Circuits linéaires en régime transitoire

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1 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 1/8 rcs lnéares en régme ransore 1 ondons nales e conné On va éder ce se passe enre enre dex régmes conns = régme ransore. es granders élecres ne son pls consanes. appelons les convenons e réslas por la bobne e le condensaer : la conné de l nensé d coran dans la bobne (snon = d endra vers l nfn ce es physemen mpossble). 2 égme lbre d crc 2.1 Évolon de la enson ax bornes d condensaer I U ndcance en henry (H). capacé en farad (F). = = d = d = d es crcs éan lnéares, oe grander élecre x() es décre par ne éaon dfférenelle lnéare à coeffcen consan. On déermne les consanes d négraon grâce ax condons nales en lsan : la conné de la enson ax bornes d condensaer (snon = d endra vers l nfn ce es physemen mpossble); e condensaer es nalemen chargé sos ne enson. n régme conn, le condensaer se compore comme n nerrper over U = e I = (/ dans la réssance). A =, on ovre l nerrper, le condensaer se décharge dans la réssance : = = d d + = d = avec = a solon es de la forme () = A exp( /). () = A = par conné de la enson ax bornes d condensaer. Fnalemen () = exp( /) Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

2 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 2/8 () () ( ) d = = a angene à l orgne d éaon + cope l axe des abscsses en =. D are par : por =, = exp( 1) =, 37 por = 2, = exp( 1) =, 14 por = 3, = exp( 1) =, 5 e condensaer assre la conné de la enson à ses bornes mas pas celle de l nensé d coran. 2.3 Éde énergée alclons l énerge reçe (on es ben en convenon réceper por la réssance) e dsspée par effe Jole dans la réssance : W = P = = 2 exp( 2/) = 2 [ exp( 2/) 2/ ] W = énerge emmagasnée dans le condensaer. 2.2 Évolon de l nensé d coran = d d =, ce donne 3 égme lbre d crc 3.1 Évolon de l nensé d coran I U () = exp( /) Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

3 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 3/8 n régme conn, la bobne se compore comme n nerrper fermé U = e I = /. A =, on spprme : = d = () d + = avec = / a solon es de la forme () = A exp( /). () = A = / par conné de l nensé d coran dans la bobne. Fnalemen () = exp( /) 3.3 Éde énergée () alclons l énerge reçe (on es en convenon généraer por la réssance) e dsspée par effe Jole dans la réssance : W = P = = 2 exp( 2/) = 2 W = = 1 2 I2 énerge emmagasnée dans la bobne. 4 égme lbre d crc sére [ exp( 2/) 2/ ] 3.2 Évolon de la enson ax bornes de la bobne = d, ce donne () 4.1 Éaon dfférenelle = exp( /) Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

4 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 4/8 (1) = + d avec = / e = d donne = d d2 2 so Avec =, (2) donne (2) d d + 1 = () d d + 1 = n dérvan (1) e en lsan = / e = d, on oben 4.2 Dfférens régmes d d + 1 = d αd + ω2 = régme 2α =, ω2 = 1 e Q = ω 2α Q > 1 = e α (A cos(ω) + B sn(ω)) 2 psedo-pérode Ω 2 = ω 2 α2 Q < 1 = e α (A e Ω + B e Ω ) 2 apérode Ω 2 = α 2 ω 2 Q = 1 2 cre Q s appelle le facer de alé. = e ω (A + B ) On déermne les consanes grâce ax condons nales en lsan la conné de la enson ax bornes d condensaer e la conné de l nensé d coran dans la bobne. a psedo-pérode es égale à T = 2π ω = 4.3 Éde énergée n mlplan (1) par, on oben comme = d e =, on a 2π ω 2 α 2 = = 2 + d d = 2 + d ( d ) 2 2 = 2 2π ω 1 1 4Q 2 énerge emmagasnée dans le condensaer e la bobne à n nsan, W() = , dmne a cors d emps, elle es dsspée par effe Jole dans la réssance. Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

5 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 5/8 5 éponse d n crc à n échelon de enson 5.1 Évolon de la enson ax bornes d condensaer U I 5.2 Évolon de l nensé d coran = + d = d ce donne () exp( /) e condensaer es nalemen déchargé (égme conn U = e I = ). A =, on ferme l nerrper e le condensaer se charge : = + = d + d + = avec = a solon es de la forme () = (h) + (p) = A exp( /)+. () = A + = par conné de la enson ax bornes d condensaer. Fnalemen () = (1 exp( /)) () 5.3 Blan énergée Mlpler = + par donne = 2 + où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe); 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance; es la pssance reçe e emmagasnée dans le condensaer. = 2 2 = 2 2 exp( /) = 2 = 2 exp( 2/) = = = 2 (exp( /) exp( 2/)) = 2 ( 2 ) = énerge forne par le généraer se répar éablemen enre la réssance e le condensaer. Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

6 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 6/8 6 éponse d n crc à n échelon de enson 6.1 Évolon de l nensé d coran I U 6.2 Évolon de la enson ax bornes de la bobne = d ce donne () = exp( /) () égme conn U = e I =. A =, on ferme l nerrper : = + d d + = avec = / a solon es de la forme () = (h) + (p) = A exp( /) +. () = A + = par conné de l nensé d coran dans la bobne. Fnalemen () () = (1 exp( /)) 6.3 Blan énergée Mlpler = + par donne = 2 + où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe); 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance; es la pssance reçe e emmagasnée dans la bobne. Qand Un novea régme conn s éabl avec I = / donc : = 2 2 (exp( /) exp( 2/)) = 2 ( 2 ) = 1 2 I2 Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

7 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 7/8 7 éponse d n crc sére à n échelon de enson 7.1 Tenson ax bornes d condensaer e condensaer es nalemen déchargé. A =, on ferme l nerrper : = d + + so d 2 d + 1 = 2 + e vérfen la même éaon. a solon es de la forme () = (h) + (p). Por (h) vor régme lbre. (p) =. Par exemple en régme psedo-pérode : () 7.2 Blan énergée Mlpler = d + + par donne = d d où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe); d es la pssance reçe e emmagasnée dans la bobne; 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance; es la pssance reçe e emmagasnée dans le condensaer. Qand Un novea régme conn s éabl avec U = e I = donc : d [ ] 1 = 2 2 = d [ ] 1 = 2 2 = Por les dex ares négrales, l fa explcer () e () : comme () = d, on a () = e α (A cos(ω) + B sn(ω)) + () = ( αe α (A cos(ω) + B sn(ω)) + e α ( AΩsn(Ω) + BΩcos(Ω)) ) () = A + = A = () = ( αa + BΩ) = B = α Ω d où ( ) α () = e α 2 sn(ω) Ω + Ω = 2 (vor calcl MAP) donc en lsan le blan, la dernère négrale va 2 = Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

8 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 8/8 Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

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