8 Fonctions trigonométriques

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1 8 Fonctions trigonométriques Rappel Voici le grape de la fonction sinus : 6 3 On rappelle quelques propriétés de la fonction sinus démontrées aux exercices.6 et.9 : ) elle est définie sur l ensemble des nombres réels et à valeurs dans [ ; ] ; ) elle est impaire : sin( x) sin(x) pour tout x R ; 3) elle est périodique de période : sin(x + ) sin(x) pour tout x R. Passons au grape de la fonction cosinus : 6 3 Les propriétés suivantes de la fonction cosinus ont aussi été démontrées : ) elle est définie sur l ensemble des nombres réels et à valeurs dans [ ; ] ; ) elle est paire : cos( x) cos(x) pour tout x R ; 3) elle est périodique de période : cos(x + ) cos(x) pour tout x R. Les relations sin(x + ) cos(x) et cos(x ) sin(x) impliquent que les grapes des fonctions sinus et cosinus s obtiennent l un à partir de l autre par une translation de dans la direction de l axe des abscisses. 8. Fonction tangente On rappelle que la fonction tangente est définie par tan(x) sin(x) cos(x). ) Quel est le domaine de définition de la fonction tangente? ) Étudier la parité de la fonction tangente. 3) Vérifier que la fonction tangente est périodique de période. 4) Quelles sont les asymptotes verticales de la fonction tangente? 5) Représenter soigneusement le grape de la fonction tangente. Analyse : fonctions trigonométriques 8.

2 8. Déterminer les zéros et le signe de caque fonction sur l intervalle [0 ; p[, où p désigne la période de la fonction. ) f(x) sin ( ) 3 x + ) f(x) cos(x) + sin(x) 4 3) f(x) sin(x) cos(x) 4) f(x) cos(x) + sin (x) 5) f(x) 4 cos (x) cos(x) 6) f(x) 3 tan (x) 4 3 tan(x) Soit la fonction f donnée par f(x) sin(x + ). Déterminer les coordonnées des points d intersection du grape de f avec les deux axes de coordonnées Ox et Oy. 8.4 ) En fonction de ]0 ; [, calculer : (a) l aire du triangle OAB ; (b) l aire du secteur OAE ; (c) l aire du triangle OCE. ) En déduire que cos() sin() < < sin() cos(), puis que cos() > sin() > cos(). sin() 3) En tirer que lim 0. >0 sin() 4) Conclure, vu la parité de la fonction sinus, que lim. 0 O A B E C cos() 8.5 Montrer que lim 0. 0 cos() cos() Indication pour lever l indétermination : lim lim cos() cos() Démontrer la formule ( sin(x) ) cos(x). Rappels : f (x) lim 0 f(x+) f(x) et sin(α + β) sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) 8.7 Démontrer la formule ( cos(x) ) sin(x). Indication : cos(x) sin( x) Analyse : fonctions trigonométriques 8.

3 8.8 Démontrer la formule ( tan(x) ) cos (x) + tan (x). 8.9 Calculer les dérivées première et deuxième des fonctions de l exercice Démontrer que la fonction f(x) sin 6 (x) + cos 6 (x) + 3 sin (x) cos (x) est constante. 8. Soit la fonction f définie par f(x) sin( x) + 3 x. ) Donner l équation de la tangente t au grape de f au point d abscisse x. ) Montrer qu au point d abscisse x la tangente au grape de f est 3 perpendiculaire à t. 3) Déterminer les coordonnées d un point d abscisse x ] ; ] pour lequel la tangente au grape de f est parallèle à t. 8. Un triangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre mesure 0 cm. Si θ désigne l angle formé par l ypoténuse et l une des catètes, déterminer la valeur de l angle θ qui maximise l aire du triangle et calculer cette aire maximale. θ 0 cm 8.3 Dans un trapèzeabcd, rectangle end, la baseab et la diagonale AC ont une longueur L fixée. Déterminer pour quelle valeur de l angle α l aire du trapèze est maximale. Quelle est l aire maximale? B C L α D A Fonctions trigonométriques inverses Définissons la fonction arc sinus, qui est la fonction inverse de la fonction sinus. Construisons le symétrique, par rapport à la bissectrice du premier quadrant, du grape de la fonction sinus. La courbe ainsi obtenue ne définit pas une fonction, car pour une valeur de x [ ; ], il existe plus d une image. Par contre, si pour x [ ; ] nous coisissons uniquement des valeurs de y qui appartiennent à [ ; ], nous obtenons une fonction que nous appelons arc sinus. Pour x [ ; ] et y [ ; ], on pose : y arcsin(x) x sin(y). 6 Analyse : fonctions trigonométriques 8.3

4 Définissons la fonction arc cosinus, qui est la fonction inverse de la fonction cosinus. Construisons le symétrique, par rapport à la bissectrice du premier quadrant, du grape de la fonction cosinus. La courbe ainsi obtenue ne définit pas une fonction, car pour une valeur de x [ ; ], il existe plus d une image. Par contre, si pour x [ ; ] nous coisissons uniquement des valeurs de y qui appartiennent à [0 ; ], nous obtenons une fonction que nous appelons arc cosinus. Pour x [ ; ] et y [0 ; ], on pose : y arccos(x) x cos(y) Définir de même la fonction arc tangente. 8.5 ) En dérivant l égalité sin ( arcsin(x) ) x, montrer que ( arcsin(x) ) cos ( arcsin(x) ). ) Justifier que si α [ ; ], alors cos(α) sin (α). 3) En déduire la formule ( arcsin(x) ) x. 8.6 ) En dérivant l égalité cos ( arccos(x) ) x, montrer que ( arccos(x) ) sin ( arccos(x) ). ) Justifier que si α [0 ; ], alors sin(α) cos (α). 3) En déduire la formule ( arccos(x) ) x. 8.7 Démontrer la formule ( arctan(x) ) + x. Analyse : fonctions trigonométriques 8.4

5 8.8 Le bas d un écran de cinéma de mètres de aut arrive à 6 mètres au-dessus des yeux d une spectatrice. ) Exprimer α et β en fonction de x. ) Exprimer θ en fonction de x. 3) Si l on obtient la meilleure vision lorsque l ouverture d angle θ rapportée à l écran est maximale, à quelle distance x du bas de l écran la spectatrice doit-elle se trouver pour avoir la meilleure vision? α β θ x 6 Analyse : fonctions trigonométriques 8.5

6 Réponses 8. ) D tan R { + k : k Z} ) la fonction tangente est impaire 4) asymptotes verticales x + k où k Z 5) ) ) ) 0 + 4) ) ) ( k ; 0) et ( 6 + k ; 0) où k Z (0 ; ) 8.9 ) f (x) 9 sin ( ) f (x) 3 cos ( ) 3 x + 3 x ) f (x) sin(x) + cos(x) f (x) cos(x) sin(x) 3) f (x) cos (x) sin (x) f (x) 4 sin(x) cos(x) 4) f (x) sin(x) + sin(x) cos(x) f (x) cos(x) + cos (x) sin (x) 5) f (x) sin (x) + 4 cos 4 (x) + cos (x) f (x) sin(x) ( 4 cos (x) + ) cos (x) cos 3 (x) 6) f (x) ( 6 tan(x) 4 3 ) ( + tan (x) ) f (x) ( 9 tan (x) 4 3 tan(x) + 3 ) ( tan (x) + ) 8. ) y x + 3) ( 3 ; 9 ) 8. θ 4 aire maximale : 00 cm 8.3 α 3 aire maximale : 3 3L Pour x R et y ] ; [, on pose y arctan(x) x tan(y). 8.8 ) α arctan( 8 x ) β arctan( 6 x ) ) θ arctan( 8 x ) arctan( 6 x ) 3) 6 3 0,39 m Analyse : fonctions trigonométriques 8.6