LES FONCTIONS DE REFERENCE

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1 I. Les fonctions affines : LES FONCTIONS DE REFERENCE Définition : On appelle fonction affine toute fonction définie sur IR, ou sur un intervalle de IR, par f : a + b avec a et b deu nombres réels. Propriétés : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y = a + b. Le coefficient directeur est a et l'ordonnée à l'origine est b. Le vecteur directeur est u ( 1 ; a ). Si a > la fonction est croissante. Si a = la fonction est constante. La courbe représentative est une droite parallèle à l'ae des abscisses. Si a < la fonction est décroissante. Tableau de variation : Si a > Si a < b a b a f() f() Remarques : f() = si a + b = c'est-à dire si = b a. Le point de coordonnées ( b ; ) est le a point d'intersection de la courbe représentative de f avec l'ae des abscisses. Si = f ( ) = b. Le point de coordonnées (, b ) est le point intersection de la droite représentative de la fonction f avec l'ae des ordonnées. Représentation graphique : Si a > Si a = Si a < b b - b a - b a b Si b = la fonction est dite linéaire. Sa courbe représentative est une droite passant par l'origine du repère. Eemple : Représenter dans un même repère les quatre fonction suivantes : f() = 1 ; g() = ; h() = 7 ; l() = 3 1 ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 1 11 F.Tournier

2 II. La fonction carrée : C'est la fonction définie par : f : ². Elle est définie sur R. Elle est paire car f( ) = f(). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'ae des ordonnées. Elle passe par l'origine, c'est une parabole. La fonction f est décroissante pour négatif et croissante pour positif. Tableau de variation : Courbe représentative : f() III. La fonction cube : C'est la fonction définie par : f : 3. Elle est définie sur R. Elle est impaire car f( ) = f(). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine. Elle passe par l'origine. La fonction f est croissante pour tout. Tableau de variation : Courbe représentative : f() 1 ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 1 11 F.Tournier

3 IV. La fonction inverse : 3 C'est la fonction définie par : f : 1. Elle n'est pas définie en. Son ensemble de définition est ] ; [ ] ; + [. Elle est impaire car f( ) = f(). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine. C'est une hyperbole. La fonction f est décroissante sur les deu intervalles de son domaine de définition.. Tableau de variation : Courbe représentative : f() La double barre dans le tableau de variation indique que la fonction n'est pas définie pour la valeur. V. La fonction racine carrée : C'est la fonction définie par : f :. Elle n'est définie que pour des nombres positifs. Son ensemble de définition est [ ; + [. Elle n'est ni paire ni impaire car son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à.. Sa représentation graphique passe par l'origine. La fonction f est croissante sur son domaine de définition. Tableau de variation : Courbe représentative : f() 1 ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 1 11 F.Tournier

4 VI. Les fonctions trigonométriques : 4 1) La fonction cosinus : f() = cos() Son ensemble de définition est IR. Pour tout de IR on a : 1 cos() 1 Rappel sur le cercle trigonométrique : Tableau de valeurs : en radians cos Représentation graphique : 1 ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 1 11 F.Tournier

5 Propriétés importantes : 5 a) La fonction cosinus est périodique c'est à dire que cos() = cos( + ) = cos ( ) Pour tout réel on a cos() = cos( + k ) avec k Z ( entiers relatifs ). b) La fonction cosinus est paire. En effet pour tout réel, cos( ) = cos( ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'ae des abscisses. ) La fonction sinus : f() = sin() Son ensemble de définition est IR. Pour tout de IR on a : 1 sin() 1 Tableau de valeurs : en radians sin Représentation graphique : Propriétés importantes : a) La fonction sinus est périodique c'est à dire que sin() = sin( + ) = sin( ) Pour tout réel on a sin() = sin( + k ) avec k Z ( entiers relatifs ). b) La fonction sinus est impaire. En effet pour tout réel, sin( ) = sin( ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. 1 ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 1 11 F.Tournier

6 VI. Utilisation des fonctions de référence : 6 1) Opérations sur les fonctions : f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I de IR.. est un réel quelconque. a) Somme de deu fonctions : La fonction f + g est définie sur l'intervalle I par f + g : (f + g )() = f() + g() b) Produit de deu fonctions : La fonction f. g est définie sur l'intervalle I par f. g : ( f. g )() = f() g() c) Produit d'une fonction par un réel : La fonction f est définie sur l'intervalle I par f : ( f )() = f() d) Elévation au carré d'une fonction : La fonction f ² est définie sur l'intervalle I par f ² : f ² () = [ f()] ² ) Composition de deu fonctions : f et g sont deu fonctions définies sur IR. On appelle composée de f par g la fonction définie sur IR, notée g o f ( g "rond" f ) telle que : g o f () = g [ f()]. Eemple : f() = 5 et g() = ² sont deu fonction définies sur IR. La fonction g o f est définie sur IR par : f : 5 = X g : X X ² = ( 5 ) ² donc g o f () = g [ f()] = g ( 5 ) = ( 5 ) ². Attention : on peut aussi définir la fonction f o g! g : ² = X f : X X 5 = ² 5 donc f o g () = f [ g()] = f ( ² ) = ² 5. On constate donc immédiatement sur cet eemple que g o f () f o g (). 1 ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 1 11 F.Tournier