1 Vecteur dans un repère

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1 1 Vecteur dans un repère 1.1 Coordonnées d'un vecteur Dans un repère ;,, les coordonnées d'un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que x M = u. Les coordonnées de u sont notées. y u M Dans un repère, si x ; y et x ; y, alors le vecteur a pour coordonnées : x x y y n prend les points 1 ; 3 et 4 ; 1. n a alors : = Dans le repère ; ;, on aussi les vecteurs 1 et j i x x y y Remarque : Dans un repère ;, on note souvent = i et = j. Démonstration : Soit M le point de coordonnées x ; y tel que M =. M est un parallélogramme [M] et [] ont mêmes milieux x + x y + y = y x = x x et y = y y. Deux vecteurs u et v sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées. Page 1/6 = x et

2 x x Démonstration : avec u et v y y, alors u = M u et v = M v avec M u de coordonnées x ; y et M v de coordonnées x ; y. n a u = v M u = M v M u = M v x = x et y = y. 13p34 Calcul des coordonnées de vecteurs 14p34 Trouver les coordonnées d'un point 16p34 calculs de coordonnées de vecteurs, égalité prouvant parallélogramme 74p343 calculs de coordonnées une somme 75p43 idem 16 76p43 Points donnés graphiquement, calcul des coordonnées d'un point pour avoir un parallélogramme 1. Coordonnées de la somme de deux vecteurs x x x + x La somme de deux vecteurs u et v y y est u + v y + y x x Le vecteur opposé à u est u y y n faisant la somme des vecteurs 3 et 3 C on obtient le vecteur C =. 4 + Le vecteur a pour coordonnées 3 3 = 4 4 n peut donc dire que C 3 3 = 0 C 4 6 Démonstration : xc x v y C y j i C C En prenant u = et v = x x C. n sait que u y y. on sait aussi que u + v = + C = C avec Les coordonnées de u + v sont donc : et xc x C { y C y x C x = x x + x C x = x + x. y C y = y y + y C y = y + y 15 p34 : Coordonnées d'une somme, coordonnées d'un point en utilisant la règle du parallélogramme 4 p35 : coordonnées de M tel que M + + MC = 0 Page /6

3 5 idem avec 4 points Vecteurs colinéaires.1 Produit d'un vecteur par un nombre réel Soit k un nombre réel et u un vecteur. n note k u le vecteur produit de k et u. x Si u a pour coordonnées dans un repère ; ; du plan, alors k u a pour y k x coordonnées. k y Soit 4 3 Plaçons C tel que C =. lors : C = 4 3 Soit 8 C 6 Si on place le point M3 ; 5 on peut dire que M = 3 i + 5 j. Remarque : 0 = 0. n peut dire que 3 i M 5 j C 18p35 Coordonnées d'un vecteur 19, 1,,3 : idem + coordonnées d'un point 0 vérication d'une égalité 53p41 Construction de vecteurs hors repère 54 idem + détermination d'un facteur k 57 Traduire des situations géométriques sous forme d'égalités vectorielles 78p43 Calculs de coordonnées d'un vecteur 87p44 situation dénie vectoriellement. Dénir repère puis identier un milieu. 70p43 calculs de coordonnées de points. Reconnaître un alignement points de même abscisse Page 3/6

4 . Vecteurs colinéaires Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel. 9 6 u et v sont colinéaires car v = 3 3 u. Remarque : Quand v = k u la coordonnée x et la coordonnée y de u sont multipliées par un même facteur k, d'où le terme de colinéarité! x x Dans un repère, deux vecteurs u et v y y colinéaires ont des coordonnées proportionnelles, c'est à dire si xy = x y. 6 1 Premier cas : u et v = 4 et 1 = 4. Les coordonnées des deux vecteurs sont bien proportionnelles, ils sont donc colinéaires. ci on voit que v = u. 6 1 Deuxième cas : u et v. 3 9 Cette fois, 6 9 = 54 et 3 1 = 36. l n'y a donc pas proportionnalité et les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. v u v u 6p37 et 81p44 choisir k pour avoir des vecteurs colinéaires 66p4 Trouver M pour avoir M et colinéaires. 80p44 vecteurs colinéaires? Page 4/6

5 .3 Colinéarité en géométrie Soient, et C trois points distincts., et C sont alignés si et seulement si et C sont colinéaires. Dans le repère ;, on donne les points 4 ; 1, 1 ; 1 et C3 ; 3. Ces points sont-ils alignés? donc et C 7 4 et. C C r 3 4 = 1 et 7 = 14. Comme 1 14, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les trois points ne sont pas alignés. Démonstration : n place un point en dehors de et on dénit le repère ;,. n peut déjà remarquer que 1. 0 Ensuite, la droite admet pour équation y = 0. lors,, C alignés C y C = 0 xc C C = x 0 C. C x C 7, 8p37 Points alignés? 30 p37 vérier une colinéarité, puis alignement 33, 34p37 Point d'intersection entre une droite et un axe 63,64p4 proche des précédents 69 vérier un alignement 83-87,90p44 situation dénie vectoriellement. Dénir repère puis vérier un alignement Page 5/6

6 dmis Soient,, C et D quatre points du plan. Les droites et CD sont parallèles si et seulement si les vecteurs et CD sont colinéaires. ci 1 et 6 CD. Comme 1 3 = 6 6 alors les deux vecteurs 6 3 sont colinéaires et dont CD//. D C j i Démonstration : Deux cas peuvent se produire. Soit, et C sont alignés, soient ils ne le sont pas. S'ils sont alignés, on a forcément et CD colinéaires de même que //CD. Ce cas est donc évident. S'ils ne sont pas alignés : n construit le repère ;, C. lors admet pour admet pour équation y = 0. lors //CD Dx D ; 1 xd CD CD = xd 0 9p37 vérier si des droites sont parallèles 31, 3 reconnaître un trapèze 89,91p44-45 : Situation vectoriellement dénie. Choisir repère et prouver parallélisme Page 6/6