III TRAVAUX PRATIQUES

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1 III TRAVAUX PRATIQUES TP 1. MINIMUM D'UNE FONCTION (d'après Fractale 2 page 247 AP3) L'unité de longueur étant le centimètre, considérons un rectangle ABCD d'aire fiée 16 cm². La longueur du côté [AB] eprimée en centimètres est égale à (voir figure ci-dessous). 1. a) Montrer que la longueur du côté [AD] est égale à 16. b) Quelles valeurs peut prendre? Ainsi à tout nombre strictement positif on associe f ( ) = 16. Nous avons ainsi défini une fonction dont l'ensemble de départ est 0,+ et dont l'ensemble d'arrivée est une partie de. On note : f : 0, a) Compléter le tableau de valeurs suivant : f() b) Placer les points de coordonnées, f ( ) qui figurent dans le tableau ci-dessus. c) A partir de ces points, donner l'allure de la courbe obtenue en faisant varier dans l'intervalle 05., A chaque valeur de on associe le périmètre p() du rectangle. 32 a) Montrer que p ( ) = 2+. b) Représenter la fonction p définie par : 32 p ( ) = 2+. c) En observant cette courbe, pouvez-vous trouver une valeur de pour laquelle p() soit minimal? b g Résolution avec la TI-82 Dans la question 2 la calculatrice nous permet de remplir rapidement le tableau demandé. Pour commencer, définissons la fonction en utilisant la touche (. obtient la représentation en appuyant sur la touche,. On calcule ensuite les valeurs demandées en utilisant les touches 2 # et & : Pour la question 3, essayons de représenter directement la fonction p. Un premier essai avec le repère standard ne donne rien. Comme nous l'avons déjà vu, le choi du mode Indpnt Ask permet d'entrer librement les valeurs souhaitées dans la première colonne de la table de valeurs. Pour représenter la fonction, on commence par régler la fenêtre à l'aide du menu WINDOW. Puis on Essayons de voir quelques valeurs prises par la fonction pour ajuster notre repère.

2 La variable ne prenant que des valeurs positives nous nous bornerons à +. Déterminons le minimum de la fonction. Le minimum est atteint pour = 4, et y =16. Commençons par définir notre fonction : 2+32/ p() Étude avec la TI-92 b# 1. Niveau seconde, début de première. Sans utilisation de la dérivée. On doit étudier le signe de pb ( ) pa ( ) pour a < b. " C Nous allons utiliser la fonction factor, présente dans le menu F2 Algebra, pour factoriser cette epression. Nous étudions cette fonction dans 0,+, de plus a < b, le signe de cette epression ne dépend donc que du signe de ab 16. Si a et b sont tous les deu inférieurs à 4, on obtient un signe négatif, ce qui montre que la fonction est décroissante sur 04,. Si a et b sont tous les deu supérieurs à 4, on obtient un signe positif, ce qui montre que la fonction est croissante sur 4, Utilisation de la dérivée La TI-92 permet d'obtenir directement l'epression de la dérivée. TEXAS INSTRUMENTS 2

3 am p(),) 3. Recherche directe du minimum On pouvait naturellement rechercher directement les racines de la dérivée, en précisant éventuellement l'intervalle de recherche : solve(p(),)=0,)! >0 Il est ensuite possible de factoriser cette epression : b# " C On peut aussi utiliser directement la fonction fmin présente dans le menu F3 Calc. fmin(p(),) >0 p(4) L'étude du signe de la dérivée est alors immédiate. TEXAS INSTRUMENTS 3

4 TP 2. FONCTIONS CONJOINTES Le programme suivant place dans Y0 (Utiliser Y4 sur les TI-80 et TI-81) une fonction dont la représentation graphique a une équation du type 2 y = a + b+ c Les nombres a, b et c sont déterminés aléatoirement par le programme. PROGRAM:PARABOLE Construction aléatoire )Q2II d'une parabole. ;ÓÝ<c URXQGUDQGÝ% On peut modifier ces URXQGUDQGÝ& formules pour obtenir URXQGUDQGÝ$ une plus grande variété $;A%;&Ý<b de courbes 'LVS*UDSK Le but du TP est de retrouver graphiquement ces coefficients en utilisant les opérations sur les fonctions vues dans la partie cours. Nous pouvons ensuite voir que notre parabole est inversée par rapport à celle définie par y 2. Construisons donc Y2 = -Y1. Il reste à translater cette parabole... Pour une construction plus claire, on peut désactiver Y1 et Y2. On peut commencer par déterminer les coordonnées du sommet de la parabole. A présent, les deu courbes coïncident. On peut le vérifier avec le tableau de valeurs : En résumé on a ici f( ) 2 ( 2) On peut en obtenir confirmation par la machine : Il semble que le sommet a pour coordonnées (2,9). TEXAS INSTRUMENTS 4

5 TP 3. UTILISATION DE LA CONVEXITÉ Étude sur TI-82 ou TI-83 Si on veut par eemple encadrer la fonction sinus sur l'intervalle 0,π 2 par deu fonctions linéaires, on peut remarquer que sur cet intervalle la fonction est concave. Pour étudier la conveité de la fonction sinus sur l'intervalle considéré, traçons dans un même repère la fonction sinus, ainsi que ses dérivées première et seconde. Pour cela entrons dans Y1 la fonction sinus comme indiqué ci-dessus. On définit ensuite dans Y2 la dérivée de cette fonction : dans le menu I on choisit la commande n, on valide à l'aide de la touche. Dans la parenthèse on entre tout d'abord la fonction Y1 : G La fonction Y2 dérivée de sinus est décroissante. Sa propre dérivée est négative. Remarque. On peut observer la symétrie entre les courbes représentant Y1 et Y3, que l'on peut justifier en vérifiant que Y3 est l'opposée de Y1. La fonction sinus est donc concave. La courbe représentant une fonction de ce type est située en dessous de ses tangentes, et chaque arc de la courbe est au-dessus de la corde correspondante. En particulier la courbe représentant la fonction sinus sur 0,π 2 est sous sa tangente en 0, et audessus de la corde passant par l'origine et le point A de coordonnées bπ 21, g. On entre ensuite deu fois X, séparés par une virgule. (On dérive la fonction définie dans Y1 par rapport à X, et on veut la valeur au point X) On définit de même la dérivée de Y2, c'est à dire la dérivée seconde de Y1, dans Y3. L'équation de la droite (OA) est : y = 2 π Nous aurons donc : 2 pour tout 0, π 2 sin( ). π Remarque. La tangente en 0 peut être obtenue, lorsque la courbe représentative de Y1 est à l'écran : 1. Choisir l'option Tangent : F z 2. Atteindre le point désiré à l'aide des touches 6 et 9 3. Valider lorsque X=0, Y=0 est affiché en bas de l'écran. On obtient le tracé de la tangente à l'origine. Il ne reste plus qu'à définir le repère à l'aide de ), puis à effectuer le tracé avec,. Teas Instruments 5

6 Traitons à présent cette activité avec la TI Définition de la fonction Réglons tout d abord la fenêtre graphique, on y accède à l aide de. 0#3D #1#0#3D #1 #2 Étude avec la TI-92 am CrossP(q-p,[,y]-p)[1,3]=0 eqd(p,q) Entrons maintenant la fonction sinus. am 6 C Cette fonction, une fois créée, pourra être utilisée pour rechercher n'importe quelle équation de droite. Voici par eemple une équation de la droite passant par les points A( 13,) et B( 54, ). eqd([1,3],[5,4]) 2. Equation de la tangente Revenons à l écran de calcul afin de définir la tangente à la courbe en 0. Utilisons pour cela le développement de Taylor de la fonction à l ordre 1. cn6 CA A A C y B C (on stocke dans y2()). Calculons ici une équation de la droite passant par les points de la courbe d'abscisse 0 et S/2. eqd([0,y1(0)],[s/2,y1(s/2)]) Pour obtenir une équation réduite, on résout par rapport à y b ŽAyC 3. Equation de la corde Nous allons maintenant définir l équation de la droite passant par deu points d une courbe. Dans l eemple présent l équation s obtient facilement à la main, mais la méthode peut être utilisée dans des eemples plus complees. Utilisons la fonction faisant appel à crossp du menu MATH/Matri/Vector Ops (voir le manuel en 25-6). Afin de préparer la représentation graphique, on etrait le membre de droite de l équation pour le stocker dans la fonction y3. TEXAS INSTRUMENTS 6

7 b XŽC y B C permet de vérifier la présence des trois fonctions. donne la représentation graphique. TEXAS INSTRUMENTS 7

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