Fonctions de référence

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1 1ère STI - Chapitre 3: Fonctions de référence Introduction : exercice. Dessiner au tableau le graphique ci-dessous à main levée représentant une courbe de température avec le temps (en heures) en abscisses et la température (en degrés Celsius) en ordonnée. On appelle θ la fonction qui, au temps t associe la température. A partir de cette courbe, on peut poser des questions et y répondre en utilisant : Le langage courant : Quelle était la température à 6 heures? Le langage des fonctions : Quelle est l image de 6 par la fonction θ? Les notations mathématiques :Déterminer graphiquement θ(6). 1. Traduire dans le langage des fonctions les questions suivantes et y répondre en utilisant les deux langages : (a) Quelle était la température à 14 heures? (b) Durant quelle(s) période(s) la température diminue-t-elle? (c) Durant quelle(s) périodes la température était-elle supérieure à 10 degrés?. Traduire dans le langage courant les questions suivantes et y répondre en utilisant les deux langages : (a) Quels sont le ou les antécédents de 10 par la fonction θ? (b) Résoudre graphiquement l équation θ(t) = 0. c Pierre-Vincent Quéré - 006/007

2 (c) Quels sont le maximum et le minimum de la fonction θ sur [0; 4] et pour quelles valeurs de t sont-ils atteints? 3. Traduire par une phrase de chacun des deux langages les affirmations suivantes : (a) θ(10) = 15. (b) θ(t) = 5 pour t = 6, 8 ou t = 0,. (c) θ(t) 5 pour t [6, 8; 0, ]. 1 Fonctions de référence. 1.1 Fonctions affines (rappels de seconde) Caractéristiques d une fonction affine. (a) Définition. Définition 1 On appelle fonction affine toute fonction de la forme x ax + b, où a et b sont des réels fixés (indépendants de x). Si a = 0, on a une fonction constante (f(x) = b), et si b = 0, on a une fonction linéaire (f(x) = ax). (b) Représentation graphique. Propriété 1 La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Le nombre a s appelle le coefficient directeur, le nombre b l ordonnée à l origine. Exercice 1 Associer une droite à une fonction affine : Exo 7 p.169 Dimathème. Que représente une pente de 10%? (c) Variations. Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b. Propriété Le domaine de définition de f est R tout entier. Si a > 0, alors f est croissante sur R. Si a < 0, alors f est décroissante sur R. (Faire deux dessins) Remarque 1 Une fonction croissante (ou décroissante) sur R est dite monotone.

3 Démonstration : Traiter d abord deux ou trois exemples, puis envisager les deux cas (a > 0, a < 0) et considérer deux réels x 1 < x. Classer leurs images... (d) Signe. Propriété 3 Si f n est pas constante (i.e. a 0), la fonction f s annule en x 0 = b. Par ailleurs, on peut dresser le tableau de signe de f : a Si a > 0, Si a < 0, x x 0 + f(x) 0 + (Faire deux dessins) x x 0 + f(x) + 0 Remarque Attention! Le tableau de signe n a rien à voir avec le tableau de variation! 1. Fonction carré (rappels de seconde). Rappels : Le carré d un nombre réel est positif ou nul : Quelque soit le réel x, x 0. Un nombre réel et son opposé ont même carré : Quelque soit le réel x, x = ( x). Définition La fonction carré est définie sur R par x x. Propriété 4 La fonction carré est décroissante sur ] ; 0] = R et croissante sur [0; + [= R +. Elle présente un minimum égal à 0 en 0. Son tableau de variation est donc le suivant : x 0 + x ց ր 0 Sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal est la suivante :

4 Exercice Démontrer la propriété précédente. Sauriez-vous complèter le tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes? Donner le tableau de signe de la fonction? Définition 3 Dans le plan muni d un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction carré est une parabole dont l origine du repère est le sommet. Propriété 5 La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l axe des ordonnées : On dit que la fonction carré est une fonction paire (voir TD p.7) 1.3 Fonction inverse (rappels de seconde). Définition 4 La fonction inverse est définie sur R \ {0} = R par x 1 x. Propriété 6 La fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[= R et décroissante sur ]0; + [= R +. Elle ne présente pas d extrémum. Son tableau de variation est le suivant : x x ց ց

5 Sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal est la suivante : Exercice 3 Démontrer la propriété précédente. Sauriez-vous complèter le tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes? Donner le tableau de signe de la fonction? Définition 5 Dans le plan muni d un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole (équilatère). Propriété 7 La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l origine du repère dans lequel on la trace : On dit que la fonction inverse est une fonction impaire (voir TD p.7) 1.4 Fonction cube. 1.5 Fonction racine carrée. 1.6 Fonctions circulaires : sinus et cosinus. On considère le cercle trigonométrique : Cercle C de centre 0, de rayon 1, orienté (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonométrique). A un angle x on fait correspondre la longueur de l arc qu il intercepte sur C. Le périmètre p de C vaut. On définit le radian (unité de mesure d angles) par la correspondance : rad = 360

6 1.6.1 Cosinus et sinus d un angle. Définition 6 Le point M a pour coordonnées (cos; sin). Remarque 3 Cette définition correspond bien à la définition de 3 e (voir module). Valeurs remarquables. x en rad cos x sin x Propriété 8 On enroule la droite des réels sur le cercle trigonométrique (en plaçant l origine au bon endroit!) dans le sens trigonométrique. On a alors pour tout réel x : 1 cos x 1. 1 sin x 1. cos x + sin x = 1 (nb : cos x = (cosx) ) Fonctions cosinus et sinus (fonctions de référence). (a) Propriétés communes. Les fonctions cos et sin sont définies sur R. Les valeurs prises par ces fonctions sont comprises entre -1 et 1. Ces fonctions sont périodiques de période : x R, cos(x + ) = cosx et sin(x + ) = sin x.

7 (b) La fonction cosinus : cos. Exercice. 1. Complèter les points sur le cercle trigonométrique.. Remplir le tableau suivant : x 0 6 cosx 3. En déduire la courbe de la fonction cos dans un repère orthonormé sur [ ; ], puis sur [ 3; 3]. Autres propriétes. La fonction cos est paire : 4 x R, cos( x) = cosx. Les variations de la fonction cos sur [ ; ] sont les suivantes : x 0 1 cos x ր ց -1-1 Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de fois sur R. (c) La fonction sinus : sin. Exercice. 3

8 1. D après la figure de l exercice précédent, remplir le tableau suivant : x 0 sin x. En déduire la courbe de la fonction sin dans un repère orthonormé sur [ ; ], puis sur [ 3; 3]. Autres propriétes. La fonction sin est impaire : 6 4 x R, sin( x) = sin x. Les variations de la fonction sin sur [ ; ] sont les suivantes : x 0 1 sin x ց ր ց -1 0 Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de fois sur R. Résolution d équations trigonométriques..1 Équation cos x = cos a.. Équation sin x = sin a..3 Cas généraux : Exemples et exercices. 3 Fabrication de nouvelles fonctions. 3.1 Opérations sur les fonctions. cf. TP p Composition des fonctions Définition-Exemples. 3.. Sens de variation des fonctions composées. 3