Fiche méthode géométrie analytique. Les formules à retenir Elles sont déjà dans votre cours mais abondance de bien ne nuit pas!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fiche méthode géométrie analytique. Les formules à retenir Elles sont déjà dans votre cours mais abondance de bien ne nuit pas!"

Transcription

1 Les formules à retenir Elles sont déjà dans votre cours mais abondance de bien ne nuit pas! Soient A(x A,y A ) et (x,y ). ( x xa; y ya) = = ( x x ) + ( y y ) A A Le milieu du segment [] a pour coordonnées : xa + x ya + ; Soient u ( x; y) et v ( x'; y' ) deux vecteurs. On dit que u et v sont colinéaires si et seulement si xy ' x' y On dit que u et v sont orthogonaux si et seulement si xx ' + yy' y Déterminer les coordonnées d un point On donne une caractérisation vectorielle d un point et on cherche ses coordonnées. Soient A(3 ;) et (- ;).Déterminer les coordonnées de G tel que AG = Déterminer les coordonnées des deux vecteurs de l énoncé On pose G(x ;y) ( puisque c est l inconnue ) x x y y 3; On calcule les coordonnées du vecteur ( A; A) donc ( ) On obtient : ( 7; 6) L énoncé utilise ; calculons donc ses coordonnées : ( ( 7); ( 6) ) On a : ( ;) On utilise la formule des coordonnées pour déterminer les coordonnées de AG : on a AG ( xg xa; yg ya ) d où : AG ( x 3; y ) Utiliser l égalité de l énoncé Maintenant on utilise la formule de l énoncé : AG = qui signifie que les coordonnées du premier vecteur sont égales aux coordonnées du deuxième vecteur AG = x 3 = x = + 3 = 7 on obtient : y = y = + Et on n oublie pas la conclusion : G(7 ;0)

2 Utilisation de la colinéarité Montrer que deux vecteurs sont colinéaires On utilise la formule Soient A( ;7), (9 ;7) et C(3 ;). Montrer que les points A, et C sont alignés On commence par déterminer les coordonnées de vecteurs intéressants ( 9 ;7 7) donc (;0) AC ( 3 ; 7) donc AC ( ; ) On utilise la formule de colinéarité Pour cela on peut écrire les coordonnées des vecteurs sous forme de colonnes pour ne pas se tromper dans le calcul. Puis on fait une multiplication en croisant : AC = ( ) 0 ( ) Les vecteurs et AC sont colinéaires donc les points A, et C sont alignés. Utiliser la colinéarité pour déterminer des coordonnées d un point Là encore, on utilise la formule et on résout une équation Soient A( ;7), ( ;) et C( ;3). Déterminer les coordonnées de D, point de l axe des abscisses tel que () et () soient parallèles. On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs intéressants ( ; 7) donc ( 3; 3) Maintenant, il faut les coordonnées du vecteur. Pour cela, il nous faut des renseignements sur D. On sait qu il est sur l axe des abscisses donc y D. On pose donc D(x ;0). On utilise la formule pour avoir les coordonnées de en fonction de x : ( x ;0 3) donc ( x ; 3) On utilise maintenant la formule de colinéarité Les droites () et () sont parallèles donc et sont colinéaires donc 3 x 3 3 Ce qui donne : 3 ( 3) ( 3)( x ) 9 + 3x 3 x 3 x = x = 7 On conclut : D(7 ;0)

3 Utilisation de l orthogonalité Montrer que des vecteurs sont orthogonaux On utilise la formule Soient A( ;3), ( ;0), C(0 ;7) et D(9 ;). Montrer que les droites () et () sont perpendiculaires On détermine les coordonnées des vecteurs concernés ;0 3 ; 3 ( ) donc ( ) ( 9 0; 7) donc ( 9; 3) On utilise la formule d orthogonalité x x + y y = = = ( ) ( ) 0 Les vecteurs et sont orthogonaux donc () et () sont perpendiculaires. Utiliser l orthogonalité pour déterminer des coordonnées On utilise encore la formule Soient A(7 ;9) et ( ;). Déterminer les coordonnées de D pour que D soit à l intersection de l axe des ordonnées et de la médiatrice de []. On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs intéressants D est sur la médiatrice de [], appelons I le milieu de [] ; alors les vecteurs ID et sont orthogonaux. 7; 9 6; ( ) donc ( ) I est le milieu de [] donc I ; donc I ; D est sur l axe des ordonnées donc on peut poser D(0 ;y). On utilise la formule pour avoir les coordonnées de ID en fonction de y : 7 soit ID ; y On utilise maintenant la formule d orthogonalité Les vecteurs ID et sont orthogonaux donc x x + y y 7 D où : 6 ( ) + ( ) y 7 On résout : y + 6 y 6 Donc y = 6 On conclut : D0 ; ID ID 7 ID 0 ; y

4 Utiliser un repère non classique On peut être amené à choisir un repère pour faciliter les raisonnements et les remplacer par des calculs. Dans ce cas, on a souvent des repères non orthonormés. Il faut donc bien repérer qui joue le rôle de l axe des abscisses et qui joue celui de l axe des ordonnées. Puis on donne les coordonnées des points utiles dans ce repère 3 Soit un triangle C. Placer D tel que AD = et placer E tel que AE = + AC Montrer que les points C, D et E sont alignés. Choix d un repère Puisque les points D et E sont définis à partir des vecteurs et AC on va choisir les repère ( A ; ; AC) L axe des abscisses est donc porté par la droite () et le sens positif va de A vers L axe des ordonnées est donc porté par la droite (AC) et le sens positif va de A vers C. Un conseil : mettez le repère en couleur, les graduations et le «x», le «y», les flèches. Coordonnées des points utiles A(0 ;0) puisque c est l origine du repère ( ;0) en regardant le repère C(0 ;) en regardant le repère D ;0 puisque D est sur la droite (), il n a pas d ordonnée 3 E ; en lisant l égalité vectorielle. Application des méthodes Pour montrer que trois points sont alignés, il faut montrer que les vecteurs constitués par ces points sont colinéaires Déterminons les coordonnées des vecteurs

5 0;0 donc ; 3 0; CE donc ; CE Regardons si la condition de colinéarité est remplie : 0 ) ( = + = = Les vecteurs et CE sont colinéaires et les points C, D et E sont donc alignés.

Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan Les vecteurs du plan Colinéarité Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 1 / 13 1 Vecteurs colinéaires Définition et première

Plus en détail

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel.

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel. I Colinéarité de deux vecteurs Définition 1: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel. Exemples : Les vecteurs u -5 3 et v 15-9 sont colinéaires car

Plus en détail

Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P

Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P Résumé du cours roites et plans de l espace ans l espace un plan est caractérisé par la donnée de trois points non alignés, deux droites sécantes ou strictement parallèles. Un plan passant par trois points

Plus en détail

1 Calcul vectoriel. 2 Vecteurs colinéaires. 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère. 1.2 Caractérisation du milieu d un segment

1 Calcul vectoriel. 2 Vecteurs colinéaires. 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère. 1.2 Caractérisation du milieu d un segment Chapitre : Géométrie plane 1 Calcul vectoriel 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère Définition 1. Soit #» u un vecteur du plan. Pour tout point O du plan, il existe un unique point M tel que OM #»

Plus en détail

Géométrie analytique dans l espace

Géométrie analytique dans l espace Généralités Points coplanaires Quatre points de l espace sont dits coplanaires s ils appartiennent à un même plan (rappel : 3 points d un plan sont dits alignés s ils appartiennent à une même droite) Vecteurs

Plus en détail

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du

Plus en détail

Vecteurs de l espace

Vecteurs de l espace Vecteurs de l espace Définitions règles de calcul On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : somme de vecteurs multiplication par un réel Définition-

Plus en détail

Correction IE de mathématiques 1eS Vecteurs et équations de droites vendredi 14 octobre 2016, 50 minutes

Correction IE de mathématiques 1eS Vecteurs et équations de droites vendredi 14 octobre 2016, 50 minutes Correction IE de mathématiques 1eS Vecteurs et équations de droites vendredi 14 octobre 016, 50 minutes Lire attentivement les énoncés des 8 questions notées sur 0 points au total. Lever la main en silence

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Terminale S Géométrie dans l espace

Terminale S Géométrie dans l espace Terminale S Géométrie dans l espace 1 Positions relatives de droites et de plans 1.1 Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont : soit..................... elles sont alors soit...............

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Géométrie plane

CHAPITRE 2 : Géométrie plane CHAPITRE 2 : Géométrie plane 1 Egalité de deux vecteurs... 2 2 Somme de deux vecteurs... 3 2.1 Relation de Chasles... 3 2.2 Règle du parallélogramme... 3 3 Vecteurs dans un repère... 4 3.1 Coordonnées

Plus en détail

1S DS 4 Durée : 2h. ( 5,5 points ) Exercice 1

1S DS 4 Durée : 2h. ( 5,5 points ) Exercice 1 1S DS Durée : h Exercice 1 (, points ) Dans un repère orthonormé (annexe exercice 1), on donne la droite (d) d équation x 3y + 6 = 0, le point A(1; 7) et le vecteur v (; 3). 1. Pour tracer (d) on peut

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I-2

I Exercices I I I I I I I I I I I-2 Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 09 Équations de droite s Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Définition. Dans le plan muni d un repère (O;! i,! j ), les coordonnées d un vecteur! u sont les coordonnées de l unique point M tel que. OM=! u.

Définition. Dans le plan muni d un repère (O;! i,! j ), les coordonnées d un vecteur! u sont les coordonnées de l unique point M tel que. OM=! u. Interprétation Propriété Coordonnées d un vecteur Dans le plan muni d un repère (O; i, j ), les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées de l unique point M tel que OM= u. On écrit u (x; y) pour

Plus en détail

Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde

Repérage dans le plan, cours pour la classe de seconde F.Gaudon 15 juillet 2009 Table des matières 1 Coordonnées dans un repère du plan 2 2 Coordonnées de vecteurs 3 3 Milieu d un segment et distance dans un repère orthonormé 4 1 1 Coordonnées dans un repère

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 010 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan

Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan Géométrie Chapitre 1 : Vecteurs et droites du plan I- Rappels et compléments sur les vecteurs 1) Vecteurs égaux La translation qui transforme en est appelée la translation de vecteur. Le point s appelle

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs Index Prérequis... 2 I- Présentation du produit scalaire... 2 I-1- Vocabulaire... 2 I-2- Quoi, pourquoi, comment?... 2 I-3- Quelques calculs :... 3 I-3-1- Travail d'une force... 3 1er cas : La force est

Plus en détail

5. Exercices et corrigés

5. Exercices et corrigés 5. Exercices et corrigés Rappels et questions-tests p.166 1) ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que : BD = AC et AE = BA. Quelle est la nature du quadrilatère ADCE? ) ABC est un triangle.

Plus en détail

1 x. 5 2x 5 2x. 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Mme Hobraiche

1 x. 5 2x 5 2x. 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Mme Hobraiche 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Avril 2013 Durée : 2h Mme Hobraiche Prénom : La calculatrice est autorisée. Le sujet, noté sur 30, comporte 4 exercices indépendants les uns des autres. La note

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l espace ; ; ;. Partie A : Repère et vecteurs coplanaires

Plus en détail

l espace II) Addition des vecteurs de l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. AB DC ABCD est un parallélogramme.

l espace II) Addition des vecteurs de l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. AB DC ABCD est un parallélogramme. Prof : Boufares Amor Cours de géométrie dans l espace 3 ème Maths et 3 ème sciences exp. I) d un vecteur de l espace Soit A et B deux points distincts de l espace. On appelle vecteur de représentant (A,

Plus en détail

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace I. Produit scalaire Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace 1) Produit scalaire dans l'espace Définition : Soient u et v deux vecteurs de l'espace et A, B, C trois points tels que u= AB et v= AC. Les

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Prérequis Vecteurs système d équations Plan du cours 1. Équations cartésiennes 2. Caractérisations vectorielles et représentations paramétriques 3. Intersections et parallélisme 4. Orthogonalité 1. Équations

Plus en détail

1 Vecteur dans un repère

1 Vecteur dans un repère 1 Vecteur dans un repère 1.1 Coordonnées d'un vecteur Dans un repère ;,, les coordonnées d'un vecteur u sont les coordonnées du point M tel que x M = u. Les coordonnées de u sont notées. y u M Dans un

Plus en détail

Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Rappels de 3eme. A Factorisation et developpement. 1/ Somme produit. 2/ Développements

Rappels de 3eme. A Factorisation et developpement. 1/ Somme produit. 2/ Développements A Factorisation et developpement Rappels de 3eme 1/ Somme produit Un calcul est appelé somme si la dernière opération à effectuer est une addition. Chacun des nombres qui composent cette addition est appelé

Plus en détail

Les droites du plan. Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées.

Les droites du plan. Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées. Les droites du plan Le plan est muni d un repère orthogonal. contrôles résumés de cours Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées. Quels que soient les points M et N de la droite, le

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs

Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs SAVOIR-FAIRE ÉLÉMENTAIRES EN MATHÉMATIQUES pour aborder la classe de première Lycée ascan : séries S et STID Thème : Calculs dans un repère et vecteurs Exercice (résolu) Dans un repère orthonormé (O; I,

Plus en détail

Vecteurs. Seconde. Eric Leduc 2014/2015. Lycée Jacquard. Vecteurs. Eric Leduc. Translations - Vecteurs associés. Opérations sur les vecteurs

Vecteurs. Seconde. Eric Leduc 2014/2015. Lycée Jacquard. Vecteurs. Eric Leduc. Translations - Vecteurs associés. Opérations sur les vecteurs - Seconde Lycée Jacquard 2014/2015 Rappel du plan - 1-2 3 4 5 Translation - Définition n o 1: Translation On considère deux points A et B du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation

Plus en détail

Repérage dans le plan

Repérage dans le plan Repérage dans le plan I Les repères a) Définition Définition : Un repère du plan est défini par la donnée de trois points distincts non alignés O, I et J. Le repère est alors noté (O ; I ; J). Le point

Plus en détail

Première S Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées

Première S Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées Exercice 1 : vecteurs et alignement de points ABC est un triangle. Le plan est muni du repère (A; AB, AC) et on considère les points R(-1;0) et Q(0;a) où a est un nombre réel différent de -1. 1) a) Prouver

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Il y a de la géométrie dans l'espace au bac tous les ans. Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, ı, j, k ) orthonormal de l'espace. Introduction L'espace,

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

Vecteurs (I) 1 Notion de vecteur. Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C.

Vecteurs (I) 1 Notion de vecteur. Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C. Vecteurs (I) Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C. B A 1. Indiquez par une phrase le déplacement qu il convient d effectuer pour aller de A à B. 2. On effectue

Plus en détail

Ici on connaît donc l image qui est 6, on recherche le nombre x tel que f : x 6

Ici on connaît donc l image qui est 6, on recherche le nombre x tel que f : x 6 FONCTIONS AFFINES 1/ DEFINITION Soient a et b deux nombres donnés et fixés. Une fonction affine est une fonction de la forme : f : x ax + b ou f(x) = ax+b Exemple 1 : Soit f(x) = 3x - 6 a. Calculer f(-3)

Plus en détail

Exercices supplémentaires Géométrie plane

Exercices supplémentaires Géométrie plane Exercices supplémentaires Géométrie plane Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1 Dans un repère, on considère 6; 1, ; 1, 15; 4 et ; 2. 1) Les points, et sont-ils alignés? Justifier.

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Programme selon les sections : - Vecteurs, translations, coordonnées : toutes sections - Colinéarité, coplanarité : S Pré-requis : Coordonnées de points Plan du cours 1. Vecteurs et translations

Plus en détail

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v )

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v ) 1 Norme d un vecteur Définition 1. Soit #» u un vecteur, A et B deux points du plan tels que #» AB = #» u. On appelle norme du vecteur #» u, que l on note #» u, la longueur du segment [AB] : #» u = AB

Plus en détail

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN 1 sur 12 REPERAGE DANS LE PLAN I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (O, I, J). L origine O et les unités OI et OJ permettent de

Plus en détail

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré

Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Chapitre II : Fonctions polynômes du second degré Extrait du programme : I. Forme canonique d un polynôme du second degré Définition : Dire qu une fonction f définie sur est une fonction polynôme de degré

Plus en détail

Contrôle du vendredi (45 minutes) 1 ère S1. 3 ) Démontrer que l ensemble C d équation cartésienne x y x 4y

Contrôle du vendredi (45 minutes) 1 ère S1. 3 ) Démontrer que l ensemble C d équation cartésienne x y x 4y 1 ère S1 Contrôle du vendredi 17--015 (5 minutes) Prénom et nom : Note : / 0 Dans les deux exercices, le plan est muni d un repère orthonormé, i, j 3 ) Démontrer que l ensemble C d équation cartésienne

Plus en détail

Droites et plans de l espace - Vecteurs

Droites et plans de l espace - Vecteurs Chapitre 8 Droites et plans de l espace - Vecteurs Objectifs du chapitre : item références auto évaluation étude de la position relative de droite(s) et de plan(s) vecteurs de l espace formules dans un

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie septembre 2011

Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie septembre 2011 Corrigé du baccalauréat S obligatoire Polynésie septembre EXERCICE. Sur personnes, 5 utilisent l escalier ; p E pe= p E = 4. = 5 = 4. D où 5 points Sur les 5 personnes empruntant l ascenseur la répartition

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

CALCUL VECTORIEL I) EXERCICE D'INTRODUCTION

CALCUL VECTORIEL I) EXERCICE D'INTRODUCTION CALCUL VECTORIEL I) EXERCICE D'INTRODUCTION 1) On donne les points A et A', construire à l'aide du quadrillage les points B' et C' tels que AA'B'B et AA'C'C soient des parallélogrammes. 2) On donne les

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

Equations cartésiennes. Fiche(1)

Equations cartésiennes. Fiche(1) Fiche(1) Le tableau suivant indique, dans la case située ligne l et colonne c, l altitude (exprimée en centaines de mètres) au point dont l abscisse est c et l ordonnée l : par exemple, l altitude du point

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

Secondes Composition de mathématiques n Mathématiques. Nom : Prénom : Classe :

Secondes Composition de mathématiques n Mathématiques. Nom : Prénom : Classe : Classes de Secondes Mathématiques 15 avril 2015 Nom : Prénom : Classe : Note : /40 Durée 2 heures Observations : Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. La calculatrice est

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 2 MATHÉMATIQUES

UNIVERSITÉ DE CERGY. U.F.R. Économie & Gestion. LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION. Première année - Semestre 2 MATHÉMATIQUES Année 011-01 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Économie & Gestion LICENCE d ÉCONOMIE et GESTION Première année - Semestre MATHÉMATIQUES MATH10 : Fonctions de plusieurs variables Enseignant responsable : C. Andrianasitera

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

Méthodes de géométrie dans l espace

Méthodes de géométrie dans l espace Déterminer une équation cartésienne de plan L équation cartésienne d un plan est du type ax + by + cz + d 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d un vecteur normal du plan. On procède en deux étapes : D abord

Plus en détail

Produit scalaire de l'espace. Applications.

Produit scalaire de l'espace. Applications. 1.... p2 2. Équations cartésienne d'un plan... p4 3. Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires... p9 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Produit scalaire de l'espace 1.1.

Plus en détail

Notions de géométrie

Notions de géométrie IUT Orsay Mesures Physiques Notions de géométrie Cours du 1 er semestre A. Les systèmes de coordonnées dans le plan A-I. Coordonnées cartésiennes Le plan étant muni d un repère orthonormé ( O, i, j) nombres

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Pˆr o dˆuˆiˆt Œs c a l aˆiˆr e d e l e sœp a c e Classe de Terminale S I. GÉNÉRALISATION DU PRODUIT SCALAIRE À L ESPACE. Exercice 1 ABCDEFGH est un cube d arête 1, O est le centre de la face EFGH. 1. a)

Plus en détail

Produit Scalaire. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Produit Scalaire. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Produit Scalaire Site MathsTICE de dama Traoré Lycée Technique amako I- Norme d un vecteur 1 ) Définition : u étant un vecteur de représentant le bipoint (;), on appelle norme de u le nombre réel positif

Plus en détail

(6 points) c. En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et donner la valeur de volume maximal. (5 points)

(6 points) c. En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et donner la valeur de volume maximal. (5 points) Bac Blanc - Maths - 1S - 08/0/01 (sur 0 durée : h - calculatrice autorisée La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note EXERCICE 1 Un chocolatier veut faire fabriquer

Plus en détail

Amérique du sud. Novembre Enseignement spécifique. Corrigé

Amérique du sud. Novembre Enseignement spécifique. Corrigé Amérique du sud. Novembre 014. Enseignement spécifique. orrigé EXERIE 1 Partie A 1) La calculatrice fournit P410 X 450) = 0,954 à 10 3 près. P410 X 450) = 0,954 à 10 3 près. ) Posons Z = Y 69. On sait

Plus en détail

M1 Les droites du plan

M1 Les droites du plan M Les droites du plan Le plan est muni d un repère orthogonal. Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées. ym yn Quels que soient les points M et N de la droite, le nombre m = est x

Plus en détail

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations On se propose d étudier les solutions de l équation (E) z + 1 = 0 1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 1 = (z + 1)(z z + 1). En déduire

Plus en détail

Les vecteurs. Remarque1 : Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers la droite.

Les vecteurs. Remarque1 : Le vecteur de coordonnées correspond à un déplacement de 1 carreau vers la droite. Les vecteurs I. Notion de Translation Exercice Sur le quadrillage ci-dessus : a. Faire «glisser» l objet (qu on appellera figure 1)de 8 carreaux vers la droite et 2 vers le haut (on appellera la figure

Plus en détail

Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion de mouvement dans la Géométrie.

Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion de mouvement dans la Géométrie. Les vecteurs Introduction : Les vecteurs sont fondamentaux : En Mathématiques : Le calcul vectoriel est un outil très puissant apparu à la fin du 19 ième siècle pour effectuer des démonstrations en Géométrie

Plus en détail

La Droite dans le Plan Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

La Droite dans le Plan Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako La Droite dans le Plan Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I Équation d une droite 1- Condition d alignement de trois points A B C Trois points A ; B ; C du plan sont alignés s il existe

Plus en détail

ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE

ANGLES ORIENTÉS - TRIGONOMETRIE hapitre 04 Angles orientés - Trigonométrie ANGLES RIENTÉS - TRIGNETRIE I- esure d un angle en radians Soit, A, B trois points du plan distincts deux à deux. n considère le cercle de centre et de rayon

Plus en détail

Exercice 1 : Commun à tous les candidats

Exercice 1 : Commun à tous les candidats Exercice : Commun à tous les candidats Commençons par traduire l énoncé! On nous dit que le touriste choisit le premier jour Est ou Ouest avec la même probabilité... Donc.. P (E ) = p(o ) = De plus, on

Plus en détail

Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés

Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : lire les coordonnées d un point dans un

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 Commun à tous les candidats Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé AB) où A et B sont les points

Plus en détail

3 ; 0. Chapitre 5 : I Coordonnées d un vecteur : 1 ) Définition : Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points de coordonnées.

3 ; 0. Chapitre 5 : I Coordonnées d un vecteur : 1 ) Définition : Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points de coordonnées. Chapitre 5 : I Coordonnées d un vecteur : 1 ) Définition : Soit O; ; ı ȷ un repère orthonormé, A et B deux points de coordonnées. On note : ; ; ı = ȷ =1 ı et ȷ sont les vecteurs unitaires. Par définition,

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE Cours Terminale S 1 Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définition Définition 1 : Le produit scalaire dans l espace se définit de la même façon que dans le plan Les trois

Plus en détail

I. Repère du plan. Chapitre 2 Repérage dans le plan

I. Repère du plan. Chapitre 2 Repérage dans le plan Chapitre Repérage dans le plan. Repère du plan Définition Un repère du plan est constitué de trois points non alignés, et. Considérons le repère du plan noté ( ;, ) le point est appelé origine du repère

Plus en détail

Fonctions linéaires. Une fonction est linéaire lorsque l image de la variable est le produit de par un nombre constant.

Fonctions linéaires. Une fonction est linéaire lorsque l image de la variable est le produit de par un nombre constant. Introduction 1) On considère la fonction définie par a) Compléter le tableau de valeurs suivant : Fonctions linéaires b) Dans un repère orthonormal d origine O, placer tous les points de coordonnées avec

Plus en détail

Chapitre 9 Produit scalaire dans l espace

Chapitre 9 Produit scalaire dans l espace Chapitre 9 Produit scalaire dans l espace Réactiver les savoirs, p 272 Calculer et utiliser le produit scalaire dans le plan QCM 1 Réponse C Le triangle ABC est rectangle en A donc les vecteurs AB et CA

Plus en détail

1 ère S A-B Devoir n 5 lundi 12 janvier Exercice 1 (4 pts):

1 ère S A-B Devoir n 5 lundi 12 janvier Exercice 1 (4 pts): 1 ère S A-B Devoir n 5 lundi 12 janvier 2015 Exercice 1 (4 pts): Dans une entreprise, on a dénombré 59 femmes et 130 hommes fumeurs de cigarettes. L entreprise souhaite proposer à ses employés plusieurs

Plus en détail

Géométrie vectorielle

Géométrie vectorielle Géométrie vectorielle L1 SPC, semestre 2 Année 2012 1 Généralités L objectif de ce chapitre est de faire un rapide survol des éléments essentiels de géométrie vectorielle (et un peu affine). Il s agit

Plus en détail

Trigonométrie. I] Cercle trigonométrique et radians

Trigonométrie. I] Cercle trigonométrique et radians I] Cercle trigonométrique et radians Dans le plan muni d un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens

Plus en détail

64 = + (b ( 5)) 2 = Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 =

64 = + (b ( 5)) 2 = Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 = 1ES Correction du problème sur les paraboles. Dans tout ce qui suit le plan sera muni du repère orthonormé (O, ı, j). 1. Soient A(3, 5), B( 8, ) et C ( 1 3, 5) trois points du plan. Calculer les distances

Plus en détail

Exercices Géométrie plane

Exercices Géométrie plane I Notions élémentaires et compléments sur les vecteurs Savoir-faire 1 : Démontrer avec des vecteurs Exercice 1 ABCD et BDFE sont deux parallélogrammes. Le point K est défini par BK = CB. 1. Justifier les

Plus en détail

CH V Fonctions linéaires Fonctions affines Équation d une droite

CH V Fonctions linéaires Fonctions affines Équation d une droite CH V Fonctions linéaires Fonctions affines Équation d une droite I) Les repères du plan : ) Les repères du plan : a) Repère quelconque : Un repère est constitué de deux axes ayant une même origine. y J

Plus en détail

Géométrie dans l espace à trois dimensions

Géométrie dans l espace à trois dimensions Géométrie dans l espace à trois dimensions Prof. Vladimir Roubtsov vladimir.roubtsov@univ-angers.fr 4 février 2016 1. Vecteurs Soit E 3 l espace à trois dimensions. En tant qu ensemble, il s agit de R

Plus en détail

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES

CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES CHAPITRE IV : GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET DROITES Configurations du plan Le théorème de Pythagore s applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à une figure qui comprend des droites parallèles

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008 Durée : heures Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 008 EXERCICE 1 1. AB = b a = +i = +1=5 ; AC = c a = 1+i = 1+=5. AB = AC AB=AC ABC est isocèle en A. 5 points. Z I = 1 + i 7. z z ( I z

Plus en détail

Nouvelle Calédonie. Mars Enseignement spécifique. Corrigé

Nouvelle Calédonie. Mars Enseignement spécifique. Corrigé Nouvelle Calédonie. Mars 2016. Enseignement spécifique. Corrigé EXERCICE 1 Partie A 1 Représentons la situation par un arbre de probabilités. 1/4 A 6/10 /10 1/10 B L S /4 D 4/10 6/10 0 B L S a La probabilité

Plus en détail

(Isométrie et produit scalaire)

(Isométrie et produit scalaire) 1. Définitions et propriétés Définition (d une isométrie) Soit f une application du plan dans lui-même. On dit que f est une isométrie du plan si elle conserve la distance c est-à-dire pour tous points

Plus en détail

2. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par A et dirigées par v avec :

2. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par A et dirigées par v avec : Exo7 Droites du plan ; droites et plans de l espace Fiche corrigée par Arnaud Bodin 1 Droites dans le plan Exercice 1 Soit P un plan muni d un repère R(O, i, j), les points et les vecteurs sont exprimés

Plus en détail

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme Géométrie métrique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions de longueurs, angles

Plus en détail

Elsa Productions - mercredi 23 janvier 2008 Réalisé avec le logiciel Pages ( MacOs X)

Elsa Productions - mercredi 23 janvier 2008 Réalisé avec le logiciel Pages ( MacOs X) vant-propos: Repérage sur la droite d abord, puis repérage dans le plan, tout le monde comprendra facilement qu avant de travailler dans un plan il faut travailler sur une droite. ontenu : Quelle est la

Plus en détail

Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1-9 février 2015

Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1-9 février 2015 Seconde DST vecteurs Sujet 1-9 février 01 Exercice 1 : ( points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Recopier et compléter les égalités suivantes

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 01 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Droites et plans de l espace

Synthèse de cours PanaMaths Droites et plans de l espace Synthèse de cours PanaMaths Droites et plans de l espace Droites de l espace Définition Soit A un point de l espace et u un vecteur non nul. La droite ( d ) passant par A et de vecteur directeur u est

Plus en détail

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Pondichery Avril 2011 Série S Exercice Partie I Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. A D B A C A' est le centre

Plus en détail

VALEUR ABSOLUE, OPPOSE

VALEUR ABSOLUE, OPPOSE VALEUR ABSOLUE, OPPOSE Je sais utiliser la valeur absolue d un nombre Je sais donner l opposé d un nombre Exercice 1 : Donne la valeur absolue de chacun des nombres suivants : Exercice 2 : Je pense à un

Plus en détail

Remarque : A chaque translation correspond un vecteur qu on appelle vecteur de la

Remarque : A chaque translation correspond un vecteur qu on appelle vecteur de la Vecters I. Notion de vecters a) Vecters et translations Définition : A et B désignent dex points d plan. La translation qi transforme A en B associe à tot point C d plan l'niqe point D tel qe les segments

Plus en détail