Pour les élèves de l'échange Italie : travail sur les normes de vecteurs (longueurs des vecteurs)

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1 Pour les élèves de l'échange Italie : travail sur les normes de vecteurs (longueurs des vecteurs) Leçons : 4 Colinéarité de vecteurs 4-1- Rappel Soit u et v deux vecteurs non nuls. On dit que u et v sont colinéaires s il existe existe un nombre k non nul tel que u = k v Deux vecteurs colinéaires ont la même direction. 4-- Critère de colinéarité de deux vecteurs Théorème : u x; y et v x' ; y ' sont colinéaires si et seulement si xy ' yx'=0 Preuve : u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k non nul tel que u =k v { x=kx ' y=ky' En multipliant la première par y et la seconde { xy=kx ' y soit, les deux équations étant égales : yx=ky' x kx'y=ky'x kx ' y ky ' x=0 k x ' y y' x =0 et comme k 0 : x ' y y ' x=0 Exemple 1 : u 1 ; 5 v 5 ; sont-ils colinéaires? On utilise le critère de colinéarité : x u y v x v y u = 1 5 = 1 1 = 1 1=0 5 On en déduit que les vecteurs u et v sont colinéaires. Exemple : déterminer x pour que u x 1;7 v 7; soient colinéaires. Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si le critère de colinéarité est vérifié donc : x u y v x v y u =0 x 1 7 7=0 x 49=0 x= 5 Donc les deux vecteurs seront colinéaires si x= 5. Exercices : 54;6;56 p 176. Leçons : 4-- Colinéarité, parallélisme et alignement. Théorème : Soient A, B, C et D quatre points distincts. (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exercices : 64;66;67;68 p 176

2 Leçons : Application 1: Les points A(; ), B(5; 4) et C( ; x ) sont alignés. Déterminer la valeur de x. Utilisation de la propriété : les points A, B, C sont alignés si et seulement si et sont colinéaires. A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires. AB (;-1) AC 4; x On utilise le critère de colinéarité : x AB y AC x AC y AB =0 x 1 4 =0 x= 5 Donc les points A, B, C seront alignés si x= 5 Application : NOTION DIFFICILE! ABC est un triangle. N et P sont les points tels que BN= 7 4 BA BC et CP= 1 BA AC 1 ) Placer N et P ) a- Justifier que (B; B A, BC ) est un repère du plan. Déterminer les coordonnées de A, B, C dans ce repère (sans justifier) c- Déterminer les coordonnées de N et P dans ce repère (justifier). d- Démontrer que les points A, N, P sont alignés. Correction Application : NOTION DIFFICILE! 1 ) ) a- (B; B A, BC ) est un repère du plan car les vecteurs BA et BC ne sont pas colinéaires. Rappel : les coordonnées d'un point M dans le repère (B, BA, BC ) sont celles du vecteurs BM donc les nombres x et y tels que BM = x BA + y BC. Or BA=1 BA 0 BC donc A(1;0) dans le repère considéré. BB=0 BA 0 BC Donc B(0;0) BC=0 BA 1 BC donc C(0;1) c- Pour N : Les coordonnées de N sont celles du vecteur BN.

3 Or BN= 7 4 BA BC donc N 7 4 ; 1 dans le repère considéré. Pour P : Méthode 1 : avec le définition. On exprimer BP en fonction de BA et BC CP= 1 BA AC CB BP= 1 BA AB BC. BP= 1 BA BC Donc P 1 ; dans le repère considéré. Méthode : par égalité des coordonnées de vecteurs. On note (x;y) les coordonnées de P CP= 1 BA AC or CP (x;y-1) BA (1;0) et AC (-1;1) CP= 1 BA AC {x= y 1= y= { x=. Donc P 1 ; d- A, N, P sont alignés si et seulement si AN et AP sont colinéaires. AN 4 ; 1 Et AP 5 ;. On utilise le critère de colinéarité : x y AN AP x AP y AN = =,5,5=0 Donc A, N, P sont alignés. Exercices : 9 et 10 fiche polycop ci-dessous (avec correction partielle) Vecteurs : parallélisme et alignement en repère quelconque nde Rappel : Les coordonnées de M dans le repère (O, OI, OJ ) sont les réels a et b tels que OM=a OI b OJ Exercice 9 : ABC est un triangle, et D est le point défini par AD BD CD= 0 1 ) Exprimer le vecteur AD en fonction des vecteurs AB et AC puis placer le point D. ) a- Justifier que (A, AB, AC ) est un repère. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D dans ce repère. c- Démontrer que (CD) est parallèle à (AB). Exercice 10 : Soit ABCD un parallélogramme, et I et J les points vérifiant CI= 1 IB et DJ= AB. 1 )a- Exprimer CI en fonction de CB. faire une figure, puis placer I et J. ) a- Sans justification, donner les coordonnées de A, B, C, et D dans le repère ( A; AB, AD ). En justifiant, donner les coordonnées de I et de J dans ce même repère. ) Prouver que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles. Exercice 11 : ABCD est un rectangle, J est le point tel que CJ= CB et I le point tel que AI= 1 5 AB. On se place dans le repère (C; CB, CD ) 1 )a- Donner les coordonnées des points A, B, C, D et J, sans justification.

4 Déterminer les coordonnées de I dans le même repère, en justifiant. ) L est un point de la droite (CD). Expliquer pourquoi l'abscisse du point L est nulle. ) On note x la valeur de l'ordonnée de L. Quelle doit être la valeur x pour que les points I, J, L soient alignés? Exercices suivants : 97 et 101 p 180. Correction de l'exercice 9 : ABC est un triangle, et D est le point défini par AD BD CD= 0 1 ) AD BD CD= 0 AD BA AD CA AD = 0 AD= AB AC ) a- (A, AB, AC ) est un repère car AB et AC ne sont pas colinéaires. Coordonnées évidentes : A(0;0) B(1;0) C(0;1) Méthode 1 pour D : On utilise la définition des coordonnées d'un vecteur. AD= AB AC donc D ;1 dans (A, AB, AC ). Méthode pour D : On utilise l'égalité AD BD CD= 0. Si D (x;y), alors : AD x ; y BD (x-1;y) CD (x;y-1) AD BD CD= 0 { x x 1 x=0 y y y 1 =0 { x= y=1 c- (CD) est parallèle à (AB) si et seulement si CD et AB sont colinéaires. et D ;1 Or CD ;0 et AB 1 ;0. On vérifie facilement, sans critère de colinéarité, que CD= AB donc CD et AB sont colinéaires et (ABN) est parallèle à (CD) Correction de l' Exercice 10 : Soit ABCD un parallélogramme, et I et J les points vérifiant CI= 1 IB et DJ= AB. 1 )a- CI= 1 IB CI= 1 IC CB CI= 1 CB ) a- A(0;0) B(1;0) D(0;1) et C(1;1) Méthode 1 : Avec la définition AI= AB BI= AB BC= AB AD (car AD= BC car ABCD est un parallélogramme). On en déduit donc que I 1; dans (A; AB, AD ). AJ= AD DJ= AD AB= AB AD donc J ;1 dans (A; AB, AD ).

5 Méthode : par le calcul : On note I(x;y). On sait que CI= 1 CB On note J(x;y). DJ= AB { x= { x 1= 1 0 { x=1 y 1= y= 1 { y 1= x= 0 y=1 et I 1; et J ;1 ) IJ 1 ; 1 et BD 1; 1 Test de colinéarité : x IJ y BD x BD y IJ =...=0 Donc les droites (IJ) et (BD) sont parallèles car les vecteurs ij et BD sont colinéaires.

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