, y 1. ) au point B(x 2. x 1

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1 Faire le point Pages 36, 37 et 38 du manuel Les accroissements L accroissement des abscisses ( x du point A(x, y au point B(x est la différence des abscisses de ces deux points ( x = x x. L accroissement des ordonnées ( y du point A(x, y au point B(x est la différence des ordonnées de ces deux points ( y = y y. Exemple : y S( 4, 6 x T(, 3 L accroissement des abscisses du point S( - 4, 6 au point T(, 3 est x = - 4 = 6. L accroissement des ordonnées du point S( - 4, 6 au point T(, 3 est y = 3 6 = - 3. Puisque l accroissement est une différence, on utilise la lettre delta ( pour le représenter. Delta est la lettre «D» dans l alphabet grec. La distance entre deux points La distance entre deux points A(x, y et B(x dans un plan cartésien, notée d(a, B, est la longueur du segment AB. À partir de l accroissement des abscisses et de l accroissement des ordonnées entre ces deux points, on utilise la relation de Pythagore pour calculer d(a, B. A(x, y x = x x B(x y = y y C(x, y (m AB = (m AC + (m BC (d(a, B = ( x + ( y (d(a, B = (x x + (y y L expression qui permet de calculer la distance entre A et B est d(a, B = x x y y. Contrairement à l accroissement des abscisses ou des ordonnées entre deux points, qui peut être un nombre positif ou négatif, la distance entre deux points est nécessairement un nombre positif. Exemple : Voici comment calculer la distance entre les points C(8, 7 et D( -, 0. d(c, D = ( 8 + ( 0 7 = ( 9 3 = 8+ 9 = 90 9, 5 Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 7

2 Le point de partage d un segment Il est possible de déterminer les coordonnées d un point de partage d un segment, c est-à-dire un point situé à une certaine fraction d un segment. Pour ce faire, on détermine séparément l abscisse et l ordonnée de ce point de partage. Soit le segment UV tracé dans le plan cartésien ci-dessous. On s intéresse aux coordonnées du point de partage P, situé à la fraction a b du segment UV à partir du point U. b V(x U(x, y a a x b P y a y b x Abscisse du point de partage L accroissement des abscisses du point U au point P est a b x. L abscisse du point P est donc x + a b x. Ordonnée du point de partage L accroissement des ordonnées du point U au point P est a b y. L ordonnée du point P est donc y + a b y. Abscisse du point U Accroissement des abscisses du point U au point P Ordonnée du point U Accroissement des ordonnées du point U au point P Les coordonnées du point P situé à la fraction a b du point U(x, y sont donc P ( x + a b x, y + a b y. du segment UV à partir 8 Faire le point Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

3 Exemples : Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point P situé aux 3 5 du segment UV, d extrémités U(4, 6 et V(9, 6, à partir du point U.. Calculer l accroissement des abscisses et l accroissement des ordonnées du segment en considérant que les coordonnées du point de départ (U correspondent à (x, y.. Déterminer les coordonnées du point de partage en additionnant la fraction 3 5 accroissements calculés à l étape aux coordonnées du point de départ. ( des x = x x = 9 4 = 5 y = y y = 6 6 = 0 P( x + a b x, y + a b y P( (5, (0 P(4 + 3, P(7, Remarque : Le point situé aux 3 5 du segment UV à partir du point U est le point qui partage le segment UV en segments de rapport 3 : à partir du point U. Voici les étapes à suivre pour déterminer les coordonnées du point milieu M du segment EF d extrémités E( - 3, 5 et F(, Calculer l accroissement des abscisses et l accroissement des ordonnées du segment en considérant que les coordonnées du point de départ (E correspondent à (x, y.. Déterminer les coordonnées du point milieu M en additionnant la moitié des accroissements calculés à l étape aux coordonnées du point de départ. x = x x = - 3 = 4 y = y y = = - 8 M( x + x, y + y M ( (4, 5 + (- 8 M( - 3 +, M( -, Remarques : Le point milieu est un cas particulier du point de partage d un segment. Le point milieu d un segment partage celui-ci en segments isométriques. Afin de déterminer les coordonnées du point milieu M d un segment, on peut calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment. Ainsi, les coordonnées du point milieu M du segment AB d extrémités A(x, y et B(x sont ( x + x, y + y. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 9

4 Faire le point Pages 49, 50 et 5 du manuel La droite En géométrie analytique, la droite se définit comme l ensemble des points d un plan cartésien qui vérifient une équation du premier degré à deux variables. On doit calculer l accroissement des ordonnées à partir du même point utilisé pour calculer l accroissement des abscisses. La pente La pente de la droite qui passe par les points A(x, y et B(x est le rapport de l accroissement des ordonnées à l accroissement des abscisses entre deux points de cette droite. Pente de la droite AB = y x = y - y x - x Exemple : Voici comment calculer la pente de la droite qui passe par les points R( -, 5 et S(3, - 5. Pente de la droite RS = y x = y - y x - x = = = - 4 L équation d une droite sous la forme fonctionnelle Une équation de la forme y = ax + b est l équation d une droite sous la forme fonctionnelle. Dans l équation d une droite sous la forme fonctionnelle : le paramètre a représente la pente de la droite ; le paramètre b représente son ordonnée à l origine. Les lettres qui constituent les paramètres de l équation d une droite sous la forme générale sont des lettres majuscules. L équation d une droite sous la forme générale Une équation de la forme A x + By + C = 0 est l équation d une droite sous la forme générale. Dans l équation d une droite sous la forme générale : l ordonnée à l origine correspond à - C B ; l abscisse à l origine correspond à - C A ; la pente correspond à - A B. 0 Faire le point Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

5 Tracer une droite On procède différemment pour tracer une droite selon la forme d équation présentée. Exemples : Voici les étapes à suivre pour tracer la droite d équation y = x + 3. Voici les étapes à suivre pour tracer la droite d équation 4x 8y + 6 = 0.. À partir de l ordonnée à l origine, placer un autre point en utilisant la pente de la droite Déterminer l ordonnée à l origine de la droite en calculant la valeur de y lorsque x = 0. Déterminer l abscisse à l origine de la droite en calculant la valeur de x lorsque y = 0. x y Tracer la droite reliant ces points.. Placer les coordonnées à l origine dans un plan cartésien et tracer la droite reliant ces points. Le passage d une forme d équation à une autre L équation d une droite sous la forme générale est équivalente à l équation de cette droite sous la forme fonctionnelle. Des manipulations algébriques permettent donc de passer d une forme d équation à une autre. Exemples : Il suffit d isoler la variable y d une équation de forme générale pour l exprimer sous la forme fonctionnelle. 3x 4y = 0-4y = - 3x + y = 3 4 x 3 Il suffit de rassembler tous les termes du même côté du signe d égalité d une équation de forme fonctionnelle pour l exprimer sous la forme générale. y = - x 9 x + y + 9 = 0 x + y + 8 = 0 Il n est pas nécessaire que les coefficients A, B et C de l équation d une droite sous la forme générale soient des nombres entiers. Cependant, on choisit habituellement de les présenter ainsi. Le demi-plan En géométrie analytique, un demi-plan se définit comme l ensemble des points d un plan qui vérifient une inéquation du premier degré à deux variables. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

6 Tracer un demi-plan Pour tracer un demi-plan, on trace d abord la droite qui constitue la frontière du demi-plan. Ensuite, on se base sur le signe d inégalité pour déterminer la région à hachurer. Exemple : Voici les étapes à suivre pour tracer le demi-plan d inéquation 3x 4y + 4 > 0.. Tracer la droite 3x 4y + 4 = 0. Puisque le signe d inégalité est strict (>, cette droite doit être en tirets. x y Choisir un point-test et remplacer ses coordonnées dans l inéquation du demi-plan. Pour faciliter les calculs, on choisit souvent l origine du plan cartésien comme point-test : 3(0 4(0 + 4 > 0 Puisque 4 > 0, l origine fait partie de la région à hachurer. 3. Hachurer la région correspondant au demi-plan selon la conclusion à laquelle on arrive à l étape. Déterminer l inéquation qui décrit un demi-plan Pour déterminer l inéquation qui décrit un demi-plan, on détermine d abord l équation de la droite qui constitue la frontière du demi-plan. Ensuite, on détermine le signe d inégalité qui correspond à la région hachurée du demi-plan. A(0, 4 B(, Exemple : Soit le demi-plan tracé dans le plan cartésien ci-contre. Voici les étapes à suivre pour déterminer l inéquation qui décrit ce demi-plan.. Déterminer l équation de la droite qui constitue la frontière du demi-plan.. Déterminer le signe d inégalité. L ordonnée à l origine de la droite est - 4. La pente de la droite est y x = y - y x - x = = 6 = 3. L équation de la droite est donc y = 3x 4. Puisque la droite est pleine et non en tirets, on doit choisir entre les symboles et. Puisque la région hachurée s étend vers le bas, toutes les valeurs de y inférieures ou égales à 3x 4 font partie de cette région. L inéquation du demi-plan est donc y 3x 4. Faire le point Intersection CST Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

7 Faire le point Page 6 du manuel Les droites parallèles Deux droites parallèles ne se coupent jamais. Cette propriété géométrique se manifeste algébriquement par le fait que deux droites parallèles ont la même pente. Propriété géométrique : parallélisme Manifestation algébrique Équations sous la forme fonctionnelle Équations sous la forme générale y = x + 4 y = x La pente correspond au paramètre a. = 6x 3y + = 0 8x 4y 8 = 0 La pente correspond au rapport - A 6 3 = 8 4 = B. Les droites sont parallèles. Remarque : Des droites parallèles qui ont la même ordonnée à l origine sont des droites confondues. Les droites perpendiculaires Deux droites perpendiculaires se coupent à angle droit. Cette propriété géométrique se manifeste algébriquement par le fait que le produit des pentes de deux droites perpendiculaires égale -. Propriété géométrique : perpendicularité Manifestation algébrique Équations sous la forme fonctionnelle Équations sous la forme générale y = 5 x + x 5y + 0 = 0 y = 5x 4 ( 5 ( 5 = - 0x + y + 0 = 0 ( 5 ( 0 = - Les droites sont perpendiculaires. Les propriétés d objets géométriques La géométrie analytique permet de vérifier les propriétés de certains objets géométriques. Par exemple, il est possible de montrer que les diagonales d un carré sont isométriques et perpendiculaires à l aide des concepts de distance entre deux points et de perpendicularité de droites. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 3