degrès. Soit : y + 3y = 2x + 1 On pose : y 0 : x ax + b On dérive deux fois y 0 et on remplace dans l équation pour déterminer a et b Second membre exponentielle Si le second membre est de la forme : x e αx Alors on peut espérer une solution de la forme λe αx 12.4 Méthode de variation de la constante Soit (E) l équation différentielle suivante : (E) : ay (t) + by(t) = f(x) On résoud l équation sans second membre, plus on pose x R : z(x) = y(x) e b a x y(x) = z(x)e b a x Puis on injecte cette expression y(x) dans (E) pour déterminer z(x) 12.5 Principe de superposition Soit (E) l équation différentielle suivante : (E) : ay + by + cy = f 1 (x) + f 2 (x) On considere : (E 1 ) : ay + by + cy = 0 (E 2 ) : ay + by + cy = f 1 (x) (E 3 ) : ay + by + cy = f 2 (x) Soit y 1, y 2 solutions respective de (E 2 ) et (E 3 ). La solution particuliere de (E) est y 1 + y 2

61 Chapitre 13 Équations différentielle linéaire 13.1 Généralité Définition 61 On considère (E) l équation d inconnue la fonction y n fois dérivable sur une partie A de R : x A, a n (x).y (n) (x) a 0.y(x) = b(x) avec : a n,.., a 0, b des fonctions définies sur A. On dit que (E) est une équation differentielle linéaire d ordre n. Nota 1 On note cette équation : (E) : x A : a n (x).y (n) a 0.y = b(x) Propriété 41 L ensemble des solutions de (E) est soit : Vide Un espace affine de direction l espace vectoriel des solutions de l équation sans second membre. Si les coefficients sont constant. L ensemble des solutions est un espace de dimension n. 53

62

63 Chapitre 14 Équations différentielles linéaire d ordre 1 Définition 62 Soit A R. Soit a,b,c trois fonctions définies sur A, et (E) : (E) : a(x).y + b(x).y = c(x) (E 0 ) : a(x).y + b(x).y = 0 Si : Si a et b sont continues sur A A est un intervalle, notons le I x I a(x) 0 Alors : R b(x) (E 0 ) ( K R tq x I y(x) = K.e a(x) dx ) 55

64

65 Sixième partie Intégration 57

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67 Chapitre 15 Intégration Définition 63 L intégrale d une fonction est par définition un nombre. Une primitive est une autre fonction Fonctions continues par morceaux Subdivision Soit [a,b] segment de R, avec a<b. Définition 64 On appelle subdivision de [a,b], une liste vérifiant : a = x 0 < x 1 <... < x n = b On note σ = (x i ) a i n. Le pas d une subdivision, qui est la longueur d intervalle la plus importante, est défini comme : max x i x i 1 1 i n Si les intervalles sont tous de la mêmes longueurs, la subdivision est dite régulière. De plus, si σ est celle d une subdivision régulière de [a,b], alors : Fonction en escalier sur [a,b] Soit f fonction définie sur [a,b]. k, x k = a + k b a n Définition 65 On dit que f est en escalier si il existe une subdivision de [a,b] : (x i ) 0 i n telle que : i {1,...n}, f est constante sur ]x i 1 ; x i [ Propriété 42 On défini les propriétés suivantes : Une fonction en escalier est bornée L ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] est un R-espace vectoriel Fonction continue par morceaux Soit f défini sur [a,b] 59

68 Définition 66 f est continue par morceaux sur [a,b] si : i {1, 2,..., n} f est continue sur ]x i 1 ; x i [ i {1, 2,..., n} lim existe x i i {0, 2,..., n 1} lim x + i existe Propriété 43 On défini les propriétés suivantes : Une fonction continue par morceaux est bornée L ensemble des fonctions continue par morceaux sur [a,b] est un espace vectoriel Une fonction en escalier est continue par morceaux Une fonction continue sur [a,b] est continue par morceaux Approximation d une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier Soit f continue par morceaux sur [a,b] ( ce qui comprend les fonctions continues sur [a,b]) Définition 67 ε > 0 Il existe deux fonctions en escalier sur [a,b], ϕ et ψ telque { x [a, b] ϕ(x) f(x) ψ(x) 0 ψ(x) ϕ(x) ε 15.2 Intégrale de Riemann Intégrale d une fonction en escalier Définition 68 Soit ϕ fonction en escalier sur [a,b]. Notons (x i ) 0 i n une subdivision adaptée à ϕ, et posons : i {1,.., n}, x ]x i 1 ; x i [ ϕ(x) = λ i L intégrale sur [a,b] de ϕ est : ϕ = [a,b] i=1 n (x i x i 1 )λ i On note aussi cette intégrale de la façon suivante : Si a < b, alors : ϕ = Si b < a : Convention : b [a,b] [a,b] ϕ = ϕ = a a a b a a b a b ϕ = 0 ϕ ϕ ϕ Propriété 44 Si ϕ et ψ sont deux fonctions en escalier sur [a,b]. Si λ et µ sont deux réels : λϕ + µϕ = λ ϕ + µ ψ [a,b] [a,b] [a,b]

69 Propriété 45 Soient ϕ et ψ deux fonctions en escalier sur [a,b]. Si x [a, b], ϕ(x) ψ(x), alors : ϕ ψ [a,b] [a,b] De plus, si ϕ 0 sur [a,b] alors : [a,b] ϕ Intégrale d une fonction continue par morceaux Soit f fonction continue par morceaux sur [a,b]. Notons : E + = {ϕ en escalier sur [a,b] /ϕ g} E = {ϕ { en escalier sur [a,b] /ϕ g} } A + = [a,b] ϕ/ϕ E + { } A = [a,b] ϕ/ϕ E Propriété 46 Inf(A + ) et Sup(A ) existent et sont égaux Définition 69 La valeur commune de ces deux réels est l intégrale de Riemannsur [a,b] de f. On la note : f Somme de Riemann [a,b] Propriété 47 Soit f fonction continue par morceaux sur [a,b]. Notons n N : Alors (u n ) n 0 et (v n ) n 0 converge vers [a,b] f Linéarité { un = b a n v n = b a n n k=1 n 1 k=0 b a f(a + k b a f(a + k n ) n ) Propriété 48 Soient λ,µ réels, f, g fonctions continues par morceaux. λϕ + µϕ = λ ϕ + µ ψ [a,b] [a,b] [a,b] Transmition de l ordre Propriété 49 Si f et g sont continue par morceaux et f g, alors : f g Intégrale et valeur absolu [a,b] [a,b] Propriété 50 Soit f fonction continue par morceaux sur [a,b], donc : f f [a,b] [a,b]

70 Relation de Chasles Propriété 51 Soit f continues par morceaux sur [a,b] et b [a, c]. f = f + f [a,c] Inégalité de la moyenne [a,b] Propriété 52 Soit f,g continues par morceaux sur [a,b], g est bornée, avec a < b. Donc M = sup g existe. [a,b] Définition 70 [a,b] [b,c] fg sup g f [a,b] [a,b] 1 g est la valeur moyenne de g sur [a,b]. b a [a,b] g = µ(b a) 15.4 Intégrale et primitive d une fonction continue [a,b] On obtient les propriétés suivant : Soit x I. f est continue sur I, donc x a f existe Si x 0 est à l intérieur de I, si f est continue sur I, alors x f est aussi continue sur I a Si f est continue sur I, alors g : x x f est dérivable sur I et sa dérivé est f. a De la dernière propriété, on déduit que g est de classe C 1 sur I. En résumé, si f est de classe C n alors g est de classe C n+1 Propriété 53 Si ϕ est une fonction positive et continue sur [a,b] d inégalité nulle, alors : ϕ = Utilisation des primitives d une fonction continue Définition 71 Soit f définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I, c est une fonction dérivable sur I dont la dérivée est f Ensemble des primitives d une fonction continue Soit f continue sur un intervalle I, si F est une primitive de f sur I, alors : Il en découle que : (G est une autre primitive de f sur I) ( K R tq x I G(x) = F (x) + K) (F est une primitive de f sur I ) ( K R tq x I F (x) = x a f(t)dt + K) Et que (a, b) 2 I 2 b a f(t)dt = F (b) F (a) Notation Définition 72 Si f est continue sur I : f(x)dx désigne la valeur de x d une primitive de f.

71 Technique de calcul d une intégrale Intégrale par partie Définition 73 Si f,g sont de classe C 1 sur I, (a, b) I 2, alors : Changement de variables b a fg = [fg] b a Définition 74 Soit u une bijection de classe C 1 de [α, β] sur un intervalle [a,b] Soit f continue sur [a,b]. b a f(u)du = β α b a f g f(u(t))u (t)dt Intégrale d une fonction paire, impaire, periodique Fonction paire Propriété 54 Soit a R Si f est continue et paire sur [-a,a], alors : Fonction impaire a a f = 2 a Propriété 55 Si f est continue et impaire sur [-a,a], alors : Fonction periodique a Propriété 56 Si f est continue et T periodique sur R Soit a R a+t a a 0 f = 0 f f est indépendant de a 15.5 Inégalité de Cauchy-Schwarz Définition 75 Soient f,g continues sur [a,b] : fg [a,b] f 2 g 2 [a,b] [a,b] Si cette inégalité devient une égalité, alors λ 0 R telque g = λ 0 f 15.6 Formule de Taylor avec reste intégrale Définition 76 Soit f fonction de classe C n. x D f, au voisinage de a : f(x) = f(a) (x x a)n 1 f (n 1) (a) + (n 1)! a (x a) n 1 f (n) (t)dt (n 1)!

72 15.7 Inégalité de Taylor-Lagrange Définition 77 Soit f de classe C n+1 sur I, a I. Supposons que f (n+1) soit majorée sur I. Notons M n+1 = sup f (n+1) x I : I x a (x t) n (t)dt n! (x a)n+1 M n+1 (n + 1)!

73 Septième partie Nombres complexes 65

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75 Chapitre 16 Nombres complexes 16.1 Formules Généralités (C,+,x) est un corps (a+ib)+(a +ib ) = (a+a )+i(b+b ) (a+ib).(a +ib ) = (aa -bb )+i(ab +a b) Il y a unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire pour un complexe. z + z = z + z z.z = z.z Re(z) = z + z 2 Im(z) = z z 2 z AB = z b z a On défini le barycentre de la façon suivante : α + β 0, z g = αz A + βz B α + β Forme Trigonométrique et exponentielle Soit z = x+iy un complexe. z = x 2 + y 2 z 2 = z.z -z = z = z (z R) (z = z) (z ir) (z = z) 67

76 Im(z) z Re(z) z z.z = z. z z + z z + z e i(θ+θ ) = cos(θ + θ ) + isin(θ + θ ) eiθ + e iθ 2 eiθ e iθ 2 cos(iy) = ch(y) sin(iy) = ish(y) = cos(θ) = sin(θ) Formule de Moivre : z = x+iy = ρe iθ Racine n eme de l unite : (e iθ ) n = e inθ (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(inθ) z n = 1 k {0, 1,..., n 1} z = e ik2π n Racine n eme d un complexe non nul, avec z = ρe iθ, z 0 = ρ 0 e iθ0 : z n = z 0 k {0, 1,..., n 1} z = A.e ik2π n Avec A la solution évidente (Passage à la racine n eme )

77 Chapitre 17 Nombres complexe et géométrie dans le plan 17.1 Alignement, Orthogonalité, Cocyclicité Soit ( AB; AC) l angle formé par ces deux vecteurs. ( ( ) c a AB; AC) = arg [2π] b a Soit : z = ( ) c a b a Alignements avec Det( u, v) = xy x y Orthogonalité Cocyclicité A,B,C alignées ( ) c a b a R arg ( ) c a = 0 b a A,B,C alignées (z = z) (Det( AB; AC)) = 0 AB; ( ) c a AC orthogonaux b a ir arg ( ) c a = π b a 2 [π] AB; AC orthogonaux (z = z) ( AB. AC) = 0 Soit A,B,C trois points d un cercle C de centre O. Condition de cocyclicité ( OB; OC) = 2( AB; AC) [2π] Propriété 57 Si ( AB; AC) = ( DB; DC) [π] alors A,B,C,D sont soit cocyclique, soit alignés. 69

78 17.2 Similitude Soit z l affixe de M, z l affixe de M Translation Définition 78 Soit u vecteur du plan. On appele translation de vecteur u l application : t u : P P avec MM = u M M Expression analytique complexe soit α l affixe de u Alors : z = α + z Bijectivité t u est une application bijective. Soit : t 1 u : P P M M avec z = z - α Homothetie Définition 79 Soit Ω un point d affixe ω. Soit k R. On appele homothétie de centre Ω et de rapport k l application : h : P P avec ΩM = k ΩM M M Expression analytique complexe z ω = k(z ω) On détermine le centre d une homothétie en déterminant son point fixe, donc en résolvant : z = z Bijectivité h est une application bijective. Soit : avec z - ω = 1 (z ω) k h 1 : P P M M

79 Rotation Définition 80 Soit Ω un point d affixe ω et θ un réel. On appele rotation de centre Ω et d angle θ l application r : P P avec ΩM =ΩM et ( ΩM; ΩM ) = θ [2π] Expression analytique complexe M M z ω = e iθ (z w) On détermine le centre d une rotation en déterminant son point fixe, donc en résolvant : z = z Bijectivité h est une application bijective. Soit : r 1 : P P avec z - ω = e iθ (z ω) M M Similitude Définition 81 Soit Ω un point d affixe ω et (θ,k) R 2. On appele similitude direct de centre Ω, d angle θ, et de rapport k l application : S : P P avec ΩM =kωm et ( ΩM; ΩM ) = θ [2π] Expression analytique complexe M M z ω = ke iθ (z w) On détermine le centre d une similitude en déterminant son point fixe, donc en résolvant : z = z Bijectivité S est une application bijective. Soit : S 1 : P P M M avec z - ω = 1 k e iθ (z ω) Affinité Soit ϕ l application défini par : ϕ : P lan P lan P (x, y) M(x, b a.y) ϕ est appelé affinité de base Ox, de direction Oy et de rapport b a

80

81 Huitième partie Polynomes 73

82

83 Chapitre 18 Les polynomes 18.1 Définitions Soit K un corps ( Soit R, soit C) Définition 82 Un polynome à coefficiants dans K est une suite d élement de K tous nul à partir d un certain rang. P = (a 0,..., a n, 0,...) On peut l écrire aussi sous la forme : avec X l indéterminé. Il existe aussi la forme suivante : P = a 0 + a 1 X a n X n P = n a k X k k=0 L ensemble des polynomes à coefficiants dans K est notée K[X]. Soit P et Q deux polynomes. On as : Opérations On peut effectuer quatres opérations : Une addition : Un produit : Un produit par λ, λ K : Une composée : P = Q k N a k = b k P + Q = P.Q = λp = (a k + b k )X k k=0 k,k 0 (a k.b k)x k+k (λa k )X k k=0 P (Q) = 75 a k Q k k=0

84 Structure Polynome constante On observe qu un polynome constant s identifie à un élement du corps. On obtient donc que : Structure de (K[X],+,x) K c K[X] (K[X],+) est un groupe commutatif (K[X],+,x) est un anneau commutatif : On peut donc utiliser les identités remarquables sur les polymones. Cette anneau est intègre, ce qui signifie que : Fonction polynome associée Soit P K[X], défini par : On obtient la fonction polynome associée : (P.Q = 0) (P = 0 ou Q = 0) P = a 0 + a 1 X a n X n x K, P (x) = a0 + a 1 x a n x n L application qui lie le polynome à sa fonction associée est une bijection. Toutes les notions de partié se transmette de la fonction polynome associée au polynome Degrés Définition 83 On défini le degrés d un polynome par : deg(p ) = Max {k N/a k 0} Par convention : deg(0) = deg(p Constant ) = 0 Degrés d une combinaison On peut déterminer le degrés de deux combinaison : deg(p.q) = deg(p ) + deg(q) deg(p + Q) Max(deg(P ), deg(q)) Valuation Définition 84 On défini la valuation d un polynome par : val(p ) = Min {k N/a k 0} Par convention : deg(0) = + Valuation d une combinaison On peut déterminer le degres de deux combinaison : val(p.q) = val(p ) + val(q) val(p + Q) Min(val(P ), val(q))

85 Division euclidienne dans K[X] Diviseur, Multiple Définition 85 Soient A,B deux polynomes. On dit que B divise A, ou que A multiplie B, si : Q K[X] A = B.Q Il en découle que les polynomes constant non nuls divisent tous les autres. Division euclidienne Définition 86 Soit A,B deux polynomes, B non nul.!(r, Q) K[X] tq A = B.Q + R avec deg(r) deg(q)-1. On appelle respectivement R et Q le reste et le quotient de la division euclidienne Formule de Taylor Soit a un réel. Soit P un polynome de degrés n. On obtient : n D P = k (P )(a) (X a) k k! k=0 avec D k (P )(a) la dérivé k eme de P prise en a Racine d un polynome Soit P K[X]. Soit r K Racine simple Définition 87 r est une racine de P si P (r) = 0 Propriété 58 (r est une racine de P) ((X-r) divise P) Racine multiple et ordre de multiplicité Définition 88 r est une racine d ordre α si (X r) α divise P et (X r) α+1 ne divise pas P. Propriété 59 (r est une racine d ordre α de P) ( i {0,.., α 1} D i (P )(r) = 0 et D α (P )(r) 0) Polynome scindé Soit P K[X] de degrés n et de termes dominant a n X n Définition 89 P est scindé si le nombre de racine, en comptant les ordres de multiplicité, est n : (r 1,..., r n ) K n, (α 1,..., α n ) N n tq P = a n (X r 1 ) α1...(x r n ) αn

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