Exercices. de mathématiques de Math Spé. Archive complète. Lycée Henri-Poincaré, Nancy. Walter Appel. 58 rue Notre-Dame des Anges 54000Nancy

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1 Eercices de mathématiques de Math Spé Archive complète Voici quelques 35 eercices que j utilise das mes eseigemets e prépa U certai ombre d etre eu vieet directemet des orau de cocours ; sot alors otés le om de l école aisi que la filière et l aée de la plache Ils sot plus ou mois regroupés par aées au sei de chaque fiche Les correctios sot doées sas aucue garatie : tout le mode fait des erreurs, et je suis très loi de faire eceptio à la règle Vu le ombre d erreurs que je retrouve ecore régulièremet Par coséquet, toute remarque est la bieveue : o peut m écrire à walterappel@prepasorg pour toute suggestio, rapport d erreur etc J espère que ces eercices pourrot dépaer des collègues (otammet tous ceu qui se retrouvet avec ue ouvelle classe et qui ot besoi rapidemet de ombreu eercices) J ai égalemet pas mal de feuilles de TD que je suis prêt à partager avec qui veut (mais tout est pas ecore prêt pour être mis sur le ouèbe, doc il suffit de m écrire) Lycée Heri-Poicaré, Nacy Walter Appel 58 rue Notre-Dame des Ages 54Nacy Note importate : il va sas dire qu il y a pas de droit associé à ces eercices, que tout le mode e profite sas e tirer profit (!), mais je ties à préciser que beaucoup d eercices ot été glaés çà et là chez des collègues (otammet M Quercia, N Fraçois), chez mes acies professeurs de Taupe (D Suratteau et R Lachau), das des bouquis, etc U bo ombre de correctios sot dues à Éric Ricard, Marc Rezzouk et d autres collègues (Les erreurs e revache e sot dues qu à moi) Tout ça reste doc bie etedu à l usage privé des collègues et de leurs classes

2 Première partie Algèbre

3 vocabulaire esembliste, applicatios 6 ENS Motrer que f : [Divers/esembleeote/alg:5] N N (r, s) r (s + ) Vocabulaire esembliste, applicatios est ue bijectio ENS Soit E u esemble quelcoque O ordoe P(E) par l iclusio ) Est-ce u ordre total? ) Eiste-t-il u plus grad élémet? U plus petit élémet? Utiliser la parité 3) Soiet A, B E Trouver la bore supérieure et la bore iférieure de A = {A, B} P(E) [Divers/esembleeote/alg:6] Pas ordre total sup A = A Bet if A = A B ENS3 E est u esemble fii Eiste-t-il ue ijectio (resp ue surjectio, resp ue bijectio) de E das P(E)? Même questio si E est u esemble ifii Idicatio : Soit φ ue applicatio de E das P(E) O pose A = { E ; / φ()} À l aide de l esemble A, motrer que φ e saurait être surjective [Divers/esembleeote/alg:7] Si φ : E P(E), o pose A = { E ; / φ()}, il a clairemet pas d atécédet ENS4 E état u esemble, o désige par F(E, E) l esemble des applicatios de E das E Motrer que ( F(E, E), ) est u mooïde (uitaire) Quels sot les élémets symétrisables? Quels sot les élémets simplifiables à gauche (c est-à-dire les élémets g F(E, E) vérifiat g f = g f f = f pour tout f, f F(E, E))? Quels sot ceu qui sot simplifiables à droite? [Divers/esembleeote/alg:8] Symétrisables: les bijectios Simplifiable à gauche: les ijectios Simplifiables à droite: les surjectios ENS5 Soiet E, F, des esembles, et f : E F ue applicatio de E das F Soiet A, B des parties de E ) Motrer que f(b) f(a) f(b A) ) A-t-o égalité? 3) Motrer que l égalité a lieu si f est ijective 4) E déduire que, si f est ue bijectio de E sur F, o a, pour tout partie A de E : f( E A) = F f(a) 5) Motrer que, si M F et N F, f (M N) = f (M) f (N) 6) Motrer que, si N F, o a f ( F N) = E f (N) [Divers/esembleeote/alg:9] ENS6 Soiet E et F des esembles, f ue applicatio de E das F Motrer qu il y a équivalece etre les éocés : (a) f est ijective ; (b) pour tout couple (X, Y) P(E), f(x Y) = f(x) f(y) (c) pour tout esemble X et pour tout couple (φ, ψ) d applicatios de X das E, o a [Divers/esembleeote/alg:] ENS7 Soiet E et F deu esembles, et f : E F ue applicatio (f φ = f ψ) = φ = ψ ) Soit A E Motrer que, si f est ijective, alors f A : A f(a) est bijective ) Soit B F Motrer que, si f est ijective, alors e posat A = f (B), la restrictio f A : A B est bijective [Divers/esembleeote/alg:3] ENS8 Soiet E, F, G trois esembles, f : E F et g : E G deu applicatios O cosidère h: E F G ) Motrer que si f ou g est ijective, alors h est ijective ( f(), g() ) ) O suppose f et g surjectives ; h est-elle écessairemet surjective? [Divers/esembleeote/alg:4] ENS9 Soiet E, F, G trois esembles, f : E F et g : F G deu applicatios ) Motrer que si g f est ijective et f surjective, alors g est ijective ) Motrer que si g f est surjective et g ijective, alors f est surjective [Divers/esembleeote/alg:5] ) O suppose g f ijective et f surjective Soiet, y F tels que g() = g(y) Il eiste u, v E tels que = f(u) et y = f(v), doc g f(u) = g f(v)doc u = v etdoc = y Doc g estijective ENS Soiet A et B deu esembles Motrer que B A A B = B [Divers/esembleeote/alg:3] (b) ) Osuppose g f surjectiveet g ijective Soit y FAlors g(y) G, et g f état surjective, il eiste E tel que g f() = g(y) Par ijectivité de g, y = f() ENS Soiet E u esemble et f : E E ue applicatio telle que f f f = f Motrer que f est ijective si et seulemet si f est surjective [Divers/esembleeote/alg:3] O suppose f ijective Soit EAlors f() = f f f();parijectivité, oa=f f(), doc Im f Doc f est surjective O suppose f surjective Soiet, y Etels que f() = f(y) Parsurjectovité de f,il eiste tel que = f( ) De même, il eiste tel que = f( ) O fait de même pour y Alors ENS Soiet A et B deu parties o vide d u esemble E O cosidère l applicatio f : P(E) P(A) P(B) ) Motrer que f est ijective si et seulemet si A B = E ) Motrer que f est surjective si et seulemet si A B = 3) Das le cas où f est bijective, détermier f [Divers/esembleeote/alg:33] f f f( ) = f f f(y ) doc f( ) = f(y ) cequimotreque = y et,parsuite = y Aisi, f est ijective X (X A, X B) ENS3 Soiet A et B deu esembles O suppose qu il eiste f : A B ijective Motrer qu il eiste ue surjectio de B sur A Réciproque? [Divers/esembleeote/alg:36] Opose C = f(a)alors e f : A Cestuebijectio Ochoisitmaiteat a Aetopose h: B A ( a si / C ef () si C Pour la réciproque, l aiome du choi est hélàs écessaire mardi 7 ovembre 6 Walter Appel 5 Divers/esembleeote Divers/esembleeote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

4 7 vocabulaire esembliste, applicatios vocabulaire esembliste, applicatios 8 ENS4 Soit f : R R ue foctio Écrire, avec des quatificateurs : ) lim + f() = ; ) la égatio de la phrase précédete ; 3) f est cotiue ; 4) f est pas cotiue [Divers/esembleeote/alg:49] ENS5 Soit (u ) N ue suite umérique Écrire, avec des quatificateurs : ) lim u = ; ) la égatio de la phrase précédete ; 3) (u ) N coverge ; 4) (u ) N diverge [Divers/esembleeote/alg:49b] ENS6 (Upeudelogique) O vous présete quatre cartes imprimées sur les deu faces O sait que chaque carte présete ue lettre sur ue face et u chiffre sur l autre face Posées sur la table, les quatre cartes présetet les symboles suivats : A B 3 Par ailleurs, o vous précise que la règle d impressio des cartes est la suivate : «Si ue face présete ue voyelle, alors l autre face présete u chiffre pair» Quelle(s) carte(s) faut-il retourer pour vérifier la règle? [Divers/esembleeote/alg:5] Il faut retourer«a» et«3» ENS7 (b) Soiet E, F, G et H quatre esemble, et f : E F, g : F G et h : G H trois applicatios O suppose que g f et h g sot bijectives Motrer que f, g et g sot bijectives [Divers/esembleeote/alg:5] ENS8 Soit E u esemble et p : E E ue applicatio telle que p p = p Motrer qu il y a équivalece etre les éocés : (a) f ijective ; (b) f surjective ; (c) f bijective [Divers/esembleeote/div:67] (a) (c) Supposos p est ijective Soit y E, alors p(y) = p`p(y) doc, par ijectivité, y = p(y) Aisi, p est surjective, doc bijective (b) (c)supposos psurjective Soiet, y Etelsque p() = p(y) ENS9 Soit E u esemble, soit A P(E) O ote Alors il eiste u, v E tels que = p(u) et y = p(v), ce qui motre p (u) = p (v)doc p(u) = p(v)doc = y Aisi, p est ijective, doc bijective A = { B P(E) ; B A } A + = { C P(E) ; A C } et A = A A + O cosidère l applicatio f : P(E) A défiie par Vérifier que f est ue bijectio X P(E) f(x) = (X A, X A) [Divers/esembleeote/div:68] ENS Soit E u esemble Pour toute partie A de E, o défiit les applicatios φ A : P(E) P(E) Motrer qu il y a équivalece etre les éocés : (a) φ A ijective ; (b) φ A surjective ; (c) A = E X X A Proposer u éocé similaire pour l applicatio ψ [Divers/esembleeote/div:69] ilyaéquivaleceetreleséocés: (a) ψ A ijective; et ψ A : P(E) P(E) (b) ψ A surjective; (c) A = X X A ENS Soiet E et F deu esembles Soit f : E F ue applicatio O défiit l applicatio f : P(F) P(E) B f (B) Motrer que f est ijective si et seulemet si f surjective, et et de même, que f est surjective si et seulemet si f ijective [Divers/esembleeote/div:7] ENS (b) Remplir les tables de vérités des opérateurs logiques or (disjoctio «ou iclusif»), or (ou eclusif), ad (cojoctio «et»), («implique») et (si et seulemet si ) : V F ad V [Divers/esembleeote/div:8] ad V F V V F F F F or F V F V V V F V F V F or or V V F V F V F V F F V F V F V V F F V V or V F V F V V F F F V ENS3 Soiet P et Q deu assertios Sachat que chacu des éocés suivats est équivalet à l assertio P Q, remplacer les poitillés par les lettres P et Q : ) implique ) Pour que soit vraie, il suffit que soit vraie 3) Ue coditio écessaire pour que soit vraie est que le soit 4) Ue coditio suffisate pour que soit vraie est que le soit [Divers/esembleeote/div:84] ) P implique Q ) Pourque Qsoitvraie,ilsuffitque P soitvraie V F V F V F 3) Uecoditio écessairepourque P soitvraieestque Qlesoit 4) Uecoditio suffisatepourque Qsoitvraieestque P lesoit V F mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/esembleeote Divers/esembleeote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

5 9 vocabulaire esembliste, applicatios ENS4 Les assertios suivates sot elles vraies ou fausses? ) Ue coditio suffisate pour qu u ombre réel soit supérieur ou égal à est qu il soit supérieur ou égal à 3 ) Pour qu u etier soit supérieur ou égal à 4, il faut qu il soit strictemet supérieur à 3 3) Pour qu u ombre réel soit strictemet supérieur à, il suffit que so carré soit strictemet supérieur à 4 4) Z y N y 5) Z y N y 6) Z y N y 7) Z y N y [Divers/esembleeote/div:85] ) Vrai, ) Vrai, 3) Fau, 4) Vrai( = y = ), 5) Fau( = ), 6) Fau(y = + ), 7) Fau( =, y = ) ENS5 [Divers/esembleeote/div:86] ENS6 XMP 3 Trouver E = { f : N N ; f + f f + f f f = 3 Id N } [Rec3/esemble-r3te/r3:68] Solutio de Philippe Château (la miee était plus logue et plus compliquée) Soit f ECettefoctiovérifiedoc,pourtout N: f() + f`f() + f`f`f() = 3 () Notos tout d abord que f est trivialemet ijective Oedéduitque f() = O pose A = N ; f() Supposos A et posos a = mi AAlors f(a) adoc,parijectivité, f(a) > a,puis f`f(a) aet f`f`f(a) a,cotradictio Ou bie par récurrece O suppose f(k) = k pour tout k [; ], alors par ijectivité f() puis f`f() et f`f`f(), doc f() = etlarécurrecepeutavacer Coclusio: E = {Id N} ENS7 (b) CetralePC 3 Soiet E, F, G trois esembles et des applicatios ) Motrer que si g f est ijective, alors f est ijective f E F G ) Motrer que si g f est ijective et f est surjective, alors g est ijective 3) Motrer que si g f est surjective, alors g est surjective 4) Motrer que si g f est surjective et g ijective, alors f est surjective g [Rec3/esemble-r3te/r3:388] Ecoreuscadale:ilsuffitd écrire!!! ) O suppose g f ijective et f surjective Soiet, y F tels que g() = g(y) Il eiste u, v E tels que = f(u) et y = f(v), doc g f(u) = g f(v)doc u = v etdoc = y Doc g estijective ) De)odéduitque f estbijective,l ijectivité de g estimmédiate 3) Osuppose g f surjectiveet g ijective Soit y FAlors g(y) G, et g f état surjective, il eiste E tel que g f() = g(y) Par ijectivité de g, y = f() 4) De3)odéduitque g estbijective d oùlasurjectivitéde f ENS8 (b) CetralePC 3 Soit E u esemble Soiet A E et B E deu sous-esembles de E O ote P(E) l esemble des parties de E Notos f : P(E) P(A) P(B) la foctio défiie par X E ) Motrer que f est surjective si et seulemet si A B = ) Quad f est-elle ijective? f(x) = (X A, X B) [Rec3/esemble-r3te/r3:4] ) T ) Ilfautetilsuffitque A B = E mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Rec5/esemble-r5te

6 déombremet DEN ( C p = C p+ ) Les deu questios e sot pas idépedates Déombremet ) Soit E u esemble o vide O choisit a E et o cosidère l applicatio φ: (E) (E) X φ(x) = X + {a} où l o a oté «+» la différece symétrique etre deu esembles, défiie par Détermier φ φ Qu e résulte-t-il pour φ? ) Soit N Motrer combiatoiremet que X + Y déf = (X Y) (Y X) q N q C q = [Divers/deombremeteote/de:] E u esemble quelcoque de cardial O veut doc motrer que l esemble des parties de cardial pair est de même cardial que celui des partie de cardial impair Pour cela, o choisit a A, et o défiit l applicatio f : (E) (E)quiàuepartie P associe P {a}si a E,et P {a}si q N q+ C q+ a / PC estbieuebijectio O e déduit d ailleurs que X ( ) k C k = DEN (Nombred applicatioscroissates) Soiet, p deu etiers aturels Quel est le ombre d applicatios strictemet croissates de [, ] das [, p]? O rappelle que [, ] = {,, } [Divers/deombremeteote/de:] Ilfautmettre (p )billesdas (+)trousorpourmettre Nobjetsdas g trous, il y a (N+g )!/N!(g )! solutios(voir ça avec des parois par eemple: DEN3 Les deu questios e sot pas idépedates ) Soit u etier aturel Motrer que k= g parois à mélager avec N objets, soit (N + g )! permutatios mais les p! (g )paroisetles Nobjetssotidiscerables)Lerésultatest (p )!! C k 3 k k = 4 k= Idicatio : O rappelle que (a + b) P = C k a k b k pour tut a, b R et N, et o pourra utiliser la foctio F() = (3 + ) ) Soit E u esemble quelcoque O ote = CardE Calculer S = Card(X Y) et T = Card(X Y) X,Y E [Divers/deombremeteote/de:3] O commece par eprimer la première somme Somme sur k de : ombre d esembles A de cardial k, fois k, fois ombre d esembles X et Y tels que X Y = A, ce derier ombre état choisi e choisissat d abord les élémets de E A qui sot das X Y, il y e a avec p =,, k, soit C p k choi,etpourchaqueélémet,oalechoi:ilappartietàxou Y,soit p O adoc X k X X S = C k C p k p A = C k 3 k k = 4 k= p= k= DEN4 ( Card X) Soit E u esemble fii de cardial Calculer X P(E) k= Card X X,Y E (Outilise F() = ( + 3), F () = ( + 3), F () = S) Opeutaussioterque,pourtout X,Y (E),oa Card(X Y)+Card(X EY)+Card( EX Y)+Card( EX EY) =, cequimotreque 4S = D autre part, o remarquera que X Y = E` EX EY, ce qui motre que S + T =,docoat=3s = 34 [Divers/deombremeteote/de:4] DEN5 Démotrer que, si p, N avec p, o a [Divers/deombremeteote/de:5] C k Cp k k p k= C k Cp k k = p C p est le ombre de parties de cardial k das u esemble de cardial, multiplié par le ombre de parties de cardial p k das le reste de l esemble (de cardial p k) C est doc le ombre de parties de cardial p DEN6 Les deu questios e sot pas idépedates ) Motrer que, pour tout, p N tels que p, o a ) Soiet N et p N O pose Calculer α,p p k= Égalà P k= kck das u esemble de cardial, sauf que chaque élémet de l esemble peut fairepartiede Aoude B,docoa p choipossibles Ofaitueijectio,etoutiliselelemmedesbergers C k +k = Cp +p+ = C+ +p+ déf E,p = { (,, p ) ;,, p N, + + p = } et α,p = CardE,p [Divers/deombremeteote/de:6] O calcule pour les petites valeurs de, et o fait ue récurrece motrat déf que αvérifielesboesrelatios,et α,p = C p +p+ = C +p DEN7 (A B = ) Soit E u esemble de cardial Calculer le ombre de couples (A, B) P(E) tels que A B = Même questio avec A B = u sigleto Même questio avec A B [Divers/deombremeteote/de:7] aussi,etc estormalétablirubijectio DEN8 (Diagoalesd upolygôe) O cosidère u polygôe (covee) à sommets Combie a-t-il de diagoales? E combie de poits (itérieurs ou etérieurs au polygôe) ces diagoales se coupet-elles? [Divers/deombremeteote/de:8] Ilya( 3)/diagoalesSioecomptepaslessommets,ellessecoupet e «( 3) ( 3) ( 4) DEN9 (Surjectios) = ( 3)( 7 4) 8 Combie y a-t-il de surjectios de [, + ] das [, ]? [Divers/deombremeteote/de:9] Pourqu uapplicatio f : [[, + ]] [[, ]]soitsurjective,ilfautqu uet useulélémetde [[, ]]aitdeuatécédats,etque tous les autres eaiet C est fou! qu useulilyadoc possibilités DEN (Permutatiosde [[,]]) Combie y a-t-il de bijectios f de {,,} das lui même possédat : ) la propriété : est pair f() est pair? ) la propriété : est divisible par 3 f() est divisible par 3? 3) ces deu propriétés à la fois? 4) Repredre les questios précédetes e remplaçat bijectio par applicatio C ( + )! + ( )! = mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/deombremeteote Divers/deombremeteote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

7 3 déombremet [Divers/deombremeteote/de:] À gauche les résultats pour les bijectios, à droites our les applicatios ) (6!) ) 4! 8! )!!4!4! DEN (Permutatiosdecouples) O doit placer autour d ue table rode u groupe de persoes, hommes et femmes, qui costituet couples Combie eiste-t-il de dispositios ) au total? ) e respectat l alterace des sees? 3) sas séparer les couples? 4) e remplissat les deu coditios précédetes? [Divers/deombremeteote/de:] ) ()! ) (!) 3) +! 4) 4! DEN XMP 3 Soit (E, ) u esemble mui d ue loi de compositio itere o associative Soit (a,,a ) E Quel est le ombre de parethésages possibles du produit a a a? [Rec3/deombremet-r3te/r3:9] mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Rec5/deombremet-r5te

8 arithmétique das Z 6 Arithmétique das Z [Divers/arithmetiqueeote/ari:8] Petiterécurreceutilisat p + p = (p p)p + (p p) Oubieremarquerque p p = p(p ) = p(p )(p + +p+) ARI Motrer que p / N pour tout p N, p [Divers/arithmetiqueeote/ari:] Opose H lapropriété:«estdelaforme p q avec p impair» ARI Soiet a, b Z et N Motrer que [Divers/arithmetiqueeote/ari:3] ARI3 Pour tout N, o défiit les etiers a et b par ) Détermier a et b pour =,, 3 ) Motrer que pgcd(a, b ) = pour tout N pgcd(a, b ) = [ pgcd(a, b) ] ppcm(a, b ) = [ ppcm(a, b) ] ( + ) = a + b Idicatio : O pourra par eemple cosidérer ( ) [Divers/arithmetiqueeote/ari:4] Oa( ) = a b,doc a b = ( + ) ( ) = ARI4 O motre alors H H H + et o vérifie que ce schéma est suffisatpourcoclureàlavalidité de Hàtoutrag ( ),etoappliquelethéorèmedebézout Motrer qu il eiste ue ifiité de ombres premiers de la forme p = avec N [Divers/arithmetiqueeote/ari:5] Toutd abord, Qestovide(7 Q) Reductio ad absurdum O suppose que cet esemble Q est fii Alors Q = {a,, a } O pose S = 4q q O a alors q i 3 [4], or ARI5 O pose F = + pour tout N S 3 [4]doc,comme S / Q, SestopremierOr Simpair,et Sestpremier avec tous les q i, doc tous les diviseurs de S sot [4] Doc S [4] : cotradictio ) Soit N Motrer que : pour que ( + ) soit premier, il est écessaire qu il eiste k N tel que = k ) Si m et sot des etiers aturels, et si m, motrer que pgcd(f m, F ) = [Divers/arithmetiqueeote/ari:6] Idicatio : O pourra étudier (F m )/F Osuppose = k bavec bimpairsi b,alors ARI6 k b + = k b ( ) b = k b + ( ) : opremier Tout carré impair est cogru à modulo 8 Osuppose m > Alors m = ( m )Doc [Divers/arithmetiqueeote/ari:7] ( + ) = 4 ( + ) + {z } pair m + = ( ) m ( ) m + = ( + )K +, c est-à-dire que (F m )/F = K Posos d = pgcd(f m,f ) et c = ppcm(f m, F )Alors dc = dkbdoc ddivise,or d doc d = ARI8 Motrer que, pour tout a, b Z, o a pgcd(a + b, ab) = ( pgcd(a, b) ) [Divers/arithmetiqueeote/ari:9] Posos d = pgcd(a, b) Il eiste A,B Z tels que a = da et b = db, avec A et B premiers etre eu Soit p u facteur premier commu à AB et ARI9 Soit N, 3 Motrer que [! +,,! + ] e cotiet aucu ombre premier [Divers/arithmetiqueeote/ari:] (b) à A + B Alors p divise A ou B, disos par eemple A Das ce cas, il divise A et doc B = B + A A, doc il divise B Doc p = Doc pgcd(a + B,AB) = doc pgcd(a + b, ab) = d E effet, k divise! + k pour tout k [[, ]] ARI Notos pour tout N,, π() le ombre de ombres premiers iférieurs ou égau à Motrer que, pour 4, o a π() [Divers/arithmetiqueeote/ari:] Ue récurrece immédiate permet de motrer que π(m) m et ARI Motrer que, si 3, au mois l u des ombres et + est composé [Divers/arithmetiqueeote/ari:] Eeffet, ( )( + ) = 4 estdivisible par 3De plus chacudes ARI Soit p u ombre premier, p ) Motrer que, si 8p est premier, alors 8p + est composé ) Motrer que, si 8p + est premier, alors 8p est premier [Divers/arithmetiqueeote/ari:3] ) (8p )(8p + ) = 64 p p = (p + )(p ) [3] si p 3, puisque si l o pred deu impairs successifs, l u est divisible ARI3 Motrer que pour tout N [Divers/arithmetiqueeote/ari:4] ARI4 Motrer que, pour tout N, [Divers/arithmetiqueeote/ari:5] ARI5 Notos τ() le ombre de diviseurs positifs de l etier Motrer que k= π(m + ) m, récurrece que l o commece pour m = 7 e utilisatque π( ) = π()pourtout ombresestplusgradque 3 k= par 3 ) 8p + [3]si p 3Doclapremièrephraseesauraitêtrevraie (c est tiré par les cheveu) Ue simple récurrece e otat que Récurrece avec ( ) τ(k) = E k 5( + ) 3 + ( + ) = ( + ) +6 {z } pair u + = 5u 4(3 + ) {z } pairsi ARI7 Soit p N, p Soit (, k) N Motrer que, si k divise p p alors il divise égalemet p p [Divers/arithmetiqueeote/ari:6] O peut écrire X X X X X X τ(k) = = = E, d k= k= d k d= k d k d= puisque P k et le ombre de multiples de d coteus das [[, ]], au d k ombrede E d mardi 7 ovembre 6 Walter Appel 5 Divers/arithmetiqueeote Divers/arithmetiqueeote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

9 7 arithmétique das Z ARI6 (Cogruecessimultaées&pirates) Ue bade de 7 pirates dispose d u buti composé de N pièces d or d égale valeur Ils décidet de se le partager égalemet et de doer le reste au cuisiier (o pirate) Celui ci reçoit 3 pièces Mais ue rie éclate et 6 pirates sot tués Tout le buti est recostitué et partagé etre les survivats comme précédemmet; le cuisiier reçoit alors 4 pièces Das u aufrage ultérieur, seuls le buti, 6 pirates et le cuisiier sot sauvés Le buti est à ouveau partagé de la même maière et le cuisiier reçoit 5 pièces Quelle est alors la fortue miimale que peut espérer le cuisiier lorsqu il décide d empoisoer le reste des pirates? [Divers/arithmetiqueeote/ari:7] 785 pièces d or Ilfautécrire N = 7 k +3 = k +4 = 6k 3+5Pardifféreces,oobtiet desrelatiosdetype«bézout» Oaalorsque k et k sotpremiersetreeudemême k et k 3 (k = 46, k = 7et k 3 = 3) ARI7 Notos =, + = p( ) où «p» désige l opératio «somme des chiffres (das l écriture décimale)» Calculer 5 [Divers/arithmetiqueeote/ari:8] Omotreque 5 4 [9]puis,paruesériedemajoratioslogarithmiques, que 5,doc 5 = 4 ARI8 Notos = 3 3, + = p( ) où «p» désige l opératio «somme des chiffres (das l écriture décimale)» Calculer 5 [Divers/arithmetiqueeote/ari:8bis] 3 5 [9] doc Or 5 6 [9], et 3 = [6] doc [9] Puis, par ue série de majoratioslogarithmiques, que 5,doc 5 = ARI9 Notos = 4 4, + = p( ) où «p» désige l opératio «somme des chiffres (das l écriture décimale)» Calculer 5 [Divers/arithmetiqueeote/ari:8ter] 4 6 [9] doc Or 6 [9], et 4 [] doc 4 4 [9]Puis,paruesériedemajoratioslogarithmiques, que 5 < 8, doc 5 = ou 5 = 9 La solutio est pas evisageable, doc 5 = 9 ARI Notos = 5 5, + = p( ) où «p» désige l opératio «somme des chiffres (das l écriture décimale)» Calculer 5 [Divers/arithmetiqueeote/ari:8quat] 5 7 [9] doc [9] Or 7 3 [9], et 5 = 4 + [6]doc [9]Puis,paruesériedemajoratioslogarithmiques,que 5,doc 5 = 7 [Divers/arithmetiqueeote/ari:9] ARI4 (Carrésdas Z/ pz ) arithmétique das Z 8 La somme des chiffres est u multiple de 7, et l o peut itérer Soit p u ombre premier, p 3 Motrer que k est u carré das Z/ pz si et seulemet si k (p+)/ k [Divers/arithmetiqueeote/ari:] ARI5 (Puissacesde 7) Quel est le derier chiffre de ? [Divers/arithmetiqueeote/div:38] Ovérifie [], T [4], impairdoc [4]et ARI [] O suppose que a r est u ombre premier Motrer que r est premier et que a vaut Réciproque? [Divers/arithmetiqueeote/div:39] Osuppose a, r etierset a divise a r,quiestpremier,doc a = Sil osuppose r = pq,alors ARI7 Démotrer que, pour tout etier N, 3 [3 + ] [Divers/arithmetiqueeote/div:4] (Araudies) Essayos ue récurrece : la relatio a rie d etraordiaire pour =, elle dit que 9 est divisible par 9 Supposos qu elle soit vraie pour u rag, et utilisos os coaissaces sur les idetités remarquables du style X 3 = (X )(X + X + ): [p] p divise r :cotradictio Doc r estpremier Laréciproqueestbiesûrfausse: = 47 = = ( 3 ) 3 = ( 3 )( ) Le premier facteur est par hypothèse divisible par 3 +, et puisque [(]3), le deuième facteur est divisible par 3 Doc 3+ est divisible par 3 +3,cequ ilfallaitdémotrer ARI8 (Divisibilitépar 7) Démotrer le critère suivats de disibilité par 7 (tiré de Topics i umber theory de Paul Erdös) : o cosidère le ombre écrit e base sous la forme a a a q O retire le chiffre a q des uités, que l o retrache au ombre a a a q aisi raboté : o obtiet = a a q a q Alors est divisible par 7 si et seulemet si l est Vérifier aisi rapidemet que 6968 est divisible par 7 [Divers/arithmetiqueeote/div:4] ARI9 ARI Notos = 6 6, + = p( ) où «p» désige l opératio «somme des chiffres (das l écriture décimale)» Calculer 5 [Divers/arithmetiqueeote/ari:8quit] 6 [9] doc 5 5 ( ) 5 [9] 8 [9] Puis, par ue sériedemajoratios logarithmiques,que 5,doc 5 = 8 [Divers/arithmetiqueeote/div:4] ARI3 Démotrer qu il eiste u ombre ifii de ombres premiers cogrus à modulo 4 TPEMP ARI (Amusat) Soit N u etier strictemet positif Calculer lim lim lim H r H m i= ( ( (i!) cos m r )) π N Idicatio : Motrer que la limite cherchée est le plus grad facteur premier de N [Divers/arithmetiqueeote/div:bis] Odécompose N = p α pα où (p,, p ) P Lasommeestfiieets arrêteàp puisquesi i > p, (i!) r /N N ARI3 Si l o travaille e base 8, doer u critère simple de divisibilité par 7 Pour i [; p ], (i!) r /N est pas u etier, et ce quelle que soit la valeur de r, doc le cosius ted vers quad m ted vers l ifii et la limite cherchéeestdocsimplemet p,leplusgradfacteurpremier [Rec/arithmetique-rte/ari-r:] ARI3 Résoudre 3 + k = das Z/ 7Z, où k Z/ 7Z [Rec/arithmetique-rte/ari-r:] O peut par eemple bourrier: k = =, = 3 k = k = =, = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 = 7, = 3 k = 7 = 5, = 5 k = 8 ARI3 Résoudre das Z l équatio : y = ( + )( + )( + 8) k = 9 k = k = = 8, = k = k = 3 = 4, = 6 k = 4 = 9, = k = 5 = k = 6 = 6, = 4 TPEMP CCPMP mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/arithmetiqueeote Rec/arithmetique-rte Walter Appel mardi 7 ovembre 6

10 9 arithmétique das Z arithmétique das Z [Rec/arithmetique-rte/ari-r:3] ARI33 Résoudre, das (Z/36Z) le système { 5 y = 3 + 5y = [Rec/arithmetique-rte/ari-r:] O multiplie la première équatio par 7(qui est iversible das Z/36Z) pour TPEMP obteir 7y = 5,puisupivotclassiquedoe = et y = [Rec3/arithmetique-r3te/r3:] ARI39 CetraleMP 3 Soit N, 3 Soit d u diviseur de Motrer qu il eiste u uique sous-groupe d ordre d das Z/ Z E déduire que = φ(d), d où φ est la foctio idicatrice d Euler ARI34 Motrer qu il eiste pas de couple (, y) N tel que y = ( + )( + ) [Rec/arithmetique-rte/ari-r:] Suppososque soituesolutio Si est impair, (comme = est pas solutio), alors est u carré E effetsi pestpremieret p alors p y doc p yet p y = ((+)(+), parcoséquetsoit p +, p +ou p Lesdeupremierscassotecluscarsio p (+) = (ou p (+) = )cequiestimpossible Eraisoatdemêmeaveclesfacteursde /p,oaboutità=t O CCPPC a (y/t) = ( + )( + ), ce qui impossible puisque ( + )( + ) e peutêtrelecarré(parecadremet)quede + ou + Si + est impair, alors de même c est u carré + = t O a (y/t) = ( + ), doc par ecadremet la seule possibilité est ( + ) = ( + ) cequi estpaspossible Il yapasdesolutio ARI35 ( ) XMP 3 Soit abcdef u ombre écrit e base, divisible par 3 Motrer que bcdefa est aussi divisible par 3 [Rec3/arithmetique-r3te/r3:93] Posos N = abcdef et N = bcdefao N = (N ( a) + a = N a( 6 ) Ilerestedocqu àprouverque 3divise 6 Or 6 = 999 = 999 (7 3) Opeutégalemetleprouverecalculatmodulo 3: 6 ( 3) 6 (9) 3 ( 4) 3 = 64 = []3 ARI36 XMP 3 Soit p u ombre premier Soit f : Z/ pz Z/ pz ) Motrer qu il eiste P Z/ pz [X] coïcidat avec f sur Z/ pz ) Est-ce toujours le cas das Z/ p Z où? [Rec3/arithmetique-r3te/r3:338] ) Du fait que l o travaille das u corps, o peut utiliser les polyômes iterpolateurs de Lagrage ) No Predre A = Z /4Z O cherche P = P α ix i tel que P() = P() = P(3) = et P() = ARI37 ) Résoudre das N l équatio y = y ) Y a-t-il d autres solutios das Q +? Peut-o les localiser? [Rec3/arithmetique-r3te/r3:44] Lacoditio P() = doe α = Parailleurs, P() = α +α + α 4 + α 8 + {z} {z } = =das Z /4Z etl équatio α = admetpasdesolutiocar estpasiversible MiesMP 3 ARI38 CetraleMP 3 O cherche le reste de la divisio euclidiee de ( )! par Notos P l esemble des ombres premiers ) O suppose P a) Résoudre les cas =, et 3 b) Détermier l esemble Ω = {p ( Z/ Z {} ) } ; p p c) Calculer 3 ( 3) ( ) d) Coclure ) O suppose que / P a) Résoudre le cas où = ab, avec a et b disticts supérieurs ou égau à b) Résoudre le cas = p avec p / P c) Résoudre le cas = p avec p P d) Résoudre das le cas = 4 3) Récapituler les résultats obteus [Rec3/arithmetique-r3te/r3:98] ARI4 Quel est le derier chiffre de 7 77? [Rec3/arithmetique-r3te/r3:3] O vérifie que 7 4 [] Il suffit doc de trouver 7 7 ARI4 Das Z/ Z, o cosidère l équatio ) Résoudre (E) si est premier [4] Or T = [4]doc [4]doc [] ) O cosidère solutio de (E) O pose α = et β = ( ) Motrer que αβ = 3) Réciproque? [Rec3/arithmetique-r3te/r3:95] CetaleMP 3 TPEMP 3 ARI4 (4 p ) MiesMP 4 Motrer que, pour tout p premier tel que p 5, le ombre p est divisible par 4 [Rec4/arithmetique-r4te/r4:54] p = (p + )(p )Deplus, pétatimpair, (p + )et (p )sotpairs docilssottouslesdeudivisibles par,etl ud etreeuestmêmedivisible par 4,doc p estdivisible par 8 (E) Deplus, l u trois ombres p, pet p + estdivisible par 3,maisce est pas pparhypothèse,doc p estdivisible par 3 Autotal, p estdivisible par 3 8 = 4 ARI43 ( ) MiesMP 4 ) Soit u etier ; soit a u etier premier avec Motrer que a ϕ() [] E déduire que, pour tout etier p premier et pour tout k N, k p k [p] ) Soit p u etier premier et soit k < p u etier Motrer que k divise ( p k) 3) Soit tel que, pour tout a <, a [] et, pour tout diviseur d de, a d [] Motrer que est premier [Rec4/arithmetique-r4te/r4:58] ARI44 MiesMP 4 O ote = avec 5 chiffres etre les Quelle est la plus grade puissace de qui divise? [Rec4/arithmetique-r4te/r4:4] ARI45 CetraleMP 4 Détermier le derier chiffre e base de 7 (77) [Rec4/arithmetique-r4te/r4:38] ARI46 (Valuatiode pdas!) CetraleMP 4 ) O ote v p (!) la valuatio de p das!, c est-à-dire l eposat de p das la décompositio e facteurs premiers de! Motrer que v p (!) = ( ) E k p k Applicatio : détermier le ombre de zéros fiau das l écriture décimale de 4! ) Soit p u etier premier Motrer que, pour tout k [ ; p ], p divise C k p 3) Soit p u etier premier, p 3 Motrer que, pour tout r, ( + p) pr + p r+ [p r+ ] mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Rec3/arithmetique-r3te Rec4/arithmetique-r4te Walter Appel mardi 7 ovembre 6

11 arithmétique das Z [Rec4/arithmetique-r4te/r4:5] ARI47 TPEMP 4 Résoudre l équatio + 3 = das Z/ 7Z et Z/ Z [Rec4/arithmetique-r4te/r4:55] mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Rec5/arithmetique-r5te

12 algèbre géérale 4 ALG (Eisteced uidempotet) Algèbre géérale Maipulatios algébriques Soit E u esemble fii mui d ue loi de compositio itere associative Motrer qu il eiste s E tel que s = s [Divers/algebreeote/alg:34] ALG ( Simplifier si + kπ ) k= [Rec/algebre-rte/alg-r:3] Osereporteàl eercice POL7page4 O cherche à résoudre formellemet (X+) = e iα doc (X+) = e iα e iπk/ avec k [; ] Les racies sot doc λ i = e i(α+kπ/) = ie i(α+kπ/) si Le produit des racies est doc Y k= Y λ i = k= ALG3 ( Calculer e ikπ/ ) k= α + kπ «e i(α+ kπ + π ) si α + kπ «( ) déf Choisissos a EquelcoquePosos,pourtout N, u = a Puisque Eestfii,cettesuiteesauraitêtreijective:ileistedocdeuélemets u et u +p égau Posos b = a Alors b p = b Si p = o a réôdu à la questio Si p >,oremarqueque si m = alors m estidempotetpuisque ( m ) = m = m m = m = m Alors s = p coviet ( ) ` e iα = e iα e i ( )π Y e iπ/ k= XPC si α + kπ «Y ( ) ie iα si(α) = e iα ( ) ( i) si α + kπ «k= d où la formule [Rec/algebre-rte/alg-r:] Cf POL74 page 5 Y si α + kπ «= siα k= MiesMP ALG4 CCPPC Calcul de (k + )C k et de ( ) k (k + )C k k= [Rec/algebre-rte/alg-r:4] k= P Posos A() = C k k+ = (+),alors A P () = (k+)c k k = k= k= ( + ) + ( + ) = ( + ) ˆ + ( + ) etlepremiertrucvaut A () = ( + ) Pareil pour l autre [Rec3/algebre-r3te/r3:7] Opeutpasserpardessériesetières,etvérifieredérivattroisfoisque D 3 N+ «N X = k (k + ) (k + ) k= Ilerestequ àévaluere = ALG7 Soiet,, deu à deu disticts, et y,, y deu à deu disticts, tels que ( i y j ) e dépede pas de j Motrer que [Rec3/algebre-r3te/r3:8] i= ( i y j ) e déped pas de i j= XMP 3 ALG8 CCPPC 3 Simplifier S = ) cos(kθ) k= ( k ALG9 Notos z,, z les racies -ièmes de l uité (ecluat ) Calculer [Rec3/algebre-r3te/r3:44] (z z i ) i= S = (z + z i ) i= [Rec3/algebre-r3te/r3:56] P «` S = Re eikθ = Re `( + e iθ ) Ofaitapparaîtrel agle moi- k k= tié, et l o obtiet doc S = cos ««θ θ cos NavalePC 3 ALG CetralePC 4 O ote S = {z C ; z 9 = } ) Motrer que z 4 + a = 9a7 ( + a 9 ) z S z 5 ) Étudier (z 4 pour tout p [ ; 9] + a) z S [Rec4/algebre-r4te/r4:] z p ALG5 O pose, pour tout, p N : S,p = ) Calculer S, et S, C k ( ) k k p ) Calculer S,p pour p [ ; ] O pourra itroduire t ( e t ) [Rec/algebre-rte/alg-r:6] k= k= X X S, = C k ( ) k = ( ) =,et S, = C k ( ) k k = pour k= S,p = si > p,et S, = ( )! ALG6 Calculer Plus gééralemet, proposer ue méthode de calcul (rapide) de N ( + ) ( + k) = TPEMP XMP 3 ALG (Cyclesde S ) Groupes Motrer que si c et c sot des -cycles de S qui commutet etre eu, alors il eiste u etier r tel que c = c r [Divers/groupeseote/alg:4] Écrivos c = ` c() c () et c = ` c () c () L esemble {,, } état égal à l esemble, c(),, c (), il eisteuetier r telque c () = c r ()(et r ) Demême,choisissos p [[, ]],alorsileisteuetier qtelque p = c q (); ALG motrosmaiteatque c (p) = c r (p): c (p) = c c s () = c s c () = c s c r () = c r c s () = c r (i), ce qui achève la démostratio Détermier l esemble des σ S qui commutet avec toutes les permutatios de S, lorsque 3 mardi 7 ovembre 6 Walter Appel 3 Rec3/algebre-r3te Divers/groupeseote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

13 5 algèbre géérale algèbre géérale 6 [Divers/groupeseote/alg:4] Soit σ ue telle permutatio Soiet i j deuélémetsde [[, ]]Oa σ (i j) σ = `σ(i) σ(j) = (i j) ALG3 Soit G u groupe fii d ordre Motrer que, pour tout G, o a = e [Divers/groupeseote/alg:] Oote H =,etoote rsoordrealors r,etilsuffitdeprouverque r = e Opeutsupposersasrestreidreque H = G,oualorsotravaille das H Opose f : Z H qui est surjective par costructio de H L esemble ALG4 q q, Si u groupe G a qu u ombre fii de sous-groupes, alors G est fii [Divers/groupeseote/alg:] O ote G le groupe egedré par G = { ; Z} O a alors G = S G,etc estueuiofiie G LEMME G est fii ALG5 Soit G u groupe d ordre p avec p impair Motrer que l applicatio est bijective O rappelle que si G est d ordre p, alors p = e pour tout E [Divers/groupeseote/alg:3] O predra bie garde à e pas écrire que f est u morphisme, car ce est pas vrai si G est pas abélie!!! Aisi, pour motrer l ijectivité, le recours au oyau est iutile ALG6 (b) ce qui motre que σ laisse ivariate toute partie à deu élémets Soit i [[, ]],opeuttrouver j, ktelsque i, j, ksoietdistictsdeuàdeu ( 3) doc {i, j} et {i, k} état ivariates, o e déduit σ(i) = i Doc σ est l idetité des q Ztelque f() = eformeusous-groupede Z,c estdocucertai sz avec s ZDeplus, q q sz f(q )f(q ) = e,cequimotreque H aautatd élémetsqu ilyadeclassesmodulo sdas Z,doc Card H = sdoc s = r et r = e Démostratio : Eeffet,si G ifii,alors G Zetilcotiettous les Z comme sous-groupes, doc C est sous-groupe de C pourtout Z,etilssotdifférets Doc Gestuiod uombrefiidesous-groupe fiies,doc Gfii Du coup, c est la surjectivité qui est importate Ocosidère quiestforcémetd ordreimpair,qu oote m +,avec m NDoc m+ = = ( m+ ) Doc f surjectivedoc f bijective Soit G u groupe Motrer que l applicatio est u morphisme si et seulemet si la loi de G est commutative [Divers/groupeseote/alg:4] estumorphismesietseulemetsi ALG7, y G, y = (y) = y (b) Epreatdascetteéquatio et y (puisque estuepermutatio, doc ue bijectio), o a motré, y G, y = y Soit G u groupe Motrer que l applicatio est u morphisme si et seulemet si G est abélie [Divers/groupeseote/alg:37] Oote φ : Soit (, y) G,etmotrosque y = y O suppose que φ est u homomorphisme, alors φ(y) = (y)(y) = ALG8 (Trasportdestructure) Motrer que R, mui de la loi : (, y) y = ( 3 + y 3 ) /3 est u groupe [Divers/groupeseote/alg:5] O cosidère φ : /3 qui est bijective Pour tout, y R, o a ( + y) /3 = /3 y /3, et doc φ( + y) = φ() φ(y) L applicatio φ ALG9 (Automorphismesitérieurs) Soit G u groupe Pour tout a G, o pose φ a : G G aa morphisme de groupe de G das le groupe Aut(G) des automorphismes de G Quel est le oyau de Φ? [Divers/groupeseote/alg:6] ) O vérifie que si a G, φ a est ue bijectio et que sa bijectio réciproqueest φ a ) Si a G, o vérifie sas peie que φ a(y) = φ a()φ a(y), doc que c est u morphisme, et doc u automorphisme de groupe φ() φ(y) = y Parsuite (y)y = (y)y Omultiplie par àgauche et y àdroiteoedéduit y = y est doc u isomorphisme de (R,+) sur (R, ), doc trasporte la structure de groupede (R,+)sur (R, ) L élémeteutrede (R, )estdoc,etlesymétriquede est Motrer que l applicatio Φ: G Aut(G) a φ a est u 3) De même, φ b φ a = φ ba, ce qui motre que Φ est u morphisme de groupede Gdas AutG 4) Leoyaude Φestformédesélémetstelsque Φ(a) = φ a = Id G,doc si a Ker Φ, o a a = a pour tout G; le oyau de Φ est doc costituédesélémetsde Gquicommutetavectouslesélémetsde G, c est-à-dire le cetre de G ALG Soit G u groupe fii d ordre N Soit k u etier premier avec Motrer que l applicatio k est ue bijectio de G sur lui-même Idicatio : O utilisera Bézout et o motrera que l applicatio demadée est surjective Peut-o gééraliser à G groupe o fii tel que = e pour tout G? [Divers/groupeseote/alg:7] Attetio, k estpasumorphismesi G estpasabélie Osesouvietque,dasu groupefiid ordre,oa = e pourtout Or,parlethéorèmedeBézout,ileistedeuetiers uet v telsque u + vk = Pour tout y G, o a doc y = y u+vk = (y ) u (y v ) k = k avec déf = y v ALG (Trasportdestructure) Ceci motre la surjectivité, et comme c est u esemble fii, c est ue permutatio doc ue bijectio Autresolutio:opose g : v,etovérifieque f g = Idcar G f g() = vk = u = Cela restevalable si G estu groupe d ordre quelcoque vérifiat = e pour tout G Motrer que l itervalle ] ; [ mui de la loi : (, y) y = + y est u groupe abélie + y [Divers/groupeseote/alg:8] Il faut commecer par vérifier que y ] ; [, ce qui est ue petite étude: 8 >< >: y = y y + y + y = + y + + y + y ( )( y) = > + y ( + )( + y) = > + y ce qui motre le bo ecadremet Deplus,laloiestcommutative,d élémeteutre Efi,si, y, z ] ; [,oa (y z) = = + y + z + yz + y + z + yz Or,parcommutativité,oa( y) z = z ( y),quidoeévidemmetle mêmerésultat(ilfautpermuter, y et z)doclaloiestassociative Efi,l iversedetout est Cecimotreque (] ; [, )estugroupeabélie O peut égalemet trasporter la structure de groupe additif au moye de l applicatio th ALG (Uiodedeusous-groupes) Soiet H et K deu sous-groupes d u groupe G Motrer que K H est u sous-groupe de G si et seulemet si H K ou K H [Divers/groupeseote/alg:9] est évidet Supposos que K H est u sous-groupe de G Supposos de plus que H KIleistealors a Htelque a / K ALG3 (Groupemodulaire) Soit K,etmotros HPuisque et aappartieetàh K,ile estdemêmede aorsi a K,oaurait a = (a) Kcequi estfau, doc a H,doc = (a) H Doc K H O ote P déf = {z ( C ; Im ) z > } ledemi-pladepoicaré O défiit esuite l applicatio f qui à toute matrice A SL (Z) a b de la forme A = associe la foctio homographique f c d A : P C, z az + b cz + d ) Motrer que si A SL (Z), alors f A P ) Motrer que l applicatio ψ : A f A est u morphisme de groupes de SL (Z) das le groupe des permutatios de P 3) Détermier Ker ψ 4) O ote G = Imψ, que l o appelle groupemodulaire [Divers/groupeseote/alg:7] ) Ovérifieque f A : P P,caraprèscalculs Im `f A(z) = (ad bc)im z cz + d > ) O vérifie rapidemet que f A f B = f AB Puisque f I = Id P, cela implique que f A est bijective, et que sa réciproque est f A Doc f A(P) = Pet ψ estumorphismedegroupes 3) Soit A Ker ψ, alors f A = Id P, doc az + b = cz + dz pour tout z P,doc b = c = et a = d,doc a = ±,et Ker ψ = {I, I} ALG4 (Famillegéératricemiimale) ( ) Soit G u groupe fii d ordre, et m le plus petit etier tel qu il eiste ue famille (,, m ) d élémets de G egedrat G Motrer que CardG m [Divers/groupeseote/alg:9] déf O pose, pour k [[, m]] : H k =,, k Alors les H k formet ue suite croissate pour l iclusio, et de plus cette suite est o statioaire (sio k+ s écriraitefoctiodes,, k etlafamille (,, ˆ k,, m)serait géératrice et de cardial m ) Ils sot doc disticts, et même disjoits, et H k+ cotiet à la fois H k et disos k+ H k qui sot disjoits Aisi Card H k+ CardH k Puisrécurreceimmédiate Opeutégalemetpredreuefamillegéératrice (,, m)etcosidérer l esemble des élémets de la forme = α α αm m avec α k {, } O motre que tous les élémets de cet esemble sot dis- mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/groupeseote Divers/groupeseote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

14 7 algèbre géérale algèbre géérale 8 ticts (e faisat les choses propremet car les produits e commutet pas) E effet,sideudecesélémetssotdisticts,ileisteupluspetitidice i telque α i β iopeutsupposerpareemple α i = et β i = Oeprimealors ALG5 ( ) Soit G u groupe et H, K deu sous-groupes de G O pose HK déf = {hk ; h H, k K} ) Doer ue CNS pour que HK soit u sous-groupe de G ) Motrer, de plus, que si G est d ordre fii, alors HK = [Divers/groupeseote/alg:3] ) Ilfautetil suffitque HK = KH,démostratio plus oumois triviale e faisat attetio ) Supposos G d ordre fii Cosidéros maiteat l applicatio φ: H K HK (h, k) hk Notos J = H K,quiestusous-groupede G ALG6 (Uiodesous-groupes) Soit G u groupe i efoctiodesautres,cequiestuecotradictio Orlecardialdecettefamille est m H K H K Alorsililyaéquivaleceetreleséocés: (a) φ(h, k) = φ(h, k ); (b) ileiste j Jtelque (h, k ) = (hj, j k) (Ilsuffitpourceladeposer j = kk = h hetdeoterque j J) Aisi, tout élémet de HK a eactemet J atécédets par φ puisque, à (h, k) fié, l applicatio j (hj, j k) est bijective Le lemme des bergers permet de coclure ) Motrer que G e saurait être la réuio de deu sous-groupes propres (c est-à-dire disticts de G et de {e}) ) Peut-o gééraliser à ue réuio fiie de sous-groupes propres? 3) U groupe Z/ Z peut-il être réuio de ses sous-groupes propres? [Divers/groupeseote/alg:35] ALG7 ) Supposos G = H Koù Het Ksotdessous-groupespropresAlors G Het G KsotovidesOchoisit G Het y G K Cosidéros maiteat y Il e saurait être das H car sio y serait das HIle sauraito plus êtredas K sio seraitdas KCotradictio ) E revacheu groupe fiio cyclique estréuio (fiie!)de sessousgroupescycliquespareemple,cosidérer Z / Z Z/ Z 3) Das Z / Z,l élémet e peutapparteir à aucu sous-groupe propre (puisque legroupemoogèe gr()est Z / Z toutetier!) Soit G u groupe fii d ordre pair Motrer qu il eiste u élémet, distict de l élémet eutre, qui est so propre iverse [Divers/groupeseote/alg:38] Das le cas cotraire, G serait la réuio disjoit de {e} et d esembles du ALG8 type {, },decardial L ordrede Gseraitalorsimpair ) Motre que, pour tout N, le groupe Q/Z cotiet eactemet u sous-groupe cyclique d ordre ) Motrer que tout groupe est la réuio de ses sous-groupes moogèes 3) Comparer les ordres de deu sous-groupes cycliques G et H de Q/Z qui vérifiet G H 4) Soit α Q/Z Détermier les sous-groupes cycliques qui le cotieet 5) Détermier les morphismes de Z/ Z das Q/Z 6) Détermier les morphismes de Q/Z das Z [Divers/groupeseote/alg:39] ) Le groupe moogèe est d ordre Si G est u groupe cyclique d ordre,il estegedré par u élémetde la forme p/q où p q = et p qalors p/q Zdoc p = kq où k estuetierpuisque pdivise kqet p q =,oedéduitque pdivise k,doc q estmultiple de,etesuite q = etc ) T 3) T ALG9 ( ) 4) Tout α Q/Zestdelaforme D E p/qavec p q = et p < qilestélémet dugroupecyclique etdastouslesgroupescycliques q q 5) Soit f u morphisme de Z / Z das Q/Z So image est u groupe cyclique de Q/Z, coteu das le groupe cyclique Pour détermier u tel morphisme, il suffit de coaître l image de (e tat qu élémet de Z / Z )das ;ilyapossibilités,doc morphismespossibles 6) Le seul est le morphisme ul E effet, tout élémet de Q/Z est d ordre fii,docsoimageestd ordrefii,docc est Motrer qu u groupe ayat aucu sous-groupes propre est fii et que so ordre est u ombre premier [Divers/groupeseote/div:34] ) O suppose que G est d ordre ifii Alors, pour tout G, o a = {e} ou = G Soit e quelcoque; alors e et = ; aisi, il eiste u etier N tel que = Ah oui, maisalorscelaveutdireque = eet estdocd ordrefii;c est doc u sous-groupe propre de G: cotradictio Parsuite Gestd ordrefii ) Notos p l ordre dugroupe GPour tout G différetde e,o a toujours = Gdocl ordredetoutélémetdistictde eestégalàpbo, suppososque psoitcomposé:p=ab Soit G {e} Alors p = ( a ) b = e Ahbo, mais alors soit b = p (et a = ),soit a = e,dasquelcas a = pet b = Doc p est premier ALG3 Soit G u groupe Soit N O suppose que est u morphisme de groupe surjectif Motrez que, pour tout G, commute avec tous les élémets de G [Divers/groupeseote/alg:5] Soiet, y GIleiste z telque y = z Alors y = z = ( z ) ALG3 = z = y où l égalité a lieu par morphisme de groupe, d où, par multiplicatio par àgaucheet àdroite:y = y Soiet m et deu etiers, o pose d = m Détermier les morphismes de groupe de Z/ mz sur Z/ Z [Divers/groupeseote/div:3] er cas : m = Alors mφ() = φ(m) = doc mφ() = k mais m = doc m kdoc φ()divise doc φ() = []:leseulmorphisme est le morphisme ul e cas : m = d O écrit = d, et o quotiete Z / Z par la ALG3 relatio «modulo», dot la projectio est otée Π : c est u morphisme de Z / Z Z/ Z L applicatio Π φestalorsumorphismede Z/ mz Z/ Z et m =,ce qui prouve que φ() [(] ) Aisi, il y a dmorphismes différets,défiispar φ k () = k Soit φ u morphisme de groupe das S das C Motrer que φ est costat sur l esemble des traspositios E déduire φ [Divers/groupeseote/div:3] Pour toute traspositio s, φ(s s) = φ(id) = = φ(s) φ(s) doc φ(s) {, } Soiet i, j, k [; ] sot disticts, o écrit (i, j) = (k, j)(k, i)(k, j) et o obtiet φ(i, j) = φ(k, i) ALG33 De même, (i, j) = (i, k)(j, l)(k, l)(j, l)(i, k) ce qui motre que φ(i, j) = φ(k, l) Coclusio: φ est costat(égal à ±) sur l esemble des traspositios Puisque toute permutatio est u produit de traspositios : f = Idou f = sg O suppose G abélie d ordre pq, où p et q sot des premiers disticts Motrer que G est cyclique [Divers/groupeseote/div:33] ALG34 SQoit G u groupe, d élémet eutre e Soiet a, b G et N tels que (ab) = e Motrer que (ba) = e ALG35 [Divers/groupeseote/div:88] ALG36 [Divers/groupeseote/div:89] ALG37 (Cetred ugroupe) Soit (G, ) u groupe O pose Γ déf = {α G ; G, α = α} Motrer que Γ est u sous-groupe de G [Rec/groupes-rte/alg-r:8] Soiet α, β Γ,alors [Divers/groupeseote/div:87] (ab) = a(ba) b = e doc (ba) = a b = (ba) d où le résultat doc αβ Γ (αβ) = α(β) = α(β) = (α)β = αβ TPEMP ALG38 CCPMP Notos S le groupe symétrique d ordre et A () le ombre d élémets σ de S qui vérifiet σ = Id (ivolutios) Trouver ue formule récurrete etre A ( + ), A () et A ( ) Même questio pour les élémets vérifiat σ 3 = Id mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/groupeseote Rec/groupes-rte Walter Appel mardi 7 ovembre 6

15 9 algèbre géérale algèbre géérale 3 [Rec/groupes-rte/alg-r:5] Ocomptelespossibilités pour σ efoctiode σ( + ): Soit σ( + ) = + etilyaa ()possibilités pour σ Soit σ( + ) = p,pour pfié,ilyaa ( )possibilités et choi pour p ALG39 Doc A ( + ) = A () + A ( ) Les groupes Z/8Z et (Z/Z) (Z/4Z) sot-ils isomorphes? Si oui, trouver l isomorphisme [Rec/groupes-rte/alg-r:6] Supposos que φ soit u isomorphisme Or, e tat qu élémet de Z/8Z, Lemêmegerederaisoemetedegrétroisdoe A ( + ) = A () + ( )A ( ) (soit + est fie, soit l orbite de + est formée de eactemettroisélémets +, p, q) CCPPC egedre ce groupe (pour la loi «+»), etil estd ordre 8 O chercherae vai u géérateur de l autre, car tous les élémets sot d ordre 4! ALG45 O ote B le sous-groupe de GL (K) des matrices triagulaires supérieures et w = ) Motrer que GL (K) est la réuio disjoite de B et de ) Trouver tous les sous-groupes de GL (K) coteat B [Rec3/groupes-r3te/r3:9] B = { bwb ; (b, b ) B } ( ) CetraleMP 3 ALG4 Si h R et, o pose M h, = h h Motrer que G = {M h, ; h R, R } est u groupe MiesMP 3 ALG46 MiesMP 3 Soiet G u groupe fii, et A et B des parties de G telles que Card(A) + Card(B) > Card(G) Mq A B = G, où l o a oté A B = {ab ; a A et b B} [Rec3/groupes-r3te/r3:453] Soit g u élémet quelcoque de G O veut motrer qu il s écrit sous la forme g = ab,avec (a, b) A B L esemble A = A gamêmecardialque AIlerésultequesoitersectioavecl esemble Bestovide :ileiste (a, b) A Btelsque a g = b, c est-à-dire tel que g = ab [Rec3/groupes-r3te/r3:7] Oote (h, ) = M h, Ovérifieimmédiatemetque (h, ) (h, ) = (h + h, ) O a doc bie ue loi itere de multiplicatio, l élémet eutre état E = ALG4 M, Toutélémetestiversibleet Quels sot les géérateurs de Z/ Z? E déduire tous les automorphismes de Z/ Z [Rec3/groupes-r3te/r3:85] Cesotlesetierspremiersavec,soit G = {, 3, 7,9} (h, ) = h «, 4 Efi,l associativité vietdel associativité de `M 3(R), MiesMP 3 U automorphisme de Z /Z est doé par l image de Il y e a doc 4 au total ALG4 (b) MiesMP 3 Soit a > O pose G = { M M 3 (R) ; R } avec M = a G est-il u groupe? Est-il isomorphe à (R, +)? [Rec3/groupes-r3te/r3:68] M M y = M +y docisomorphisme ALG43 Soit N O appelle G le groupe des élémets iversibles de l aeau (Z/ Z, +, ) ) Détermier G, G, G 3 Détermier le cardial de G ) Démotrer que, pour 3, il eiste u etier aturel λ impair tel que 3 = + λ 3) Quel est l ordre de 3 das G? 4) Motrer que / gr(3) 5) Motrer que G est isomorphe à (Z/ Z ) (Z/ Z ) [Rec3/groupes-r3te/r3:34] CetraleMP 3 ALG44 (Théorèmechiois) CetraleMP 3 Trouver les couples (m, ) N tels que (Z/ mz, +) soit isomorphe à (Z/ Z Z/ mz, +) ALG47 Soit (M, +) u groupe abélie ENSUlmMP 4 ) Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour qu il eiste u Q-espace vectoriel V et φ : M V u morphisme de groupes ijectif ) Trouver u groupe abélie G tel qu il est pas possible de costruire u isomorphisme etre G et u Q-espace vectoriel [Rec4/groupes-r4te/r4:9] ) La coditio écessaire et suffisate est: ) Zpareemple M {} k l k l ALG48 (GroupesdePrüfer) CetraleMP 4 { } Soit p u etier premier O pose G p = z C ; k N z pk = ) Motrer que G est u groupe ) Motrer que tous ses sous-groupes propres sot cycliques, et qu il eiste pas de sous-groupe propre maimal pour l iclusio 3) Motrer qu il y a pas de famille géératrice fiie de G p [Rec4/groupes-r4te/r4:57] ) T ) Soit H usous-groupeoote k = sup k où k estl etier miimal de la défiitio Si k =,motrerque H = GSio, Hestévidemmet cyclique ALG49 CCPMP 4 Spot G u groupe abélie de cardial SOiet (a, b) G tous deu d ordre p premier et tels que b / (a) O ote H = (a), K = (b) et HK = { hk ; (h, k) H K } Motrer que H est u sous-groupe de G et détermier so cardial Motrer que G a au mois p élémets d ordre p [Rec4/groupes-r4te/r4:7] ALG5 CetralePC 5 {( a a ) Notos G = b b ; (a, b) R R } Est-ce u groupe pour le produit matriciel usuel? b b [Rec5/groupes-r5te/r5:7] 3) [Rec3/groupes-r3te/r3:8] Ilfautetilsuffitque met soietpremiersetreeu S ilsotudéomiateurcommuopose d = m,alors m/d estu sous-groupecycliqued ordre dde Z / mz,etc estleseulerevache, (/d, ) et (, m/) sot deu élémets d ordre d egedrat des sous-groupes d ordre d distictsde Z /Z Z /mz Si m et sot premiers etre eu, alors o costruit l applicatio ψ: Z / Z Z/ mz Z/ mz (a, b) ma + b dot o vérifie que c est u isomorphisme (l applicatio réciproque est p `[p]m,[p],où [p]m désigelaclassede pmodulo m ALG5 Aeau Das u aeau pricipal, toute suite croissate d idéau est statioaire [Divers/aeaueote/alg:] O pose I = S i= I, alors c est u idéal, doc I = A Or I doc il eisteu Ntelque I,etlasuiteeststatioairealors mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Rec3/groupes-r3te Divers/aeaueote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

16 3 algèbre géérale ALG5 (Formuled iversiodemöbius) But de l eercice : soiet f, g deu foctios de N das C O suppose que l o coaît ue relatio doat f e foctio de g, et qui s écrit : ( ) f() = g(d), d et o voudrait pouvoir eprimer g e foctio de f O ote F l esemble des foctio de N das C, mui de l additio usuelle et du produit oté et défii par b, h F,, (b h)() = d b(d)h(/d) ) Motrer que (F, +, ) est u aeau commutatif Quel est so élémet uité? ) Motrer que f F est iversible si et seulemet si f() 3) O pose µ() =, si p,, p sot des etiers premiers disticts, µ(p p ) = ( ) et pour tout etier différet de et qui est pas u produit de ombres premiers disticts, µ() = Calculer µ, où est la foctio costate e E déduire la formule doat g e foctio de f sachat ( ) [Divers/aeaueote/alg:] χ = (,,, ) est l élémet uité Si f(), o costruit par récurrece h() = /f(),etc ALG53 (AeaudeBoole) Soit A u aeau das lequel, pour tout élémet A, o a = U tel aeau est appelé aeaudeboole ) Doer u eemple d u tel aeau ) Motrer que, pour tout a A, o a a = E déduire que A est commutatif 3) Motrer que A e peut se réduire à trois élémets 4) O suppose que A est fii et de cardial strictemet supérieur à Motrer que A possède des diviseurs de zéro (O cosidèrera u élémet de la forme y( + y)) 5) Motrer que, si A est de cardial fii, alors ce cardial est ue puissace de [Divers/aeaueote/alg:] ) L aeau `P(E), +, où +estladifférecesymétrique ) Soit a A, alors (a + a) = a + a + a = 4a = 4a, mais (a + a) = a + a = a doc 4a = a doc a = ou, ce qui revietaumême, a = a Si, y A,oa ( ( + y) = + y ( + y) = + y + y + y = + y + y + y, ALG54 (Cetred uaeau) (b) cequimotreque y = y:aestcommutatif 3) O sait que Supposos A = {,, a} Seulemet a + e peut êtreégalà,sio a = =,etpasoplus égalàsio a =,i égalàa,sio = D oùcotradictio 4) O suppose que A a au mois 4 élémetssoit A tel que et Alors ( + ) = + = + = Soit A u aeau et otos C déf = { A ; y A, y = y} le cetre de A Motrer que C est u sous-aeau de A [Divers/aeaueote/alg:3] OaC carilcotietleeutre A Deplus,si a, b Cetsi A,oa (ab) = a(b) = a(b) = (a)b = (a)b = (ab) (a b) = a b = a b = (a b), cequiprouveque ab Cet ba C C est doc u sous-aeau ALG55 (ilpotet ( )iversible) Soit u élemet ilpotet d u aeau A, c est-à-dire u élémet tel qu il eiste p N tel que p = Motrer que ( ) est iversible et doer so iverse e foctio de [Divers/aeaueote/alg:4] La formule des aeau ous permet d écrire ( )( p ) = p =, ALG56 (A [ d ] ) p P cequimotreque ( )estiversible etquesoiverseest = Soit A u aeau commutatif, o ul, et soit d A O itroduit sur l esemble A A l additio caoique (, y)+(, y ) = ( +, y + y ) et le produit (, y) (, y ) déf = ( + dyy, y + y ) ) Motrer que (A, +, ) est u aeau commutatif o ul, qu o ote A[ d] ) Soit K u corps Si d est pas u carré das K, motrer que F = K[ d] est u corps Idetifier R[ ] [Divers/aeaueote/alg:] algèbre géérale 3 ALG57 (( ab)iversible ( ba)iversible) ( ) Soit A u aeau, et a, b A O suppose que ab est iversible Motrer que ba est iversible : ) e supposat d abord que ab est ilpotet, et e calculat l iverse de ( ba) e foctio de a, b et ( ab) ; ) das le cas gééral [Divers/aeaueote/alg:6] ) si abestilpotet, alorsileiste p Ntelque (ab) p =,etalors ( ab) = + ab + (ab) + + (ab) p ALG58 (Élémetsiversiblesde Z + Z) O ote A = {a + b ; (a, b) Z } ) Motrer que A est u sous-aeau itègre de R Mais alors ba est ilpotet puisque (ba) p+ = b(ab) p a =, doc l iversede baest ( ba) = + ba + + (ba) p = + b( ab) a ) Il e reste plus qu à vérifier que + b( ab) a est bie l iverse de badaslecasgééral,emultipliat àgaucheouàdroite ) Pour tout = a + b A, o pose N() déf = a b Motrer que, pour tout, y A, N( y) = N() N(y) 3) E déduire que est iversible das A si et seulemet si N() = ± 4) Motrer que les élémets de la forme ±( ± ) sot iversibles 5) O veut motrer la réciproque Motrer qu o peut se rameer au cas = a + b avec a N et b N Motrer qu alors est de la forme ( + ) avec N et coclure Idicatio : Si b, o cosidérera = /( + ) [Divers/aeaueote/alg:8] ) A cotiet A doc A O vérifie que + y et y appartieet à A,doc Aestusous-aeau Rétatitègre, Aestitègre ) Calcul 3) Si iversible, alors N() iversible das Z Réciproquemet,si N() = ε,opose y = a b,alors y = ε,doc εy estl iversede das A 4) OaN` ± ( + ) = ( ) =,doclesélémets ( + ) sot iversibles das A ALG59 Notos A l esemble des suites statioaires d etiers relatifs ) Motrer que A est u aeau ) Trouver tous les morphismes d aeau de A das Z 5) Soit = a + b A iversible O peut supposer b Or, par passage à l iverse a + b a + b doc o peut aussi (quitte à chager e )predre a Si b = alorsd a = ±Si b,o pose = /( + ) = a + b avec a = b a et b = a b Alors l équatio a = b ± motre que < b a < b, et doc b = a b [, b[ Si b = tat mieu, c est fii car alors a =, sio o recommece,et la suite (b () ) décroît strictemet, doc fiit parretombersur Alors () = ( + ) 3) Motrer que l esemble des suites statioaires e est u idéal de A Est-ce u idéal pricipal? [Divers/aeaueote/alg:44] ) T ) Notrivial!Osereported abordàl eercice ALG66pourvoir queles formes coordoées foctioet O décompose esuite: toute suite statioaire est la somme d ue suite statioairee etd umultipleetierdelasuitecostate = () N, la costate état la valeur limite l de la suite D ue part φ() = par propriété de morphisme d aeau (uitaires) Esuite, ue suite statioairee estsommefiied élémetsdelaforme Ilestévidetque e i = (,,,,,,,, ) i-ième positio φ(e i) φ(e j) = φ(e i e j) = φ() = dèsque i j,et φ(e i ) = φ(ei) docilyeaaumaimumuégalà, etlesautressotulsoséparealorsdeucas: er cas:tousles φ(e i)sotuls;alors φ(u) = φ(l ) = l: φ : u lim u e cas : il eiste u idice i N tel que φ(u j) = δ i,j Alors u = (u l) + let doc φ(u) = (u i l) + l = u i, φ est ue forme coordoée 3) No, par l absurde : si I = A avec statioaire e, alors o pred uesuitequistatioee plusloique etoaboutitàuecotradictio! ALG6 Soit A u aeau e possédat aucu élémet ilpotet à part Soit a A tel que a = a Motrer que a commute avec tous les élémets de A mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/aeaueote Divers/aeaueote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

17 33 algèbre géérale algèbre géérale 34 [Divers/aeaueote/alg:46] Soit b A Posos = ab ba O a a = ab aba et a = aba ba Doc a + a = ab ba = La relatio a + a = etraîe otammet, e multipliat par a, que a = a + aa = a + aaetdoc aa = Aisi = (aa) = (a) et doc a = car il y a pas d autre ilpotet que Demême,omotre a = Etdoc = a + a = CQFD ALG6 Soit A u aeau O ote E(A) l esemble des idempotets ( = ) de A, N(A) l esemble des ilpotets et Z(A) le cetre de A ) O suppose N(A) = {} Motrer que E(A) Z(A) Idicatio : O s itéressera à `( e)e avec e E(A) et A Si a, A vérifiet aa = a, motrer que a E(A) et a E(A), puis motrer a = a ) Soit I u idéal bilatère de A Motrer que, si e E(A), o a I (eae) = eie [Divers/aeaueote/alg:47] Soiet e E(A) et AO calcule que (( e)e) = doc il appartiet à N(A) doc il est ul, doc ee = e De même, o motre ee = e doc e = e Efi, (a) = (aa) = aet (a) = adoc a = (aa) = a(a) = (a)a car E(A) Z(A)doc a = a(a) = (a)a = (a) = apourla même raiso Si I (eie)alorsileiste a Atelque = eaedoc ee = e(eae)e = eae = doc eie Réciproquemet,si eiealors eaecar I Aetdeplus Icar Iest u idéal ALG6 (Aeaulocal) (K) Soit A u aeau commutatif uitaire, qui est pas u corps O dit qu u idéal est maimal s il est pas iclus das u autre idéal et s il est différet de A O rappelle de plus que tout idéal propre de A est iclus das u idéal maimal (admis) ) Motrer qu il y a équivalece etre les éocés : (a) la somme de deu élemets o iversibles est pas iversible ; (b) l esemble I des élémets o iversibles forme u idéal propre (c est-à-dire u idéal distict de A); (c) A possède u idéal maimal uique O dit alors que A est u aeaulocal ) Motrer que, si A est u aeau local, alors pour tout A, l u des deu élémets et ( ) est iversible 3) Motrer que das u aeau local, les seuls idempotets de A sot et [Divers/aeaueote/a-MPs:] ) Motrosa b Si a est u o iversible, alors a aussi; de plus aussi Aisi I est u sous-groupe additif de A E fait, c estu idéal : si I et a Aalors a I (sio, il eiste b A telque (a)b = doc (ab) = etdoc estiversible) I estdocuidéal,etmêmeuidéalpropre(sio Aseraitucorps) Motrosb c Soit M u idéal maimal Alors M I (E effet, si M était iversible, alors il eisterait y A tel que y = et doc oaurait M,etdoc M = Amais oasupposé M maimaldoc otammet différet de A) Puisque M estmaimal,oedéduitque M = I Motros c anotos M cetidéalmaimaloadéjàvuque M I (mais cette fois-ci I est plus forcémet u idéal) Soiet et y deu élémets o iversibles Alors l idéal () est propre, il est doc coteu das u idéal maimal, doc das M Doc de même pour y, doc + y M I doc la sommede deuo iversibles estbie o iversible ) Si et ( )sot o iversibles, alors leur somme seraito iversible: cotradictio Doc l u des deu e l est pas 3) Efi,si = alors ( ) = doc,puisque ou estiversible, oa = ou = ALG63 (K) Soit p u ombre premier O ote Z (p) l aeau des ratioels qui admettet ue décompositio a/b telle que p e divise pas b ) Motrer que Z (p) est u sous-aeau de Q ) Soit A u sous-aeau de Q coteat strictemet Z (p) Motrer que A cotiet /p E déduire que A = Q et que Z (p) est u sous-aeau maimal 3) Soit I u idéal de Z O va motrer que I est pricipal et egedré par ue puissace de p a) Posos { N = if N ; a } b E, a b = et a = p q, p q = Motrer que N est bie défii, et que p N est das I b) Motrer que I = p N Z (p) 4) Motrer que Z (p) est u aeau local [Divers/aeaueote/alg:48] ) Simple vérificatio ) Osuppose Z (p) AIleisteuélémet A Z (p) Opeutécrire = a/bavec a b = et pdivise b,docedivisepas aaisi,opeut écrire = a pb Aisi,lafractio b /aestélémetde Z (p),docelleappartietàa,doc puisque A,oab /a Ac est-à-dire /p A Supposos que A Q, alors o peut trouver = a/b das Q A Notammet, / Z (p) doc o peut l écrire sous la forme a/b avec b divisible par pmais aodivisible par p: = a p α k ALG64 Soit (A, +, ) u aeau uitaire O défiit Motrer que (A,, ) est u aeau isomorphe à (A, +, ) [Divers/aeaueote/div:3] Ovérifieque =, a = a, = etque f(a) = a estu Alors a k Z (p) A etcomme A,o obtiet A : cotradic- pα tio 3) L esembleproposé estpasvide,doc Nestbiedéfiiet N Il eiste doc u élémet = pn q I avec p e divise pas q; alors b p N = b/q estdas INotammet, p N Z (p) I Réciproquemet,si a/b Ialorsc estuélémetde Z (p) doc opeut l écriresouslaforme a/b = p q/bet,pardéfiitiode N,oa N: Aisi, I p N Z (p) a b = a + b + et a b = ab + a + b a b = pn p N q b 4) Il suffit de motrer que la somme de deu o iversibles esto iversible, ce qui est trivial isomorphisme d aeau ALG65 Si R, o ote Q[] = { P() ; P Q[X] }, qui est u sous-aeau de R O ote Q() le corps des fractios de Q[] Soiet a et b deu ratioels Motrer que Q( a) = Q( b) si et seulemet si a/b est le carré d u ombre ratioel [Divers/aeaueote/div:8] Osuppose aet bouls Si aestratioel,alors Q( a) = Qet Q( b)qsietseulemetsi bestu ratioel ALG66 Chercher tous les morphismes d aeau de Z sur Z [Divers/aeaueote/div:35] Parstructuredemorphismed aeau, f(,, ) = a + +a De plus, f est multiplicative sur la base caoique doc a ia j = pour tout ALG67 Soit p u etier premier Combie y a-t-il de carrés das le corps Z/ pz? [Divers/aeaueote/div:37] Si p =,ilyeadeu(et ) O suppose désormais p, et o ote G le groupe multiplicatif des élémetsoulsde Z / pz L applicatio estumorphismedegroupe,de ALG68 Doer u eemple d aeau o commutatif, de groupe o cyclique [Rec/aeau-rte/alg-r:8] M (R)estuaeauocommutatifet Z/Z Z/Zestocyclique(tout ALG69 Corps O peut doc supposer que i a i b e sot ratioels Alors Q( a) = Q( b)sietseulemetsiileistedeuratioels et y telsque a = + y b ÀFINIR!!! i jefi, f(,,) = docudes a i vaut etlesautres Moralité: f est ue forme coordoée oyau Ker φ = {,}, qui estde cardial (car vu que p 3) O edéduitquel imagede φestdecardial Card(G)/ Card(Ker φ) = p E ajoutat quiestucarré,odéombre p + carrés élémet est d ordre ) Soit A u aeau commutatif o ul doc les seuls idéau sot A et{} Motrer que A est u corps (b) ENSAIMP [Divers/corpseote/alg:4] Soit A, oulalors A = Adocileiste y Atelque y = ALG7 (Corps F 4 ) Chercher les structures de corps à 4 élémets mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/aeaueote Divers/corpseote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

18 35 algèbre géérale algèbre géérale 36 [Divers/corpseote/alg:43] Cecorpsestdelaforme {,, a, b}etodoitavoir b = a et a 3 = Oe ALG7 Motrer que tout aeau commutatif, itègre et fii est u corps [Divers/corpseote/alg:45] (U aeau itègre est toujours commutatif) Soit a u élémet o ul de A Puisque A est itègre, o a, pour tout b, c A: déduitlatabledemultiplicatio etd additio de F 4 ab = ac a(b c) = b = c, c est-à-direque aestsimplifiableàdroite,etdemêmeàgauche Aisi,l applicatio aestueijectiode Adas A,docuebijectio car AestfiiEparticulier,ileiste b Atelque ba = [Rec4/corps-r4te/r4:98] ALG77 TPEMP 4 Soit p u etier premier O ote E = Z/ pz {, } O défiit φ : E E par φ : Motrer que φ est bijective et détermier so ordre [Rec4/corps-r4te/r4:8] L ijectivité est immédiate; das u esemble fii, ça suffit Pour l ordre?? ÀFINIR!!! ALG7 (Idéaupremiers) Soit A u aeau commutatif dot tout idéal est premier, c est-à-dire que si I est u idéal de A, il vérifie Motrer que A est u corps [Divers/corpseote/div:] ()estpremiercequimotreque Aestitègre Soit etmotrosque estiversible I i ou y I ( ) est premier et ( ) doc ( ), ce qui motre qu il eiste a Atelque = a ;or Aitègreet doc = acqfd ALG73 Soit A u aeau o ul, commutatif et itègre, ayat qu u ombre fii d idéau Motrer que A est u corps Idicatio : O cosidérera les aeau de la forme I = A pour A o ul [Divers/corpseote/div:36] Soit Les I soteombrefii,cequiveutdirequ ileistedeupuissaces p et q telles que p A = q A O peutpar eemple supposer p > q,ou ecore p + q Notammet, p q A c est-à-dire qu il eiste a A tel que p = q a = p q p a,docparitégrité = p q a = p q a,doc estiversible ALG74 O travaille das le corps Q Soit P Z[X] u polyôme o ul Soit α R tel que P(α) = XMP 3 ) Que dire de V = Vect{α ; } (dimesio, structure)? ) O cosidère Q = a i X i u polyôme o ul dot les coefficiets vérifiet a i V pour tout i Soit β ue racie i= de Q Que dire de V = Vect{β ; }? 3) Soiet K K K trois corps et espaces vectoriels tels que dim K K = et dim K K = m (fiis) K est-il de dimesio fiie sur K? Si oui, la calculer 4) Même questio pour dim K K = fiie : K est-il de dimesio fiie sur K? K sur K? [Rec3/corps-r3te/r3:87] ALG75 XMP 4 O pose K = Q [ ] ) Calculer la dimesio de K ) Trouver tous les automorphismes de K [Rec4/corps-r4te/r4:88] ALG76 ( ) XMP 4 Soit K u sous-corps de C ) Quelles sot les foctios f : K C telles que, pour tout (, y) K : a) f( + y) = f()f(y); b) f(y) = f() + f(y); c) f( + y) = f() + f(y) ) Soit p u etier premier O pose K = Z/ pz a) Justifier brièvemet que K est u corps b) Quelles sot les foctios polyomiales telles que, pour tout, y K, f( + y) = f() + f(y)? c) O suppose que f () Motrer que toutes les racies de f sot simples d) Motrer que l esemble des racies a ue structure d espace vectoriel mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Rec4/corps-r4te Rec5/corps-r5te Walter Appel mardi 7 ovembre 6

19 polyômes 38 Polyômes [Divers/polyomeseote/pol:9] ) Eeffet,cepolyômes aulee j ete j ) Ocherchequad j + j + = ou,cequirevietaumême,quad j(et j)aulet (X j)(x j),etçaemarchequepour [3] POL Soit N Motrer que P = D ( (X ) ) a toutes ses racies simples POL9 Soit N Motrer que (X + X + ) (X + ) X [6] [Divers/polyomeseote/pol:] Successio de theorèmes de Rolle [Divers/polyomeseote/pol:] Eotat P = (X+) X,oa(X +X+) P P(j) = P (j) = POL Soiet a R et P R[X] O pose alors (b) POL Soit k N Soiet α,, α k N k vérifiat, pour =,, k, la relatio : α + [k] O pose Motrer que a est zéro de Q, d ordre au mois 3 Q = (X a)( P + P (a) ) P + P(a) [Divers/polyomeseote/pol:] Ovérifieque Q(a) = Q (a) = Q (a) = POL3 Détermier les etiers N, 3 tels que le polyôme ait au mois u zéro d ordre au mois [Divers/polyomeseote/pol:3] Omotrequ ilyaéquivaleceetreleséocés: (a) P (z) = P (z) = ; (b) (z ) z + = et (z ) = z ; POL4 P = (X ) (X ) C[X] (c) z = (z ) =, ce qui implique que z = z = et doc z { j, j } De plus, o vérifiequecesvaleurscovieetuiquemetpour = 6k + avec k N Soit α R, et P R[X], scidé et à zéros tous simples Motrer que les zéros das C de P + α sot tous simples [Divers/polyomeseote/pol:4] Soit z C u zéro au mois double de P + α, alors P(z)P (z) = Or P(z) De plus, P est scidé sur R et à zéros simples, et P (z) = POL5 Motrer que si P K[X], alors P(X) X divise P ( P(X) ) X das l aeau K[X] Motrer que, pour tout N, P(X) X divise P P() X ( compositios) [Divers/polyomeseote/pol:5] O a P(P(X)) X = P(P(X)) P(X) + P(X) X = P a (P (X) doc z R L eui c est que P + α e saurait admettre de zéro réel, d où cotradictio Opeutraisoeraussiefactorisat P + α = (P + iα)(p iα) X ) + P(X) Xetoestbiedasuaeau POL6 Soit P R[X] O suppose que P a pas de racie réelle, et que P (ie P() pour tout R) Motrer qu il eiste A, B R[X] tel que P = A + B [Divers/polyomeseote/pol:6] (Voir égalemet l eercice POL5 page 45, u peu plus complet) Oa(X a)(x ā) = (X Re a) + (Im a) Deplus, POL7 (a + b )(c + d ) = (ac + bd) + (ad bc) ce qui permet de commecer ue récurrece Ou bie directemet o peut écrire Soiet P, Q, R R[X] Motrer que si P XQ = XR, alors écessairemet P = Q = R = [Divers/polyomeseote/pol:7] POL8 O travaille das le corps K = R ou C ou Q Y P = (X α)(x ᾱ) = (A ib)(a + ib) i= O raisoe sur les degrés, ce qui motre que P = Puis trivial ) Soiet k, l, m trois etiers aturels Motrer que le polyôme X 3k+ + X 3l+ + X 3m est divisible par X + X + das l aeau K[X] ) Pour quelles valeurs de N le polyôme B = X + X + divise-t-il le polyôme A = X + X + das K[X]? 3) Pour quelles valeurs de N le polyôme B = X 4 X 3 + X X + divise-t-il A = X 4 X 3 + X X + das K[X]? Motrer que P divise Q k k P = X et Q = X α = [Divers/polyomeseote/pol:] Lesraciesde Psotles ω = e iπ/k,pour =,, k,etcesracies POL (Polyômesetdémodemiuit) Pour tout N supérieur ou égal à, o pose que l o cosidère comme élémet de C[X] P = = sotsimplesparailleurs, ω αm = ω m+ k= X k k!, ) Les polyômes P admettet-ils des zéros de multiplicité au mois égale à? ) Soit M Motrer qu il eiste u etier N tel que, pour tout N, les racies de P sot toutes de module M 3) Commeter [Divers/polyomeseote/pol:] Sil o suppose que P (z) = P z (z) =, alors o a = par différece,! etdoc z =,mais z = estracieidel uidel autre Doc P admetaucuzéromultipledoc P admeteactemet racies distictes das C Que peut-o e coclure? Qu il y a pas régularité du ombre de racies : o e peut pas passer la limite, puisque le développemet e série etière de POL l epoetielle, lui, admet aucu zéro Ce est d ailleurs pas u polyôme, ce qui eplique cette irrégularité Mais efait,les raciesde P «fuiet vers l ifii», commeopeutle motrer grâceà la covergece uiforme de la série sur toute boule fermée cetrée e vers la foctio epoetielle, ce qui motre(paradoe du démo de miuit) qu ileresteplusrieà= Soit N Soit P Z[X] tel que P(),,P( ) e sot pas divisibles par Motrer qu aucue racie de P est etière [Divers/polyomeseote/pol:3] Supposos p Z et P(p) = Alors p [] avec {,, } Alors P() = P i αii P i αipi POL3 O travaille das K = R ou C O ote S l esemble des élémets P K[X] tels que { (X ) 3 divise + P das K[X], X 4 divise + P das K[X] ) Pourquoi les polyômes (X ) 3 et X 4 sot-ils premiers etre eu das K[X]? ) Démotrer que, si P S, alors S = { P + X 4 (X ) 3 A ; A K[X] } [] []:cotradictio 3) Détermier (e utilisat la dérivatio caoique de K[X]), u élémet P de S tel que deg(p ) 6 [Divers/polyomeseote/pol:4] ) Pas de racie commue ) Osuppose P Set P SAlors (X ) 3 et X 4 diviset P P 3) Si (X ) 3 divise P +, alors 3(X ) divise P De même, si X 4 divisse P, alors 4X 3 divise P O cherche doc P tel que P = α X3 (X ), doc P = α»x 6 45 X5 + 3X 4 + β Il faut maiteat ajuster α et β pour que P S Notammet, puisque P +estdivisiblepar X 4,oaimmédiatemet β = Efi, (X ) 3 doitdiviser P + Osaitdéjàque estraciede P etde P,ilsuffit docque soitraciede P +,cequidoe α = 5 O trouve doc o S = X 6 4X 5 + 5X 4 + X 4 (X ) 3 A ; A K[X] mardi 7 ovembre 6 Walter Appel 37 Divers/polyomeseote Divers/polyomeseote Walter Appel mardi 7 ovembre 6

20 39 polyômes POL4 (PolyômesdeTchebychev) O costruit das cet eercice ue famille étagée de polyômes, appelés polyômes de Tchebychev Les propriétés d orthogoalité de ces polyômes sot étudiées das l eercice FAM4 page 9 et?? ) Soiet N et y R Trasformer e produit la somme cos ( ( + 3)y ) + cos ( ( + )y ) ) Motrer que, pour tout N, il eiste u élémet T R[X] et u seul tel que et que l o a alors T + = XT + T cos ( ( + )y ) = T (cos y) pour tout y R, 3) Soit N Détermier le degré et le coefficiet domiat de T Démotrer que Calculer T (), T ( ), T () et T () = cos ( ( + )Arc cos ) pour tout [ ; ] sup [ ; ] T () 4) Soit N O pose J = { [ ; ] ; T () = } Démotrer que J = {a,k ; k =,,, } et eplicitez les a,k pour k =,,, 5) Détermier les racies de T das R, eprimer T à l aide du polyôme et détermier sup [ ;] A () A = où > a, > a, > > a, > (X a,k ), [Divers/polyomeseote/pol:5] Cf FAM4page9et?? ) o utilise X ) (cf Fraciou p7) 3) 4) cos = Re (cos +isi) = C k ( )k (cos k )( cos ) k 5) / (cf??page??) k POL5 Détermier le couple quotiet/reste (Q, R) de la divisio euclidiee de A par B das Q[X] das les cas suivats : [Divers/polyomeseote/pol:6] ) Q = X, R = X 3 + 6X + 8X + 5 k= ) A = X 5 + X 4 + X 3 X + 3 B = X 4 + 3X 3 + 7X + 8X + 6 ) A = 3X 5 + X 4 6X + 5X B = X 3 X + 3) A = X 4 5X + 7 B = 3X + 7X ) Q = 3 X + X + 3 4, R = 7X + 4 X 7 4 3) Q = 3 X 4 9 X + 7 ; R = X POL6 Soiet p, q N O ote r le reste de la divisio euclidiee de p par q das Z Démotrer que le reste de la divisio euclidiee das K[X] de X p par X q est X r Doer ue coditio écessaire et suffisate sur p, q N pour que X q divise X p das K[X] [Divers/polyomeseote/pol:7] O cherche A tel que (X p ) = A(X q ) + X r, cad tel que A(X q ) = X p X r Orde p = aq + r,otire X p X r = X r` (X a ) q {z } ( ), oùleterme ( )estdivisiblepar X q grâceàlaformuledesaeauopeut docbietrouver lepolyôme Aetparuicité durestedelade,oarépodu à la questio O peut égalemet écrire eplicitemet la divisio, voir le résultat arriver, cojecturer la forme de A et coclure POL7 Soit α R et N Détermier les racies du polyôme E déduire la valeur du produit [Divers/polyomeseote/pol:8] polyômes 4 A = (X + ) e iα ( a = si a + kπ ) Idicatio : O utilisera la formule doat le produit des racies de A O cherche à résoudre formellemet k= (X+) = e iα doc (X+) = e iα e iπk/ avec k [[, ]] Les racies sot doc λ i = e i(α+kπ/) = ie i(α+kπ/) si α + kπ «Le produit des racies est doc Y k= Y λ i = k= ( ) ` e iα = e iα e i ( )π e i(α+ kπ + π ) si α + kπ «Y e iπ/ Y ( ) ie iα si(α) = e iα ( ) ( i) d où la formule POL8 Détermier le pgcd das Q[X] des polyômes A et B das les cas suivats : k= Y si α + kπ «= siα k= ) A = X 4 + 3X 3 + 4X + X + B = 3X 3 + 4X + 4X + ; ) A = X 5 + X 4 + X 3 X + 3 B = X 4 + 3X 3 + 7X + 8X + 6 ; 3) A = X 5 3X 4 + X 3 + X 3X + B = X 4 X 3 + X 7X + 6 [Divers/polyomeseote/pol:9] ) X + X + ;) X + X + 3;3) X 3X + POL9 Das C[X], trouver tous les polyômes P tels que P divise P [Divers/polyomeseote/pol:] Les polyômes costats e satisfot pas cette coditio Soit P u polyôme o costat Toutes ses racies doivet être au mois doubles Mais ce est pas suffisat O ote a le coefficiet domiat de P, alors celui de P est a Il eisteuecostate Ctelleque P(X) = (X + C)P (X)Alorslafoctio POL (b) φ: R {C} R P() ( + C) k= si si α + kπ «α + kπ est(calcul)dedérivéeulle,docileistedeuréels α +, α telsque φ() = α ± selo que > C ou < C Ce qui ous doe pour le polyôme P() = α ±( + C) Odérive foispourtrouver α + = α,et P(X) = α(x + C) Soit α C Soit P C[X] u polyôme tel que P(X + ) P (X) = αp(x) Motrer que le degré de P est au plus égal à [Divers/polyomeseote/pol:] Osuppose P = P N = axn,alors POL ) Motrer que, pour tout N, il eiste u polyôme P R[X] uique tel que Trouver ue relatio etre P et P pour tout N P (X) + P (X + ) = X ) Motrer que, si Q R[X] vérifie Q(X) + Q(X + ) =, alors Q = 3) Eprimer esuite P (X + ) e foctio de P,, P, et e déduire ue relatio de récurrece doat P e foctio de P,,P «[Divers/polyomeseote/pol:] ) T ) SolutiomocheOécrit P = a + +a X,etoseretrouveavec u système liéaire à icoues écheloées Solutio élégate L applicatio Φ : R [X] R [X] qui à P associe P(X) + P(X + ) estliéaire etijective, elle estdoc surjective (la ruse!!!) 3) Deplus, P (X) + P (X + ) = X = `P (X) + P (X + mardi 7 ovembre 6 Walter Appel Divers/polyomeseote Divers/polyomeseote Walter Appel mardi 7 ovembre 6