Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad

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1 Cours de Mthémtiques L1 Résumé des chpitres Hssn Emmird Université de Poitiers Version 29/21

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3 TABLE DES MATIÈRES 3 Tble des mtières 1 Nombres complexes Le corps C Suites convergentes dns C Equtions dns C Théorème fondmentl de l lgèbre Représenttions trigonométriques Références Fonctions et fonctions réciproques Notions d ppliction et fonction Injection, surjection et bijection Fonction continue et dérivble Fonction réciproque Fonctions clssiques réciproques Références Equtions différentielles Générlité Equtions différentielles linéires du premier ordre Equtions différentielles non-linéires du premier ordre Dynmique des popultions Equtions différentielles linéires homogènes du second ordre Equtions différentielles linéires non-homogènes du second ordre Références Intégrtion Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Propriétés de l intégrle de Riemnn

4 4 TABLE DES MATIÈRES 4.3 Intégrles de fonctions continues Méthodes de clcul des intégrles Méthode de chngement de vrible Méthode d intégrtion pr prties Intégrles impropres Clcul pproché d intégrles Méthode des rectngles : Méthode des trpèzes : Méthode du point médin : Méthode de Simpson : Remrques : Intégrles des fonctions à vleurs dns C Références

5 Chpitre 1 Nombres complexes 1.1 Le corps C On commence pr donner l définition de Krl Friedrich Guss( ) et Willim Rown Hmilton ( ). Définition Soit C l ensemble des couples ordonnés (x,y), où x et y sont réels, tels que pour tous éléments (x,y) et (x,y ), on (i) Églité : (x,y) = (x,y ) x = x, et y = y. (ii) Addition : (x,y) + (x,y ) = (x + x,y + y ). (iii) Multipliction : (x,y)(x,y ) = (xx yy,xy + yx ). L ensemble C s ppelle l ensemble des nombres complexes. Il existe une identifiction entre R 2 et C, donnée pr R 2 (x,y) z = x + iy = (x,) + (,1)(y,) C, où i = (,1) est un nombre complexe tel que (i) 2 = ( 1 1, ) = ( 1,) = 1. Théorème Les lois d ddition et multipliction des nombre complexes vérifient les propriétés (1) Commuttivité : z + z = z + z, z z = z z (2) Associtivité : (z + z ) + z = z + (z + z ) et (z z )z = z (z z ). (3) Distributivité : z (z + z ) = z z + z z.

6 6 1. Nombres complexes Définition On ppelle prtie réelle Rez et prtie imginire Imz, les nombres réels x et y tels que z = x + iy. Le conjugué z de z = x + iy est le complexe z = x iy. Proposition On pour tous complexes z et z de Z, () zz = zz ; (b) Pour tout entier n N on z n = z n. Théorème (1) Pour l loi de l ddition, = (,) est l élément neutre et pour chque z = (x,y), z = ( x, y) est l opposé de z, i.e. z + ( z) =. (2) Pour l loi de l multipliction, 1 = (1,) est l élément neutre et pour chque z = (x,y) (,), 1 z = z zz = x iy est l élément inverse de z, i.e. z(z 1 ) = zz x 2 +y 2 zz = 1. On résume l ensemble des propriétés citées dns les théorèmes et en disnt que C est un corps. Définition On ppelle module de z = x + iy le nombre réel : z = x 2 + y 2 = z z Proposition On pour tous complexes z et z et tout entier n de Z : () Le module d un nombre complexe z est l distnce entre l origine et le point z. On peut comprer les modules z et z de deux nombres complexes z et z, mis ps ces nombres eux-mêmes : il n existe ps de reltion d ordre nturelle dns C. (b) Inéglités tringulires : Pour tous z et z de C, on : (c) z z = z z ; (d) z z = z z ; (e) z n = z n ; z z z + z z + z 1.2 Suites convergentes dns C Définition Soit {z n } n N une suite d éléments de C. On dir que l suite {z n } n N est convergente s il existe un nombre complexe z, tel que pour tout ǫ >, il existe un entier N ssez grnd tel que si n N, lors z n z < ǫ.

7 1.3. EQUATIONS DANS C Equtions dns C Définition On ppelle éqution lgébrique une éqution du type P n (z) =, où P n (z) = z n + 1 z n n 1 z + n, (1.1) où les coefficients, 1,, n sont des nombres réels ou complexes. Un nombre complexe ζ est dit une rcine d ordre k de cette éqution si P n (z) = (z ζ) k Q n k (z) et Q n k (ζ) (1.2) Il est clir que si ζ est une rcine d ordre k, lors on P n (ζ) = P n (k) (ζ) = P n (ζ) = P n (ζ) = où P n,p n, P (k) n (ζ) sont les dérivée d ordre 1 à k de P n. Théorème Si P n (z) est le polynôme de degré n donné pr lors le nombre complexe est rcine d ordre n de P n (z). En effet d près l formule du binôme de Newton on : Pour tous et b de C et tout entier n 1, on : n ( + b) n ( n ) = n k b k k où ( n k k= ) est le coefficient du binôme n! k!(n k)! k = n!( )n k k!(n k)! (1.3) donné pr le tringle de Pscl ci-contre.... En remplçnt pr et b pr z on obtient l expression (1.1) vec k donné pr (1.3). Ainsi le polynôme P n (z) = ( +z) n = (z ) n dmet une seule rcine, de l ordre de multiplicité n. 1.4 Théorème fondmentl de l lgèbre Si,b et c sont trois nombres réels et si 4c b 2 >, lors l éqution x 2 + bx + c = dmet deux rcines dns C, données pr z 1 = b 4c b 2 + i 2 2 et z 2 = b 4c b 2 i 2 2

8 8 1. Nombres complexes En 1799, Guss montré que chque polynôme à coefficients réels dmet u moins une rcine dns C. Théorème (Théorème fondmentl de l lgèbre) Chque polynôme à coefficients réels ou complexes dmet u moins une rcine dns C. 1 Corollire Chque polynôme à coefficients réels ou complexes de degré n dmet exctement n rcines dns C (comptées vec leurs multiplicités). 1.5 Représenttions trigonométriques Chque couple (x,y) R 2 peut être représenté soit pr ses coordonnées crtésiennes x et y, soit pr ses coordonnées polires (r,θ) où r = x 2 + y 2 et θ = rctn y x, si x > et y >. Dns l figure ci-dessous, on trouve le schém d une telle représenttion. Donc un nombre complexe peut être représenté soit pr z = x+iy, ou bien pr z = r(cos θ+isinθ). L ngle θ, qui est l ngle entre OZ et Ox s ppelle rgument de z. y z = (x,y) r = z θ x Figure. 1.1 Théorème Chque nombre complexe une représenttion en coordonnées polires, donnée pr z = re iθ = r(cos θ + isin θ) (1.4) où r = z et θ = rg(z). 1 Jen le Rond d Alembert, ( ) en donne une 1re démonstrtion en 1743, Guss dns s thèse en 1799 (il 22 ns) en montre les lcunes, et donne l 1re démonstrtion complète.

9 1.5. REPRÉSENTATIONS TRIGONOMÉTRIQUES 9 L formule (1.4) des conséquences très utiles Pr exemple on peut donner les rcines n-ièmes de l unité, utrement dit, résoudre l éqution z n = 1. En effet, pour voir ζ n = 1 on écrit r n e inθ = e 2kπi (k Z), ce qui donne en identifint r = 1 et θ = 2kπ n. C est-à-dire ζ k = e 2kπi n k = 1,,n sont les n rcines de z n 1 =. Pr exemple pour n = 8, les huit rcines ζ 1,ζ 2,,ζ 8 sont réprties d une mnière équidistnte sur le cercle unité. ζ 3 = e 3iπ/4 ζ 2 = e iπ/2 ζ 1 = e iπ/4 ζ 4 = 1 ζ 8 = 1 ζ 5 = e 5iπ/4 ζ 7 = e iπ/4 ζ 6 = e iπ/2 Formule de De Moivre Figure. 1.2 (cos θ + isin θ) n = cos nθ + isin nθ (1.5) Les formules e i(±b) = e i e ±ib permettent de trouver cos( ± b) = cos cos b sin sin b sin( ± b) = sincos b ± cos sin b. Les formules e i ± e ib permettent d écrire cos + cos b = 2cos + b 2 cos cos b = 2sin + b 2 sin + sin b = 2sin + b 2 cos b 2. sin b 2. cos b 2.

10 1 1. Nombres complexes 1.6 Références On peut consulter tout livre de Terminles S ou : [1] Frnçois LIRET, Dominique MARTINAIS, Cours de Mthémtiques, Algèbre 1re Année, Cours et exercices vec solutions. DUNOD 23 [cote B.U. 512 LIR] ou ncienne édition (1997) [cote B.U. 512 (76) LIR] chpitre 3 [2] Philippe PILIBOSSIAN, J-Pierre LECOUTRE, Algèbre, rppel de cours, exercices et problèmes résolus, DUNOD 1998 [cote B.U. 512 (76) PIL] chpitre 3 [3] Dominique PROCHASSON, Algèbre 1re nnée, exercices corrigés. DUNOD 1999 [cote B.U. 512 (76) PRO] chpitre 2.

11 Chpitre 2 Fonctions et fonctions réciproques 2.1 Notions d ppliction et fonction Définition Une ppliction f d un ensemble E vers un ensemble F ssocie à tout élément x de E, un unique élément y de F. Cet élément y est lors noté f(x) et est ppelé imge de x pr f. On ppelle grphe de l ppliction f, l ensemble des couples (x,f(x)) de E F où x prcourt E. Définition Si f : E F est une ppliction, l ensemble E s ppelle l source (ou ensemble de déprt) de f et l ensemble F est le but (ou ensemble d rrivée). Définition On ppelle restriction d une ppliction f : E F à une prtie A de E, l ppliction notée f A de A dns F, qui à tout élément de A ssocie l élément f A (x) = f(x) de F. Définition On ppelle fonction, toute ppliction d une prtie D d un ensemble C (qui ser souvent un corps) à vleurs dns R, C (fonctions dites numériques) ou un espce de vecteurs (fonctions dites vectorielles). L ensemble D est ppelé domine de définition de l fonction f. Définition Si f : E F et g : F G sont des pplictions, on ppelle composée de f et g et on note g f l ppliction de E dns G qui à tout x de E, ssocie l élément g(f(x)) de G. Attention à ne ps confondre g f et f g...

12 12 2. Fonctions et fonctions réciproques Théorème L loi est ssocitive, i.e. si f : E F, g : F G et h : G H sont des pplictions, lors on : (h g) f = h (g f). Il y plusieurs fçons de définir une fonction : En générl une fonction s écrit comme composée de fonctions clssiques (outre les fonctions que l on les verr dns une prochine section, l ddition, multipliction, inversion, ou puissnce peuvent être considérés comme des fonctions clssiques). Pr morceux : l ensemble de définition est réunion de plusieurs intervlles, et on utilise une formule prticulière sur chque intervlle : Pr exemple : f 1 (x) si x ],[, f(x) = f 2 (x) si x [,b], f 3 (x) si x ]b, [ Pr disjonction de cs. Pr exemple : 1 q si x = p q est une frction irréductible f(x) = si x est irrtionnel. Pr intégrtion. Pr exemple : f(x) = Comme intégrle dépendnt d un prmètre Pr exemple : f(x) = De mnière implicite. x 2 1 φ(t)dt. φ(t, x)dt. Pr exemple, f(x) = y unique solution de l éqution (d inconnue y) F(x, y) =. Et de bien d utres mnières encore Injection, surjection et bijection Le problème de l recherche de y = f(x) est (théoriquement) résolu si f est une ppliction. Pr contre, se pose le problème de l recherche de x vérifint f(x) = y où y est donné dns F. Qund il existe, un tel x est ppelé ntécédent de y. On distingue hbituellement deux problèmes : celui de l existence d u moins un ntécédent, et celui de l unicité (cs où chque y de F ou 1 ntécédent).

13 2.3. FONCTION CONTINUE ET DÉRIVABLE 13 Définition Si f : E F est une ppliction, On ppelle imge de f et on note Im f l ensemble des y de F qui dmettent u moins un ntécédent x pr f. On dit que f est surjective si on : Im f = F, c est à dire si pour tout y de F il existe u moins un x de E vérifint : y = f(x). On dit que f est injective si toute églité f(x) = f(x ) implique x = x. On dit que f est bijective si elle est injective et surjective, c est à dire si tout élément y de F dmet un et un seul ntécédent x pr f. Dns ce cs, on ppelle ppliction réciproque de f et on note f 1 l ppliction de F dns E définie pr : pour t dns F, f 1 (t) est l unique x de E tel que f(x) = t. Remrquons que si x = x lors l églité f(x) = f(x ) est évidente (c est l unicité de l imge de x pr l ppliction f). Dire que f est injective, c est ffirmer que l réciproque est vrie. Rppelons qu il s git d une impliction : si pr hsrd f(x) = f(x ), lors x = x. En pssnt à l contrposée, l injectivité peut s écrire : si x x lors f(x) f(x ). Remrquons enfin qu une ppliction injective f de E dns F induit une bijection f de E sur l ensemble Im f. Définition Si A est une prtie de E, on ppelle imge de A pr f, et on note f(a) l ensemble des f(x) pour x A. Autrement dit, un élément y de F pprtient à f(a) si et seulement s il existe u moins un x de A tel que y = f(x). En prticulier, on Im f := f(e). Si B est une prtie de F, on ppelle imge réciproque de B pr f et on note f 1 (B) l ensemble des x de E vérifint : f(x) B. 2.3 Fonction continue et dérivble Définition Soit f une fonction numérique définie sur une prtie I de R. On dir que f est continue u point x I, si et seulement si pour toute suite {x n } n N convergente vers x, on lim f(x n) = f(x) x n x et on dir que f est continue dns I si elle est continue en tout point de I. On peut exhiber des fonctions discontinues en les définissnt pr morceux. Pr exemple 1 si x, f(x) = 1 si x <.

14 14 2. Fonctions et fonctions réciproques est une fonction définie sur R, mis discontinue u point R. Si les limites à droite et à guche de l fonction en un point existent, on noter lim f = lim f(x) + x x> l limite à droite et lim f = lim f(x) x x< l limite à guche u point. Définition Soit f une fonction numérique définie sur une prtie I de R. On dir que f est dérivble u point x I, si et seulement si lim h f(x+h) f(x) h existe et on noter cette limite pr : f f(x + h) f(x) (x) = lim. h h l dérivée de f u point x et on dir que f est dérivble dns I si elle est dérivble en tout point de I. Une utre nottion de l dérivée est Théorème df dx (x) := f (x). Soient f et g deux fonctions numériques dérivbles f : I J, g : J K, où I,J et K sont trois prties de R. Soit h = g f, lors h (x) = g (f(x))f (x), x I. 2.4 Fonction réciproque Une fonction f : I J, est bijective d un intervlle I sur un intervlle J, si d une prt, elle est définie sur I, vec pour tout x I, f(x) J d utre prt, tout y de J est imge pr f d un et un seul x de I. On peut lors prler de l fonction réciproque g, définie sur J, à vleurs dns I et définie pr : si x J, y = g(x) est l unique y I vérifint f(y) = x. Nous urons besoin des deux théorèmes suivnts :

15 2.4. FONCTION RÉCIPROQUE 15 Théorème (Théorème de l bijection) Si f est continue, strictement monotone sur un intervlle I, lors f(i) est l intervlle donné dns le tbleu ci-dessous, et f induit une bijection f de I sur f(i). De plus l fonction réciproque g = f 1 est continue, et strictement monotone de même sens de vrition que f. I [, b] ], b[ [, b[ ], b] Si f continue strict. ր f(i) = [f(),f(b)] ]lim f,lim f[ [f(),lim f[ ]lim f,f(b)] + b b + Si f continue strict. ց f(i) = [f(b),f()] ]lim f,lim f[ ]lim f,f()] [f(b),lim f[ b + b + Dns un repère orthonormé, le grphe de l fonction réciproque g est le symétrique du grphe de l fonction f pr rpport à l droite y = x (ppelée première bissectrice). y f 1 (x) x f(x) Figure. 2.1 Théorème (Dérivée d une fonction réciproque) Si f est continue, strictement monotone sur l intervlle I, est dérivble u point I, l ppliction réciproque g = f 1 est dérivble en b = f() si et seulement si f (). Dns ce cs, on : g (b) = 1 f () = 1 f (g(b)).

16 16 2. Fonctions et fonctions réciproques 2.5 Fonctions clssiques réciproques Fonctions népériennes. L fonction exponentielle, notée e x = exp(x), peut être définie comme le limite de l suite s n (x) = n k= xk /k!. Cette fonction est définie sur ], [ à vleurs dns ], [, elle vérifie les propriétés suivntes : () lim t e x =, (b) lim t ex =, (c) e x+y = e x e y (d) e x y = ex e y (e) e x y = ( e x ) y L fonction logrithme népérien, notée ln, peut être définie comme fonction réciproque de l fonction exponentielle. En effet, l fonction exp est continue, strictement croissnte sur ], [ à vleurs dns ],+ [. Donc elle induit une bijection entre ],+ [ et ], + [. L fonction réciproque est continue, strictement croissnte, définie sur ],+ [, vérifie pour > et b >, les propriétés suivntes : () lim ln(x) = +, t + ( (d) ln b) (b) lim ln x =, t + (c) ln(.b) = ln() + ln(b) = ln() ln(b) (e) pour r R, ln( r ) = r ln(). 5 4 x e x x ln x

17 2.5. FONCTIONS CLASSIQUES RÉCIPROQUES 17 Figure. 2.2 Fonction Arcsinus. L fonction sinus est continue et strictement croissnte sur [ π/2, π/2]. Elle induit donc une bijection de [ π/2,π/2] sur [ 1,1], dont l ppliction réciproque est notée rcsin. Ainsi pour tout x [ 1,1], on : y = rcsin x si et seulement si x = siny et π 2 y π 2. Remrquons que si y = rcsin x, on cos y donc cos y = 1 sin 2 y = 1 x 2. Théorème L fonction rcsinus est continue sur [ 1,1], dérivble sur ] 1,1[, vec si x < 1, d dx rcsin x = 1 1 x 2. Voici l courbe de rcsin. y π x 1 π 2 2 Figure. 2.3 Fonction Arccosinus.

18 18 2. Fonctions et fonctions réciproques De même l fonction cosinus est continue et strictement décroissnte sur [, π]. Elle induit donc une bijection de [, π] sur [ 1, 1], dont l ppliction réciproque est notée rccos. Ainsi pour tout x [ 1,1], on : Théorème y = rccos x si et seulement si x = cos y et y π. L fonction rccosinus est continue sur [ 1,1], dérivble sur ] 1,1[, vec si x < 1, d dx rccos x = 1 1 x 2. Voici l courbe de rccos. y π x Figure. 2.4 Proposition On pour tout x [ 1,1], rccos x + rcsin x = π 2.

19 2.6. RÉFÉRENCES 19 Fonction Arctngente. L fonction tn étnt périodique n est ps injective, mis s restriction à l intervlle ] π 2, π 2 [ est continue et strictement croissnte, et lim tn t = et lim tn t = + t π/2 t π/2 On ppelle fonction rctngente l ppliction réciproque. On y = rctn x si et seulement si x = tn y vec π 2 < y < π 2 Cette fonction est définie, continue, impire et dérivble sur R vec Voici l courbe de rctn. d dx rctn x = x 2. π 2 1 y x 2 π 2 Figure. 2.5 Proposition On rctn x + rctn 1 π x = 2 si x > π 2 si x <. 2.6 Références [1] Pscl DUPONT Exercices de Mthémtiques pour le 1er cycle, vol. 1 : Algèbre et Géométrie, De Boeck 23 [cote B.U. 512/514 (76) DUP], chp. 1, pr [2] D. GUININ, B. JOPPIN, Mthémtiques Anlyse MPSI (ou PCSI) Brél 23 [cote B.U. 517 GUI], chpitre 1 A. et E. [3] Louis JEREMY, Pierre MIMEAU, J-Clude THIENARD, Anlyse 1, VUIBERT 1997 [cote B.U JER], chpitre 5.

20 2 2. Fonctions et fonctions réciproques

21 Chpitre 3 Equtions différentielles 3.1 Générlité Une éqution différentielle est une reltion entre les dérivée successives d un fonction inconnue y(t). Si les n premières dérivées de l fonction y(t) interviennent dns cette éqution, comme Φ(t,y,y,y,,y (n) ) = (3.1) on dir que l éqution (3.1) est d ordre n. Les équtions différentielles interviennent dns de nombreux domines scientifiques : en mécnique, en électricité, en rdioctivité, pour les réctions chimiques, l évolution d une popultion, l concentrtion d un produit (glucose ou médicment) dns le sng, le refroidissement d un objet, l diffusion à trvers une membrne... Une éqution d inconnue une fonction y = y(t) qui s écrit sous l forme Φ(y,y,y,,y (n) ) = g(t), (3.2) est dite à vribles séprées. Une telle éqution, si elle est d ordre 1, s écrit sous l forme y f(y) = g(t). Dns ce cs, si F est une primitive de f et G une primitive de g, elle équivut à F(y) = G(t) + C où C est une constnte. Reste à écrire, si possible, cette églité sous l forme y = ϕ(t) (ce qui peut obliger à réduire l intervlle de définition). Exemple : y e y = t 2 donne e y = t3 3 +λ, or si t ]( 3λ)1/3,+ [, on y = ln( 1 3 t3 +λ), lors y(t) est défini sur ]( 3λ) 1/3,+ [. Il s git d un cs prticulier d éqution à vribles séprées dns l mesure où elle peut x s écrire = 1. On obtient g(x) = t + C où g est une primitive de 1/f. Mis il ne fut f(x) ps oublier les solutions constntes : x = où est solution de f() =.

22 22 3. Equtions différentielles Exemple : x = x 2 donne l solution constnte x = et sinon, s écrit x = 1. On x2 obtient 1 x 1 = t + C, c-à-d x =, défini sur ],λ[ et sur ]λ,+ [. λ t 3.2 Equtions différentielles linéires du premier ordre On ppelle éqution différentielle linéire du 1er ordre, une éqution de l forme y + (t)y = b(t) (3.3) où et b sont des fonctions définies et continues sur un intervlle I. Lorsque l fonction b est nulle, on dit que l éqution (3.3) est une éqution homogène du 1er ordre. Elle s écrit y + (t)y = (3.4) Pour résoudre l éqution (3.3) il est nécessire de résoudre d bord (3.4). Résoudre cette éqution consiste à déterminer les fonctions dérivbles ϕ, définies sur I, vérifint en tout point t de I : ϕ (t) + (t)ϕ(t) =. Si A est une primitive de sur l intervlle I, l éqution (3.4) est équivlente à : e A(t) (y + (t)y) = e A(t) (y + A (t)y) = c-à-d. : ( y e A(t)) = (3.5) Une fonction ϕ est donc solution si et seulement si l fonction t ϕ(t)e A(t) est égle à une constnte λ sur l intervlle I. 1 D où le théorème : Théorème Les solutions sur l intervlle I de l éqution différentielle homogène y + (t)y =, sont, si A est une primitive de, les fonctions ϕ définies pr : ϕ(t) = λe A(t) où λ est une constnte rbitrire. N.B. : Ce théorème est vlble vec des fonctions à vleurs complexes. Dns ce cs, on prend λ dns C. Pr contre, si l fonction est à vleurs dns R, et si on ne cherche que les solutions à vleurs dns R, on prendr λ dns R. Un cs prticulier importnt est celui où l fonction est constnte : Théorème Les solutions de l éqution différentielle y = y s écrivent ϕ(t) = λe t. 1 Certins résolvent l éqution en écrivnt y = (t) d où ln( y ) = A(t) + C où C est une constnte y d où y = λe A(t) où λ = ±e C. Cette technique est très critiquble, donc est à éviter. Mis elle le mérite de donner le bon résultt. Elle peut donc être utilisée u brouillon.

23 3.3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON-LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE 23 Exemple Décroissnce rdioctive Le tux de décroissnce de rdioctivité d une mtière est proportionnel à l quntité de l substnce à un instnt donné. Donc si y(t) est l quntité de mtière rdioctive et y (t) s vrition, on y (t) = ky(t), où k est une constnte positive ppelée l constnte de décroissnce. L solution de cette éqution est y(t) = y()e kt. Comme cette fonction est toujours strictement positive le temps de désintégrtion totle est infini. Pour voir une idée de cette décroissnce on définit l demi-vie, c est le temps nécessire pour réduire de moitié l quntité initile d une mtière rdioctive. Autrement dit, si T est le temps de demi-vie y(t) y() = 1 2. Ainsi pour résoudre (3.3), on écrit ( y e A(t)) = b(t)e A(t) Ces solutions sont donc de l forme : ϕ(t) = (F(t) + λ)e A(t) où F est une primitive sur I de l fonction t b(t)e A(t). On ne retient ps ce résultt, mis les théorèmes suivnts : Théorème Les solutions sur I de l éqution différentielle y +(t)y = b(t), où et b sont des fonctions continues sur l intervlle I, sont les fonctions t λϕ(t)+ψ(t) où ψ est solution prticulière de (3.3) et ϕ est solution prticulière non nulle de l éqution homogène ssociée (3.4). Théorème (Formule de l vrition des constntes) Soit t dns I, et y + (t)y = b(t), une éqution différentielle linéire du 1er ordre, dont les coefficients sont des fonctions continues sur I, lors pour tout nombre y, il existe une et une seule solution ϕ de sur I vérifint l condition initile ϕ(t ) = y, donnée pr où A(t) = t t (s)ds. ϕ(t) = e A(t) y + e A(t) t t e A(s) b(s)ds, (3.6) 3.3 Equtions différentielles non-linéires du premier ordre En générl, les équtions différentielles non-linéires du premier ordre sont de l forme y = f(x,y), (3.7) où l fonction y f(x,y) n est ps linéire. L résolution de ces équtions est ssez compliquée. Il existe une petite clsse d équtions qui peuvent être triter pr différentes méthodes.

24 24 3. Equtions différentielles Tout d bord écrtons le cs de fusse non-linérité. Il existe une clsse d équtions non-linéires qui peuvent se trnsformer en équtions linéires pr une trnsformtion déqute. C est le cs pr exemple de l éqution de Bernoulli. L éqution de Bernoulli dont l forme générle est y + p(t)y = q(t)y α. (3.8) En posnt u(t) = y(t) β vec β = 1 α on obtient u = βy β 1 y = βy α y. En multiplint (3.8) pr β et en l divisnt pr y α, on ur ou βy y α + βp(t)y y α = βq(t) u + βp(x)u = βq(x), qui est une éqution différentielle linéire. Ainsi on vient de démontrer le théorème suivnt Théorème Soient p(t) et q(t) deux fonctions continues sur l intervlle I. Supposons x I, y R, β = 1 α vec α et 1. Alors, y est une solution du problème de Bernoulli y + p(t)y = q(t)y α. (PB) y(x ) = y si et seulement si u = y β est l solution du problème linéire u + βp(t)u = βq(t), (PL) u(t ) = y β. Exemple. Pour trouver l solution du problème de Bernoulli y 4y = 2e t y (EB) y() = 2, l trnsformtion u = y = y donne le problème linéire u 2u = e t, (EBL) u() = 2. dont l solution est u(t) = e 2t ( 2 + t ) e s ds = e 2t ( e t ).

25 3.4. DYNAMIQUE DES POPULATIONS 25 D où y(t) = e 4t ( e t ) 2 Eqution de Riccti. Une éqution du type y + p(t)y + q(t)y 2 = g(t) (3.9) est ppelée l éqution de Riccti. Un cs prticulier où p(t) = λ,λ >,q(t) = λ, > et g(t) = on obtient une éqution de l forme y = λ(1 y)y (3.1) et elle s ppelle éqution de l loi logistique. Une telle éqution intervient en dynmique de popultion que l on v discuter dns l prochine section. 3.4 Dynmique des popultions En 1798, T.R. Mlthus proposé un modèle de dynmique de popultion dns lequel le tux de croissnce de l popultion est proportionnel à l tille de l popultion. Dns ce modèle de Mlthus l fonction y(t) qui présente l tille totle de l popultion à l instnt t, stisfit l éqution différentielle ordinire dy dt = λy(t), t. (3.11) où λ est le prmètre de Mlthus. L solution de (3.11) est l fonction exponentielle y(t) = y()e λt qui présente l croissnce exponentielle d une popultion. Dns une popultion mlthusienne on ne tient ps compte de plusieurs fcteurs, comme l effet d entssement ou l limittion des ressources. Dns un modèle plus réliste le prmètre de Mlthus doit dépendre de l tille de popultion. Un tel modèle été proposé pr P. F. Verhulst en Dns le modèle de Verhulst, il est supposé que lim y(t) = C. (3.12) t où l constnte C s ppelle l constnte intrinsèque de croissnce. Dns le modèle de Verhulst l tille de popultion y(t) vérifie l éqution différentielle non-linéire ( dy dt = λ 1 y(t) ) y(t), t. (3.13) C Appliquons l méthode de l séprtion des vribles à (3.13), en l écrivnt sous l forme y (1 y)y = λ.

26 26 3. Equtions différentielles où C = 1. Ou bien, près l décomposition en éléments simples ce qui donne y (1 y) + y y = λ, ln 1 y + ln y = ln y 1 y = λt + c, vec c = ln y() 1 y(). Suivnt l vleur initile y() on peut distinguer qutre cs. 1er cs, y() =. On trouve y(t) =, pour tout t >. C est une solution trivile. 2ième cs, < y() < C. Dns ce cs y () = λy()(1 y()) > et y(t) est croissnte, tnt qu on Ainsi ce qui donne, ln ( ) y() c = ln 1 y() et < y(t) < C. (3.14) ( ) ( ) y(t) y() ln = λt + ln. 1 y(t) 1 y() ( ) y(t)(1 y()) [ = λt ou bien y(t) y() + (1 y())e λt] = y(). (1 y(t))y() et y(t) = 1 ( ) = ( y() 1)e λt C ( ). 1 + ( C y() 1)e λt On remrque que dns ce cs, y(t) C, lorsque t. 3ième cs, y() = C. On trouve y(t) = C, pour tout t >. C est une solution constnte. 4ième cs, y() > C. Dns ce cs ( ) y() c = ln y() 1 et d une mnière nlogue u 2ième cs, on trouve y(t) = C ( ). 1 + ( C y() 1)e λt 1 Comme y() 1 <, on y(t) > C pour tout t > et y(t) C, lorsque t.

27 3.5. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGÈNES DU SECOND ORDRE Equtions différentielles linéires homogènes du second ordre Les équtions différentielles linéires du second ordre sont de l forme y + p(t)y + q(t)y = g(t), (3.15) Si g(t) = elles sont qulifiées d homogènes et si g(x) de non-homogènes. Le crctère linéire de cette éqution implique que si y 1 et y 2 sont deux solution de l éqution homogène y + p(t)y + q(t)y =, (3.16) et si α et β sont deux constntes quelconques, lors αy 1 + βy 2 est ussi une solution de l éqution (3.16). Nous commencons d bord pr étudier les équtions différentielles linéires homogènes du second ordre, lorsque les coefficients p(t) et q(x) sont constnts, ce qui donne y + y + by =, (3.17) Pour = cette éqution se trnsforme en y + by =. (3.18) Suivnt le signe de b on trouve trois types de solution. 1er cs, b =. On trouve y (t) = et en intégrnt deux fois l éqution on obtient l solution y(t) = c 1 t + c 2. 2ième cs, b <. On prend b = k 2 et l éqution (3.18) s écrit y = k 2 y. Il est clir que e kt et e kt sont deux solutions de (3.18), lors c 1 e kx + c 2 e kx est ussi une solution. 3ième cs, b >. On prend b = k 2 et l éqution (3.18) s écrit y + k 2 y =. Il est clir que sinkt et cos kt sont deux solutions de (3.18), lors c 1 cos kt + c 2 sinkt est ussi une solution. Ainsi on Théorème Soit b un nombre réel. Nous définissons deux fonctions u 1 et u 2 sur R de l mnière suivnte : Si b =, on prend u 1 (t) = 1 et u 2 (t) = t ; Si b <, on écrit b = k 2 et on prend u 1 (t) = e kt et u 2 (t) = e kt ; Si b >, on écrit b = k 2 et on prend u 1 (t) = cos kt et u 2 (t) = sinkt. Alors toute solution de l éqution différentielle (3.18) est de l forme y = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) (3.19)

28 28 3. Equtions différentielles Exemple. ()L solution générle de y = est y(t) = c 1 t + c 2 ; de y 4y = est y(t) = c 1 e 2t + c 2 e 2t ; de y + 4y = est y(t) = c 1 cos 2t + c 2 sin 2t. Considérons à présent. A l ide d une trnsformtion déqute nous trnsformons l éqution (3.17) sous l forme (3.18). Posons y = ue t/2, on peut vérifier fcilement que dns ce cs ( ) y + y + by = e t/2 u + (b 2 4 ))u = On ppelle = 2 4b le discriminnt de l éqution différentielle (3.17), et on étudie à l ide du théorème 3.5.1, l éqution differentielle u = 1 4 u. Théorème Soit = 2 4b le discriminnt de l éqution différentielle (3.17) lors toute solution de cette éqution différentielle est de l forme. y = e t 2 [c1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t)] = c 1 v 1 (t) + c 2 v 2 (t) (3.2) où les fonctions u 1 et u 2 sont définies selon le signe de sur R de l mnière suivnte : Si =, on prend u 1 (t) = 1 et u 2 (t) = t ; Si >, on écrit k = 1 2 et on prend u1 (t) = e kt et u 2 (t) = e kt ; Si <, on écrit k = 1 2 et on prend u1 (t) = cos kt et u 2 (t) = sin kt. Les constntes c 1 et c 2 dns (3.19) et (3.2) peuvent être déterminées d une mnière unique à prtir des données initiles Exemple. (b) L solution générle y(t ) = y et y (t ) = y 1. de y 2y + y = est y(t) = e t (c 1 t + c 2 ) ; de y + 5y + 4y = est y(t) = c 1 e 4t + c 2 e t ; de y +4y +5y =, vec y() = 2 et y () = y () est y(t) = e 2t (c 1 cos t+c 2 sin t). Comme y() = c 1 = 2 et y () = 2c 1 +c 2 = 4+c 2 et y () = 3c 1 4c 2 = 6 4c 2 = 4 + c 2, insi c 1 = c 2 = 2 et y(t) = 2e 2t (cos t + sin t). 3.6 Equtions différentielles linéires non-homogènes du second ordre

29 3.6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES NON-HOMOGÈNES DU SECOND ORDRE 29 Théorème Soient v 1 (t) = e t 2 u1 (t) et v 2 (t) = e t 2 u2 (t) les solutions de l éqution homogène (3.17) données pr (3.2). Soit W(t) = v 1 (t)v 2(t) v 2 (t)v 1(t) le wronskien de v 1 et v 2. Supposons W(t) pour tout t R. Alors l éqution nonhomogène une solution prticulière y 1 donnée pr l formule où h 1 (t) = y + y + by = g(t) (3.21) y 1 (t) = h 1 (t)v 1 (t) + h 2 (t)v 2 (t), v 2 (t) g(t) W(t) dt, h 2(t) = v 1 (t) g(t) W(t) dt. Toute solution de l éqution non-homogène s obtient en joutnt à y 1 une solution générle de (3.17). Exemple. Trouver l solution générle de y +y = sin t sur l intervlle ] π/2,π/2[. Dns ce cs v 1 (t) = cos t et v 1 (t) = sin t. Le wronskien de v 1 et v 2 est W(t) = cos 2 t + sin 2 t = 1. On trouve h 1 (t) = sin 2 t dt = (cos 2t 1)/2 dt = (sin 2t 2t)/4 h 2 (t) = cos t sin t dt = 1 sin 2t = (cos 2t)/4. 2 Ainsi l solution générle ser y(t) = cos t(c 1 + sin 2t 2t)/4 + sin t(c 2 cos 2t)/4. Cs prticuliers. ) Supposons b et g(t) = P n (t) un polynôme de degré n. Alors y 1 (t) est ussi un polynôme de degré n, dont les coefficients s obtiennent pr identifiction. Exemple. Pour trouver l solution générle de y 2y + 3y = t 3, on écrit l solution prticulière sous l forme y 1 (t) = t 3 + bt 2 + ct + d. En remplçnt cette solution dns l éqution vec second membre on obtient 3t 3 + (3b 6)t 2 + (3c 4b + 6)t + (3d 2c + 2b) = t 3. En identifint les coefficients on trouve = 1 3, b = 2 3, c = 2 8, et d = 9 27.

30 3 3. Equtions différentielles Comme l solution sns second membre est y 2 (t) = e t (c 1 cos 2t + c 2 sin 2t), lors l solution générle ser y(t) = e x (c 1 cos 2t + c 2 sin 2t) t t t b) g(t) = P n (t)e αt. Avec le chngement de fonction y = u(t)e αt, on retrouve le cs ) pour l fonction u(t). Exemple. Pour trouver l solution générle de y + 4y = e 2t, on écrit l solution prticulière sous l forme y 1 (t) = e 2t u(t). En remplçnt cette solution dns l éqution vec second membre on obtient e 2t (u 4u + 8u) = e 2t. L solution de l éqution u 4u + 8u = 1 est u(t) = 1 8. Comme l solution sns second membre est y 2 (t) = c 1 cos 2t + c 2 sin2t, lors l solution générle ser y(t) = (c 1 cos 2t + c 2 sin2t) e 2t. c) g(t) = P n (t)e αt sin kt ou g(t) = P n (t)e αt cos kt. Avec le chngement de fonction y = e αt (u(t)cos kt + v(t)sin kt), on retrouve le cs ) pour les fonctions u(t) et v(t). 3.7 Références [1] Philippe PILIBOSSIAN, J-Pierre LECOUTRE, Algèbre, rppel de cours, exercices et problèmes résolus, DUNOD 1998 [cote B.U. 512 (76) PIL] chpitre 5 et 9. [2] Dominique PROCHASSON, Algèbre 1re nnée, exercices corrigés. DUNOD 1999 [cote B.U. 512 (76) PRO] chpitre 9. [3] Louis JEREMY, Pierre MIMEAU, J-Clude THIENARD, Anlyse 1, VUIBERT 1997 [cote B.U JER], chpitre 2 et 3. [4] Vincent BLONDEL, Mthémtiques, Anlyse, cours et exercices corrigés. DEUG Sciences et Vie de l Terre. DUNOD, 2 cote B.U. 517 (76) BLO). [5] Jen-Pul et Frnçoise BERTRANDIAS, Mthémtiques pour les Sciences de l Vie, de l Nture et de l Snté. Presses Universitires de Grenoble, :51 BER.

31 Chpitre 4 Intégrtion 4.1 Fonctions intégrbles u sens de Riemnn Définition Soit [, b] un intervlle de R. On ppelle subdivision de [, b] toute suite σ = (x,x 1,x 2,...,x n ) d un nombre fini d éléments de [,b] vérifint = x < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b. Si l fonction f est bornée sur [, b] (ce que nous supposerons dorénvnt), elle est bornée sur chcun des intervlles [x k 1,x k ]. Notons m k et M k ses bornes, c-à-d m k = Inf A k et M k = Sup A k où A k est l ensemble des vleurs f(x) prises pr l fonction f vec x k 1 x x k ce qu on écrit : m k = Inf{f(x), x k 1 x x k } et M k = Sup{f(x), x k 1 x x k }. Définition Si f est bornée sur [,b] et σ est une subdivision de [,b], on ppelle sommes de Drboux 1 inférieure et supérieure les nombres : n n s(σ) = m k (x k x k 1 ) S(σ) = M k (x k x k 1 ) k=1 k=1 où m k et M k sont les bornes de f sur l intervlle [x k 1,x k ]. Si σ et σ sont deux subdivisions de [,b], on montre qu on : s(σ) S(σ ) et s(σ ) S(σ). Si on considère mintennt l ensemble de toutes les subdivisions σ de [,b], on obtient un ensemble de sommes de Drboux inférieures s(σ) qui est mjoré et dmet donc une borne supérieure s(f). De même les sommes de Drboux supérieures S(σ) forment un ensemble minoré et on peut considérer leur borne inférieure S(f). 1 Gston DARBOUX, né à Nîmes,

32 32 4. Intégrtion Définition On ppelle intégrle inférieure de f sur [,b] le nombre s(f) = Sup{s(σ)} et intégrle supérieure le nombre S(f) = Inf{S(σ)}. On pour toute fonction f l inéglité : s(f) S(f). L fonction f est dite intégrble sur [,b] si on l églité : s(f) = S(f). Ce nombre est lors ppelé intégrle de f sur [,b] et est noté f(x)dx Ainsi nous vons défini un concept d intégrle 2 à prtir de bornes supérieures ou inférieures, ce qui n est ps très mnipulble. Nous llons l définir en termes de limite. Pour cel on introduit l notion de ps d une subdivision et celle de limite qund le ps tend vers. Définition On ppelle ps d une subdivision σ = (x,x 1,...,x n ) l plus grnde des différences x k x k 1. On note σ = Mx{x k x k 1,1 k n} Proposition Si f est bornée sur [,b], qund le ps de l subdivision σ tend vers, l somme de Drboux inférieure s(σ) pour limite s(f) et l somme de Drboux supérieure S(σ) pour limite S(f). En prticulier, si f est intégrble sur [,b], pour tout ǫ > il existe η > tel que pour toute subdivision σ de ps inférieur à η, on : f(x)dx ǫ s(σ) f(x)dx S(σ) f(x)dx + ǫ Choisissons un point t k dns chcun des intervlles [x k 1,x k ]. L somme n k=1 f(t k) (x k x k 1 ) est comprise entre s(σ) et S(σ). Pr le théorème des gendrmes, elle pour limite l intégrle de f lorsque le ps de l subdivision tend vers. Définition On ppelle somme de Riemnn de f sur [,b] toute somme n f(t k )(x k x k 1 ) k=1 2 L découverte du lien entre ires et dérivée dte de l 2e moitié du XVIIe siècle. Isc NEWTON et Gottfried LEIBNIZ s en disputèrent l pternité, et se firent des procès retentissnts : le prestige de l Angleterre et celui de l Prusse étient en jeu... L querelle ne se clm qu vec l mort de LEIBNIZ en C est LEIBNIZ qui propos l nottion ctuelle. Au 19e siècle, une fois les notions de continuité et de dérivbilité bien précisées, il fllut définir de fçon rigoureuse l intégrle. De nombreuses théories virent le jour. Nous exposons ici celle de Bernhrd RIEMANN ( ) qui dte de 1857 et fut pprofondie en 1875 pr DARBOUX. Mis certines fonctions ne sont ps intégrbles u sens de Riemnn (et Drboux). Une utre théorie été exposée vers 192 pr Henri LEBESGUE ( ), c est cette dernière théorie qui est utilisée ujourd hui pr les mthémticiens, cr mlgré l grnde difficulté de son pprentissge, elle permet de prler d intégrle de l fçon l plus générle possible.

33 4.1. FONCTIONS INTÉGRABLES AU SENS DE RIEMANN 33 où (x,x 1,...,x n ) est une subdivision de [,b] et pour k = 1,...,n, le nombre t k pprtient à [x k 1,x k ]. Théorème Si f est intégrble sur [,b], toute suite (S p ) p N de sommes de Riemnn de f sur [,b], ssociée à une suite (σ p ) de subdivisions dont le ps tend vers, est convergente vec. lim S p = p + f(x)dx Ce théorème explique le point de vue générlement dopté lors du recours à une intégrle : on découpe l intervlle en petits segments de longueur dx (on fit une subdivision), et on considère le produit f(x)dx : entendez f(t k )(x k x k 1 ). Ce théorème permet ussi de trouver l limite de certines sommes. Dns ce cs, l subdivision est en générl régulière ; l différence x k x k 1 est constnte égle à (b )/n, on : x k = + k b n, et on prend t k = x k. On obtient l énoncé simplifié : Théorème (Sommes de Riemnn régulières ) Si f est intégrble sur [,b] l suite (S n ) n 1 où est convergente de limite S n = b n f(x)dx. n k=1 Le cs le plus importnt est =, b = 1 lors, Exemple lim n + n f( + k b n ) (4.1) n f( k 1 n ) = f(x)dx k=1 n k=1 pour limite qund n + le nombre 1 k + n = 1 n 1 n 1 k n + 1 k=1 1 dx = ln 2 x + 1

34 34 4. Intégrtion Exemple n k=1 n k 2 + n 2 = 1 n pour limite qund n + le nombre 1 n k=1 1 x dx = π 4 1 ( k n ) Propriétés de l intégrle de Riemnn Théorème ( Linérité ) Si f et g sont intégrbles sur [,b], lors il en est de même de leur somme f +g et de toute combinison linéire λf + µg. De plus, on : (λf(x) + µg(x))dx = λ f(x)dx + µ g(x) dx Ce résultt s étend à toute combinison linéire d une fmille finie de fonctions intégrbles. Théorème (Formule de Chsles ) Si < b < c, lors f est intégrble sur [,c] si et seulement si f est intégrble sur [,b] et sur [b,c]. Dns ce cs, on : c f(x)dx = f(x)dx + c b f(x)dx Remrque Il est clir que f(x) dx =, supposons que l reltion de Chsles est vrie même si dns le triplet (,b,c) deux nombre entre,b et c soient identiques. Alors dns ce cs ce qui implique f(x)dx + b f(x)dx = f(x)dx = b f(x)dx. f(x)dx = Ceci montre que l formule de Chsles est vrie même si le triplet (,b,c) n est ps ordonné. Théorème (Positivité) 1. Si f est intégrble sur [,b], vec b et pour tout x, f(x), lors f(x)dx

35 4.2. PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Si f et g sont intégrbles sur [,b] vec b et pour tout x, f(x) g(x) lors : f(x)dx g(x) dx. Une conséquence directe, est le théorème de l moyenne, que nous llons l énoncer en retirnt l hypothèse < b : Théorème (Théorème de l moyenne.) 1. Si f est loclement intégrble sur I = [, b], et vérifie pour tout x : m f(x) M, lors on : m 1 b f(x)dx M. 2. D près le théorème des vleur intermédiire, si f est continue et m = inf x [,b] f(x), M = sup f(x) et x [,b] y [m,m], lors il existe x [,b] tel que y = f(x ). Donc il existe x [,b] tel que f(x ) = 1 b f(x)dx. 3. Soient f et g deux fonctions continues sur I. Si g grde un signe constnt sur I, lors il existe un point c I tel que f(x)g(x) dx = f(c) g(x) dx. (4.2) 1 b Le nombre b f(x)dx est ppelé moyenne de f sur [,b]. Une utre conséquence importnte de l positivité est le lien vec l vleur bsolue : Théorème Si f est intégrble sur [,b], où b, lors f est intégrble sur [,b] et on : f(x)dx f(x) dx. On prendr grde dns tous ces théorèmes de l importnce ou non de l hypothèse b.

36 36 4. Intégrtion 4.3 Intégrles de fonctions continues Définition Soit x [, b] et f une fonction continue sur [, b]. On ppelle primitive de f l fonction F(x) défine pr F(x) = x α f(t)dt, lorsque α est un point quelconque de l intervlle [,b]. Théorème Lorsque F(x) est l primitive de l fonction continue f lors F(x) est dérivble et on F (x) = f(x). Preuve. Pour α est un point quelconque de l intervlle [,b], on F(x + h) F(x) h = 1 h { x+h α f(t)dt D près le théorème (2), il existe x h [x,x + h] tel que x α } f(t)dt F(x + h) F(x) h et x h x lorsque h. Donc = 1 h x+h x f(t)dt = hf(x h) h = f(x h ), F(x + h) F(x) lim = f(x). h h Définition Soit f une fonction non nécessirement continue sur I = [,b]. On dit que f est loclement intégrble si pour tout x ],b[ il existe un sous-intervlle J = [α,β] ],b[ contennt x tel que β α f(x) dx < utrement dit l fonction f(x) est intégrble sur l intervlle [α,β]. Exemple L fonction f(x) = 1/x n est ps intégrble sur [,1], en effet l somme de Riemnn régulière (4.1) S n = b n n k=1 f( + k b n n ) = 1 k ; k=1

37 4.4. MÉTHODES DE CALCUL DES INTÉGRALES 37 est divergente. Mis elle est loclement intégrble, cr pour tout x ],1[ il suffit de prendre J = [ x 2, 3x 2 ] et Théorème x 2 x 2 dx x = ln 3x 2 ln x 2 = ln 3. Si f est continue sur un intervlle I, lors f est loclement intégrble sur I, et pour dns I, l ppliction F définie sur I pr F(x) = x f(t)dt est une primitive 3 de f sur I. Inversement, si f est continue et si F est une primitive de f sur I, pour tous et b de I on : f(x)dx = F(b) F(). Théorème Si f est continue sur [,b] où < b, à vleurs dns [,+ [, et vérifie lors, on f(x) = pour tout x de [,b]. f(x)dx =, Preuve. Ce théorème, découle du fit qu une primitive F de f est croissnte (cr F (x) = f(x) ) vec F(b) = F() donc est constnte sur [,b]. S dérivée f est lors nulle sur [,b]. 4.4 Méthodes de clcul des intégrles Dns cette section on discute essentiellement deux méthodes d intégrtion : Chngement de vrible et intégrtion pr prties Méthode de chngement de vrible Soit Q l composéee de deux fonctions P et g, c est-à-dire Q(x) = P[g(x)] pour tout x dns un intervlle [,b]. Supposons que P est une primitive d une fonction f, c est-à-dire P (x) = f(x) ou bien f(x) dx = P(x) + C, (4.3) lors Q (x) = f[g(x)]g (x) et l formule (4.3) devient f[g(x)]g (x) dx = P[g(x)] + C. (4.4) 3 si f est seulement loclement intégrble, l fonction F est continue.

38 38 4. Intégrtion Ainsi en considérnt l intégrle définie sur [,b] l formule (4.4) donne f[g(x)]g (x) dx = P[g(b)] P[g()]. Alors en posnt u = g(x) on obtient le théorème suivnt : Théorème (Théorème de chngement de vrible) Soient I =],b[ et g C 1 (I) et J = g(i) l imge de I pr g. Supposons que f est continue sur J. Alors on f[g(x)]g (x) dx = g(b) g() f(u) du Méthode d intégrtion pr prties Soit h(x) = f(x)g(x), on sit que l dérivée du produit est égle à h (x) = f (x)g(x)+ f(x)g (x) et en intégrnt cette expression on obtient h(x) = f (x)g(x) dx+ f(x)g (x) dx ou bien f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. (4.5) Ainsi en introduisnt les vribles u = f(x) et v = g(x) l formule (4.5) devient u dv = uv v du. (4.6) Les formule (4.5) et (4.6) s ppellent l formule d intégrtion pr prties et pour l intégrle définie on peut l énonncer sous l forme : Théorème (Théorème d intégrtion pr prties) Soient f et g deux fonctions définies sur I =],b[ et de clsse C 1 (I). Alors on f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() f (x)g(x) dx. Exemple Il s git de clculer l intégrle définie π/2 cos n x dx pour tout n N. Cosidérons deux cs. 1er Cs : n pir. Pour n = 2 π/2 cos 2 x dx = 1 2 π/2 (cos 2x + 1) dx = π 4. (4.7)

39 4.4. MÉTHODES DE CALCUL DES INTÉGRALES 39 Nous llons à présent désigner pr f(x) = cos n 1 x et g(x) = sin x. Ainsi π/2 cos n x dx = π/2 } cos n 1 {{ x} cos } {{ x dx} = uv π/2 u dv = cos n 1 xsin x π/2 + (n 1) } {{ } = { π/2 = (n 1) cos n 2 x dx π/2 π/2 π/2 vdu cos n 2 xsin 2 x dx cos n x dx et on trouve une reltion entre l intégrle de cos n x et l intégrle de cos n 2 x, à svoir π/2 cos n x dx = n 1 n π/2 cos n 2 x dx. En réutilisnt l même expression pour n 2,n 4,,4 on obtient π/2 et finlement (4.7) implique cos n x dx = n 1 n 3 n n π/2 } cos 2 x dx (4.8) 2ème Cs : n impir. π/2 cos n x dx = n! 2 ( ) n+3 n. 2!π Pour n = 1 π/2 cos x dx = (sin x π/2 = 1. (4.9) Avec l même méthode employée précédemment on obtient à l plce de (4.8), π/2 et en tennt compte de (4.9), cos n x dx = n 1 n 3 n n π/2 π/2 [( ) ] cos n x dx = 2n 1 n 1 2 2!. n! cos x dx L formule d intégtion pr prties implique le théorème suivnt : Théorème (Le second théorème de l moyenne.) Supposons I = [,b], g C((I) et f C 1 (I) telle qu elle grde un signe constnt sur I. Alors il existe un point c I tel que f(x)g(x) dx = f() c g(x) dx + f(b) c g(x) dx. (4.1)

40 4 4. Intégrtion Preuve. Soit G(x) = x g(t) dt, puisque g est continue sur I, G est dérivble et G (x) = g(x). Ainsi d près l formule d intégtion pr prties f(x)g(x) dx = f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f (x)g(x) dx, (4.11) cr G() =. D près l formule (4.2) du théorème de l vleur moyennne, il existe c I tel que f (x)g(x) dx = G(c) Pr conséquent, (4.11) devient f (x) dx = G(c)[f(b) f()] f(x)g(x) dx = f(b)g(b) G(c)[f(b) f()] = f()g(c) + f(b)[g(b) G(c)]. Ce qui montre (4.1), cr G(c) = c g(x) dx et que G(b) G(c) = c g(x)dx. 4.5 Intégrles impropres Jusqu à présent on vit considéré l définition d une intégrle sur un intervlle lorsque cette intervlle est borné. Nous llons considérer mintennt l intégrle de f sur un intervlle non borné. Pr exemple on considère l fonction f définie sur l intervlle [, [ et on se pose l question Est-ce que l limite lim b f(x) dx existe ou non? Pour répondre à cette question, il fut connitre l primitive de f. En effet si F(x) = x f(t) dt, lors lim b f(x) dx = lim x F(x) et seulement lorsque cette limite I existe on peut noter I = f(x) dx et dns ce cs on dir que l intégrle converge. Cette intégrle s ppelle l intégrle impropre et nous llons donner quelques exemples. Exemple L intégrle impropre 1 x α dx converge si α > 1 et diverge lorsque α 1. Pour montrer ceci, écrivons F(x) = 1 dt t α = x 1 α 1 1 α si α 1, ln x si α = 1. Comme l limite de F(x) existe seulement lorsque α > 1, on obtient le résultt nnoncé.

41 4.6. CALCUL APPROCHÉ D INTÉGRALES 41 Il peut rriver que l intervlle [,b] soit borné mis l intégrle f(x) dx soit divergente. Dns ce cs ussi on dir que l intégrle est impropre Exemple Considérons l intégrle impropre 1 x α dx. Cette intégrle converge si α < 1 et diverge lorsque α 1. En effet, I(ǫ) = 1 ǫ dt t α = 1 ǫ 1 α 1 α si α 1, lnǫ si α = 1. Comme lim ǫ I(ǫ) existe seulement lorsque α < 1, on obtient le résultt nnoncé. Les intégrles impropres f(x) dx, f(x) dx se tritent de l même fçon. f(x) dx = lim f(x) dx et f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. 4.6 Clcul pproché d intégrles Le clcul pproché d intégrles se pose dns deux cs : 1er cs : on connit l fonction f mis s primitive ne s exprime ps à l ide des fonctions connues ou est difficile à clculer directement. 2e cs : on ne connit les vleurs de f(x) qu en quelques points. C est notmment le cs lorsque f représente une grndeur physique, et que f(x) est donné pr des mesures expérimentles. I = On v étudier rpidement 4 méthodes clssiques de clcul pproché d une intégrle f(x)dx où f est une fonction continue sur [,b] : Méthode des rectngles : Il s git d pprocher l intégrle pr l somme de Riemnn R n ssociée à une subdivision régulière, et où on prend t k = x k 1 extrémité guche de l intervlle [x k 1,x k ] : R n = b n 1 f( + k b n n ). On montre que si f est dérivble sur ],b[ vec f (x) M 1 k= (b ) 2 l erreur I R n vérifie : I R n M 1. 2n

42 42 4. Intégrtion Une vrinte de cette méthode consiste à prendre t k = x k extrémité droite de l intervlle. On pose R n = b n f( + k b n n ). k=1 On obtient l même mjortion de l erreur : I R n (b ) 2 M 1. 2n Remrquons qu on : R n = R n + b n (f(b) f()). L méthode des rectngles est surtout intéressnte lorsque l fonction f est monotone sur l intervlle [,b]. Dns ce cs les deux sommes R n et R n obtenues sont en fit des sommes de Drboux et donnent un encdrement de l intégrle I : si f est croissnte on : R n I R n et si f est décroissnte : R n I R n Méthode des trpèzes : Celle-ci consiste simplement à prendre T n = 1 2 (R n + R n ). Elle s interprète en disnt qu on remplce sur chque intervlle [x k 1,x k ] l fonction f pr une fonction ffine ϕ qui coïncide vec f ux extrémités x k 1 et x k. Si f est deux fois dérivble sur ],b[, vec f (x) M 2, on l mjortion : I T n M 2 (b ) 3 12n Méthode du point médin : Il s git simplement de prendre l somme de Riemnn vec t k u milieu de l intervlle [x k 1,x k ], c-à-d de considérer S n = b n f( + (2k 1) b n 2n ). k=1 Si f est deux fois dérivble sur ],b[ vec f (x) M 2, on : I S n M 2 (b ) 3 24n Méthode de Simpson : On combine les méthodes des trpèzes et du point médin en considérnt : S n = 1 3 (2S n + T n ) d où l formule où x k = + k b n et t k = + (2k 1) b ( 2n : f() S n = b + 2f(t 1 ) + f(x 1 ) + 2f(t 2 ) + f(x 2 ) f(x n 1 ) + 2f(t n ) + f(b) 3n 2 2 Si f est 4 fois dérivble sur ],b[ vec f (4) (x) M 4, on l mjortion : I S n (b ) 5 M n 4. Pour une fonction f quelconque, l méthode de Simpson s interprète en disnt que sur chque segment [x k 1,x k ], on remplce l fonction f pr l fonction polynôme ϕ de degré 2 qui coïncide vec f ux extrémités x k 1, x k et u milieu 1 2 (x k 1 + x k ) de l intervlle. Cette méthode de Simpson, est utilisée pr les clculettes (ou logiciels) pour le clcul pproché d intégrles. Ce qui donne son efficcité n est ps l vleur de l constnte 288, mis le fit que c est une méthode en 1/n 4 : utrement dit, dès qu on double n on divise pr 16 l mjortion de l erreur. ).