Dérivées et primitives I. RAPPELS SUR LES DROITES ET LES FONCTIONS AFFINES
|
|
- Corinne Normandin
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 2 Dérivées et primitives I. RAPPELS SUR LES DROITES ET LES FONCTIONS AFFINES Une fonction affine est une fonction définie sur R par : f (x)=ax+b, avec a et b réels. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y=ax+b où : a est le coefficient directeur b est l'ordonnée à l'origine Remarque Lorsque b=0, la fonction affine devient linéaire : f (x)=ax. La droite passe alors par l'origine du repère. Remarque : soient A(x A ;y A ) et B(x B ; y B ) deux points de la droite, on a : a= y B y A x B x A. Exemples : voir activité 1 II. NOMBRE DERIVE ET TANGENTE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative. Soit A(a ;f (a)) un point de la courbe. Soit M(a+h ;f (a+h)) un autre point de la courbe. 1) Taux d'accroissement de f entre a et a+h Le coefficient directeur de la droite (AM) est : f (a+h) f (a) r(h)= h Ce nombre r(h) est appelé taux d'accroissement de f entre a et a+h. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 1
2 Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R pour f (x)=x 2. Soit a=3. Soit h>0. Quel est le taux d'accroissement de f entre a et a+h? 2) Nombre dérivé de f en a Remarque : r (0) n'existe pas mais on s'intéresse à ce que devient r (h) quand h s'approche de 0. Si r(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 alors on dit que f est dérivable en a. Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a, et il est noté f'(a). On écrit alors : f'(a)=lim h 0 ( f'(a)=lim h 0 f (a+h) f (a) h r(h) ) Exercice 2 1) Reprenons l'exemple précédent. Montrer que f est dérivable en 3 et calculer son nombre dérivé en 3. 2) Soit f la fonction définie sur R par f (x)=x 2 +x. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f'(1). 3) Interprétation graphique Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A. Ainsi, lorsque h tend vers 0, le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers f'(a) (si r(h) tend vers f'(a)). Si f est dérivable en a, on appelle tangente à la courbe C au point A, la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f'(a). Chapitre 2 : Dérivées et primitives 2
3 Remarque Une équation de la tangente peut s'écrire y=f '(a)x+b où b est un réel que l'on déterminera en écrivant que les coordonnées du point A vérifient cette équation (puisque ce point appartient à la droite.) Exercice 3 Reprenons la fonction f définie sur R par f (x)=x 2 +x. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1? Remarque On peut aussi retenir que l'équation de la tangente à la courbe C au point par : y=f'(a)(x a)+f (a). A(a ;f (a)) est donnée Exercice 4 Retrouver l'équation de la tangente demandée dans l'exercice précédent en utilisant cette méthode. III. FONCTION DERIVEE 1) Si f est dérivable en tout point a d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. Remarque Dire que f est dérivable en a signifie que le nombre dérivé f'(a) existe, donc que la tangente à la courbe C f au point A(a ; f (a)) existe. Ainsi, si f est dérivable sur I, alors en chaque point la courbe a une tangente. Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction qui à chaque réel x de I associe le nombre dérivé f'(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f' : f': x f'(x) Chapitre 2 : Dérivées et primitives 3
4 2) Dérivées de fonctions usuelles Propriétés Fonction Fonction affine : f (x)=ax+b Fonction linéaire : f (x)=ax Fonction constante : f (x)= b Fonction puissance : f (x)=x n Fonction carré : f (x)=x 2 Fonction dérivée f '(x)=a f '(x)=a f '(x)=0 f '(x)=n x n 1 f '(x)=2x Fonction inverse : f (x)= 1 x Fonction racine : f (x)= x f '(x)= 1 x 2 f '(x)= 1 2 x Exercice 5 1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes : a) f (x)=2x+7 b) g(x)=x 7 2) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes en x= 2, puis en x= 1 2. a) f (x)=x 2 b) g(x)=x 3 c) h (x)= 1 x d) p( x)= 3x 5 3) Calculer le nombre dérivé de la fonction k, telle que k (x)= x, en 4 puis en 5. Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f (x)=x 3 et C sa courbe représentative. 1) A est le point d'abscisse 1 de la courbe C. Déterminer une équation de la tangente T à C en A. 2) Tracer la tangente T sur le dessin ci-contre. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 4
5 Propriétés sur le cosinus et le sinus Fonction Fonction dérivée f (x)=cos(x) f '(x)= sin( x) f (x)=sin (x) f '(x)=cos(x) f (t)=cos(ω t+φ) f '(t)= ω sin(ω t+φ) f (t)=sin(ω t+φ) ( ω et φ étant des réels) f '(t)=ωcos(ωt+φ) 3) Dérivées et opérations s Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. La somme u+v est dérivable sur I et (u+v)' =u'+v'. Le produit uv est dérivable sur I et (uv)'=u' v+u v'. Le produit ku où k est une constante réelle, est dérivable sur I et (ku)'=k u'. Le carré u 2 de la fonction u est dérivable sur I et (u 2 )'=2u u'. L'inverse 1 v Le quotient u v de v, avec v( x) 0 avec v( x) 0 sur I, est dérivable sur I et ( 1 v ) ' = v' v. 2 sur I, est dérivable sur I et ( u v ) ' u' v u v' =. v 2 Exercice 7 Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1) f (x)=x 3 +5x 2) g(x)=x 2 cos(x) 3) h (x)= 1 x ) i(x)= 2x 3 3x+1 5) j(x)=6( x2 + 1 x ) 6) k (x)= x ) l(x)=(x 3 +1) 2 Exercice 8 Déterminer une équation de la tangente en x=2 à la courbe d'équation y=5x 3 2x Chapitre 2 : Dérivées et primitives 5
6 Nouveau théorème Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul. La fonction f définie sur I par : f (x)=(u(x)) n est dérivable sur I, et pour tout x de I, on a : f '(x)=n. u ' (x).(u(x)) n 1. On retient que : (u n )'=n.u '. u n 1. Soit u une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I et n un entier naturel. La fonction f définie sur I par : f (x)= 1 est dérivable sur I, et pour tout x de I, on (u(x)) n n.u ' ( x) a : f '(x)= (u(x)). n+1 On retient que : ( 1 u n ) ' = n.u ' u n+1. Exercice 9 Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1) f (x)=(2x+3) 2 2) g(x)=cos x sin 3 x 7 3) h (x)= (3x 2 +1) 4 4) i(x)= (5x 1)2 x+1 Chapitre 2 : Dérivées et primitives 6
7 4) Signe de la dérivée et sens de variations de la fonction a) Sens de variation : Du sens de variation au signe de la dérivée Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si la fonction f est croissante sur I, alors pour tout x I, f '(x) 0. Si la fonction f est décroissante sur I, alors pour tout x I, f '(x) 0. Si la fonction f est constante sur I, alors pour tout x I, f '(x)=0. : Du signe de la dérivée au sens de variation Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x I, f '(x) 0, alors la fonction f est croissante sur I. Si pour tout x I, f '(x) 0, alors la fonction f est décroissante sur I. Si pour tout x I, f '(x)=0, alors la fonction f est constante sur I. Exercice 10 Soit f la fonction définie sur [ 1; 3] par f (x)= x 2 +4x+1. 1) Calculer la dérivée de f et déterminer le signe de cette dérivée. 2) a) Étudier le sens de variation de f sur [ 1; 3] et construire son tableau de variations. b) Vérifier la cohérence des résultats précédents avec le graphique affiché par la calculatrice. b) Extremum Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I. Si la fonction dérivée f ' s'annule en x 0 en changeant de signe alors la fonction f admet un extremum (maximum ou minimum) local en x 0. Exercice 11 Soit f la fonction définie sur [ 1 ; 2] par : f ( x)=2 x 3 3 x Déterminer les extrema locaux de la fonction f sur l'intervalle [ 1; 2]. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 7
8 c) Résolution d'une équation de type f ( x)=k. des valeurs intermédiaires Si la fonction f est dérivable et strictement monotone sur l'intervalle [a ; b] alors tout nombre réel fixé k compris entre f (a) et f (b) admet un unique antécédent x 0 compris entre a et b. Autrement dit, pour tout nombre réel fixé k compris entre f (a) et f (b) l'équation f ( x)=k (d'inconnue x) admet une unique solution x 0 entre a et b. Si f est strictement croissante : x a x 0 b f (x) f (a) k f (b) Si f est strictement décroissante : x a x 0 b f (x) f (a) k f (b) Exercice 12 Soit f la fonction définie sur [ 2; 0] par : f ( x)=x 3 +x. 1) Donner le nombre de solutions de l'équation f ( x)= 1. 2) En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à 10 3 de cette(s) solution(s). Chapitre 2 : Dérivées et primitives 8
9 IV. PRIMITIVES 1) Ensemble des primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dont la dérivée est f. F f F '= f Exemple Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=2 x. La fonction F définie sur R par F ( x)=... est une primitive de la fonction f et la fonction G définie sur R par G(x)=... en est une aussi. F et G sont deux primitives de f sur R. Exercice 13 Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=(2 x+1)( x 2 +x+3). Vérifier que la fonction F définie sur R par F ( x)= 1 2 (x 2 +x+3) 2 est une primitive de f sur R. Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors toutes les autres primitives de f sur I sont de la forme F +c où c est une constante (c R). Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule vérifiant la relation F (x 0 )=y 0 où x 0 et y 0 sont des réels donnés. Exercice 14 Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=3 x ) Donner les primitives de la fonction f sur R. 2) Déterminer la primitive F de la fonction f qui vérifie la relation F (2)=6. Exercice 15 Soient F et f les fonctions définies sur R respectivement par f ( x)=3 x 2 +2 x 7 et F ( x)=x 3 +x 2 7 x. 1) Vérifier que F est une primitive de f sur R. 2) Déterminer, si elle existe, la fonction G, primitive de f sur R et qui vérifie G ( 1)=8. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 9
10 2) Primitives de fonctions usuelles Les primitives de fonctions usuelles sont données par le tableau suivant, dans lequel c représente une constante réelle. La fonction f définie par Admet comme primitives les fonctions définies par : Sur : f (x)=0 F (x)=c R f (x)=k F (x)=kx+c R f (x)=x n (n entier supérieur ou égal à 1) f (x)= 1 x n (n entier supérieur ou égal à 2) F (x)= xn+1 n+1 +c R 1 F (x)= (n 1) x +c ] ; 0[ ou ]0;+ [ n 1 f (x)=sin x F (x)= cos x+c R f (x)=cos x F (x)=sin x+c R Exemple Les primitives de la fonction f définie par f ( x)= 1 x 8 sont données par :... 3) Opérations sur les primitives a) Somme de deux fonctions Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G est une primitive de g sur I, alors F +G est une primitive de f +g sur I. Exercice 16 Déterminer les primitives de la fonction f définie sur R par : f ( x)=sin x+x. b) Produit d'une fonction par une constante Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si k est un nombre réel, alors kf est une primitive de kf sur I. Exercice 17 Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ]0 ;+ [ par : f ( x)= 1 2 x 3. Chapitre 2 : Dérivées et primitives 10
11 c) Primitives de cos(ax+b) et sin(ax+b) Soient a et b deux nombres réels. Si f est la fonction définie sur R par f ( x)=cos(ax +b) alors les primitives de la fonction f sur R sont de la forme : F (x)= 1 sin(ax+b)+c, où c est une constante a réelle. Si g est la fonction définie sur R par g ( x)= sin(ax+b) alors les primitives de la fonction g sur R sont de la forme : G( x)= 1 cos(ax+b)+c, où c est une constante a réelle. Exercice 18 a) Déterminer les primitives de la fonction f définie sur R par : f ( x)=4 cos(5 x). b) Déterminer les primitives de la fonction g définie sur R par : g (x)=5 sin(3 x+2). d) Primitives de fonctions de la forme u' u n et u' u n Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et n un entier naturel non nul. Si f est la fonction définie sur I par : f (x)=u' (x)(u(x)) n alors les primitives de la fonction f sur I sont de la forme : F (x)= 1 n+1 (u(x))n+1 +c, où c est une constante réelle. Si g est la fonction définie sur I par : g (x)= u ' (x) alors les primitives de la fonction g (u(x)) n 1 sur I sont de la forme : G( x)= +c, où c est une constante réelle. n 1 (n 1)(u( x)) Exercice 19 a) Déterminer les primitives de la fonction f définie sur R par : f ( x)=7(3 x 2 +5)(x 3 +5 x 1) 2. b) Déterminer les primitives de la fonction g définie sur I par : g (x)= 2 x+5 ( x 2 +5 x+8). 4 Chapitre 2 : Dérivées et primitives 11
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailComment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.
Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailChapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul
DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE
P. LEVY (Paris - Francia) FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE ET ITÉRATION D'ORDRE FRACTIONNAIRE 1. - Une fonction teue que ^c+e~ x sin log x, malgré la lenteur et la petitesse de ses osciuations, nous apparaît
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailF7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ
Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détail