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1 ... donc le SUP est atteint Cours de mathématiques SUP Par : L. PETIT [loic.petit@gmail.com] D après les cours de : H. CHAKROUN Date : avril 5

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3 Ce document est une reproduction des cours de Mr Chakroun Hedi, enseignant en école préparatoire, section MPSI, au lycée Camille Vernet, à Valence. Afin d'avoir une meilleure acquisition du cours, j'ai reproduit les enseignements de mon professeur sur ordinateur. La mise en place de ce document m'a pris du temps extra - scolaire assez important. Merci de respecter ce travail... J en profite pour remercier Mr Chakroun et Mr Bèges, qui m ont aidé à rédiger ce magnifique pdf! Loïc PETIT, Elève de MPSI à Camille Vernet

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5 Table des matières I Généralités LOGIQUES & RAISONNEMENTS 3. Eléments de logiques Connecteurs logiques simples Table de vérité A B Quantificateurs Méthodes & Raisonnements Comment montrer A B A B Comment montrer [ x E...] Comment montrer : Il existe Comment montrer des inégalités Méthode directe A B Méthode variationnelle Egalité Direct Variationnelle Raisonnements par récurrence RÉVISIONS SUR LES FONCTIONS 9. Rappel sur les fonctions Définitions & Généralités Comment construire une fonction Continuité Dérivabilité et plus si affinité Les limites classiques Trinôme du second degré La forme canonique Développer VS Factoriser Etude quantitative des trinômes du second degré Résolution d équation Les fonctions trigo Généralités Les formules trigo Fonctions circulaires réciproques Rappel Arcsin, Arccos, Arctan Le théorème VISIONS & RÉVISIONS 3 3. Résolution d équation Identités remarquables Résolutions d équations paramétriques Résolutions des équatrions trigonométriques Changement de variable Changement de variable difficile Compléments sur les suites Les suites arithmétiques

6 3.7. Les suites géométriques Les suites arithmético - géométriques Généralisation Autour des sommes Comment calculer une somme Formule du binôme Suite récurrente linéaire d ordre LES COMPLEXES Rappel & Généralités Règles de calculs Modules Inégalités Arguments Applications aux calculs Calcul de cos(nθ) et sin(nθ) Calcul de (cos θ) n et (sin θ) n en fonction de cos(kθ) et sin(kθ) Somme trigonométrique Racines d un complexe Résolution de z = A Résolution de z + bz + c Racine n ie de l unité Résolution de z n = Résolution générale de z n = a Les équations que l on sait résoudre exactement EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Rappels Les équations différentielles linéaires d ordre ESSM Equations différentielles linéaires avec second membre (EASM) Equation différentielle du er ordre à coefficient constant Equation différentielle d ordre à coefficient constant Sans second membre Avec second membre II Approfondissement indispensable 63 N & R 65. N R Division euclidienne Partie entière LES SUITES 67. Quelques définitions classiques Quelques méthodes sur les suites Convergence des suites Définition de la convergence dans R Exemple Définition de la divergence Avertissement!!! Les conséquences directes de la convergence Théorème anti-angoisse Convergence d une suite Transmission des limites Théorème d encadrement Croissante majorée Passage à la limite Passage à la limite des égalités

7 .8. Passage à la limite des inégalités Avertissement Comment avoir des relations sur les limites? Comment étudier une suite? Convergence et suites extraites Définition d une suite extraite Convergence des suites extraites Une implication non-naturelle Suite extraite et négation Bolzano-Weierstrass Négligeable / Equivalente Négligeable Suites équivalentes / Parties principales POLYNÔMES Généralité C est quoi un polynôme Opérations simples sur les polynômes Comment montrer que P = Q Degrés et Valuations Composition Dérivation Fonction polynôme et évaluation Théorème de Taylor Comment montrer un polynôme Divisibilité Généralité Transmission de la divisibilité Division euclidienne Racines simples La théorie Comment démontrer que A = B Racines multiples Définition Application des racines multiples Factorisation dans C[X] et R[X] Dans C[X] Dans R[X] Lien coefficient / Racines III Analyse DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 3. Rappels sur les petits o et les Compléments sur les Que peut-on faire avec les DLs et les équivalents Avec les DLs, on calcule des limites Les DLs nous permettent de manipuler une hypothèse du type : u n l Les DLs permettent de connaître la P.P Avec les DLs on peut trouver des asymptotes Position locale des fonctions Comment contrôler les formules de DL LIMITES D UNE FONCTION 9. Point adhérent à un intervalle α I et α n est pas une borne (on dit que α est intérieur à I) α est une borne atteinte α est une borne non-atteinte α = ± avec I =] ; b] ou [a; + [ Si α est un panini

8 . Limite d une fonction Conséquences immédiate de la limite Converge Bornée Limite > signe Limite et suite Complément du chapitre précédent Théorème de transmission des limites Théorème d encadrement Monotone Bornée Passage à la limite FONCTION CONTINUE 3 3. Définitions Définition de la C Prolongement dans C Les théorèmes généraux sur la C Théorème des valeurs intermédiaires & Applications Théorème des valeurs intermédiaires L image d un intervalle Applications aux bijections Image d un segment par une fonction continue Le théorème Application Passage local global Continuité uniforme Définitions Un peu de géométrie Le théorème Comment montrer qu une fonction n est pas UC Fonction Lipschitzienne DÉRIVABILITÉ 5 4. Généralité Définition Unicité du nombre dérivé et fonction dérivé Que déduire de f (a) Un exemple patologique Règles de dérivation Règles de bases Application aux calculs de (Arcsin), (Arctan), Dérivée Logarithmique Théorème de Rolle et cie Caractérisation des extrémas (ou extremums) Théorèmes de Rolle Généralisation de Rolle Applications des théorèmes de Rolle Dérivation et Variation Variation d une fonction Théorème de prolongement de la dérivée Dérivée d ordre supérieur Définition Les théorèmes classiques Exemple sur les équations différentielles DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Définition Formule de Taylor - Lagrange avec reste intégrale Existence des DLs Application du théorème précédent Remarques Un petit résultat oublié (sans lien avec Taylor)

9 5.4.3 Les développements limités usuels Théorème d intégration des DLs IV Algèbre 43 ESPACE VECTORIEL 45. Définitions Présentation générale Les espaces vectoriels classiques Sous espace vectoriel Définition Exemples Les sous - espaces vectoriels classiques Propriétés générales des sous - espaces vectoriels Sous espace vectoriel engendré par une partie Définitions et propriétés caractéristiques Vect d une famille de vecteur Somme et somme directe Somme Somme directe Sous espace supplémentaire Morphisme Définition Les exemples classiques Opérations simples sur les applications linéaires Transport des structures par des Morphismes Noyau et Image Opérations évaluées Polynôme d endomorphisme Bijection réciproque Comment calculer la bijection réciproque? Symétrie - Projection Symétrie Projection Compléments BASES & DIMENSIONS 69. Libre ou liée Définition (et exemple) Les méthodes classiques pour faire libre ou liée Famille génératrice Base Définitions Les bases classiques Morphisme et base Les bases et le voyage Bijectivité et base Définition de la dimension d un espace vectoriel Théorème de la base incomplète et de la base extraite Dimension et sous - espace vectoriel Dimension et Morphisme Généralité sur le noyau et l image Le théorème du rang LES MATRICES Compléments sur les applications linéaires Matrice d une application linéaire Calculs de Φ( u) Opérations sur les matrices Le point sur les matrices

10 3.6 Structures algébriques sur les matrices La structure vectorielle Structure produit Les matrices usuelles Matrice carrée Généralité Matrice carrée inversible ou régulière (ou non-singulière) Les méthodes pratiques pour calculer A Matrices de changement de base Définition et généralité Interprétation des matrices de passage Application du changement de base aux vecteurs Application du changement de base aux morphismes Application du changement de base Matrices des morphismes classiques Transposition Trace d une matrice

11 Première partie Généralités

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13 Généralités Chapitre Logiques & Raisonnements LOGIQUES & RAISONNEMENTS I) Eléments de logiques Une proposition mathématique est un énoncé soit vrai soit faux Il fait beau -> Enoncé faux (car il dépend du temps) A) Connecteurs logiques simples - Négation : Soit A une proposition, la négation de A (notée A, non A ou ÒA) est vrai si et seulement si A est faux. Ex : ->A [n est pas pair] A [n n est pas pair] mais aussi dans ce cas A [n est impair] ->A [f D f ->Ë est croissante] A [f D f ->Ë n est pas croissante] A [f D f ->Ë n est pas croissante]. - Ou & Et : Soient A et B deux propositions : [A ou B] est vraie si et seulement si [(A est vraie) ou (B est vraie)]. De même [A et B] est vraie si et seulement si [(A est vraie) et (B est vraie)]. A noter : Soit A une proposition : * [A et A] est toujours faux * [A ou A] est toujours vrai. Indispensable : Soient A et B deux propositions : (A ou B) ñ ( A et B) (A et B) ñ ( A ou B) B) Table de vérité C) A ðb A B A B A ou B (A ou B) ( A) et ( B) V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V - A ðb : Soient A et B deux propositions (A ðb) est vraie si et seulement si [(A est faux) ou (B est vraie)]. - (A ðb) c est [(A est vraie] et (B est faux)] Table de vérité de A ðb, (A ðb), ( A ð B) II) A B A B A ðb (A ðb) ( A ð B) V V F F V F V V F F V F V V F V V F V F F F F V V V F V ^ ^ Conclusion : (A ðb) ñ (A) et ( B) (A ðb) ( A ð B) Exemple : A ð B Il pleut, John prend son parapluie. Théorème : Soient A et B deux propositions : (A ðb) ñ ( B ð A) Exemple : Si John n a pas son parapluie, c est qu il ne pleut pas. - Equivalence ñ Soient A et B deux propositions (A ñ B) est vraie si et seulement si [(A ðb) et (B ða)] Quantificateurs - Il y a deux quantificateurs distincts : * Existence : il existe (au moins) * Universel : pour tout, quelque soit Exemples : [ x Ë, x²ã] Attention : [x² à seul] au mieux i est faux i² = -<, au pire ça n a pas de sens (triangle)² =???!!!! 3

14 Généralités Chapitre Logiques & Raisonnements - Négation de et de [ x E, A(x) est vraie] ñ [ x E, A(x) est faux] [ y E, A(y ) est vraie] ñ [ y E, A(y) est faux] La négation de est et inversement. - Quantificateurs et ordres On peut échanger la position de deux quantificateurs de même nature. On ne peut pas échanger la position de deux quantificateurs de nature différente. [ e E, f F ] ñ [ f E, e F ] [ e E, f F ] ñ [ f E, e F ] [ e E, f F ] [ f E, e F ] Lecture : on a fixé e il existe f en fonction de e (on pourrait noter f e ) Ex : [ x Ë, y x Ë, x+y x =] : Possible puisque y x =-x. [ y Ë, x Ë, x+y =] : Faux!!! III) Méthodes & Raisonnement - Consignes générales Lire la question (et comprendre ce que l on doit faire) Choisir sa méthode (de tête ou au brouillon) Poser le cadre Partir sur la méthode A) Comment montrer AðB Il y a trois méthodes : - Directe [AðB] - Contraposé [( B ð A)] - Absurde : on suppose que [AðB] est faux (A vraie) et (B est faux). Et on recherche une contradiction α) Directe On suppose A est vraie : on essaie de démontrer B. x Soit x fixe quelconque dans Ë : -< +x² < On suppose A, x Ë et les mathématiques générales. On veut démontrer B (on part de ce que l on veut démontrer) : x < ñ x<+x² +x² <+x²-x <(-x)² β) Contraposée Rappel : (A ðb) ñ ( B ð A) Soit n É : (n² est pair) ð (n est pair) Quelle est la question? n est pair ñ divise nñ k É tel que n=k Ici il faut montrer il existe, comme on n a pas étudié la question, on ne va pas aborder frontalement le problème. Par contraposé : (n n est pas pair) ð (n² n est pas pair) Idée : n n est pas pair ñ n est impair calcul de n². n est impair ñ k É tel que n=k+ n²=(k+)²=4k²+4k+=k + (avec K =k²+k) d où n² est impair. Remarque : Un énoncé qui semble naturel mais peu facile à formaliser se justifie souvent par contraposé γ) Absurde On va démontrer que la négation de (AðB) est absurde ou fausse. Une absurdité c est : = Construire une proposition fausse, exemple : (C vrai) et ( C vrai) Ex : Montrer que Í. On suppose A et B 4

15 Généralités Chapitre Logiques & Raisonnements IV) Í ñ (a, b) tel que = a : non tous pairs. b b =a b²=a d où [a² est pair] ð [a est pair] Ainsi p Î tel que a=p d où b²=a²=(p)²=4p² donc b²=p² Ainsi [b² est pair] ð [b est pair] Absurde car on choisit a et b non tous pair conclusion : Í. B) A ñb On fait A ðb puis BðA C) Comment montrer [ x E, ] Soit x fixé quelconque dans E. x Ex : Montrer que x Ë : -Â +x² Â Soit x fixe quelconque dans Ë. x On doit montrer -Â Â (voir III) A) α)) +x ² D) Comment montrer : «il existe» Il y a 3 méthodes : - Direct : On construit l objet à partir des données, c'est-à-dire : les mathématiques générales, les donnes du texte et du cadre. Exemple : x Ë, y Ë tel que x+y= Soit x fixé quelconque dans Ë. On veut trouver y un réel tel que x +y=. x +y= ñ y=-x On pose y=-x Remarque : La fin d une existence directe c est : «on pose y=en fonction des données» - Référence : On fait référence à un théorème qui dit «il existe». - Transmettre l existence : On traduit l hypothèse qui assume qu il existe Dans l idée de transmettre cette existence. Ex : [n² est pair] ð [n est pair] On veut montrer n est pair ñ divise n ñ k Î tel que n=k On veut montrer : il existe k. construction -> k= n oui mais k Î > bof bof bof référence : très compliquer > bof bof bof transmission : n² est pair ñ divise n² ñ p Îñ n²=p. Comment montrer des inégalités A) Méthode directe AÂB. On pose le cadre. On part du coté le plus compliqué (en général A). 3. On fait les calculs qui s imposent : On réduit au même dénominateur Quantité conjuguée Formules classiques 4. Majoration naturelle a. Pour majorer a-b : on majore a et on minore b b. Pour majorer a : on majore a et on minore b b c. x Ë, -Âcos xâ d. xã, e -x Âe = Attention!! : Pour éviter les problèmes de signes on passe à. B) Méthode variationelle On introduit une fonction et on étudie les variations de cette fonction. x Ex : Montrer que x Ë, -Â Â : Méthode variationelle : on introduit φ! +x² 5

16 Généralités Chapitre Logiques & Raisonnements x φ : Ë Ë, x. φ est définie continue, dérivable sur Ë. +x² x Ë, φ (x)= (+x²) x(x) = +x²( 4) = ( x²) (+ x²)² (+ x²)² (+ x²)² V) Egalité Donc x Ë, -Âφ(x) A) Direct On part du plus compliqué. On enchaîne les calculs naturels. B) Variationelle On étudie la différence. x -õ - +õ φ φ - Comment démontrer : A ð (B ou C) On peut vérifier avec les tables de vérité que : [Að(B ou C)] ñ[(a et B)ðC] ñ[(a et C)ðB] VI) Raisonnements par récurrence Raisonnement à étage : Soit H(n) un énoncé dépendant de n (avec n É), on suppose : - H() est vraie : initialisation - n É, H(n)ñH(n+) : hérédité - Alors n N, H(n) est vraie. Exemple : Montrer que ++ +n= n(n+) (entraînement!) Montrer n N Â( n n ) On veut montrer une inégalité : Méthodes :. Directe : Nan ð c est pas une somme connue (pour l instant). Variationnelle : Nan ð car n entier et non x Ë 3. Récurrence On va montrer par récurence H(n) : [ n É, Â( n n )] ^--- interdit car n est déjà fixé!! H() est vraie car Â. Montrons que H(n) ðh(n+) Â( n ) + n n+ n+ Montrons que : n +  n+ n+ ñ Â( n+ n+ n ) ñ  (n+) n = n+ n+ + n n+ + n Tout est > ðpas de problême de signe! ñ n+ + n  n+ ñ n  n+ YEAHHHHHHAAAA 6

17 Généralités Chapitre Logiques & Raisonnements Raisonnement par récurrence à étages. Soit H(n). On suppose : H() et H() sont vraies n([h(n) et H(n+)]ðH(n+)) Alors : n É, H(n) est vraie Soit la suite de polynome définie par : x Ë : P (x)= x Ë : P (x)=x x Ë : P n+ (x)=xp n+ (x) 4 P n(x) Montrer par récurence que θ Ë, P n+ (cosθ)= (cos(nθ)) n On va démontrer par récurence H(n)=[ θ Ë, P n(co sθ) = H() est vraie, H() est vraie. Montrons H(n) H(n ) ðh(n+) On vise θ Ë : P n+ (cosθ)= n cos((n+)θ) Soit θ fixé quelconque : P n+ (cosθ) =cosθp n (cosθ) 4 P n (x) =cosθ n cos(nθ) 4 = cos(θ+nθ)+cos(θn θ) = n cos(θ(n+)) Exo difficile (à méditer) : Soient n et m des entiers : Montrer que (n,m) : ÂmÂn + m m Â+ n n + m² n² cos(nθ)] n+ cos((n )θ) n n n cos((n )θ) 7

18 Généralités Chapitre Logiques & Raisonnements 8

19 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions REVISIONS SUR LES FONCTIONS I. Rappel sur les fonctions A. Définitions & Généralités Une fonction est un objet du type : Åf Départ Arrivée x f(x)=y c est l image de x par f x est un antécédent de f(x)=y Attention : f(x) n est une fonction c est la fonction f évaluée au point x, ainsi donc f(x) est un nombre!!!! B. Comment construire une fonction. Fonctionnelles a) Monôme x x α =exp[α ln x] x x 3 =x x x x x =x / =exp[ ln x] x x x =exp[x ln x] b) exp, ln x e x x ln x c) cos, sin x cos x x sin x d) Opérations simples : + ;- ;x ;.. Composition f g x f(x) g[f(x)] 3. Intégration x x f(t)dt 4. Exemple x x² +x² x x² x +x² ðx x² x x² +x² x² +x² C. Continuité. Rappel sur les ensembles de définitions Polynôme : x x n avec n É : défini sur Ë Polynôme inversé : x avec n É : défini sur Ë* xn Monôme : x x α =exp[α ln x] : défini sur ] ;+õ[ x e x défini sur Ë x ln x défini sur ] ;+õ[ x cos x, x sin x défini sur Ë. Théorème Toutes les fonctions classiques sont naturellement continues sur leurs ensembles de définition. Généralisation : toutes fonctions sont continues sur leurs ensembles naturels de définition. 3. Exemple Soit f : x sin ( +x² ) Ensemble de définition / C : f(x) existe si et seulement si -x² Ã ñ x [- ; ] Ainsi f est définie, C sur [- ; ]. Soit g : x (ln x)²- Ensemble de définition / C : g(x) existe si et seulement si : 9

20 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions x > (ln x²)-ã ñ ln x²ã ln xã ou ln xâ- x à e x  e Conclusion : g est définie, C sur ] ; ] [e ; +õ[. e D. Dérivabilité et plus si affinité. Théorème général Toutes fonctions usuelles sont dérivables et même sur C õ (même après õ dérivations) sur leurs ensembles naturels de définition. Sauf : a) x x définie C sur Ë, dérivable et même C õ sur Ë-{} b) x x définie C sur Ë, dérivable et même C õ sur Ë-{} c) x arcsin x d) x arccos x e) x arcch x Morale : Si f est construite sans l aide de ces 5 fonctions, alors f est définie, C et même C õ sur son ensemble de définition. Exemple : f : x sin ( +x² ) f est définie, C sur [- ; ] déjà vu. - Dérivabilité f est dérivable en x SI -x²ý (). car n est pas dérivable en. -x²= ñ x=± () Ainsi f est dérivable et même C õ sur ]- ; [. Les formules de dérivations n É, x Ë [x n ] =nx n- α Ë, x>. [x n ] =αx α- ( x ) =( x ) = x = x- = ( x - 3 ) =- 3 x- 3 =- 4 3 x- 3 x 3. Dérivation composée Soient f : D f A f g : D g A g On suppose que f et g sont définies, C, dérivable (et même C õ ) On suppose de plus que f et g sont composables : i.e. gοf existe. D f f A f C D g g A g Alors gοf est définie, C, dérivable (et même C õ ) sur D f x D f : [gοf] (x)=f (x) g (f (x)) Autre présentation : x f f(x) g g(x) a f(a)=b g(b)=g(f(a)=c (gοf) (a)=f (a)g (b) exemple : - f : x sin(x²) x x² sin(x²) f (x)=x cos(x²) - g : x sin² x x sin x (sin x)² g (x)=cos x sin x=cos x sin x Théorème : Soit f : D f Ë définie, C dérivable (et même C õ ) on a alors : [ x D f, f (x)=]ð f est constante par intervalle!

21 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions [ x D f, f (x)=+ (f s annule en des points isolés)]ðf est strictement croissante par intervalles. 4. Méthodologie Pour étudier le signe de f, on cherche à factoriser f ou à faire apparaître des produits. Sinon on étudie quand même ATTENTION : Résoudre f (x)= n implique pas : signe de f (x), cela ne sert à rien dans le cas de l étude de signe!!! E. Les limites classiques Il n y a rien à justifier si ce n est pas une forme indéterminée. Lorsque l on a une forme indéterminée (ln x) α << x p << e γ x ou a x La limite est donnée par le terme dominant! Exemple : lim xlnx= car ln x<<x x lim x lnx x = ð Ce n est pas une FI lim x + õ xe- x = car x<<e x Les taux de variations classiques : sinx lim = sinx sin = x x x lim x lim x e x = x ln(+ x) = x Exemple : nsin π quand n +õ n nsin π sin π n = n ) π π=π π n π nsin n²+ = sin ( π ) n²+ π n²+ II. Trinôme du second degré Cadre : Soient a, b, c : 3 réels avec aý On considère la fonction : P : Ë Ë X ax²+bx+c A. La forme canonique On va transformer l expression : ax²+bx+c ax²+bx+c =a Théorème : π n²+ n π= X²+ b a X+ c a =a b b² X+ ² a 4a² + c a =a b X+ a ² b² 4ac ðforme canonique intermédiaire. 4a² On peut aller plus loin en factorisant : ± b² 4ac = 4a² ± 4a² =a 4a² 4a² X b a ²± =K[Y²±] avec Y= a + a ( ) X =αx+β L expression : ax²+bx+c avec aý b a

22 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions Exemple : 3X²+X+ Soit Avec Y= se ramène par une mise sous forme canonique à une expression du type : Y²+ ou Y²- ou Y²+. 3 X+ =3 X²+ 3 X+ 3 =3 X+ 3 ² 3² + 3 =3 X+ 3 ²+ 9 =3 9 9 X+ 3 ²+ 3 = 3 X+ 3 ²+ = 3 3X + ²+ = 3 [Y²+] Application : L équation ax²+bx+c= se ramène à une équation du type : Y²= ou Y²=- ou Y²= Y=± Y=±i Y= ) Si > : on a deux racines réelles différentes, qui sont : X ± = -b± a ) Si = : il y a une racine double b X =- a 3) Si <, on a deux racines complexes (i.e. ý Ë), différentes et conjuguée. -b±i - X ± = a B. Développer VS Factoriser Un polynôme admet deux présentations différentes. Développer : P(X)=aX²+bX+c Factoriser : P(X)=a( X X )( X X ) Remarque : Ce sont deux présentations équivalentes de P(X) qui permettent de former des choses différentes. 3 ) Forme développée + ax bx c ² Opérations compatibles avec + : Addition, Dérivation, Primitive ) Forme factorisée

23 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions a X-X X-X Opérations compatibles avec : Produit, racine, signe Lien entre les deux formes : P(X) =ax²+bx+c P(X) =a( X X )( X X ) =a[ X²[]+X( -x x ) +x x ] =a[ X² ( x +x ) X+x x ] On introduit : S=x +x et P=x +x P(X)=aX² asx+ap Par identité : S=- b a P= c a Théorème : Soit ax²+bx+c avec aý un trinôme du second degré. Soient x et x les racines du trinôme on a alors : S=x +x =- b a P=x x = c a Remarque : Pour passer de : - Factorisée Développée On fait le calcul - Factorisée Développée On résout P(X)= C. Etude quantitative des trinômes du second degré Soit P(X)=aX²+bX+c Forme générale : a> a< Racines ou pas racines dans Ë? > ð racines réelles différentes = ð racine réelle double < ðpas de racine dans Ë Sur le graphe général, on peut placer, l axe des abscisses facilement. Application : On connaît le signe de P(x) a< > 3

24 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions x x x x x + signe de P(x) Remarque : Â ñ signe constant (a) Position de α par rapport aux racines : On ne cherche pas à calculer x et x. On suppose a< et > ð racines différentes Soit α Ë fixé. Si P(α)> ð x - <α<x + Si P(α)< ð α est extérieur aux racines : deux cas α<x - <x + ou x - <x + <α On compare α et x +x + = S =- b a Si α< x +x + si α> x +x + α<x - <x + x - <x + <α Exercice : Déterminer les k Ë. Tel que le trinôme X² kx k Admettre deux racines réels ]-;[ On veut : -<x -, x + < ñ Ã -<x -, x + ñ P(-)> x -, x + < ñ -< x +x + P()> > x +x + On résout séparément : Ã ñ k²+4kã kã ou kâ-4 D. Résolution d équation Théorème : Sauf exception, on ne calcule pas de discriminant!!! Théorème : Quand on doit résoudre un système d équation symétrique à deux inconnues symétrique en x et y. On cherche x et y comme solution d un équation du second degré : i.e., on introduit : S=x+y P=xy On sait alors que x et y sont racines de : X² SX+P Exemple : (S) x+y=8 x + y =33 On pose : S=x+y P=xy ()ñ S=8 ()ñ x+y xy = S P =33 Donc P= S 33 = 8 33 Ainsi (x,y) sont les racines de X² 8X

25 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions III. Les fonctions trigo A. Généralités. Fonction cosinus : Cos est définie, C, et même C õ, sur Ë. Cosinus est à valeurs dans [-; ], i.e. : x Ë, -Âcos xâ Cos est π périodique et x Ë, cos(-x)=cos x x Ë, (cos) (x)=-sinx. Fonction sinus : Sin est définie, C, et même C õ, sur Ë. Sinus est à valeurs dans [-; ], i.e. : x Ë, -Âsin xâ Sin est π périodique et x Ë, sin(π-x)=sin x x Ë, (sin) (x)=cos x 3. Lien entre cos et sin : 5

26 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions On lit sur le graphe : x Ë sin π x =cosx cos π x =sinx Etc. 4. Fonction tangente : tan : x sinx cosx Définition : tan(x) existe si et seulement si cosxý Ainsi tangente est définie, C et même C õ sur Ë π kπ avec k Î x D f : (tan) (x) = cosxcosx sinx(-sinx) cos²x = cos²x+sin²x cos²x = cos²x =+tan²xã Donc tangente est strictement croissante par intervalle : D f = ]- π -π;- π [ ]- π ; π [ La fonction tangente est π périodique impaire et strictement croissante par intervalle. x D f : (tan) (x)= cos²x =+tan²x ñtan(x+π)=tanx Démonstration Directe : Cadre : Soit y fixe quelconque, on veut : tan( x +x ) =tan( x ) sin( x +π) tan( x +π ) = ð cotan : cotan : x cosx sinx B. Les formules trigo. cos(a+b) =cosacosb sinasinb cos( x +π ) = -sinx =tanx -cosx 6

27 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions =C C S S. cos(a b) =C C+S S 3. sin(a+b) =sinacosb+cosasinb =S C+C S 4. sin(a-b) =S C C S Comment passer de produit en somme? (dans le but de former des choses compatibles avec +) cosp cosq =C C = ( + ) = (cos(p+q)+cos(p q)) sinp sinq =S S = ( ) = [cos(p q) cos(p+q)] cosp sinq = ( 3 + ) = [sin(q+p)+sin(q p)] cosa+cosb =cos(p+q)+cos(p+q) = C C =cospcosq p+q=a cosa+sinb p q=b p= a+b q= a b a+b a b =cos cos =cos(p+q)+sin(p q) =C C S S+C S S C ðoooops!!! Pas beau! =cos(a)+cos π b ð MOUAHAHAHA mieux! 5. Formules avec tan : tan(a+b) =sin(a+b)cos(a+b) = S C+C S C C S S On force l apparition de tana et tanb: S C+C S = C C S S C C = tana+tanb tanatanb 6. Expression de cosx, sinx, et tanx en fonction de tan cosx =cos x + x =C C x =cos² sin² =cos² x tan² x Rappel : tan x= cos²x =+tan²x x x 7

28 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions tan² x = +tan² x IV. Fonctions circulaires réciproques A. Rappel Soit f : I J, une fonction On dit que f est bijective de I sur J si et seulement y J, l équation : f( )=y avec I admet une unique solution. Bijection réciproque : Soit f :I J une bijection. Alors il existe une unique fonction bijective noté f -, la bijection réciproque telle que : x I, x J y=f(x) ñ x=f (y) Attention : En général f est une donnée construite à partir de fonctions usuelles. Mais la fonction f -, ne s exprime pas à l aide des fonctions usuelles. ln : ];+õ[ Ë x ln(x)= x dt t B. Arcsin, Arccos, Arctan Attention : On peut montrer (assez facilement) que ln est définie, C, et même Cõ, strictement croissante, bijective, de ] ;+õ[ Ë. L exponentielle, est la bijection réciproque de la fonction ln. exp :Ë ] ;+õ[ x e x. Arcsin Soit la fonction sin : Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont périodiques et par la suite : NON BIJECTIVE!!!! La restriction de sinus à l intervalle - π ; π, notée sin - π ; π ou sin est bijective de - π ; π [-;]. sin Ë Ë n est pas bijective! La bijection réciproque de sin est notée Arcsin. La fonction sin est définie de - π ; π [-;], C, strictement croissante, impaire, donc Arcsin : [-;] - π ; π, définie bijective, C, strictement croissante et impaire. 8

29 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions Arcsin est dérivable et même C õ sur ]-;[. Et x ]-;[, (Arcsin) (x)= x² Comment travailler avec Arcsin : a) Privilégier des méthodes variationnelles, car Arcsin disparaît par dérivation!! b) Utiliser les formules de bijections réciproques f : I J D A x y=f(x) f - : J I y x=f - (x) x I : [ f - οf ](x)=x y J : [ fof - ](y)=y Attention : ici : f c est sin ýsin, f - c est Arcsin Rappel : - π ; π : sin( )=sin ( ) Exemple : Etude : f:x sin(arcsinx) Définition/C : f(x) existe si et seulement Arcsin(x) existe ñ x [- ;] Dérivabilité : f est dérivable et même C õ si x ]- ;[ x ]- ;[ f (x)= cos(arcsinx) x² OUUUPS!!! Bof bof bof! La méthode variationnelle bof bof. Retour au départ! Soit x fixé dans [- ;] sin( Arcsinx ) =sin ( ) avec =sin ( ) =sin ( Arcsinx ) =(sin οarcsin)(x)=x =Arcsinx - π ; π. Arccos Soit la fonction cosinus. La restriction de cosinus à l intervalle [;π], notée cos [;π] ou cos. La bijection réciproque de cos est notée Arccos. Théorème : La fonction cos est définie, bijective de [ ;π] sur [- ;], strictement décroissante, C. Donc : Arccos est définie, bijective de [- ;] sur [ ;π], strictement décroissante, C. 9

30 Généralités Chapitre Révisions sur les fonctions De plus Arccos est dérivable et même C õ sur ]- ;[. Et - x ]- ;[ : (Arccos) (x)= x² 3. Arctan Soit la fonction tangente. La restriction de tangente à l intervalle ]- π ; π [, notée tan ]- π ; π [ ou tan. La bijection réciproque de tan est notée Arctan. C. Le théorème Théorème : Remarque : Théorème : La fonction tan est définie, bijective de [- π ; π ] sur Ë, strictement croissante, C et impaire. Donc : Arctan est définie, bijective de Ë sur [- π ; π ], strictement croissante, C, impaire. De plus Arccos est dérivable et même C õ sur Ë et x Ë : (Arctan) (x)= x²+ Soit f :[a,b] Ë, définie, C, strictement croissante. Alors f réalise une bijection, continue, strictement croissante de [a,b] sur [f(a),f(b)] Le caractère bijectif provient de l hypothèse strictement croissante, mais : A quoi sert la continuité?? : Elle est continue donc on est sur que à un x il n y a qu un seul y et inversement. Ce théorème est le seul théorème d analyse qui conclut : f est bijective! 3

31 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions VISIONS & REVISIONS I. Résolution d équation Théorème : On sait résoudre exactement : - les équations du er degré - les équations du nd degré - les équations du type x n =α - changement de variable (simples ou donnés par le texte). Si on veut résoudre exactement une équation, on doit se ramener à une des 4 références du théorème. Quelques transformations classiques : a=bða²=b² a=bñ a²=b² et a et b ont le même signe a=bñ a²=b² abã Passage de ². A²=ñA= A² = A ýa Opérations sur les radicaux : A =Bñ A=B Bà A = B ñ A=B Aà Bà Inégalités : aâb!ð! a²âb² ÂaÂbðÂa²Âb² a²âb²ñ a  b II. Identités remarquables (a+b)²=a²+ab+b² (a b)²=a² ab+b² a² b²=(a b)(a+b) a²+b²=(a+ib)(a ib) (a+b) 3 =a 3 +3a²b+3ab²+b 3 (a b) 3 =a 3 3a²b+3ab² b 3 a 3 +b 3 =(a+b)[...] a 3 b 3 =(a b)[...] Suite géométrique : Soit n É Soit x fixé quelconque : n+ si x= +x+ +x n = si xý x n+ x Cette formule a inconvénients + er terme est +Ne pas se tromper sur x n+ De plus cette identité est vraie dans un espace mathématique où la division existe. La bonne formule : ( x)( +x+ +x n ) = x n+ III.Résolutions d équations paramétriques Soit m Ë : un paramètre Résoudre l équation : 3

32 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions (E) : x 4x 9 =m x Ë Sens de la question : - Trouver des solutions sur m afin que (E) ait des solutions - Quand il y a des solutions : Combien de solution en fonction de m? - L expression de x en fonction de m. ere solution possible : Variationnelle! On introduit : f:x x 4x 9 On fait une étude rapide de f : Def/C : f(x) existe si et seulement si 4x 9Ã. Ainsi f est définie, C sur x [ 9 4 ;+õ[ x> 9 4 f (x) = 4 4x 9 = = 4x 9 > 4x 9 4 ( + ) > = 4x 3 x signe de f õ f f 3 4 (E) ñ Intersection du graphe de f et de la droite y=m Si m<f 3 ðpas de solutions 4 Si m=f 3 ð solution double 4 3 Si m ]f 4 ; 9 [ð solutions 4 Si m> 9 ðune unique solution 4 ATTENTION : Avec la méthode variationnelle, on ne peut pas déterminer l expression de x en fonction de m. ème solution possible : Résolution par transformation algébrique! Idée : on part de (E), on fait des transformations algébriques rigoureuses, on arrive à une résolution connue, i.e. une équation du er ou nd degré. (E) ñ x 4x 9 =m : on isole x Ë ñ 4x 9 =x m x Ë ñ 4x 9=(x m)² x mã x Ë x²[]+x[-m+4]+[m²+9]=p(x)= (E ) ñ xãm x Ë ð(e ) a des solutions dans Ëñ Ã ðpositions de m par rapport aux racines de (E ) 3

33 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions Si P(m)<ðx - <m<x + Une seule solution : x=x + Si P(m)> : cas : m<x - <x + ou x - <x + <m étude du signe m et x ++x - b =- a IV. Résolutions des équations trigonométriques Définition & Notations : Soient a et b deux réels. On dit que a et congrue à b modulo π si et seulement si k Î tel que : a=b+k[π] Règle de calcul sur les congruences : a b[π]ñb=a[π] a b[π]ña+b=(b+c)[π] ðλa λb[π] Résolution de cosx=m. x Ë Si m > l équation (E) n a pas de solutions. Si m= cosx= ðx [π] x Ë Si cos x=ñx π[π] Si cosx=ñx π [π] Si m ]- ;[ On sait que l équation (E) admet une unique solution dans le segment [ ;π] cosx=m x [;π] ñx =Arccosm - Résolution partielle dans [ ;π] - cosx=mñx=x [π] ou x=-x [π] De même pour sin et tan! sin x=mñ m=θ [π] (les = sont des ) x=( π θ )[π] avec θ =Arcsin(m) sin x=mñx θ[π] avec θ=arctan(m) V. Changement de variable Ex : Résoudre : (S) cos²x+cosx = x Ë On pose U=cosx On a alors : (S)ñ U²+U = cosx= U On résoud () : =4 4(-)=8> Deux racines réelles : U + et U - Résolution de (). cosx=u + Position de et (-) par rapport à U + + P()=+ > est extérieur U + +U - b =- a =-< donc U -<U + < + P(-)= < Donc U - <-<U + < Conclusion : cosx=u - n à pas de solution en x 33

34 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions er Cas : cosx=u + admet les solutions : x x [π] x -x [π] cosx tan x sinx tan x U=tan x Attention : tan x existe si et seulement si : x ý π [π] si x π[π]ñ k Î x=kπ+π (S)ñcos(π+kπ)+sin(π+kπ)+= D où on en déduit les solutions! ème Cas : Si xýπ[π] On fait la transformation : cosx tan x sinx tan x et on résout! xýπ[π] VI. Changement de variable difficile Soit la suite de polynôme ( P n ) définie par : P (x)= P (x)=x P n+ (x)=xp n+ (x) 4 P n(x) On a vu : P n (cosθ)= cos(nθ) n Déterminer les racines de P n On pose le problème : On veut résoudre : P n( x) = x Ê Idée : P n (x)= P n (cosθ)= () x [-;] () x=cos(θ) Condition sur x pour le lien entre x et θ qu on puisse écrire : x=cosθ (3) θ [ ;π] (3) afin que θ ýθ x =cosθ ýx =cosθ Soit : P n (x)= n(cosθ)= x [-;] ñ P x=cosθ θ [; π] On résout : P n (cosθ)= cos(nθ)= n ñnθ= π [π] π ñθ= n π n θ [;π] 34

35 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions π Or θ= n + kπ avec k Î n Remarque : On cherche des condition sur k afin que θ [ ;π] θâθ k Âπ ñθ k  π + kπ n Âπ ñ n  k n  n ñ ÂkÂn Donc k { ; ; ;n-} Conclusion : On a trouvé n solutions différentes dans [- ;] x k =cos( θ k ) avec k { ; ; ;n-} Remarque : En fait on a trouver toutes les racines car on peut vérifier par récurrence que le degré de P n =n Les changements de variables les + classiques : x=cosθ x=sinθ x=cotan²θ U=x² avec relations du type : P(x²)=Q(x) VII. Compléments sur les suites A. Les suites arithmétiques U n+ =U n +r =( U n +r ) +r =U n +r =( U n +r ) +r=u n +3r* Ainsi : U n =U +nr=u +(n )r Ou bien U n+ =U +(n+)r=u n +nr Un somme classique : S=++ +n S=n+(n )+ ++ Ainsi : S=(n+)+(n+)+ +(n+) =n(n+) Conclusion : ++ +n= n(n+) Application : ere idée : 35

36 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions + +n = n (+ +) = n(n+) (+) nd idée : =+(+)+ +(+(n )) =(n )+ (n )(n ) car il y a n- termes Soit U n une suite arithmétique : U n+ =U n +r U + +U n =U + +( U +nr ) =U [n+]+r[++ +n] =U (n+)+r n(n+) B. Les suites géométriques U n+ =qu n =q( qu n ) =q²u n =q n+ U Donc : U n+ =q n+ U =q n U Une somme : ( q)( + +q n ) = q n+ +q+ +q n = n+siq= q n+ q Application : q 8 + +q n =q 8( + + qn 8 ) q =q 8 ( n 8)+ q =+ +q 7 +q 8 + +q n ( + +q 7 ) = qn+ q C. Arithmético géométriques U n+ =au n +b Ex : U n+ =U n +3 Résolution avec une cascade : U n+ U n =3 [ U n U n =3 ] [ U n U n =3 ] n [ U U =3 ] q8 q On fait la somme pondérée et on simplifie. U n+ n+ U = n Ainsi : =3 n+ =3( n+ ) U n =3( n ) + n U U n+ n+ U =3[ n ] On aboutit à une suite géométrique : calculable : YEAHA YOUKI! 36

37 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions Résolution théorique : Soit la suite U n+ =au n +b On suppose que l on connaît une suite particulière ( P n ) vérifie par récurrence : P n+ =ap n +b On a alors : U n+ =au n +b P n+ =ap n +b On fait la différence : U n+ P n+ =a[ U n P n ] ^-G n+ -^ ^---^--G n La suite ( Gn ) est géométrique! La suite ( Un ) est la somme. d une solution particulière de Pn. U n de la solution générale G n =P n +G n =P n +a n G Comment trouver ( P n )? Rappel : P n+ ap n =b ð nd Membre Ici le nd membre b est une constante qui ne dépend pas de n, on cherche donc P n constante. Plus généralement : Si b=αn+β On cherche P n =α n+β On veut ici : Conclusion : P n =k avec k ne dépend pas de n. P n+ ap n =k ak =( a)k=b Si a=ðc était une suite arithmétique Si aýðk= U n = b a +an G On calcule G avec U b a convient D. Généralisation Suite du type arithmétique : U n+ =U n +φ(n) U n+ U n =3n+=φ(n) U n U n =3(n )+=φ(n ) U U =3 +=φ() On somme et on simplifie. U n+ U =3[+ +n]+[nombre d équation] U n+ =U + 3(n(n+)) +(n+) Suite de type géométrique : n U n+ = n U n n U n+ = n ( n ) (n ) U n n n = n n 3 ( n ) (n ) U n 37

38 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions n n n 4 = n n 3 n 5 U Produit des pairs : Calcul de 4 6 n Produit des impairs : = n ( n) = n n! 3 5 (n+) = n 6 n (n+) =(n+)! ( ) (n) = (n+)! n n! Retour à la suite : U n+ n(n ) = (n )(n 3) U = n n! (n )! U n (n )! = n (n!)(n )! (n )! VIII. Autour des sommes A. Comment calculer une somme Remarque : CalculerñCalcul exact : Il y a 3 méthodes : *formules de suite géométriques *Domino (cascade) *Formule du Binôme Suite géo : Déjà démontré Description précise des dominos : n Soit S n = U k k= On suppose que : U n = D k+ D k U k se présente comme une différence! On a alors : n S n = U k k= = k= n ( D k+ D k ) On dispatche, on réindexe et on simplifie! n = k= D k+ = D n+ D n D k k= B. Formule du binôme Définition : Soit n et k des entiers É Î. On définit par : si:nâ k C n =( n k ) Ainsi ( n k ) = n! Lemme : On a : n+ Application : = si:k> n,ou:k< n! k!(n k)! :siâkân k!(n k)! = n(n )...(n (k )) ðk termes! k(k )...() ( k+ ) = ( n k ) + n ( k+) 38

39 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions Rappel : k, n ( n k ) É Soit n et k fixés avec ÂkÂn ( n k ) + n n! ( k+) = k!(n k)! + n! (k+)!(n (k+))! n! = k!(n k )! (n k) + (k+) ^-ð k++n k (k+)(n k) = n+ (k+)(n k) (n+)! = (k+)!(n k)! = (n+)! (k+)!((n+) (k+))! = n+ ( k+) k k= k= k=3 k=4 k=5 n= n n= n=3 3 3 n= On a facilement : n n k ( k ) = ( ) ( n ) = ( ) = ( n ) =n Théorème du binôme : Soit n É Soient (a,b) ʲ On a alors : n (a+b) = n k= n = k= n n = ( n k) ( n k) ak b n k an k b n Que doit-on démontrer? Direct : A=...=B ou A-B=...= Variationnelle : On introduit φ:x A(x) B(x) On vise φ'(x)=...= φ est croissante de à On construit C tel que A=C et B=C. On va donc montrer par récurrence : 39

40 Généralités Chapitre 3 Visions & Révisions a, b n H(x)= (a+b) = n k= ( n k) ak b n k H() est vraie H(n) H(n+) Pour montrer le '=' de H(n+), on y va directe! (a+b) n+ =(a+b)(a+b) n n =(a+ b) ( n k) ak b n k k= On dispatche, on réindexe, on concatène : n = k= n n k ak+ b + n k k= ( ) ( ) n k ak bn k+ On fait un changement de variable : p=k+ =... and so on! IX. Suite récurrente linéaire d ordre Soit ( U n ) une suite. Il ne faut pas confondre la suite ( U n ) et le n ie terme de la suite U n. On peut présenté la suite ( U n ) comme un vecteur infini : Å ( ) U n = U U... U n... On définit la somme de deux suites : Å ( ) U n + V Å n = ( ) U U... U n... On définit la suite 8 Å 8( Å ) U n =8 ( U n ) U U... U n = + V V... V n... 8U 8U... 8U n = = 8U Å n U +V U +V... U n +V n... ( ) ( ) = U Å n +V n Définition : Soit ( UÅ n ) et ( VÅ n ) deux suites : Soient λ et µ Ë ou Ê. On appelle combinaison linéaire sur ( UÅ n ) et ( VÅ n ) une suite de la forme : λ U Å n +µ Å ( ) ( V n ) Cadre : Soient a et b Ë fixé. On dit que Å ( ) U n est une suite récurrente linéaire d'ordre si et seulement si la suite ( UÅ n ) vérifie la relation de récurrence : U n+ =au n+ +bu n 4

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