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1 Sommaire SAMEDI 28 JANVIER 2012 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les séries statistiques à deux variables ; Page 2 Deux exercices intitulés : «La part du nucléaire» et «Club de rugby» pour Page 5 travailler la notion de statistiques ; Un rappel de cours sur le calcul intégral ; Page 7 La suite du QCM donné lors de la séance précédente, deux exercices classiques pour Page 8 poursuivre les études de fonctions. Pour les regroupements à venir Voici un rappel des regroupements à venir : Samedi 28 janvier 2012 : les statistiques (Tome 3, séquence 2, chapitre 2) et les fonctions (calcul intégral) (Tome 2, séquence 6) ; Samedi 11 février 2012 : les probabilités (Tome 3, séquence 3) et les fonctions ; Samedi 17 mars 2012 : à déterminer suivant vos besoins ; Samedi 7 avril 2012 : à déterminer suivant vos besoins. Je suis à votre disposition pour toutes vos questions : Page 1

2 LES SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES Le but des statistiques est d induire des lois de comportement à partir d un grand nombre d observations. En particulier, un thème majeur d étude est la recherche d une corrélation entre deux caractères (ou grandeurs ou variables) x et y, partagés par les individus (ou éléments) d une population (ou ensemble étudié). Il s agit donc de détecter qu un caractère varie en fonction de l autre puis de trouver un modèle mathématique de cette dépendance, c est-à-dire trouver une fonction f telle que l on puisse écrire y f(x) On utilisera alors le modèle f, pour estimer la valeur de y associée à une valeur non observée de x. Quand la série est chronologique, cette approche permet de prédire des comportements futurs, à moyen terme, pour la variable y. I. Séries statistiques à deux variables : On appelle série statistique à deux variables, la donnée de n couples (x i ; y i ) de valeurs réelles. A chaque couple (x i ; y i ), on peut associer, dans un repère orthogonal, un point M i de coordonnées (x i ; y i ). L ensemble des points ainsi obtenus est appelé nuage de points associé à la série statistique. On appelle alors point moyen de cette série, le point G de coordonnées ( ; ) où et sont les moyennes respectives des séries x 1 ; x 2 ;... ; x n et y 1 ; y 2 ;... ; y n : On a : et II. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés : Effectuer un ajustement, c est chercher une fonction dont la représentation graphique décrive au mieux le nuage de point associé à la série statistique considérée. Si la fonction cherchée est affine, on parle d ajustement affine. On peut décider, au vu du dessin, de choisir telle ou telle droite. En général on cherche à minimiser une certaine notion de distance entre la droite et le nuage. On parle alors d ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Lors d un ajustement affine de y par x par la méthode des moindres carrés, on cherche une fonction f de la forme f(x) = ax + b passant par le point moyen G. Dans ces conditions, on a : et La droite obtenue est appelée la droite de régression de y en x. Remarques : est la covariance des deux séries x i et y i, on la note cov(x ; y) ; est la variance de la série x i, on la note var(x). On peut donc écrire : Page 2

3 III. Exemple : Le tableau suivant représente l évolution du chiffre d affaires en milliers d euros d une entreprise pendant dix années, entre 1995 et Année Rang de l année x i Chiffre d affaires y i Représenter le nuage de points M i (x i ; y i ). 2. Quel est en pourcentage, l augmentation du chiffre d affaires entre les années 1995 et 2004? 3. Soit G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées du point G et le placer sur le dessin. 4. Justifier qu il est judicieux de procéder pour cette série à un ajustement affine. Donner l équation de la droite D d ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. 5. Vérifier que G appartient à la droite D et tracer la droite D sur le dessin. 6. En admettant que l évolution continue au même rythme et en utilisant l ajustement affine, quel chiffre d affaires peut-on attendre pour l année 2010? 7. On suppose qu à partir de l année 2004, le chiffre d affaires progresse de 8 % par an. Quel est alors le chiffre d affaires prévisible en 2010? Chiffre d'affaires G Chiffre d'affaires D Entre les années 1995 et 2004 le chiffre d affaires est passé de 110 à 295 milliers d euros. On a : 295 2,69 donc entre les années 1995 et 2004 le chiffre d affaires a été multiplié par 2, ,69 = 1 + 1,69 = Entre les années 1995 et 2004, le chiffre d affaires a augmenté de 169 %. Page 3

4 3. Le point G a pour coordonnées (4,5 ; 202,4). 4. Le nuage de point a une forme rectiligne, il est donc judicieux de procéder à un ajustement affine. On remplit le tableau suivant : ,5 20,25-92,4 415, ,5 12,25-72,4 253, ,5 6,25-48, ,5 2,25-22,4 100, ,5 0,25-12,4 6, ,5 0, , ,5 2,25 37,6 56, ,5 6,25 42,6 106, ,5 12,25 67,6 236, ,5 20,25 92,6 416,7 Ainsi : et L équation de la droite D est : y = 20,8x + 108,8. 5. Pour x = 4,5, on a : 20,8x + 108,8 = 93, ,8 = 202,4 Le point G appartient à la droite D. 6. L année 2010 est l année de rang 15. Pour x = 15, on a : 20,8x + 108,8 = ,8 = 420,8 Le chiffre d affaires attendu pour 2010 est de 420,8 milliers d euros. Il s agit d une extrapolation (on parle d interpolation pour des valeurs à l intérieur de la plage des données et d extrapolation pour des valeurs à l extérieur de cette plage). 7. Une augmentation de 8 % correspond à une multiplication par = 1,08. Si on suppose une progression annuelle de 8 %, en 6 années (de 2004 à 2010) le chiffre d affaires sera multiplié 6 fois par 1,08. Le chiffre d affaires prévisible pour l année 2010 est environ 468 milliers d euros. Page 4

5 EXERCICE : LA PART DU NUCLÉAIRE Le tableau suivant donne la production d électricité d origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kwh, entre 1979 et Les rangs des années sont calculés par rapport à l année Année Rang de l année x i Production y i 37,9 213,1 297,9 358,8 395,2 401,3 416,5 420,7 427,7 Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous : Partie A : Recherche d un ajustement affine 1. Donner une équation de la droite d ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au dixième). 2. a. D après cet ajustement, quelle serait la production d électricité nucléaire en France en 2005? b. En réalité, en 2005, la production d électricité nucléaire a été de 430 milliards de kwh. Calculer le pourcentage de l erreur commise par rapport à la valeur réelle, arrondi à 0,1 % près, lorsque l on utilise la valeur fournie par l ajustement affine. Partie B : Un autre modèle Compte tenu de l allure du nuage de point, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout x de [4 ; + [ par : f(x) = 197 ln x Calculer la production d électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour l année Quelle conclusion peut-on en tirer? 2. a. Résoudre dans [4 ; + [ l inéquation f(x) 460. b. Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d électricité dépassera 460 milliards de kwh? Page 5

6 EXERCICE : CLUB DE RUGBY Le tableau suivant donne l évolution du nombre d adhérents d un club de rugby de 2001 à Année Rang de l année x i Nombre d adhérents y i On cherche à étudier l évolution du nombre y d adhérents en fonction du rang x de l année. Partie A : Un ajustement affine 1. Dans le plan muni d un repère orthogonal d unités graphiques : 2 cm pour une année sur l axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l axe des ordonnées, représenter le nuage de points associés à la série (x i ; y i ). 2. Déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (les coefficients seront arrondis à l unité). 3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années à venir, donner une estimation du nombre d adhérents en On pose z = ln y. Partie B : Un ajustement exponentiel 1. Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de z i au millième : x i z i 4, Déterminer une équation de la droite d ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. (les coefficients seront arrondis au millième). 3. En déduire une approximation du nombre d adhérents y en fonction du rang x de l année. 4. En prenant comme approximation et en supposant qu elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d adhérents en Partie C : Comparaison des ajustements En 2007, il y eu 280 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent? Justifier la réponse. Page 6

7 CALCUL INTÉGRAL I. Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I : où F est une primitive de f sur I. II. Propriétés : f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c sont des éléments de I et k est un réel. Propriétés de linéarité : Positivité et ordre : Pour, si pour tout x de [a ; b] on a : Pour, si pour tout x de [a ; b] on a : Relation de Chasles : III. Valeur moyenne : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I avec a < b, la valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel : IV. Aire sous la courbe : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. est l aire de la partie du plan comprise entre la courbe de f, l axe des abscisses et les droites d équation x = a et x = b en unités d aire. Page 7

8 QCM (SUITE) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [ 5 ; 5 2 ]. Le plan est muni d'un repère orthonormé. La courbe (C f ) représentée ci-dessous est celle de la fonction f. Les points A (0 ; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe (C f ). Le point de la courbe (C f ) d'abscisse 5 a une ordonnée strictement positive. La tangente (T) en A à la courbe (C f ) passe par le point D ( 2 ; 0). La tangente en B à la courbe (C f ) est parallèle à l'axe des abscisses. 1. A quel intervalle appartient le réel I =? a. [0 ; 3] b. [3 ; 6] c. [6 ; 9] 2. Parmi les trois courbes ci-après, l une est la représentation graphique de la fonction dérivée f de la fonction f. Laquelle? a. La courbe (C 1 ) b. La courbe (C 2 ) c. La courbe (C 3 ) 3. Parmi les trois courbes ci-après, l une est la représentation graphique d une primitive F de la fonction f, F étant définie sur l intervalle. Laquelle? a. La courbe (C 1 ) b. La courbe (C 2 ) c. La courbe (C 3 ) Page 8

9 EXERCICE : UNE PREMIÈRE ÉTUDE DE FONCTION On considère la fonction f définie sur ] 1 ; + [ par : f( x ) = 3x ln( x + 1 ) On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1. a. Calculer la limite de f en 1. Donner l interprétation graphique du résultat obtenu. b. Déterminer la limite de f en +. ln ( x + 1 ) (On pourra utiliser : lim = 0) x + x 2. a. On note f la dérivée de f sur ] 1 ; + [. Démontrer que f ( x ) = 5 3x x + 1. b. Étudier le signe de f et dresser le tableau de variation de f. On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de f sur ] 1 ; + [. 3. On se place dans l intervalle [ 5 ; + [. Démontrer que dans cet intervalle, l équation f( x ) = 0 admet une 3 solution unique notée x 0. Donner une valeur approchée de x 0 à 10 2 près. 4. a. Vérifier que la fonction F définie par : est une primitive de f sur ] 1 ; + [. F( x ) = 3 2 x2 4x + 8( x + 1 ) ln( x + 1 ) b. Calculer l aire, exprimée en unités d aire, du domaine plan limité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = 0 et x = 5 (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près). Page 9

10 Le plan est muni d un repère orthonormal (O ; EXERCICE : UNE DEUXIÈME ÉTUDE DE FONCTION i, j ). 1. On considère la fonction g définie sur ] 0 ; + [ par : g( x ) = ln x + 2x 2 3 Le tableau de variation de la fonction g est donné ci-dessous : x 0 α + g ( x ) 0 + En utilisant une calculatrice, on a obtenu α 1,19. Dresser le tableau donnant le signe de la fonction g sur l intervalle ] 0 ; + [. 2. On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par : f( x ) = 2 x ln x x + 2x 5 On note C f la courbe représentative de f dans le repère (O ; a. Déterminer la limite de la fonction f en 0. b. Déterminer la limite de la fonction f en +. i, j ). 3. On note f la dérivée de f sur ] 0 ; + [. a. Calculer f ( x ) et montrer que pour tout réel x de l intervalle ] 0 ; + [ on a : f ( x ) = g( x ) x 2. b. En déduire le sens de variation de f sur l intervalle ] 0 ; + [ et dresser son tableau de variation. c. Déterminer le signe de f( x ) pour tout réel x supérieur ou égal à e. 4. Soit h la fonction définie sur ] 0 ; + [ par h( x ) = (ln x) 2. a. Calculer la dérivée h de h. b. En remarquant que pour tout x de l intervalle ] 0 ; + [, on a : f( x ) = 2 x 1 h ( x ) + 2x 5 2 trouver une primitive F de la fonction f sur l intervalle ] 0 ; + [. c. Déterminer l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan limitée par la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équations x = e et x = e 2 (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près). Page 10

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