Analyse Numérique CP2. ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc

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Alfred Guérin
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1 Analyse Numérique CP2 ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc Méthodes numériques pour la résolution d équations différentielles ENSA, Mai 2015 CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 1 / 21

2 Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 2 / 21

3 Introduction Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 3 / 21

4 Introduction - Certaines équations différentielles ne peuvent pas être résolues sous forme explicite. Ex. : dy dt = y 2 t - Cependant, on peut approximer la solution de ces équations par des méthodes numériques. - Nous allons nous concentrer sur le problème de Cauchy et nous allons voir des méthodes d approximation de type Euler, et Runge Kutta. - Par soucis de simplicité, nous allons nous restreindre aux méthodes à un pas. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 4 / 21

5 Introduction Problème de Cauchy Hypothèses Soit I un intervalle de IR non réduit à un point, soit t 0 I. f désigne une fonction continue sur I IR à valeurs dans IR. Soit y 0 un réel donné. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 4 / 21

6 Introduction Problème de Cauchy Définition On appelle problème de Cauchy le problème suivant : Trouver y une fonction continue et dérivable sur I à valeurs réelles telle que : t I, y (t) = f(t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 5 / 21

7 Méthode d Euler Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 6 / 21

8 Méthode d Euler Méthode d Euler Introduction Soit le problème différentiel suivant : trouver y telle que t [t 0, t 0 + T] y (t) = f(t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 Nous supposons que f est continue sur [t 0, t 0 + T] IR et vérifie une hypothèse de Lipshitz : L/ t [t 0, t 0 + T], f(t, y) f(t, z) L y z, y, z IR Nous allons voir que le problème de Cauchy admet une solution unique qu on va approcher de façon discrète. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 7 / 21

9 Méthode d Euler Solution du problème de Cauchy Discrétisation On se donne une subdivision de [t 0, t 0 + T] soit : t 0 < t 1 <... < t N = (t 0 + T) On pose h n = t n+1 t n pour n = 0,..., N 1 le pas de discrétisation et on note h = maxh n Solution numérique Si y désigne la solution du problème de Cauchy, on : tn+1 tn+1 y(t n+1 ) = y(t n )+ y (t)dt = y(t n )+ t n t n f(t, y(t))dt CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 8 / 21

10 Méthode d Euler Solution du problème de Cauchy Schéma d Euler La méthode d Euler s écrit en remplaçant t n+1 t n f(t, y(t))dt par f(t n, y n ).h n dans l équation précédente. On remarque ici une approximation de l intégrale par une méthode de quadrature. Schéma d Euler explicite et implicite Dans la solution précédente, on change seulement le terme f(., y n ), on introduit t n ou t n+1 CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 9 / 21

11 Méthode d Euler Solution du problème de Cauchy Schéma d Euler explicite y n+1 = y n + h n f(t n, y n ) Schéma d Euler implicite y n+1 = y n + h n f(t n+1, y n+1 ) CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 10 / 21

12 Méthodes à un pas Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 11 / 21

13 Méthodes à un pas Méthodes à un pas Définition Considérons le problème de Cauchy avec la condition de Lipshitz et la même subdivision de l intervalle I. Une { méthode à un pas s écrit : yn+1 = y n + h n Φ(t n, y n, h n ), n 0 y 0 = η On suppose que Φ est continue et ne dépend que de f. Remarque : Φ(t, y, h) = f(t, y) pour la méthode d Euler. Théorème Si la méthode à un pas est stable et consistante, alors elle est convergente. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 12 / 21

14 Définitions générales Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 13 / 21

15 Définitions générales Consistance, convergence, stabilité Consistance La méthode à un pas est consistance avec l équation différentielle initiale si pour toute solution du problème de Cauchy, on ait : N 1 i=0 y(t n+1) y(t n ) h n Φ(t n, y(t n ), h n ) 0 quand h n 0. Convergence max n y(t n ) y n 0. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 14 / 21

16 Définitions générales Ordre d une méthode à un pas Définition La méthode à un pas est d ordre p > 0 s il existe un réel K indépendant de y et de Φ tel que : N 1 n=0 y(t n+1 ) y(t n ) h n Φ(t n, y(t n ), h n ) Kh p pour toute solution y C p+1 [t 0, t 0 + T ] de l équation y (t) = f(t, y(t)) CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 15 / 21

17 Définitions générales Exemple de méthodes à un pas Méthode du développement de Taylor voir les détails au tableau. *Pour p = 1, on retrouve la méthode d Euler. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 16 / 21

18 Méthode de Runge Kutta Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 17 / 21

19 Méthode de Runge Kutta Méthode de Runge Kutta Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d approximation de solutions d équations différentielles. En 1901, elles ont été nommées en l honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta. Ces méthodes reposent sur le principe d itération : Une 1ère estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde plus précise. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 18 / 21

20 Méthode de Runge Kutta Méthode de Runge Kutta d ordre q Définition t n,i = t n + c i h n y n,i = y n + h n a ij p n,j 1 j<i p n,i = f(t n,i, y n,i ) t n+1 = t n + h n y n+1 = y n + h n b j p n,j 1 j<q On a toujours : 1 j<i a ij = c i, 1 j<q b j = 1. **Pour les méthodes d ordre 2 et 4, voir explications au tableau. CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 19 / 21

21 Conclusion Plan 1 Introduction 2 Méthode d Euler 3 Méthodes à un pas 4 Définitions générales 5 Méthode de Runge Kutta 6 Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 20 / 21

22 Conclusion Conclusion CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique Tanger 21 / 21

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