Éric Badouel. Automates réversibles et réseaux de Petri, dualité et représentation : le problème de la synthèse HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

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1 HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES présentée devnt L Université de Rennes Institut de Formtion Supérieure en Informtique et en Communition pr Éri Bdouel Automtes réversiles et réseux de Petri, dulité et représenttion : le prolème de l synthèse soutenue le 29 vril 999 devnt le jury omposé de M. Jen-Clude Roult Président M. Mnfred Droste Rpporteur M. Grzegorz Rozenerg Rpporteur M. Mnuel Silv Rpporteur M. Philippe Drondeu Exminteur Mme Brigitte Rozoy Exminteur

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3 Synthèse de réseux de Petri Ce trvil est dédié à l mémoire de mon frère Didier et à m fille Mud. Remeriements Je tiens à remerier hleureusement les memres du jury et plus prtiulièrement Mnfred Droste, Grzegorz Rozenerg et Mnuel Silv pour voir epté d être les rpporteurs de e trvil.

4 2 É. Bdouel Chpitre Introdution Depuis leur introdution dns le déut des nnées soixntes [78], les réseux de Petri ont été menés à jouer un rôle prépondérnt dns l étude formelle du omportement des systèmes distriués ou onurrents. Il s git d une extension simple de l notion d utomte dns lquelle les étts ont une nture distriuée et l ourrene d un événement est liée à des onditions loles du système. Beuoup d efforts ont été onsrés à l étude de l déision et de l omplexité de ertines de leurs propriétés. Pr exemple il est possile pr l tehnique de l rre de ouverture [62] de déider si un réseu de Petri est orné, est à dire s il s git d un système à étts fini. Des tehniques de rédutions de réseux [22] et des tehniques d lgère linéires [68, 99] ont églement reçu euoup d ttention. Enfin, les réseux de Petri sont un outil de modélistion grphique d un intérêt prtique pour l desription et l mise u point de systèmes onurrents. Pour une présenttion détillée des spets théoriques et prtiques des réseux de Petri, le leteur pourr onsulter l un des livres [77, 88, 9, 59, 36, 35, 89] ou l rtile de synthèse [7] onsrés à e sujet, il pourr églement onsulter l Petri net miling list [8] mintenue à l Université d Arhus. L définition d un réseu de Petri et elle de son grphe d exéution sont les seules notions utiles à l leture de e doument. Le prolème de l synthèse de réseux relève de l théorie des grphes : il s git de déider si un grphe étiqueté pr des événements est le omportement séquentiel d un système onurrent modélisle pr un réseu de Petri. Le prolème de synthèse été étudié à l origine pr Ehrenfeuht et Rozenerg [42, 43] (voir ussi [37]) pour les réseux élémentires. Leur pprohe se fonde sur l notion de région dns un grphe vue omme ensemle de sommets suseptiles de représenter l extension d une ple, est à dire l ensemle des étts dns lesquels ette ple est mrquée. Il s git des ensemles tels que les trnsitions ssoiées à même événement modifient de l même fçon l reltion d pprtenne à et ensemle. Ehrenfeuht et Rozenerg rtérisent les grphes de mrquge de réseux élémentires en termes de deux propriétés de séprtion. L première stipule qu il y suffismment de régions pour diserner tous les étts du système, l seonde dit que si un événement n est ps utorisé en un étt il doit exister une région qui inhie et événement en et étt. Cette solution à été étendue à de nomreuses lsses de réseux [7, 76, 9, 2, 38, 39, 3, 27, 82]. Tous es théorèmes de représenttion sont sés sur

5 Synthèse de réseux de Petri 3 les mêmes propriétés de séprtion mis ve diverses notions de régions. Une interpréttion de es xiomes de séprtion est l suivnte. Une région peut être vue omme une ple strite et est ssoiée à un quotient de l utomte qui projette l utomte sur le ontenu de ette ple. L utomte est lors isomorphe u grphe de mrquge d un réseu si, et seulement si, il est isomorphe u produit synhronisé de es utomtes ssoiés ux régions. L première propriété de séprtion exprime le fit que les étts peuvent être injetivement odés omme des veteurs d étts loux (hque étt lol donne s vleur reltivement à une région). L seonde propriété de séprtion dit que si un événement n est ps utorisé dns un étt est qu il n est ps utorisé dns un des étts loux. Le prolème de synthèse se réduit lors à l rtéristion des utomtes pouvnt être présentés omme produits synhronisés d un ertin type d utomtes. Cette oservtion onduit à une présenttion unifiée du prolème de synthèse de réseux [] prmétrée pr le type des réseux. Une région, ou oservtion, est un morphisme du système de trnsition sous-jent à l utomte vers un système de trnsitions lssifint, dit le type de réseux, qui rtérise le omportement de l lsse de réseux onsidérée. Nous otenons, pour hque type de réseux, une djontion dule dont le noyu met en orrespondne les utomte séprés, est à dire stisfisnt ux propriétés de séprtion, ux réseux dits sturés. Dns [3] l présenttion se simplifie en une onnexion gloisienne (entre ensemles ordonnés) à l ondition de trviller ve un ensemle d événements fixé à l vne. Cette pprohe s étend ux utomtes de dimension supérieure permettnt insi de prendre en ompte le omportement onurrent des réseux. On otient insi un dre unifié pour présenter l synthèse des réseux élémentires [42, 43] et des systèmes d ddition de veteurs [2] à prtir de leurs grphes de mrquge séquentiels et l synthèse des réseux ondition/événements [76] et des réseux de Petri [7] à prtir de leur omportements onurrents. On peut songer à ppliquer l synthèse de réseux pour l oneption de logiiels distriués où elle peut être onçue omme une tehnique de prllélistion de progrmmes séquentiels. De fit le réseu synthétisé exhie le prllélisme mximl omptile ve le omportement séquentiel donné. L omplexité théorique des lgorithmes mis en œuvre semlerit devoir en limiter l portée dns les pplitions de tille réliste. Le prolème de synthèse de réseux élémentires est NP-omplet [7]; et ien que l synthèse des systèmes d ddition de veteurs dmette une solution polynomile [6], elle-i fondée sur l méthode des ellispoides de Khhiyn [94] est dns l prtique remplée pr l méthode du simplexe qui ien que non polynomile une meilleure omplexité en moyenne. Des outils ont été nénmoins développés. Une solution ssistée pr ordinteur u prolème du odge d étt dns les iruits synhrones et mis en oeuvre dns l outil Petrify est présentée dns [3]. Cet lgorithme ne lule que des régions minimles d un utomte représenté symoliquement pr un digrmme de déisions inires [25, 26]. Une méthode semi-utomtisée pour l distriution de protooles, sée sur l synthèse de systèmes d ddition de veteurs et mis en œuvre dns l outil SYNET, est dérite dns [28]. L lgorithme polynomil proposé dns [6] pour l synthèse des systèmes d ddition de veteurs est fondé sur des lgorithmes pour l progrmmtion linéire dns les rtionnels déouverts vers l fin des nnées soixnte-dix. Cet lgorithme été dpté à l synthèse de réseux de Petri à prtir de leurs grphes de mrquge séquentiels ou prllèles [2], à l synthèse de réseux de Petri à prtir de lngges [6, 33] et à l synthèse de réseux de Petri

6 4 É. Bdouel strtifiés [3] qui sont une sous lsse des réseux uto-modifints de Vlk [3, 4]. Dns le hpitre qui suit nous dérivons l solution proposée pr Ehrenfeuht et Rozenerg pour le prolème de synthèse des réseux élémentires. Cel nous permet d introduire les priniples notions utilisée dns e doument dns leur dre le plus simple, en prtiulier l notion de région et les propriétés de séprtion. Nous indiquons ussi pourquoi e prolème est NP-omplet. Comme déjà mentionné, le prolème de synthèse est un prolème de représenttion d utomtes pr produits synhronisés d utomtes très simples (les tomes de l représenttion). Pour les systèmes de réseux élémentires et pour les systèmes d ddition de veteurs es utomtes tomiques sont des restritions pleines des grphes de Cyley de Z=3 Z et Z respetivement. Dns le hpitre trois de e doument nous donnons une lssifition des représenttions des utomtes omme sous grphes pleins de grphes de Shreier. Bien sûr un tel utomte doit être réversile est à dire que hque événement induit une ijetion prtielle de l ensemle des étts. Les onditions que doit stisfire l utomt vis à vis du groupe le représentnt sont similires ux propriétés de séprtion. On dérit le lul de l représenttion nonique d un utomte ommuttif, est à dire d un utomte qui se plonge dns le grphe de Cyley d un groupe ommuttif. Dns le hpitre qutre nous nous intéressons ux grphes de mrquge des systèmes d ddition de veteurs. Il s git d utomtes ommuttifs et on onjeture qu ils sont sns torsion, est à dire que leur représenttion nonique ne ontient ps d élément d ordre fini. Nous indiquons une générlistion du théorème de représenttion d Ehrenfeuht et Rozenerg u ontexte des système d ddition de veteurs et en dérivons un lgorithme en temps polynomil pour l synthèse des systèmes d ddition de veteurs. Un utre lgorithme utilisnt l représenttion nonique des utomtes ommuttifs est églement présenté. Dns le hpitre inq nous dérivons l dulité entre réseux et utomtes. Cette dulité est induite pr un ojet shizoïde et est prmétré pr les types des réseux. Cette présenttion peut être étendue ux utomtes de dimension supérieure e qui permet de prendre en ompte le omportement onurrent des réseux. Toutes les vrintes onnues de synthèses de réseux peuvent être otenues omme des instnes de ette onstrution ssoiées à des types prtiuliers de réseux. Dns le hpitre de onlusion, nous mentionnons divers résultts qui n ont ps été présentés dns e doument, et nous indiquons quelques diretions pour des reherhes futures. Comme on peut en juger pr l liste des pulitions, le trvil présenté ii est en grnde prtie un trvil ommun ve Philippe Drondeu et est le résultt de notre longue et frutueuse ollortion. Diverses personnes à Rennes, inlunt Viente Snhez-Leighton [9], Lu Bernrdinello [2], Crlo Ferigto [44], Vinent Shmitt [93], Dnièle Quihud et Benoît Cillud nous ont fit profiter de leurs idées et de leurs vues sur les thèmes de l dulité, de l théorie de l représenttion et de l synthèse de réseux ; même si el n générlement ps onduit à des pulitions ommunes.

7 Synthèse de réseux de Petri 5 Chpitre 2 Réseux élémentires Nous présentons l solution proposée pr Ehrenfeuht et Rozenerg pour le prolème de synthèse des réseux élémentires. Elle est fondée sur l notion de région dns les grphes étiquetés. On indique les résultts de Desel et Reisig sur les ensemles dmissiles de régions, et eux de Bernrdinello sur les régions minimles. Pour terminer nous présentons notre ontriution à svoir que le prolème de l synthèse des réseux élémentires est NP-omplet. Ce hpitre est pour l essentiel extrit de [7]. 2. Réseux élémentires Un réseu ondition/événement est une struture N =(P; E; F ) dns lquelle P est un ensemle de ples, ou propriétés, E est un ensemle d événements ou d tions disjoint de P et F E P [ P E est une reltion iprtite entre ples et événements ppelée reltion de flux. Le grphe de flux est supposé sns éléments isolés, e qui se trduit pr 8x 2 E [ P 9y 2 E [ P [(x; y) 2 F _ (y; x) 2 F ] On dopte les nottions suivntes x = fy j F (y; x)g et x = fy j F (x; y)g pour x 2 P [ E. Un réseu est dit simple si 8x; y 2 P [ E ( x = y et x = y ) ) x = y Un mrquge est un ensemle de ples, il représente un étt de l évolution du réseu pr l ensemle des propriétés qu il vérifie. Un système de trnsition est une struture (S; E; T ) onsistnt en un ensemle d étts S, un ensemle d événements E et une reltion de trnsition T S E S. On érit s e,! s omme révition de (s; e; s ) 2 T.Unutomte A = (S; E; T; s ) est un système de trnsition ve étt initil s 2 S. Les évolutions possiles d un réseu élémentire se dérivent pr le système de trnsition (M;E;T) dont les étts sont les mrquges, et dont les trnsitions sont données pr M e! M ssi e M et (M n e) \ e = ; et M =(M n e) [ e Les ples dns e \ e, ppelées onditions de ord de e, sont simplement testées : elles sont néessires à l tivtion de l événement mis ne sont ps modifiées pr et événement. Les onditions dns e (pré-onditions de e) qui ne sont ps des onditions de ord

8 6 É. Bdouel de e doivent être vlides dns un étt utorisnt l tivtion de l événement et sont invlidées pr et événement. De fçon symétrique, les onditions dns e (post-onditions de e) qui ne sont ps des onditions de ord de e ne doivent ps être vlides dns un étt utorisnt l tivtion de l événement et sont rendues vlides pr et événement. Un réseu sns ondition de ord est dit pur. L reltion de trnsition d un réseu pur se simplifie en M e! M ssi e M et M \ e = ; et M =(M n e) [ e e qui peut ussi s érire M e! M ssi M n M = e et M n M = e Définition 2.. Un réseu élémentire est un réseu ondition/événement pur, simple et sns élément isolé. Il est dit mrqué si un mrquge dit initil M est spéifié pour lequel tout événement e 2 E est tirle dns u moins un mrquge essile à prtir de M. Définition 2..2 Le grphe de mrquge d un réseu élémentire mrqué N = (P; E; F; M ) est l utomte N = (S; E; T; s ) dont l étt initil s est le mrquge initil M et dont le système de trnsition sous-jent est l restrition induite pr le grphe de mrquge du réseu N = (P; E; F ) sur l ensemle des mrquges essiles à prtir de M. Oservtion 2..3 Le grphe de mrquge d un réseu élémentire mrqué est un utomte A = (S; E; T; s ) qui stisfit ux onditions suivntes : (i) il n ps de oule : s! e s ) s 6= s, (ii) ni trnsitions multiples entre étts : (s,! e s ^ s,! e2 s ) ) e = e 2, (iii) il est réduit : 8e 2 E 9s,! e s, (iv) et essile : 8s 2 S s,! s où,! S e =( e2e,!). 2.2 Régions Etnt donné un utomte A = (S; E; T; s ) peut on déider s il existe un réseu élémentire mrqué N = (P; E; F; M ) dont le grphe de mrquge N soit isomorphe à A, est à dire identique à un renomge ijetif des étts et des trnsitions? Si un tel isomorphisme existe entre A et N, lors hque étt de A peut être identifié à un mrquge de N et une reltion inire j= S P peut être définie en posnt s j= x, e qu on lit s vérifie x, si, et seulement si, l ondition x pprtient u mrquge ssoié à l étt s. Le réseu élémentire N = (P; E; F ) proure une représenttion ensemliste fidèle du système de trnsition T =(S; E; T ) : l pire d pplitions [] []S : S! 2 P et [] []E : E! 2 P 2 P définies pr []s[]s = fx 2 P j s j= xg (mrquge ssoié à s)et[]e[]e = < e; e > sont injetives et l reltion de trnsition T est telle que s e! s 2 T ssi []s[] S n []s [] S = e ^ []s [] S n []s[] S = e Afin de onstruire une représenttion d un système de trnsition donné T =(S; E; T ) il nous fut deviner l ensemle des ples (symoles tomiques de l représenttion). Pour el supposons qu une telle représenttion it été trouvée. Chque ondition x 2 P peut

9 Synthèse de réseux de Petri 7, (), (), N X X (;):T! 2 FIG. 2. région omme morphisme lors être représentée pr l ensemle []x[]p = fs 2 Sj s j= xg des étts de T qui l stisfont. Cet ensemle []x[]p, ppelé extension de x, vérifie le prédit : Région(X) pour tout événement e 2 E : s! e s ) (s 2 X et s 62 X) ou s! e s ) (s 62 X et s 2 X) ou s! e s ) (s 2 X ssi s 2 X) Ces trois s orrespondnt respetivement à x 2 e, x 2 e,etx 62 e [ e dns N. On définit lors une région de T omme étnt un ensemle X S vérifint Région(X). Oservtion 2.2. L extension []x[] =fm 2 S j x 2 Mg d une ple x 2 P d un réseu élémentire est une région de son grphe de mrquge. Un ensemle X S est une région si, et seulement si, s fontion rtéristique = X : S!f; g peut être ssoiée (de mnière unique) à une pplition : E!f,; ; g telle que (s ) = (s) + (e) pour toute trnsition s e,! s in T. On pourr identifier les régions ve de telles pires d pplitions (;) qui à leur tour ne sont rien d utre que les morphismes de systèmes de trnsitions de T =(S; E; T ) vers le système de trnsition lssifint 2 = (f; g;e 2;T 2) indiqué dns l figure 2., où E 2 = f,; ; g et T 2 = f,! ;,!,,,!,,! g. Une région X (;) détermine un réseu élémentire tomique N X = (fxg;e;f X ) dont l reltion de flux F X est déterminée pr l pplition : X 2 e ssi (e) =, et X 2 e ssi (e) = Si X =[]x[]p est l extension d une ple x d un réseu N = (P; E; F ) lors N X est le sous réseu tomique de N induit sur x. Etnt donné un système de trnsition T = (S; E; T ), un réseu élémentire T peut être synthétisé à prtir de l ensemle R T des régions de T en mlgmnt sur E les réseux tomiques N X ssoiés ux regions X. C estàdiret = P X2R T N X. Chque région. Un morphisme de systèmes de trnsitions (;):(S ;E ;T )! (S 2;E 2;T 2) est une pire d pplitions :S! S 2 et : E! E 2 telle que s e,! s 2 T ) s e,! s 2 T 2.

10 8 É. Bdouel exprime une ontrinte synhronique élémentire vérifiée pr toutes les exéutions de T. Pr exemple, l région représentée dns l figure 2. exprime le fit que deux ourrenes suessives de l événement doivent être séprées d une ourrene de l événement et vie vers. Si T possède un étt initil s 2 S, lors le réseu élémentire N (insi que hune de ses omposnts tomiques N X ) est noniquement muni d un mrquge initil M 2 R T, qui ontient les régions uxquelles pprtient l étt initil : X 2 M si, et seulement si, s 2 X. A = (T ;M ) est le réseu mrqué synthétisé à prtir de l utomte A =(T;s ). Supposons, pr exemple que l étt initil n pprtienne ps à l région représentée dns l figure 2.; lors l ple du réseu tomique N X n est ps mrquée initillement, et le lngge de N X est le produit de mixge de ( ) et.commelesrégions de T sont les morphismes (;):T! 2, le lngge de A est inlu dns le lngge de hun des réseux tomiques N X ssoiés ux régions de T et insi est ontenu dns leur intersetion, est à dire dns le lngge de A. Additioner les ontrintes synhroniques données pr les régions revient à fire l intersetion des omportements. 2.3 Systèmes de trnsitions élémentires Nous ppelons région d un utomte une région de son système de trnsitions sousjent. Supposons que A soit isomorphe u grphe de mrquge d un réseu élémentire mrqué N = (P; E; F; M ). Soient s et s 2 deux étts distints de S, vus omme mrquges de N, lors il existe une ple x 2 P se trouvnt dns extement l un de es deux mrquges ; don il existe une région, l extension de ette ple, qui distingue les étts s et s 2. Si l événement e n est ps utorisé dns un étt s, vu omme un mrquge M = []s[]s, lors on soit e 6 M ou ien e \ M 6= ;. Ainsi, il existe une région X (;) pour lquelle (s) =et (e) =, : il s git de l extension de l ple x 2 e n M dns le premier s et du omplément de l extension de l ple x 2 e \ M dns le seond s. Notons R s = fx 2 R A j s 2 Xg l ensemle des régions non triviles de A ontennt l étt s et posons e l ensemle des régions X (;) de A telles que (e) =,,ete l ensemle des régions X (;) de A telles que (e) =. Oservtion 2.3. Les deux propriétés de séprtion suivntes sont vérifiées dns tout grphe de mrquge A d un réseu élémentire: SSP Propriété de séprtion des étts : 8s; s 2 S s 6= s ) [9R 2R A (s 2 R, s 62 R)] ESSP Propriété de séprtion étts/événements : 8e 2 E 8s 2 S :(s e,!) ) [9R 2R A (R 2 e ^ s 62 R) _ (R 2 e ^ s 2 R)] Définition Un système de trnsitions élémentire est un utomte vérifint les onditions de Os et les deux propriétés de séprtion. Théorème [43] L pplition qui ssoie à un étt s d un utomte A l ensemle R s des régions qui le ontiennent est un morphisme de A dns A. Un utomte est le grphe de mrquge d un réseu élémentire mrqué si, et seulement si, il s git d un système de trnsitions élémentire, et dns e s le morphisme préédent est un isomorphisme A = A.

11 Synthèse de réseux de Petri 9 x 3 x2 z x y y 2 y 3 s = fx ; z; y g s = fx 2; y g s 2 = fx ; y 2g s 3 = fx 3; z; y g s 4 = fx ; z; y 3g s 5 = fx 3; y 2g s 6 = fx 2; y 3g s 7 = fx 3; z; y 3g s s 2 s 6 s s 5 s 4 s 3 s 7 FIG. 2.2 un réseu élémentire mrqué et son grphe de mrquge X :X X 3 :X 3 X 2 :X 2 Z :Z FIG. 2.3 quelques régions du système de trnsitions de l figure 2.2 Notons que le omplément X = S n X d une région X est une région ve des reltions de flux opposées : X 2 e, X 2 e et X 2 e, X 2 e. Bien que le grphe de mrquge d un réseu élémentire (mrqué) N soit toujours isomorphe u grphe de mrquge de N, N se plonge générlement omme un sous réseu de N ve moins de onditions (le plongement ssoie à une ondition x l région X du grphe de mrquge qui est onstituée de tous les étts où ette ple est mrquée). Définition Un réseu élémentire mrqué N est dit sturé si N = N, ou de fçon équivlente, si N = A pour un système de trnsitions élémentire A. Exemple Considérons le réseu mrqué de l figure 2.2. Certines des régions de son grphe de mrquge sont indiquées dns l figure 2.3. Les régions non triviles mnquntes peuvent être déduites de elles-i pr symétrie. Dns hque dessin les étts grisés forment une région, disons X; les rs de flux pour ette région et pour l région omplémentire X sont indiqués. Enfin un jeton est porté dns les ples ontennt l étt initil. On se retrouve ve le réseu élémentire mrqué de l figure 2.4. Ce réseu N est l version sturée de N indiqué dns l figure 2.2 et leurs grphes de mrquges respetifs sont isomorphes u grphe N de l figure 2.2. Le plongement de N dnd N est l pplition x! []x[] ssoint à hque ple son extension. L ensemle des ples de N (i.e. des régions de N ) peuvent être énumérées omme suit :

12 É. Bdouel :X :Y X Z Y X 3 X 2 Y 2 Y 3 :Z :X 3 :Y 3 :X 2 :Y 2 FIG. 2.4 le réseu élémentire mrqué synthétisé à prtir du système de trnsitions élémentire de l figure 2.2 X = []x[] = fs ; s 3 ; s 4 ; s 7 g X = fs ; s 2 ; s 5 ; s 6 g X = []x [] = fs ; s 2 ; s 4 g X = fs ; s 3 ; s 5 ; s 6 ; s 7 g X 2 = []x 2 [] = fs ; s 6 g X 2 = fs ; s 2 ; s 3 ; s 4 ; s 5 ; s 7 g X 3 = []x 3 [] = fs 3 ; s 5 ; s 7 g X 3 = fs ; s ; s 2 ; s 4 ; s 6 g Y = []y [] = fs ; s ; s 3 g Y = fs 2 ; s 4 ; s 5 ; s 6 ; s 7 g Y 2 = []y 2 [] = fs 2 ; s 5 g Y 2 = fs ; s ; s 3 ; s 4 ; s 6 ; s 7 g Y 3 = []y 3 [] = fs 4 ; s 6 ; s 7 g Y 3 = fs ; s ; s 2 ; s 3 ; s 5 g 2.3. Ensemles dmissiles de régions Un ensemle de régions R R A d un utomte A est dit dmissile si A = N où N est le réseu ssoié ux régions dns R : N = P X2R NX. Proposition Tout ensemle de régions ontennt un ensemle dmissile de régions est dmissile. Pr onséquent, dès qu un ensemle dmissile de régions d un système de trnsitions élémentire été lulé, le fit d jouter de nouvelles régions omme ples supplémentires u réseu synthétisé ne hnger ps le omportement de e réseu. Un spet du prolème de synthèse est de trouver un ensemle dmissile de régions ussi petit que possile. Proposition [37] Etnt donnés A = (S; E; T; s ), s 2 S, etr R A, posons R s = fx 2 R j s 2 Xg i.e. R s = R s \ R,lorsR est un ensemle dmissile de régions de A si, et seulement si, les onditions suivntes sont stisfites :. 8s; s 2 S R s = R s ) s = s, 2. 8s 2 S 8e 2 E ( e R s ^ e \ R s = ;) ) s e,! Si un utomte fini A = (S; E; T; s ) vérifint les onditions de Os est élémentire. lors il est isomorphe u grphe de mrquge d un réseu ynt u plus jsj(jsjjej)

13 Synthèse de réseux de Petri fg f2g 2 d 4 3 d d f4g f; 3g d f2; 3g f3; 4g f3g FIG. 2.5 l exemple des qutre sisons : l utomte (à guhe), le réseu sturé (u milieu) et deux réseux ssoiés à des ensemles dmissiles de régions (à droite) ples. Corollire Si A =(S; E; T; s ) est un système de trnsitions élémentire, il existe un réseu élémentire (mrqué) N ynt u plus jsj(jsjjej) ples et tel que N = A. Nénmoins el ne donne uune indition sur l fçon de hoisir es régions. Pr illeurs on peut noter qu il n existe en générl ps de plus petit ensemle dmissile de régions. Ce fit est illustré pr l exemple des qutre sisons emprunté à [37] et indiqué dns l figure 2.5. L utomte des qutre sisons peut effetivement être rélisé pr deux sous réseux minimux du réseu sturé : l un qutre onditions et est sns ontt et l utre trois onditions mis n est ps sns ontt. Définition Un réseu élémentire N = (P; E; F; M ) est sns ontt si e M ) M \ e = ; pour tout événement e et tout mrquge essile M. C est une ondition ouverte de svoir s il existe un réseu élémentire sns ontt ynt un nomre miniml de ples ssoié à tout système de trnsitions élémentire. L dpttion suivnte du théorème 2.3.3, sé sur l utilistion de régions omplémentires est étli dns [37]. Proposition 2.3. Un utomte A =(S; E; T; s ) est isomorphe à N où N =(P; E; F; M ) = P p2p N p est un réseu élémentire sns ontt si, et seulement si, les sous réseux tomiques N p de N sont définis à prtir de régions R p 2R A et les propriétés de séprtion suivntes sont stisfites: SSP(s; s ): 8s; s 2 S s 6= s ) [9p 2 P s 2 R p, s 62 R p ] ESSP ] (s; e) : 8e 2 E 8s 2 S :(s e,!) ) [9p 2 P R p 2 e ^ s 62 R p ]. Bernrdinello étli dns [9] que l ensemle des régions minimles (pour l inlusion) d un système de trnsitions élémentire est un ensemle dmissile de régions. Pr illeurs les omposnts séquentiels d un réseu élémentire sont en orrespondne ijetive ve les prtitions de son grphe de mrquge pr des régions minimles. Dns [2] il est montré que l ensemle des régions d un système de trnsitions élémentire ordonné pr inlusion est un ensemle orthomodulire dont les sous lgères de Boole orrespondent ux ensemles de régions de ses omposnts séquentiels.

14 2 É. Bdouel 2.4 L synthèse des réseux élémentires est NP-omplet Hirishi prouvé dns [54] que hun des deux prolèmes de séprtion SSP(s; s ) et ESSP ] (s; e) sont NP-omplets en les données (A; s; s ) et (A; s; e). Puisque l ensemle des régions de A est los pr pssge u omplémentire le prolème ESSP(s; e) est églement NP-omplet. Il ne s en suit ps que le prolème de synthèse pour les réseux élémentires est NP-omplet ; e qui est nénmoins vri. Le prolème de synthèse est lirement dns l lsse NP puisque le nomre totl d instnes de prolèmes de séprtion est qudrtique en l tille de l utomte et qu il peut être vérifié en temps polynomil si un sous-ensemle donné d étts est une région résolvnt une instne donnée d un prolème de séprtion. Une rédution polynomile du prolème 3-SAT u prolème de synthèse des réseux élémentires est donnée dns [7], e qui montre puisque 3-SAT est NP-omplet (voir [46]) que le prolème de synthèse est NP-dur et don NP-omplet. L preuve repose sur un odge des prolèmes de séprtion pr des systèmes de luses sur l nneu de Boole. On onlut lors en deux étpes. D une prt on montre que le prolème 3-SAT se réduit en un prolème de stisftion d un tel système de luses. Puis on montre qu étnt donné un tel système on peut onstruire un utomte dont l tille est polynomile en l tille du système de luses et tel que le système soit stisfile si, et seulement si, l utomte est élémentire. Nous n llons ps dérire plus en détil es deux étpes, le leteur est renvoyé à [7]. Nous llons ependnt expliquer omment les prolèmes de séprtion peuvent s érire omme des systèmes de luses sur l nneu de Boole. On retrouver un odge nlogue u hpitre 4 onsré à l synthèse des système d ddition de veteurs ve l notle différene que dns e s nous serons onduit à des équtions linéires e qui nous permettr de trouver un lgorithme polynomil. D près e que nous vons vu, le prolème de synthèse des réseux élémentires se rmène à l résolution d un nomre qudrtique (en l tille de l utomte) d instnes d un des deux prolèmes de séprtion suivnts: Prolème de séprtion des étts (SSP): Etnt donné T =(S; E; T ) et une pire d étts distints (s ;s 2)2 S S, trouver une région X pour lquelle s 2 X si, et seulement si, s 2 62 X. Prolème de séprtion étts/événements (ESSP): Etnt donné T =(S; E; T ) et une pire (s; e) 2 S E telle que l événement e ne soit ps utorisé en s (s e,! s pour uun s 2 S), trouver une région X qui inhie e en s en e sens que X 2 e et s 62 X. Proédons mintennt u odge de es prolèmes de séprtion en équtions sur l nneu de Boole Z=2Z. Définition 2.4. Les seondes projetions : E!f,; ; g de régions (;) sont ppelées régions signées, et les pplitions : E!f; g déoulnt de régions signées pr (e) = j(e)j sont ppelés régions strites. Etnt donnée une région (;), l région strite = jj indique quels événements induisent un hngement de l vleur ournte de : s e,! s 2 T ) [(s) 6= (s ), (e) =] (2.)

15 Synthèse de réseux de Petri 3 s s 2 s 6 s s 5 s 4 s 3 s 7 FIG. 2.6 un grphe et un de ses rres ouvrnts Les régions strites d un système de trnsitions (S; E; T ) sont des éléments du Z=2Zmodule lire sur l ensemle E de générteurs (i.e. de l ensemle Z=2Z[E] des pplitions de E dns Z=2Z). Oservtion Si le système de trnsition est onnexe, une région strite détermine extement deux régions omplémentires. L priniple étpe vers une trdution des propriétés de séprtion en équtions sur l nneu de Boole est l prodution d une rtéristion lgérique des régions strites d un système de trnsitions. Appelons hîne = P j t j un élément de Z[E] (ensemle des pplitions de E dns Z). L imge de Prikh modulo 2 d une hîne = P j t j est le veteur 2() = P j `(t j)2 (Z=2Z)[E]. Exemple L figure 2.6 donne un grphe ve un de ses rres ouvrnts. Il y 7 ordes (trnsitions n pprtennt ps à l rre ouvrnt) : t = s 5,! s 2, t 2= s 3,! s, t 3= s 7,! s 4 t 4= s 6,! s, t 5= s 4,! s t 6= s 7,! s 3,ett 7= s 6,! s 7, qui déterminent une se des yles du grphe. Pr exemple, l trnsition t = s 5,! s 2 determine le yle t =(s,! s )+(s,! s 3 )+(s 3,! s 5 )+(s 5,! s 2 ), (s,! s 2 ) d imge de Prikh 2( t )= + +. On peut vérifier 2( t )= 2( t2 ) = 2( t3 ) = + +, 2( t4 ) = 2( t5 ) = 2( t6 ) = + +,et 2( t7 ) =. L propriété essentielle des régions strites est lors Proposition Si : E! Z=2Z est une région strite du système de trnsitions (S; E; T ) lors 2() =dns Z=2Z pour tout yle du grphe sous-jent à T. Cette propriété fondmentle ne suffit ps à rtériser les régions strites. Pour l suite onsidérons fixés un utomte A=(S; E; T; s ) et un rre ouvrnt U T riné en l étt initil. Pour hque étt s 2 S, posons s l rnhe de s à s dns l rre ouvrnt, et s = 2( s) son imge de Prikh modulo 2. Supposons mintennt que j(e)j =pour une région (;) pour lquelle l événement e soit utorisé en les étts s et s, lors néessirement (s) = (s ) pr définition des régions. Dns Z=2Z, el peut s exprimer pr l éqution non linéire (e) [ ( s + s )] =

16 4 É. Bdouel où (e ) = j(e )j pour tous e 2 E. On otient insi une rtéristion des régions strites : Proposition Une pplition : E! Z=2Z est une région strite si, et seulement si, elle vérifie 2 ( t )= (2.2) (e) [ ( s + s )] = (2.3) pour tout yle t dns l se des yles, pour tout événement e 2 E, et pour toute pire d étts s et s uxquels e est utorisé. Exemple (suite) Les imges de Prikh des yles sont + +, + + et, les équtions de type (2.2) sont () +() +() = et ( )+( )+( )=; (2.4) elles déterminent un Z=2 Z-module engendré pr = + ; 2 = + ; 3 = + ; 4 = + Une ominison linéire de es veteurs est une région strite du grphe indiqué à l figure 2.6 si, et seulement si, elle vérifie les équtions non linéires de type (2.3), qui modulo les équtions (2.4) s érivent : () ( )=() ( )=() ( )=() ( )=() ( )= Prmi les 2 4 éléments du Z=2 Z-module engendré pr ( ; 2; 3; 4) on dénomre 7 régions strites, elles orrespondent ux lignes du tleu 2.. Toute région strite détermine deux régions omplémentires X et X, ve X = fs 2 Sj s =g et pr onséquent s 62 X. Les étts s à s 7 sont représentés pr les veteurs s : s = s = s2 = s3 = + s 4 = + s5 = + + s6 = + + s7 = Les régions X, qui pprissent dns le tleu 2., sont l moitié des 4 régions de l figure 2.4; l orrespondne est rendue expliite dns l figure 2.7. Indiquons mintennt le odge des instnes des propriétés de séprtion SSP et ESSP. Définition Une région strite sépre les étts s et s si elle stisfit à l éqution ( s + s )= (2.5) Une région strite inhie l événement e en l étt s s il stisfit ux équtions (e) = (2.6) ( s + s )= (2.7) où s est un étt ritrire utorisnt e. Un ensemle R de régions strites est dmissile s il proure une région séprtrie pour hque pire d étts distints et une région inhiitrie pour hque pire (s; e) onstituée d un événement e et d un étt s n utorisnt ps e.

17 Synthèse de réseux de Petri 5 TAB. 2. les régions X ssoiées ux régions strites s s s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s X X X 3 X 2 X + 2 X X 4 FIG. 2.7 le réseu synthétisé à prtir de l ensemle (dmissile) de régions strites Un ensemle dmissile de régions peut toujours être onstruit à prtir d un ensemle dmissile de régions strites : si sépre s et s lors X et X séprent s et s ;si inhie e en s lors soit X ou ien X inhie e en s. Dns notre exemple l ensemle de toutes les régions strites est dmissile et uun de ses sous ensemles strits ne l est. Proposition Un utomte est le grphe de mrquge d un réseu élémentire si, et seulement si, il peut être muni d un ensemle dmissile de régions strites. Définition (Système de luses sur l nneu de Boole) Soit X = fx ;:::;x ng un ensemle fini de vriles ooléennes, ve un élément distingué x.unsystème de luses sur l nneu de Boole est une pire (; ) dns lquelle est un ensemle fini de luses dditives ( 2 A) et est un ensemle fini de luses multiplitives ( 2B) de formes respetives x + x + x 2 et x x 2, et sujets ux restritions suivntes : toute luse dditive extement trois vriles, deux luses dditives prtgent u plus une vrile, toute luse multiplitive extement deux vriles, et l vrile distingué x n pprit dns uune luse multiplitive. Le système (; ) est dit stisfile s il existe une vlution pour X pour lquelle x =, = pour tout 2 A, et = pour tout 2 B. Une telle vlution est ppelée solution du système (; ). Notons que dns l nneu de Boole Z=2 Z, dufitdelloiz + z =, les équtions z = z + :::+ z n et z + z + :::+ z n =sont équivlentes. Il s en suit que hque

18 6 É. Bdouel instne des prolèmes SSP et ESSP peut se réduire à l stisfiilité d un tel système de luses, dont l tille est polynomile en l tille du système de trnsitions. Nous vons montré dns [7] que le prolème de stisfiilité des systèmes de luses sur l nneu de Boole, le prolème 3-SAT et le prolème de synthèse des réseux élémentires sont inter-rédutiles de fçon polynomile. Il s ensuit que le prolème de synthèse des réseux élémentires est NP-omplet.

19 Synthèse de réseux de Petri 7 Chpitre 3 Représenttion des utomtes réversiles L pluprt des fmilles de réseux onsidérée dns l littérture ont des grphes de mrquge réversiles, est à dire dns lesquels hque événement induit une ijetion prtielle de l ensemle des étts. Cette propriété très prtiulière nous utorise à emprunter à l littérture sur l théorie omintoire des groupes [5, 66, 65, ] des notions telles que elles de revêtements, de groupes gissnt sur des ensemles, et d homologie qui ont l vntge d voir été ien étudiées. L étude des propriétés lgériques de ette lsse d utomtes s en trouve insi onsidérlement simplifiée. Dns l première setion de e hpitre, nous donnons un perçu de ette théorie dont une vrinte est onnue omme l étude des monoïdes inversiles [8, ]. Dns l seonde prtie de e hpitre nous donnons une lssifition des représenttions des utomtes réversiles omme sous grphes induits de grphes de Shreier. Les onditions devnt être stisfites pr les groupes de représenttion sont similires ux propriétés de séprtion déouvertes pr Ehrenfeuht et Rozenerg pour les systèmes de trnsitions élémentires. Nous dérivons églement le lul de l représenttion nonique d un utomte ommuttif, est à dire un utomte induit d un grphe de Cyley d un groupe ommuttif. 3. Les utomtes réversiles Un système de trnsitions est déterministe si s,! e s ^ s,! e s 2 ) s e,! s ^ s e 2,! s ) s = s 2. = s 2 et odéterministe si s Définition 3.. Un système de trnsitions réversile est un système de trnsitions déterministe et o-déterministe. 3.. Les grphes de Shreier Un système de trnsitions réversile est omplet si hque événement induit une permuttion de l ensemle des étts. Si G est un groupe, H un sous groupe de G,etE un sous

20 8 É. Bdouel ensemle de G (hituellement un ensemle de générteurs de G), le grphe de Shreier S(G; H; E) est le système de trnsitions réversile omplet dont les étts sont les lsses à droites HnG = fhgjg 2 Gg et dont les trnsitions sont les triplets (Hg;e;Hge). Le grphe de Cyley C(G; E) est S(G; ;E) où est le sous-groupe trivil; plus générlement si H est un sous-groupe distingué de G et si uune pire d éléments de E ne sont équivlents modulo H, lors le grphe de Shreier S(G; H; E) est isomorphe u grphe de Cyley C(G=H; E=H). Tout système de trnsitions réversile omplet (S; E; T; s ) dont le grphe sous-jent est onnexe est isomorphe u grphe de Shreier S(G; H; E) où G est le groupe engendré pr les permuttions de E et H = G s = fg 2 Gjs g = s g est le stiliseur de l étt initil. De fit hque étt s 2 S se représente de fçon non migüe pr l ensemle G s;s = fg 2 G j s g = sg qui est une lsse à droite modulo H, et ette orrespondne est un isomorphisme de systèmes de trnsitions. Pr illeurs les stiliseurs des étts d un système de trnsitions réversile omplet et onnexe sont onjugés (G s = u, G s u lorsque s = s u) et l pplition S(G; G s ;E)! S(G; G s ;E) : G s v 7! G s u, v est un isomorphisme. Inversement S(G; H; E) = S(G; K; E) entrîne que les groupes H et K sont onjugés dns G Automtes Réversiles Soit E une opie de E onstitué d inverses formels e des événements e 2 E. Nous rppelons que le groupe lire engendré pr E est le groupe dont les générteurs sont les éléments de E [ E et d équtions e e = e e =pour e 2 E. On ppeler mot de F (E) un mot u 2 (E [ E). Un tel mot est dit réduit s il ne ontient uun sous-mot de l forme ee ou ee pour e 2 E. Un mot réduit est don l forme nonique d un élément de F (E). Nénmoins fin de simplifier les nottions nous ne ferons générlement ps de distintion entre un mot de F (E) et l élément de F (E) que e mot représente. le groupe lire F (E) une tion prtielle sur l ensemle des étts d un système de trnsitions réversile (S; E; T ) donnée pr s e = s et s e = s lorsque s e,! s. A est dit onnexe lorsque F (E) git trnsitivement sur S, i.e. le grphe sous-jent à T est onnexe. Définition 3..2 Un utomte réversile est un système de trnsitions réversile onnexe muni d un étt dit initil Groupe fondmentl et revêtements Le groupe fondmentl du système de trnsitions réversile T en l étt s 2 S est (T;s)=fu 2 F (E) j s u = sg. Un élément de (T;s) est ppelé hemin fermé sé en s. Si le système de trnsitions est onnexe tous ses groupes fondmentux sont onjugués dns F (E) et don isomorphes : (T;s ) = u, (T;s) u lorsque s u = s.le groupe fondmentl d un utomte réversile A =(S; E; T; s ) est elui de son système. Le grphe de Shreier S(G; H; E) n est rien d utre qu une représenttion grphique du G-ensemle os(g:h) onstitué des lsses à droite HnG sur lesquelles G opère pr multiplition (à droite) et les résultts mentionnés i-dessus ne sont qu une reformultion du fit que tout G-ensemle trnsitif est isomorphe à un espe quotient os(g:h) pour H un sous-groupe de G et qu on en déduit une orrespondne ijetive entre les lsses d isomorphie de G-ensemles trnsitifs et les lsses de onjugison de sous-groupes de G.

21 Synthèse de réseux de Petri 9 de trnsitions lulé en l étt initil : (A) = (T;s ). Fixons quelques nottions que nous utiliserons fréquemment pr l suite. Nottion 3..3 Si U un rre ouvrnt de T, on pose u s le mot (réduit) étiquetnt l unique hemin dns U llnt de l étt initil s àl étts. Chque orde t 2 T n U où t = s e,! s détermine un hemin fermé t = u s e u, s sé en s. Le groupe fondmentl (A) est le groupe lire engendré pr les hemins ssoiés ux ordes d un rre ouvrnt. Il y une orrespondne ijetive entre les sous-groupes H de F (E) et les équivlenes régulière à droite de F (E) donnée pr u v, u v, 2 H, et est une ongruene si, et seulement si, H est un sous-groupe distingué de F (E). On dit qu un sous-groupe H de F (E) sture un lngge L F (E) lorsque son équivlene le sture, est à dire lorsque L est une union de lsses à droite de H. Lelngge d un utomte réversile A = (S; E; T; s ) donné pr L(A) = fu S 2 F (E) j 9s 2 S s u = sg est sturé pr son groupe fondmentl r L(A) = s2s (A)u s où u s est le mot réduit étiquetnt le hemin de s à s dns un rre ouvrnt préllement fixé. Inversement, si H est un sous-groupe de F (E) et L F (E) est un lngge los pr préfixes sturé pr H, on pose S(L; H; E) le grphe induit du grphe de Shreier S(F (E);H;E) sur l ensemle des lsses à droite de H inluses dns L ; estàdires(l; H; E) =(E; S; T; s ) où S = fhu j u 2 F (E) Hu Lg et T = f(hu;e;hue) j u 2 F (E) e 2 E Hu L Hue Lg, ets = H. Alors (S(L; H; E)) = H, L(S(L; H; E)) = L et A = S(L(A); (A);E). On en déduit une orrespondne ijetive entre l ensemle des équivlenes régulières à droite sturnt un lngge los pr préfixes L F (E), l ensemle des sous-groupes de F (E) sturnt L et l ensemle des lsses d isomorphies des utomtes réversiles reonnissnt L. L notion de revêtement d utomtes réversiles est dule de l inlusion entre leurs groupesfondmentux: un revêtement d un utomte réversile A est l donnéed un utre utomte réversile A ~ et d un morphisme d utomtes f : A ~! A : f (s u) =f (s) u et f (s ) = ~s. De e fit il existe un revêtement de A ~ vers A si, et seulement si, ils ont le même lngge et ( A) ~ (A). Le revêtement est déterminé de fçon unique pr f (~s u) = s u. Nous érirons A A ~ dns e s et dirons que A ~ ouvre A. On déduit que l ensemle des lsses d isomorphies d utomtes réversiles reonnissnt L F (E) ordonné pr l reltion de ouverture est dule de l ensemle des sous-groupes de F (E) sturnt L ordonné pr inlusion. Notons que si ( A) ~ (A) lors ( A) ~ sture tout lngge sturé pr (A) et que pr onséquent les revêtements A ~ de A peuvent être lssés à isomorphisme près pr les sous-groupes de (A) ; en prtiulier il y un revêtement mximl ssoié u sousgroupe trivil. De fçon symétrique les quotients de A orrespondent à isomorphismes près ux groupes H sturnt le lngge de A et ontennt son groupe fondmentl. Un revêtement f : A ~! A est dit gloisien si ( A) ~ est un sous-groupe distingué de (A). Legroupe de Glois de e revêtement est le quotient (A)= ( A). ~ Unhemin dns un utomte réversile A =(S; E; T; s ) est une pire (s; u) 2 S F (E) où su est définie, est un hemin fermé sé en s, e qu on note (s; u) 2 C(s), sideplussu = s (insi (T;s)=fu 2 F (E) j (s; u) 2 C(s)g). Deux hemins fermés (~s; u) et (~s ;u ) de A ~ sont onjugués dns le revêtement f : ~A! A s ils ont l même imge, est à dire f (~s) =f (~s ) et u = u. Un revêtement f : A ~! A est gloisien si, et seulement si, tout

22 2 É. Bdouel hemin onjugué à un hemin fermé est lui même fermé. L équivlene de Nerode d un lngge L F (E) est définie pr u v, [8w 2 F (E) u w 2 L, v w 2 L], estàdireu v si, et seulement si, u, L = v, L.Il s git de l plus grnde demi ongruene à droite sturnt L, et don le groupe de Nerode N L = fu 2 F (E) j u, L = Lg est le plus grnd sous-groupe de F (E) sturnt L. 3.2 Représenttions des utomtes réversiles 3.2. Extensions des utomtes réversiles Définition 3.2. Une extension d un utomte réversile A =(S; E; T; s ) est un utomte réversile omplet isomorphe à un A = (E;S ;T ;s ) tel que S S et T = T \ (S E S). L inlusion de S dns S est qulifiée de plongement plein de A dns A. Si U T est un rre ouvrnt de l utomte A, nous posons (A; U ) le sous-ensemle suivnt de F (E): (A; U )=fu s u, s j8s; s 2 S s 6= s g[fu s e u, s j8s; s 2 S s e 6! s g On dit que le mot u s u, s sépre les étts s et s, et que le mot u s e u, s inhie l trnsition s e,! s. Le résultt suivnt donne une lssifition des extensions d un utomte réversile, les onditions devnt être stisfites pour une telle extension sont nlogues ux propriétés de séprtion introduites pr Ehrenfeuht et Rozenerg pour les systèmes de trnsitions élémentires. D près le théorème de Hrushovski [57] (voir ussi [52]) tout utomte réversile fini dmet une extension finie et l utilistion du théorème de Hll [5] dns [5] fin de prouver l existene de ette extension est empruntée à l preuve du théorème de Hrushovski donnée pr Lsr et Herwig [53]. Proposition Tout utomte réversile A =(S; E; T; s ) dmet une extension A = (E;S ;T ;s ) ynt le même groupe fondmentl : (A ) = (A). SiA est fini lors il dmet une extension finie. A isomorphisme près les extensions d un utomte réversile A sont en orrespondne ijetive ve les sous-groupes H de F (E) tels que (A) H et H \ (A; U ) = ; où U est un rre ouvrnt de A. L extension ssoiée à H est A H = S(F (E);H;E) ve le plongement plein S,! HnF (E) : s 7! Hu où s u = s. A dmet un plongement plein dns un grphe de Cyley si, et seulement si, N ( (A)) \ (A; U )=; où N ( (A)) est l fermeture normle du groupe fondmentl dns F (E). 2 Un tel grphe de Cyley est lors C(G; E) où G est le groupe de présenttion G =(E;B) où B = f t j t 2 T n Ug est l se de (A) ssoiée à un rre ouvrnt U de A. Corollire (A) \ (A; U )=;. 2. Si H est un sous-groupe de G, l fermeture normle de H dns G est le plus petit sous-groupe distingué de G ontennt H ; est le groupe engendré pr les onjugés d éléments de H.

23 Synthèse de réseux de Petri 2 Soit A l utomte réversile suivnt s s s 2 s 3 son groupe fondmentl (A ) est le sous-groupe de F (E) engendré pr les mots et,, s fermeture normle est le groupe engendré pr les mots uu, pour u un mot quelonque de F (E). Ainsi F (E)=N ( (A )) = (f; g; ) = Z A 2 = Si U est l rre ouvrntde A formé des trnsitions étiquetées, (A ;U)=f; 2 ; 3 ; 4 ; ;, ;,2 ;,3 ;;, ;,2 ;,3 g (A ;U) \ N ( (A )) = ; r uun des éléments de (A ;U) ne s envoie sur 2 Z. Ainsi le grphe de Cyley A 2 est une extension de A.SiX F (E), notons A (X) l utomte S(F (E);H(X);E) où H(X) est l fermeture normle du sous-groupe de F (E) engendré pr 2 et les mots de X. Alors A ( 6 ) est une extension finie de A. A ( 4 ) A ( 5 ) A ( 6 ) Pr ontre A ( 4 ) n est ps une extension de A r 4 2 (A ;U) e qui orrespond à l jout de l trnsition s 3,! s. De l même fçon A ( 5 ) n est ps une extension de A r,3 =[,2 ( 2 ) 2 ],5 2 (A ;U) \ H( 5 ) e qui orrespond à l jout de l trnsition s,! s 3. Considérons mintennt l utomte A 3 otenu à prtir de A en joutnt l trnsition s 3,! s, (A 3 ) est le sous-groupe de F (E) engendré pr les mots,, et 4,et(A 3 ;U)=(A ;U)nf 4 g. A 3 ne se plonge ps pleinement dns S(F (E);N( (A 3 );E)=A ( 4 ) à use des deux trnsitions supplémentires s,! s 3 et s,! s 2 qui orrespondent respetivement ux éléments,3 =, ( 2,4 ) et,2 = 2 (,4 2 ),2 de N ( (A 3 )) \ (A 3 ;U). On en déduit que A 3 n ps

24 22 É. Bdouel d extensions dns un grphe de Cyley. Une extension finie de A 3 est l suivnte : rre ouvrnt elle orrespond u groupe H engendré pr 4, 2, 3,, 2,,,,, 2,3,et 2,2 (ssoiés ux ordes de l rre ouvrnt indiqué sur l figure) Automtes ommuttifs L imge de Prikh est le morphisme de groupes : F (E)! Z[E] donné pr (e) =e. On érit les éléments du groupe ommuttif lire omme des sommes formelles : V = P V (e) e, e qui nous permet d érire (,2 )=, + et (, 2 2 )=4 +. On ppelle imge ommuttive d un mot u 2 F (E) ou d un lngge L F (E) leurs imges respetives pr ette pplition, est à dire le veteur (u) 2 Z[E] et l ensemle de veteurs (L) Z[E] respetivement. On pose V A = (L A ) l imge ommuttive du lngge d un utomte réversile A. Rppelons que l élinistion d un groupe G est son quotient pr le groupe des ommutteurs [G; G] = f,, j; 2 Gg. C est un groupe ommuttif, et l projetion nonique G! G=[G; G] est universelle prmi les morphismes de groupes G! A où A est ommuttif. Si G F (E) est un sous-groupe du groupe lire, son élinistion est isomorphe à son imge ommuttive (G) qui est un sous-groupe de Z[E]. DeplussiG est lirement engendré pr les mots u ;:::;u n,lors (G) est le sous-groupe de Z[E] engendré pr les veteurs (u );:::; (u n ); estàdire (G) =f P n i= i (u i )j i 2 Zg. Le premier groupe d homologie H (A) d un utomte réversile A est l élinistion de son groupe fondmentl. Il est pr onséquent formé des imges ommuttives des hemins fermés sés en l étt initil. Mis omme le grphe sous-jent est onnexe, l étt initil n importe ps et le premier groupe d homologie ontient extement les imges ommuttives des hemins fermés de A. On peut oserver que V A = S s2s [ (u s)+h (A)]. Définition Un utomte réversile A est dit ommuttif s il stisfit ux onditions suivntes :. 8s; s 2 S 8u 2 F (E) [s u,! s ^ (u) 2 H (A)] ) s = s 2. 8s; s 2 S 8u 2 F (E) 8e 2 E [s u,! s ^ (u) =e] ) s e,! s On dit qu un utomte réversile A divise un utomte réversile B s il existe un utomte réversile C qui ouvre A et se plonge pleinement dns B; estàdiresia est le quotient d un utomte induit de B : AjB,9C A C,! B. Proposition Soit A =(E; S; T; s ) un utomte réversile, les onditions suivntes sont équivlentes:. A est un utomte ommuttif, 2. A divise le grphe de Cyley de Z[E],

25 Synthèse de réseux de Petri 23 FIG. 3. un utomte ommuttif 3. A se plonge pleinement dns le grphe de Cyley d un groupe ommuttif de type fini. Dns e s l pplition s 7! (u s )+H (A) est un plongement plein de l utomte A dns le grphe de Cyley de Z[E]=H (A). Les utomtes ommuttifs dont l ensemle d événements est E sont en orrespondne ijetive ve les pires (V;H) onstituées d un ensemle V Z[E] onnexe de veteurs de l grille et d un sous-groupe H du stilisteur de V : H St(V )=fu 2 Z E j u + V = V g. H et V sont lors respetivement le premier groupe d homologie et l imge ommuttive du lngge de l utomte ommuttif ssoié. Pr us de lngge nous ppelerons St(V A ) le stilisteur de l utomte A. Un utomte ommuttif est réduit si, et seulement si, son premier groupe d homologie oïnide ve son stilisteur. Considérons l utomte réversile de l figure 3., H (A) est le groupe engendré pr 3, et 2 +, etv A = U A + H (A) où U A = f; ;2;3g (en utilisnt les trnsitions étiquetées omme rre ouvrnt). Le plongement de A dns le grphe de Cyley du groupe Z[E]=H (A) envoie un étt s sur l lsse (u s )+H (A) ; est à dire sur l orite de (u s ) dns V A Z[E] pour l tion de H (A). OrH (A) est églement engendré pr 5 et 3, (r 5 =(3, ) +(2 + )) et don Z[E]=H (A) est isomorphe u groupe ylique Z=5 Z où est identifié à et à 3 =,2. Le plongement de A dns Z[E]=H (A) est indiqué dns l figure 3.. Le groupe quotient C(A) = Z[E]=H (A) est ppelé groupe nonique de l utomte réversile A =(E; S; T; s ). Le plongement de A dns le grphe de Cyley de C(A) qui envoie un étt s vers l lsse (u s )+H (A) et un événement e vers s lsse e + H (A) est qulifié de représenttion nonique de A. Rppelons qu un groupeommuttif de type fini G dmet une représenttion expliite sous l forme G = Z=n Z ::: Z=n k Z Z m ve n i jn i+ et m. Les oeffiients n i et m sont des rtéristiques du groupe ien que l isomorphisme ne soit déterminé de mnière unique. Pr us de lngge, nous qulifierons de représenttion nonique de A toute omposition de s représenttion nonique ve un tel isomorphisme. Dns l setion qui suit on dérit le lul expliite d une telle représenttion en utilisnt l normlistion de Smith d une mtrie ssoiée à C(A).

26 24 É. Bdouel Plongements noniques d un utomte ommuttif Si H est un sous-groupe de Z n et G = Z n =H le quotient ssoié lors G, omme tout groupe ommuttif de type fini, dmet une déomposition nonique G = Z=n Z ::: Z=n k Z Z m où n i jn i+ et m. Ces nomres ppelés respetivement les oeffiients de torsion et le nomre de Betti sont rtéristiques du groupe G. Ils peuvent être lulés en utilisnt l forme normle de Smith d une mtrie ssoiée à une présenttion de G (voir [66] pge 4 5). Rppelons quelques fits sur les formes normles de Smith de mtries à oeffiients entiers[67]. Soit M 2 Z n;m une mtrie de rng r, les nomres entiers f ;f ;:::;f r,oùf =et f k pour k r est le plus grnd diviseur ommun ux déterminnts non nuls des sous-mtries d ordre k de M sont ppelés les diviseurs déterminntux de M. Alors f k, divise f k, et les quotients q k donnés pr f k = q k f k, sont les fteurs invrints de M. L mtrie M est équivlente à une mtrie S, ppelée forme normle de Smith de M, telle que S(i; i) =q i pour i =;:::ret S(i; j) =sinon ; est àdirequem estdelformem = RSC où S est sous forme normle de Smith et R et C sont des mtries élémentires orrespondnt respetivement à des séquenes d opértions élémentires sur les lignes (éhnger deux lignes ou jouter à une ligne le multiple entier d une utre ligne) et à une séquene d opértions élémentires sur les olonnes. L forme normle de Smith d une mtrie est unique mis ps les mtries R et C qui peuvent dépendre de l ordre suivnt lequel les opértions élémentires sont effetuées fin d tteindre ette forme normle. Notons G = A(E;W) le groupe Z[E]=H où H est le sous-groupe de Z[E] engendré pr les veteurs de W Z E.Lpire(E;W) peut se représenter omme une mtrie, ppelée mtrie de reltions de G, dont les olonnes orrespondent ux reltions de l présenttion. Pr exemple l mtrie des reltions du groupe G = A(; ;3, ; 2 + ) ssoié à l utomte ommuttif de l figure 3. est M = de Smith est lulée omme suit : 3 2 =, = = = 2 2 2, 2 3, , et s forme normle,, Posons R i;j et R (i) (i)+(j) les mtries élémentires orrespondnt respetivement à l éhnge des lignes i et j et à l ddition de fois l ligne j à l ligne i. Les mtries C i;j et C (i) (i)+(j) odent les opértions élémentires nlogues sur les olonnes. Ces mtries sont inversiles et R, i;j = R i;j et R, (i) (i)+(j) = R (i) (i),(j) (de même pour