Epaisseur et localisation des contours des detecteurs par derivation (Sobel, Prewitt, Roberts) ou par gradient morphologique.

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1 Epaisseur et localisation des contours des detecteurs par derivation (Sobel, Prewitt, Roberts) ou par gradient morphologique. Edouard Ritz, Tomasz Marszal 1. Introduction 2. Presentation des differents operateurs de detection de contours. Prewitt et Sobel Roberts Gradient morphologique 3. Comparaison des operateurs sur trois exemples. Image synthetique Image reelle Image reelle bruitee 4. Conclusions 1. Introduction. La detection de contours est une operation fondamentale en traitement d'image car elle est a la base de la reconnaisance de formes. Son interet pour la segmentation d'image n'est plus a demontrer. Il existe

2 autant d'operateurs de detection de contours que de definitions (ou modeles) de contours. Aussi nous appelerons "contour" l'ensemble de lieux contigus ou la norme du gradient spatial bidimensionnel est importante. Les operateurs que nous avons etudies reposent sur l'evaluation locale du gradient dans des directions donnees (Sobel, Prewitt, Roberts) ou de facon omnidirectionnelle (gradient morphologique). L'objet de notre etude porte sur la comparaison des operateurs locaux differentiels (Roberts, Prewitt, Sobel) et du gradient morphologique en terme d'epaisseur, de localisation de contour et de resistance au bruit. Apres une presentation de chaque operateur nous avons illustre les resultats obtenus sur trois types d'image: une image synthetique, une image d'irm et une image naturelle bruitee. Les images choisies mettent en evidence les proprietes et le comportement de chaque operateur. 2. Presentation des operateurs de Sobel et Prewitt Les operateurs de Sobel et de Prewitt permettent d'estimer localement la norme du gradient spatial bidimensionnel d'une image en niveau de gris. Ils amplifient les regions de fortes variations locales d'intensite correspondant aux contours. Principe de fonctionnement: Ces operateurs consistent en une paire de masques de convolution 3x3 de type ci dessous. Une rotation de 90 permet de passer d'un masque a l'autre.

3 Figure 1 Masques de convolution des operateurs de Prewitt (k=1) et de Sobel (k=2) L'operateur de Prewitt est defini pour une valeur de k=1 et Sobel pour k=2. Ces masques sont concus pour repondre maximalement aux contours horizontaux et verticaux. L'application separee de chacun des masques donne une estimation des composantes horizontales et verticales du gradient, notees respectivement et par un simple filtrage lineaire avec un masque 3x3. Il est ensuite possible de calculer la norme et la direction du gradient en chaque point a partir des composantes et. La norme du gradient en chaque pixel est donnee par la relation: Bien qu'elle soit souvent approchee par la formule: plus rapide a calculer. La norme du gradient ainsi estimee correspond a l'intensite attribue au pixel courant. C'est donc l'image de la norme du gradient que l'on visualise generalement. L'angle d'orientation du gradient est fourni par la relation:

4 La formule ci dessus peut s'interpreter comme suit: la direction du contraste maximal du noir au blanc avec une analyse de gauche a droite de l'image correspond a l'orientation 0 de reference. Tous les autres angles sont mesures a partir de cette orientation dans le sens trigonometrique. Analyse du filtrage effectue: Nous nous contenterons d'etudier le filtrage effectue par application d'un seul masque de convolution, par exemple. On s'interesse donc a l'estimation locale du gradient horizontal (et donc a la detection des contours verticaux). Le calcul de la transformee en Z bidimensionnelle de la reponse impulsionnelle du filtre donne: On remarque qu'elle est separable. La reponse en frequence des filtres H1 et H2 est donnee par: filtrer l'image par equivaut donc a la succession des deux filtres suivants: - un filtre integrateur (passe bas) de masque [1 k 1] dans la direction verticale. - un filtre derivateur (passe haut) de masque [1 0-1] dans la direction horizontale (qui correspond a l'approximation du gradient horizontal sur un voisinage de trois pixels). Conclusion:

5 Les operateurs de Sobel et de Prewitt combinent un leger filtrage passe bas le long des lignes et des colonnes (ponderation de poids [1 k 1], k=1,2) et un filtrage passe haut du type gradient (changement de signe des poids). Ils appartiennent a la famille des detecteurs de contours directionnels car la norme du gradient en chaque point est approchee en ne considerant que les changements d'intensite dans deux directions specifiques (horizontales et verticales). 2. Presentation des operateurs de Roberts L'operateur de Roberts permet de calculer le gradient bidimensionnel d'une image de maniere simple et rapide. Il amplifie les zones ou la norme du gradient spatial est importante qui correspondent souvent aux contours. Principe de fonctionnement: Cet operateur est constitue de deux masques de convolution: Ce principe ne differe pas beaucoup de celui des operateurs de Prewitt et Sobel. Chaque masque est obtenu a partir de l'autre par rotation de 90. Ces masques repondent maximalement aux contours orientes a 45 par rapport a la grille de pixels. Par consequent l'operateur de Roberts effectue une estimation locale du gradient selon les deux diagonales. L'application des masques a une image permet de calculer les composantes du gradient (que l'on va

6 appeler et ). Ceci nous permet de calculer la norme du gradient spatial pour chaque pixel: ainsi que son orientation: La norme du gradient est calculee plutot comme suit: ce qui est beaucoup moins couteux en temps de calcul. 2. Presentation du gradient morphologique. Appelons I l'image originale dont on veut extraire les contours. Soit B un disque de rayon 1 en 4 ou en 8 connexite. Le gradient morphologique se definit comme la difference entre le dilate de I par B et l'erode de I par B: Le gradient morphologique mesure en fait en chaque point de l'image la difference entre le maximum et le minimum des niveaux de gris sur le voisinage defini par l'element structurant.

7 3. Premiere comparaison - image synthetique. Nous allons illustrer l'effet des operateurs de detection de contours sur une image synthetique constituee de formes geometriques simples (rectangles, cercle,..). L'image comporte des zones d'intensite constante, des zones de changements graduels de l'intensite et des zones de bruit speckle. Toutes ces regions sont delimiteees par des contours nets, correspondant a des transitions brutes d'intensite, qui sont donc facilement detectables par tous les operateurs testes. Figure 1 Image synthetique originale. Pour comparer des detecteurs de contours, Canny propose trois criteres [Canny 1986]: Bonne detection: la probabilite de ne pas reussir a marquer des points de contours reels doit etre faible ainsi que la probabilite de marquer des points n'appartenant pas a des contours. Bonne localisation: Les points marques comme appartenant a un contour par l'operateur doivent etre aussi proches que possible du centre du contour veritable. Une seule reponse a un seul contour: ce critere est deja compris dans le premier puisque s'il y a deux reponses a un meme contour, l'une d'entre elle doit etre consideree fausse. Pour l'image synthetique, nous avons compare les images de contours brutes donnees par les differents operateurs, c'est a dire sans post-traitement. Il est ainsi possible d'illustrer le comportement de chaque operateur. Les resultats figurent ci dessous.

8 Image originale Roberts Prewitt Sobel Gradient morpho 4 Gradient morpho 8

9 Les resultats ci dessus nous permettent de degager plusieurs caracteristiques des operateurs de detection de contours. Tous les operateurs detectent les contours nets de l'image de maniere coherente dans toutes les directions. En effet, tous les contours detectes par les differents operateurs correspondent bien a des contours effectifs et sont coherents par rapport aux formes des objets contenus dans l'image originale. En revanche, les contours de type rampe (correspondant a des variations spatiales lentes de l'intensite) sont mal detectees par Prewitt et Sobel et sont filtrees par les autres operateurs (disparition des cercles concentriques interieurs dans le coin inferieur gauche de l'image). Les contours detectes sont plus ou moins contrastes selon les operateurs utilises. En effet les differents detecteurs amplifient plus ou moins l'amplitude des sauts d'intensite relatifs aux contours reels. Pour des contours identiques, le filtre de Sobel produit generalement en sortie des intensites de gradient superieures aux autres operateurs et donc des contours plus contrastes. Vient ensuite Prewitt, Roberts, puis le gradient morphologique. La visibilite des contours detectes par les differents detecteurs varie donc fortement de l'un a l'autre. En terme d'epaisseur et de localisation des contours, Roberts performe le mieux: en effet, les contours detectes par le filtre de Roberts sont decales de 1/2 pixel dans chaque direction par rapport aux contours reels et ont une epaisseur moyenne de 1 pixel. Ce decalage de 1/2 pixel en x et en y de l'image du gradient peut s'expliquer par le fait que l'operateur de Roberts mesure l'intensite du gradient au point ou 4 pixels se rencontrent. Les autres detecteurs fournissent des contours plus epais (en moyenne 2 pixels) et donc moins bien localises. Cela est du a leur plus grande taille de masque qui induit un effet de lissage plus important sur les contours. L'image synthetique utilisee possede des contours marques facilement detectables. La deuxieme experience illustre la detection de contours bien plus complexes dans une image issue d'un systeme

10 d'imagerie medicale. 3. Deuxieme comparaison - image reelle. Apres avoir degage quelques caracteristiques des operateurs de detection de contours sur une image synthetique simple, il est interessant de comparer les resultats obtenus sur une image coherente acquise par un systeme d'imagerie medicale dont on ne connait pas a priori les caracteristiques (Fonction de transfert, bruit relatif aux capteurs,...). L'image choisie est une image d'irm d'une tete humaine. Figure 1 Image IRM originale. Supposons qu'un medecin cherche a extraire de l'image precedente les contours du cerveau et du cervelet avec la meilleure precision possible a l'aide des detecteurs de contours etudies (Sobel, Prewitt, Roberts et gradient morphologique). Le critere de son choix porte donc sur la meilleure preservation des details fins des contours de ces zones dans les images de gradient finales. Methode d'obtention des images de gradient: Les images ci dessous ont ete obtenues par seuillage des images de contours obtenues par les differents operateurs. Le choix du seuil a ete determine empiriquement pour chaque operateur de sorte

11 a conserver au maximum les contours tout en eliminant le plus de bruit possible. Image originale Roberts (Seuil = 20) Prewitt (Seuil = 50) Sobel (Seuil = 70) Gradient morpho 4 (Seuil 25) Gradient morpho 8 (Seuil 15)

12 Commentaires: L'analyse des images de contours ci dessus montre que le detecteur de Roberts fournit globalement des contours plus fins que tous les autres operateurs. Cela est du a sa plus petite taille de masque comme nous l'avons vu lors de l'experience sur l'image synthetique. En revanche, si l'on regarde les contours des rainures du cerveau et du cervelet, on s'apercoit que l'operateur de Roberts filtre plus de details fins que Sobel, Prewitt et que le gradient morphologique en 8 connexite. De meme, les contours qu'il produit sont moins bien connectes: certaines rainures regulieres sont en effet decoupees en plusieurs petites composantes connexes assimilables a des barbules ou des points isoles. Des points de contours ont disparu apres seuillage de l'image car leur valeur d'intensite est inferieure au seuil choisi. De ce point de vue, les filtres de Sobel et de Prewitt preservent mieux les details des contours et leur connexite que le filtre de Roberts et que le gradient morphologique en 4 connexite. Le gradient morphologique en 8 connexite donne des resultats similaires a Prewitt et Roberts en terme de preservation des details et de connexite des contours mais fournit en moyenne des contours plus epais. Le choix du medecin se portera donc vers l'operateur de Sobel ou de Prewitt. 3. Troisieme comparaison - image reelle bruitee. Interessons nous desormais au cas d'une image naturelle fortement bruitee par un bruit gaussien. On cherche a mesurer la resistance au bruit des detecteurs de contours testes. En effet, un des problemes lie a l'application de filtres locaux differentiels tels Roberts, Prewitt ou Sobel est l'amplification du

13 bruit d'image. Cette remarque justifie donc notre demarche. Figure 1 Image naturelle bruitee. Afin de mesurer la resistance au bruit des differents operateurs, nous avons superpose a l'image originale un bruit gaussien centre de variance 20. La methode d'obtention des images de contours est similaire a celle utilisee pour l'image IRM: apres application des operateurs de detection de contours, on binarise les images de contours par un seuillage. La valeur du seuil est choisie empiriquement pour obtenir le meilleur compromis entre la suppression de bruit et la conservation des contours. Image originale Roberts (Seuil = 50) Prewitt (Seuil = 85) Sobel (Seuil = 130)

14 Gradient morpho 4 (Seuil 50) Gradient morpho 8 (Seuil 50) Commentaires: L'analyse des resultats ci dessus montre que le filtre de Roberts est tres sensible au bruit: en effet, le seuillage n'a pas permi de discriminer le bruit des points de contours. Cela est en partie du au fait que le detecteur de Roberts amplifie peu les sauts d'intensite correspondant aux contours. Or dans l'image originale, les contours sont peu contrastes. Par consequent les valeurs d'intensite des contours detectes par le filtre de Roberts sont similaires a celle du bruit, de sorte qu'il n'est pas possible de differencier le bruit des contours par seuilage. Mais la raison principale expliquant la forte sensibilite au bruit de l'operateur de roberts est liee au fait que la fonction de filtrage qu'il realise est un filtre derivateur passe haut, qui amplifie donc les composantes hautes frequences du bruit. En revanche, nous avons vu lors de la presentation des operateurs de Sobel et de Prewitt, que ces filtres combinent un filtrage passe bas le long des lignes et des colonnes au filtrage derivateur, ce qui explique leur meilleure resistance au bruit. Les resultats ci dessus montrent que Sobel performe un peu mieux que Prewitt a ce niveau sur l'image etudiee. Cela peut s'expliquer par la difference de

15 filtrage passe bas effectue par ces deux operateurs. Sobel utilise un filtre passe bas de masque [1 2 1] qui amplifie plus les basses frequences que le filtre moyenneur [1 1 1] utilise par Prewitt. Selon le type et la puissance du bruit present dans l'image traite, il convient de choisir empiriquement entre les filtres de Sobel et Prewitt, celui qui donne les meillleurs resultats. En ce qui concerne l'operateur de gradient morphologique en 4 et en 8 connexite, on remarque que la quasi totalite du bruit a pu etre supprime, mais que seuls les contours marques de l'image originale ont ete conserves. 4. Conclusions. Les resultats obtenus lors des trois experiences presentees precedemment permettent de degager quelques generalites sur les operateurs de detection de contours etudies. Il ressort de notre etude que le filtre de Roberts produit des contours plus fins et mieux localises que les autres operateurs car il constitue le filtre local differentiel de taille minimale (il evalue localement sur un voisinage 2x2 la norme du gradient selon les diagonales a leur point de rencontre). Il a longtemps ete utilise car son implementation est tres facile a mettre en oeuvre et son cout en calcul tres faible. En effet, seules 4 operations (addition et soustraction) par pixel sont necessaires au calcul de la norme du gradient. Ses principaux desavantages restent son extreme sensibilite au bruit et sa faible reponse aux contours peu marques. Ces deux facteurs rendent difficile la discrimination des contours et du bruit par seuillage. Il est en effet impossible de supprimer le bruit par seuillage sans filtrer les details fins des contours et sans degrader leur connexite. Ces raisons nous poussent a conseiller l'utilisation du filtre de Roberts dans le cas d'images de synthese ou d'images naturelles presentant des contours bien marques et sans bruit. Les filtres de Sobel et de Prewitt produisent des contours plus epais et donc moins bien localises que l'operateur de Roberts mais sont plus resistants au bruit. Ces deux effets opposes sont lies a la combinaison d'un filtrage passe bas le long des lignes et des colonnes avec le filtrage derivateur du meme type que Roberts. Ce filtrage passe bas rend ces operateurs plus resistants au bruit mais effectue en meme temps un lissage des contours qui les rend plus epais. Ces deux operateurs donnent des resultats identiques en terme d'epaisseur et de localisation des contours, mais different legerement en ce qui concerne la resistance au bruit (filtrage passe bas different). Sur l'exemple traite, Sobel semble plus resistant au bruit gaussien que Prewitt. Nous recommandons donc l'utilisation de ces detecteurs dans le cas d'images bruitees. Sur l'ensemble des exemples traites, il semble que le gradient morphologique est moins performant que les autres operateurs. Les contours sont encore moins precis et plus epais que ceux fournis par Sobel et Prewitt, et sa resistance au bruit est plus faible. Le gradient morphologique en 8 connexite est preferable a celui en 4 connexite, car les contours qu'ils detectent sont en general mieux localise (notamment les contours obliques) et moins epais. Leur seul avantage est leur rapidite de calcul

16 puisqu'ils ne font intervenir qu'une soustraction et la determination d'un max et d'un min sur un voisinage restreint.