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1 Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme Continuité pr morceux Fonctions en escliers Fonctions continues pr morceux Intégrle des fonctions en escliers Intégrle sur un segment Définition de l intégle sur un segment Propriétés de l intégrle Extension de l définition et nouvelle nottion Intégrle d une fonction continue de signe constnt Sommes de Riemnn de f sur [, b] Méthode des trpèzes Intégrle et primitives Dérivée de l fonction x x 0 f(t) dt Méthodes d intégrtion Clcul de primitives Formules de Tylor

2 20.1 Continuité uniforme Chpitre 20 : Intégrtion 20.1 Continuité uniforme Dns tout le chpitre I est un intervlle de R non vide et non réduit à un point. L lettre K désigne indifféremment le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. On rppelle que F(I, K) est l ensemble des fonctions définies sur I et à vleurs dns K. Définition (uniforme continuité) Soit f un élément de F(I, K). On dit que f est uniformément continue sur I si : ε > 0, δ > 0, (x, y) I I, ( x y δ f(x) f(y) ε ). L définition précédente doit se lire de l mnière suivnte : «Pour tout réel strictement positif ε (sous-entendu : ussi petit soit-il), il existe un réel strictement positif δ (dépendnt priori de ε) tel que, pour tous éléments x et y de I distnts de moins de δ, lors leurs imges f(x) et f(y) sont distntes de moins de ε». Pour montrer qu une fonction n est ps uniformément continue Soit f : I K une fonction dont on souhite prouver qu elle n est ps uniformément continue sur I. Si on prend l négtion de l définition, on doit prouver l existence de ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, on peut trouver x et y dns I tels que x y < δ mis cependnt tels que f(x) f(y) ε. Il revient u même (et il est plus simple) de trouver deux suites (x n ) et (y n ) de l intervlle I telles que lim (y n x n ) = 0, mis telles qu on n it ps lim n n (f(y n ) f(x n )) = 0 Continuité et continuité uniforme Rppelons l définition de l continuité de f en un point de l intervlle I : ε > 0, δ > 0, x I, ( x δ f(x) f() ε ) Dns cette définition, le réel δ dépend priori de ε et du point. L continuité uniforme exprime l existence d un réel δ ne dépendnt que de ε, et donc ps du point. Si f est uniformément continue sur l intervlle I, lors elle est continue sur I. Mis l réciproque est fusse, comme le montrent les deux exemples suivnts : l fonction f définie sur ]0, 1] pr f(x) = 1 x : considérer x n = 1 n et y n = 1 n + 1. l fonction f définie sur R pr f(x) = cos(x 2 ) : considérer x n = 2nπ et y n = (2n + 1)π. L uniforme continuité est une notion globle, et non locle Qund on dit qu une fonction est continue sur un intervlle I, c est pour exprimer qu elle est continue en chcun des points de I. En ce sens, on dit que l continuité est une notion locle. En revnche, l uniforme continuité d une fonction f n de sens que reltivement à un intervlle I. Cel ne signifie donc rien d énoncer que f est uniformément continue en un point! On exprime cel en disnt que l uniforme continuité est une notion globle. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 496

3 20.2 Continuité pr morceux Chpitre 20 : Intégrtion Le théorème de Heine Le théorème suivnt dit que «l continuité sur un segment implique l continuité uniforme». Proposition (héorème de Heine) Soit f une fonction continue sur un segment [, b] de R, à vleurs dns K. Alors l fonction f est uniformément continue sur [, b] Continuité pr morceux Dns ce chpitre, [, b] désigne un segment de R, vec < b Fonctions en escliers Définition (subdivisions d un segment) On ppelle subdivision de [, b] toute suite finie (x 0 = < x 1 <... < x n 1 < x n = b). L ensemble { = x 0,..., x k,..., x n = b} est ppelé le support de l subdivision. L quntité h = mx(x k+1 x k ) est ppelée le ps de l subdivision. Finesse d une subdivision Soit σ et σ deux subdivisions de [, b]. On dit que σ est plus fine que σ si le support de σ contient celui de σ. L subdivision notée σ σ et dont le support est l réunion de ceux de σ et de σ est plus fine que chcune des subdivisions σ et σ. Réciproquement si une subdivision de [, b] est plus fine que σ et σ, lors elle est plus fine que σ σ. Définition (fonctions en escliers sur un segment) Soit ϕ une fonction définie sur [, b], à vleurs dns K. On dit que ϕ est en escliers sur le segment [, b] s il existe une subdivision σ = (x k ) 0 k n de [, b] et s il existe n sclires λ 0, λ 1,..., λ n 1 tels que : k = 0,..., n 1, t ]x k, x k+1 [, ϕ(t) = λ k. On dit lors que l subdivision σ est dptée (ou encore subordonnée) à l fonction ϕ. On note E([, b], K) l ensemble des fonctions en escliers sur [, b] et à vleurs dns K. L figure ci-contre représente une fonction en escliers ϕ sur le segment [, b], à vleurs réelles. On n ps représenté les vleurs de ϕ ux points x k, cr ces vleurs sont sns importnce. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 497

4 20.2 Continuité pr morceux Chpitre 20 : Intégrtion Remrques et propriétés Si σ est une subdivision dptée à ϕ, toute subdivision plus fine que σ est dptée à ϕ. Les fonctions constntes sur [, b] sont des cs prticuliers de fonctions en escliers. Si ϕ et ψ sont en escliers sur [, b], lors : (α, β) K 2, αϕ + βψ est en escliers sur [, b]. Plus générlement, toute combinison linéire de fonctions en escliers est encore en escliers. De même le produit ϕψ est en escliers sur [, b]. Définition (fonctions en escliers sur un intervlle quelconque) Soit I un intervlle de R d intérieur non vide. Soit ϕ une fonction de I dns K. On dit que ϕ est en escliers sur I si ϕ est en escliers sur tout segment de I. Pr exemple, l ppliction «prtie entière» x x est en escliers sur R Fonctions continues pr morceux Définition (fonction continue pr morceux sur un segment) Soit f une fonction définie sur le segment [, b], à vleurs dns K. On dit que f est continue pr morceux sur [, b] s il existe une subdivision σ = (x k ) 0 k n de [, b] (dite dptée à f, ou encore subordonnée à f) telle que, pour tout k de {0,..., n 1} : l restriction f k de f à chque intervlle ouvert ]x k, x k+1 [ est continue. cette restriction est prolongeble pr continuité ux points x k et x k+1. On note C m ([, b], K) l ensemble des fonctions continues pr morceux sur [, b] et à vleurs dns K. Remrques et propriétés Si σ est une subdivision dptée à f, toute subdivision plus fine que σ est encore dptée à f. Dire que f est dns C m ([, b], K), c est dire qu elle n qu un nombre fini de discontinuités, toutes de première espèce : en chque discontinuité, il y une limite à guche et une limite à droite finies. Toute fonction continue pr morceux sur [, b] est bornée sur [, b]. Définition (fonctions continues pr morceux sur un intervlle quelconque) Soit I un intervlle de R d intérieur non vide. Soit f une fonction de I dns K. On dit que f est continue pr morceux sur I si elle l est sur tout segment de I. On note C m (I, K) l ensemble des fonctions continues pr morceux sur [, b] et à vleurs dns K. Toute fonction continue sur I est continue pr morceux sur I (il y un seul «morceu»!). Toute fonction en escliers sur I est continue pr morceux sur I. Opértions sur les fonctions continues pr morceux Soit f et g dns C m (I, K). Pour tous α, β de K, αf + βg est dns C m (I, K). De même, l fonction fg est continue pr morceux sur I. Cs des fonctions à vleurs complexes Soit f : I C une fonction à vleurs complexes. Soit u = Re (f) et v = Im (f). L fonction f est dns C m (I, C) si et seulement si u et v sont dns C m (I, R). Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 498

5 20.2 Continuité pr morceux Chpitre 20 : Intégrtion Intégrle des fonctions en escliers Définition Soit ϕ : [, b] K une fonction en escliers et σ = (x k ) 0 k n une subdivision dptée. On suppose que : k {0,..., n 1}, t ]x k, x k+1 [, ϕ(t) = λ k. n 1 Le réel (x k+1 x k )λ k est ppelé intégrle de ϕ et est noté ϕ. Interpréttion grphique (cs réel) : Comme le montre l figure ci-contre, l intégrle de ϕ est égle à l somme des «ires lgébriques» (comptées positivement ou négtivement selon le signe des réels λ k ) des rectngles définis pr le grphe de ϕ. L intégrle de ϕ ne dépend ps de l subdivision σ choisie (dns l mesure bien sûr où elle est dptée à ϕ). Linérité de l intégrle Soit ϕ, ψ deux fonctions en escliers sur [, b], et soit α, β deux sclires. Alors on l églité (αϕ + βψ) = α ϕ + β ψ. L fonction qui à ϕ ssocie Positivité et croissnce ϕ est donc une forme linéire sur E([, b], K). On rppelle que [, b] désigne un segment de R, vec < b. Soit ϕ et ψ dns E([, b], R). Si ϕ 0 lors ϕ 0. Si ϕ ψ lors : Si ϕ E([, b], K), lors ϕ : t ϕ(t) E([, b], R) et ϕ ϕ. Si ϕ est en escliers de [, b] dns R, lors ϕ (b ) sup ϕ(t). t Remrques et propriétés Si ϕ est constnte et égle à λ sur [, b], lors ϕ = (b )λ. Soit ϕ une fonction nulle sur [, b], suf peut-être en un nombre fini de points. Alors ϕ est en escliers sur [, b] et ϕ = 0. ϕ Soit ϕ en escliers sur [, b], et soit ψ ne différnt de ϕ qu en un nombre fini de points. Alors ψ est en escliers sur [, b] et ψ = ϕ. Soit ϕ un élément de E([, b], K), et soit c un élément de ], b[. Alors les restrictions de ϕ à [, c] et [c, b] sont en escliers et : ϕ = [,c] ϕ + [c,b] ψ. ϕ. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 499

6 20.3 Intégrle sur un segment Chpitre 20 : Intégrtion 20.3 Intégrle sur un segment Définition de l intégle sur un segment Proposition (pproximtion pr des fonctions en escliers) Soit f : [, b] R une fonction continue pr morceux, à vleurs réelles. Pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en escliers ϕ et ψ sur [, b] telles que : pour tout x de [, b], ϕ(x) f(x) ψ(x). pour tout x de [, b], 0 ψ(x) ϕ(x) ε. Proposition (intégrle des fonctions continues pr morceux à vleurs réelles) Soit f : [, b] R une fonction continue pr morceux à vleurs réelles. On considère les deux quntités : d une prt I (f) = sup ϕ, borne supérieure des intégrles des ϕ en escliers telles que ϕ f. ϕ f d utre prt I + (f) = inf ψ, borne inférieure des intégrles des ψ en escliers telles que ψ f. ψ f Alors I (f) et I + (f) sont des réels égux. Leur vleur commune est ppelée intégrle de f sur [, b], et elle est notée Si f est en escliers, donc continue pr morceux, les deux significtions de Interpréttion en terme d ire Soit f : [, b] R une fonction continue pr morceux. L intégrle de f sur [, b] représente l ire lgébrique du domine situé entre l courbe y = f(x) et l xe Ox, cette «ire» étnt comptée positivement sur les intervlles où f 0 et négtivement sur les intervlles où f 0. Numériquement, le résultt est exprimé en unités d ire (u). f. f coïncident. Extension ux fonctions à vleurs complexes Soit f : I C une fonction à vleurs complexes, continue pr morceux. Soit u = Re (f) et v = Im (f). On pose f = u + i v. Invrince de l intégrle pr trnsltion Soit f : [, b] K, continue pr morceux. Soit α un nombre réel. On définit l fonction g de J = [ + α, b + α] dns K pr g(t) = f(t α). Alors g est continue pr morceux sur J et g = f. J I Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 500

7 20.3 Intégrle sur un segment Chpitre 20 : Intégrtion Propriétés de l intégrle Pour les fonctions à vleurs réelles, les propriétés de l intégrle découlent des propriétés nlogues sur E([, b], R), pr pssge à borne supérieure. Pour les fonctions à vleurs complexes, elles découlent imméditement de l définition f = Re (f) + i Im (f). Proposition (linérité de l intégrle) Soit f et g dns C m ([, b], K), et soit α, β dns K. Alors (αf + βg) = α Ainsi l fonction qui à f ssocie f est une forme linéire sur C m ([, b], K). f + β g. Proposition (positivité et croissnce, pour les fonctions à vleurs réelles) Soit f et g deux fonctions continues pr morceux sur [, b], à vleurs réelles : si f est positive ou nulle sur [, b], lors f 0 (positivité de l intégrle). si f g sur [, b], lors f g (croissnce de l intégrle). Proposition (inéglité de l moyenne) Soit f : [, b] K, continue pr morceux. Alors f f (b ) sup f(x). Définition (vleur moyenne d une fonction) 1 Soit f dns C m ([, b], K). L quntité f est ppelée vleur moyenne de f sur [, b]. b Si f est à vleurs réelles, on inf f 1 b f sup f. En prticulier, si f : [, b] R est continue, il existe c dns [, b] tel que L vleur moyenne λ de f vérifie l églité f = λ. f = (b )f(c). C est donc le sclire pr lequel on peut remplcer f sns chnger son intégrle sur [, b]. Sur l figure ci-dessous (où f est à vleurs réelles!) les deux ires hchurées sont donc égles. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 501

8 20.3 Intégrle sur un segment Chpitre 20 : Intégrtion Proposition (reltion de Chsles) Soit f : [, b] K une fonction continue pr morceux, et soit c un point de ], b[. Alors f est continue pr morceux sur [, c] et sur [c, b], et on : f = f + [,c] [c,b] f Extension de l définition et nouvelle nottion Dns cette section, I désigne un intervlle de R, d intérieur non vide. Définition (nottion de l intégrle entre deux points) Soit f : I K, continue pr morceux. Soit, b deux éléments quelconques de I. b b Si < b, on note f = f ; si > b, on note f = f ; si = b, on note Si f est continue pr morceux sur I, on donc défini Il est clir que b Plutôt que de noter f = b b f pour tous et b de I. f, on note souvent b b [b,] b f pour deux points quelconques de I. f(t) dt (où t est une vrible muette). Cette nottion s vère prtique dns le clcul des intégrles pr chngement de vrible. Attention à l position des bornes On est pssé de l nottion f (vec < b) à l nottion b f(t) dt (, b quelconques). Avec cette nouvelle nottion, les propriétés reltives à l linérité restent vlbles. f = 0. Mis ttention : les propriétés reltives à l positivité et à l croissnce (dns le cs de fonctions à vleurs réelles, bien sûr) dépendent de l position respective des bornes de l intégrle (le mieux est de vérifier que ces bornes sont «dns le bon sens») Pr exemple, l inéglité de l moyenne devient : (, b) I 2 b, f b sup f. Reltion de Chsles Soit f : I K, continue pr morceux, et soit, b, c trois points quelconques de I. On toujours l reltion de Chsles : b f = c f + On peut générliser à une suite finie c 1,..., c n de points de I : b c f. cn Utilistion d une trnsltion, de l prité, de l périodicité L invrince de l intégrle pr trnsltion s écrit : Si f est pire, lors f(t) dt = 2 Si f est T -périodique, lors on 0 b+kt +kt b f(t) dt = c 1 f = b+α +α f(t) dt. Si f est impire, lors f = b f (vec k dns Z) et n 1 k=1 ck+1 c k f. f(t α) dt. +T f(t) dt = 0. f = b+t b f. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 502

9 20.3 Intégrle sur un segment Chpitre 20 : Intégrtion Intégrle d une fonction continue de signe constnt Proposition (intégrle d une fonction continue de signe constnt) Soit f : [, b] R une fonction continue, grdnt un signe constnt sur [, b] (vec b). Alors on l équivlence : f(t) dt = 0 t [, b], f(t) = 0. Conséquences immédites : Si f : [, b] R + est continue, vec < b, et si f n est ps identiquement nulle, lors Si f, g sont continues sur [, b], vec < b, et si f g sur [, b] mis f g, lors Proposition (inéglité de Cuchy-Schwrz) ( b Soit f, g : [, b] R, continues pr morceux. Alors on f < f > 0. ) 2 b b f(t)g(t) dt f 2 (t) dt g 2 (t) dt. Qund f, g sont continues, il y églité si et seulement si f et g sont proportionnelles. NB : l inéglité de Cuchy-Schwrz est vlble quelle que soit l position reltive de et b. g Sommes de Riemnn de f sur [, b] Définition (sommes de Riemnn d une fonction continue sur un segment) Soit f : [, b] K une fonction continue. Soit n un entier strictement positif. L quntité R n (f) = b n 1 ( f + k b ) est ppelée somme de Riemnn d indice n de f sur [, b]. n n Avec ces nottions, on lim R n(f) = n + b f(t) dt. n 1 n n Dns ce résultt, on peut remplcer pr ou pr : cel ne chnge rien. k=1 Interpréttion géométrique Si f est à vleurs réelles, l quntité R n (f) est l somme des ires lgébriques des rectngles de bse [x k, x k+1 ] de huteur f(x k ). Il est «clir» que lorsque n tend vers +, l somme R n (f) tend vers l ire lgébrique comprise entre l xe Ox et l courbe y = f(x), c est-à-dire vers l intégrle de f de à b. Utilistion pour clculer des limites de suites L proposition précédente permet de clculer l limite d une suite dont le terme générl u n peut être interprété comme une somme de Riemnn. Il est lors recommndé de comprer u n vec l forme générle d une somme de Riemnn, pour éviter toute erreur sur le segment [, b] et sur l fonction f. Posons pr exemple : u n = 1 n n n. On constte que u n = 1 n ( f + k b ), vec = 0, b = 1 et f(x) = 1 n n 1 + x. k=1 On en déduit lim n u n = 1 b b f(x) dx = 1 0 dx 1 + x = ln 2. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 503

10 20.4 Intégrle et primitives Chpitre 20 : Intégrtion Méthode des trpèzes Proposition (formule à un seul trpèze) Soit f : [α, β] K une fonction de clsse C 2. Soit M 2 (f) = sup f. Alors on l mjortion [α,β] β f(t) dt Sur le schém ci-contre, on voit comment on pproche l intégrle de f sur [α, β] pr celle d une fonction ffine ϕ. Grphiquement, on pproche l ire du domine situé entre l xe Ox et l courbe y = f(x) pr celle du trpèze construit sur les points (α, 0), (β, 0), (α, f(α)), (β, f(β)). L proposition précédente indique un mjornt de l erreur commise dns cette pproximtion. Proposition (formule à n trpèzes) f(α) + f(β) 2 (β α) (β α)3 M 2 (f). 12 Soit f : [, b] K une fonction de clsse C 2. Soit M 2 (f) = sup f. Soit n un entier strictement positif. Pour tout k de {0, 1,..., n 1}, on pose x k = + k b Alors on l mjortion b f(t) dt b 2n n 1 ( f(xk ) + f(x k+1 ) ) (b )3 M 12n 2 2 (f). L «méthode des trpèzes» consiste à décomposer [, b] en n sous-segments égux [x k, x k+1 ] et à écrire xk+1 f(t) dt f(x k) + f(x k+1 ) xk+1 (x k+1 x k ) c est-à-dire f(t) dt b ( f(xk ) + f(x k+1 ) ) x k 2 2n Après sommtion, on en déduit l pproximtion suivnte de l intégrle de f sur [, b] : b f(t) dt I n (f) vec I n (f) = b n 1 ( f(xk ) + f(x k+1 ) ) = b ( f() + f(b) + 2n n 2 Si f : [, b] R est concve lors I n (f) b 20.4 Intégrle et primitives Dérivée de l fonction x x k f(t) dt, et si f est convexe lors x 0 f(t) dt Pour les définitions reltives ux primitives, on se reporter à l section Définition (dérivée d une intégrle fonction de s borne supérieure) Soit f : I K une fonction continue. Soit, b deux éléments de I. Alors l fonction F : x F (x) = x b n 2 k=1 n. ) f(x k ) f(t) dt I n (f). f(t) dt est l primitive de f sur I qui s nnule u point. En prticulier, toute fonction continue sur un intervlle y possède des primitives. ( x Le résultt précédent peut s écrire, de fçon «décontrctée» : f(t) dt) = f(x). Il exprime que l intégrtion est en quelque sorte l opértion inverse de l dérivtion. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 504

11 20.4 Intégrle et primitives Chpitre 20 : Intégrtion Proposition (expression d une intégrle à l ide d une primitive quelconque) Soit f : I K une ppliction continue. Pour toute primitive F de f, on : (, b) I 2, b f(t) dt = [ F ] b = F (b) F () Méthodes d intégrtion Proposition (intégrtion pr prties) Soit f et g deux fonctions de clsse C 1 sur un intervlle I, à vleurs dns K. b Pour tous, b dns l intervlle I, on : f(x)g (x) dx = [ f(x)g(x) ] b b f (x)g(x) dx. Remrque : le thème de l intégrtion pr prties été bordé dns l section Proposition (intégrtions pr prties répétées) Soit f et g deux fonctions de clsse C n sur le segment [, b], à vleurs dns K. On lors l églité : Si n = 2, on obtient : b b De même, si n = 3, on obtient : f(t)g (n) (t) dt = f(t)g (t) dt = b [ n 1 ( 1) k f (k) (t)g (n 1 k) (t) [ ] t=b f(t)g (t) f (t)g(t) f(t)g (t) dt = Proposition (intégrtion pr chngement de vrible) Soit f : I K une fonction continue. Soit ϕ : J R, de clsse C 1 sur J, telle que ϕ(j) I. Alors, pour tous, b de J, on b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = t= + ] t=b b t= b + ( 1) n f (n) (t)g(t) dt. f (t)g(t) dt. [ f(t)g (t) f (t)g (t)+f (t)g(t) d c ] t=b t= f(x) dx, où c = ϕ(), et d = ϕ(b). b f (t)g(t) dt. Remrque : le thème de l intégrtion pr chngement de vrible été bordé dns l section Utilistion d un chngement de vrible ffine Il est possible de trnsformer une intégrle sur [, b] en une intégrle sur [0, 1] ou [ 1, 1]. Il suffit pour cel de poser x = + t(b ) : qund t prcourt [0, 1], x prcourt [, b]. On obtient lors : b f(x) dx = (b ) De même, en posnt x = + b 2 On en déduit l églité : b + t b f(x) dx = b Clcul de primitives g(t) dt, vec g(t) = f( + t(b )). : qund t prcourt [ 1, 1], x prcourt [, b]. 1 1 ( + b h(t) dt, vec h(t) = f 2 + t b ). 2 Les méthodes de primitivtion ont été vues dns le chpitre «Techniques d nlyse (intégrtion)». On se reporter notmment à l section 5.3 Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 505

12 20.5 Formules de Tylor Chpitre 20 : Intégrtion 20.5 Formules de Tylor Proposition (formule de Tylor vec reste intégrl, u point, à l ordre n) Soit f : [, b] K une ppliction de clsse C n+1. R { }} n { n (b ) k b Alors on l églité : f(b) = f (k) (b t) n () + f (n+1) (t) dt. k! n! L quntité R n est ppelée reste intégrl de l formule de Tylor de f à l ordre n en. Proposition (inéglité de Tylor-Lgrnge pour une fonction de clsse C n+1 ) Soit f : I K une ppliction de clsse C n+1. Soit et b deux points de I. Alors on l mjortion : n f(b) (b ) k f (k) b n+1 () M, où M = sup f (n+1). k! (n + 1)! n En posnt h = b, cel s écrit : f( + h) h k k! f (k) () M h n+1, où M = sup (n + 1)! [,+h] f (n+1). Cs prticuliers n = 0 et n = 1 Pour n = 0, c est l inéglité des ccroissements finis : f(b) f() M 1 b où M 1 = sup f. Pour n = 1, on trouve : f(b) f() (b )f (b ) 2 () M 2 où M 2 = sup f. 2! Exemples d utilistion On pplique ici l inéglité de Tylor-Lgrnge à t sin(t) et t cos(t) sur [0, x] : sin x x x 3 x3 sin x x + 3! 3! x 5 x3 sin x x + 5! 3! x5 5! x 7 7! cos x 1 x2 x2 cos x 1 + 2! 2! x4 x2 cos x 1 + 4! 2! x4 4! x6 6! Proposition (formule de Tylor-Young pour une fonction C n u voisinge d un point) Soit f : I K. On suppose que f est de clsse C n u voisinge d un point de I. n f (k) () Alors, u voisinge de, on l églité f(x) = (x ) k + o((x ) n ) k! En prticulier, si f est de clsse C n u voisinge de 0, on le développement : n f (k) (0) f(x) = x k + o(x n ) = f(0) + f (0)x + f (0) x f (n) (0) x n + o(x n ). k! 2! n! Différence de nture entre les formules de Tylor L formule de Tylor-Young n qu un rôle «locl». Elle permet d obtenir une pproximtion de f (d utnt meilleure que n est élevé) u voisinge immédit d un point donné de I. L intérêt essentiel de l formule de Tylor-Young est donc qu elle fournit un développement limité d une fonction en un point (on se reporter u chpitre «Anlyse symptotique», notmment 9.4.3). L formule de Tylor vec reste intégrl, et l inéglité de Tylor-Lgrnge, ont une nture «globle» : elles nécessitent des hypothèses sur [, b], et elles fournissent un résultt lui ussi vlble sur [, b]. Mthémtiques en MPSI Jen-Michel Ferrrd mthprep.fr Pge 506

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