Université de Montréal ANALYSE DES COURBES DE LA ARACTÉRISTIQUE OPÉRATIONNELLE DU RÉSULTAT (COR). Jean-François Allaire

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Université de Montréal ANALYSE DES COURBES DE LA ARACTÉRISTIQUE OPÉRATIONNELLE DU RÉSULTAT (COR). Jean-François Allaire"

Transcription

1 Université de Montréal ANALYSE DES COURBES DE LA ARACTÉRISTIQUE OPÉRATIONNELLE DU RÉSULTAT (COR). Jean-François Allaire Département de mathématiques et de statistique Faculté des arts et des sciences Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures en vue de l'obtention du grade de Maître ès sciences (M.Sc.) en statistique Avril JEAN-FRANÇOIS ALLAIRE, MCMXCVII

2 Université de Montréal Faculté des études supérieures Ce mémoire intitulé ANALYSE DES COURBES DE LA CARACTÉRISTIQUE OPÉRATIONNELLE DU RÉSULTAT (COR). présenté par Jean-François Allaire a été évalué par un jury composé des personnes suivantes : (2' Yves Lepage ( d F de recherche) P+7 membre du jury) Mémoire accepté le : a& cf6-7

3 SOMMAIRE Ce mémoire porte sur l'étude des courbes de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR). Dans un premier temps, nous définissons une courbe COR et nous présentons différentes méthodes de construction. Nous introduisons également l'aire sous une courbe COR comme une mesure de la performance d'un test diagnostique ainsi qiie plusieurs méthodes d'estimation de cette aire. Dans un second temps, nous présentons des tests statistiques permettant de comparer les courbes COR. Finalement, une étude comparative des différentes méthodes d'estimation de l'aire sous une courbe COR est effectuée par une simulation de type Monte Carlo. Une étude expérimentale du niveau et de la puissance des tests statistiques proposés est également effectuée par simulation. Des conclusions sont tirées afin de choisir le meilleur estimateur ainsi que le meilleur test statistique dans certaines situations concrètes.

4 SOMMAIRE ii REMERCIEMENTS LISTE DES TABLEAUX iii... Vlll LISTE DES FIGURES INTRODUCTION CHAPITRE 1. PRINCIPES DE BASE 1.1. CONTEXTE 1.3. CONSTRUCTION Nature des données

5 Données dichotomiques Données discrètes Données continues Représentation graphique Courbe COR Courbe COR binormale 1.4. INDICES DE PERFORMANCE 1.5. ESTIMATION DE L'AIRE SOUS LA COURBE Méthode des trapèzes Méthode analytique Méthode paramétrique (binormale)

6 2.2. MÉTHODES DE HANLEY ET MCNEIL Courbes indépendantes Courbes dépendantes 2.4. MÉTHODE DE METZ ET KRONMAN Test statistique pour une courbe COR binormale Test statistique pour k courbes COR binormales indépendantes 3.1. ETUDE COMPARATIVE DES ESTIMATEURS Méthode de calcul des estimateurs Description de la méthode Résultats numériques 3.2. ETUDE COMPARATIVE DES TESTS STATISTIQUES Description de la méthode

7 LZT POT!!A

8

9

10 3.26 Résultats pour 6 lorsque X:0,90N(0,5;1)+0,10N(3;16) en catégories et 8=0, Résultats pour s2(8) lorsque X:O,9ON(O,5;1) + 0,10N(3;16) en caté- gories Résultats pour 6 lorsque X:0,90N(5,5;16)+0,10N(10;36) en catégo- ries et 8=0, Résultats pour s2(8) lorsque ~:0,90~(5,5;16)+0,~0~(10;36) en Ca- tégories Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que ~('):~(0,5;1) et ~(~):~(0,5;1) Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que X('):N(2;1) et ~ (~):~(2;1) Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que ~('):0,9~(0,5;1)+0,1~(3,16) et ~(~):0,9~(0,5;1)+0,1~(3,16) Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que ~(~):0,9~(2;1)+0,1~(5;16) et ~(~):0,9~(2;1)+0,1~(5;16) Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lorsque x('):n(i;~) et ~(~):N(l;l) 109

11 3.35 Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lorsque x(l):~(2;1) et ~ (~):~(2;1) 3.36 Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lorsque ~('1: 0,9N(0,9;1)+0,1N(5;1) et ~ ( ~ 0,9N(0,9;1)+0,1N(5;1) 1 : Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lorsque ~('1: 0,9N(2;1)+O,lN(6;1) et ~ ( ~ 0,9N(2;1)+0,1N(6;1) 1 : 3.38 Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que x(l):~(0,5;1) et ~(~):~(0,5;1) en catégories 3.39 Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que ~('):~(2;1) et ~ (~):~(2;1) en catégories Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que ~(~):0,9~(0,5;1)+0,1~(3;16) et ~(~):0,9~(0,5;1)+0,1N(3;16) en catégories 3.41 Niveau expérimental pour deux courbes COR indépendantes lors- que ~(~):0,9~(2;1)+0,1~(5;16) et ~(~):0,9~(2;1)+0,1~(5;16) en catégories Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lorsque x('):n(l;l) et ~ (~):~(1;1) en catégories

12 xii 3.43 Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lorsque ~('):~(2;1) et ~ (~):~(2;1) en catégories Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('1: 0,9N(0,9;1)+0,1N(5;1) et ~ ( ~ 0,9N(0,9;1)+0,1N(5;1) 1 : en catégories Niveau expérimental pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('1: O19N(2;1)+0,1N(6;1) et ~ ( ~ 0,9N(2;1)+O,lN(6;1) 1 : en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque ~('):~(1;1) et ~(~):~(0,35;1) Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque ~('):~(2,3; 1) et x(~):n(~,2; 1) Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque ~(~):0,9~(0,9;1)+0,1~(5,9) et ~ ( ~ 019N(013;1)+0,1N(319) 1 : Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque ~('):0,9~(2,5;1)+0,1~(5;16) et ~(~):0,9~(1,2;1)+0,1~(4;16) Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('):~(1,55;1) et ~ (~):~(1;1) 122

13 3.51 Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('):~(2,5;1) et ~(~):~(1,55;1) Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~ ('1: 0,9N(1,4;1)+0,1N(5;1) et ~ ( ~ 0,9N(O;9;1)+0,1N(4;1) 1 : Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que x('): 0,9N(2,4;1)+0,1N(6;1) et ~ ( ~ 0,9N(l,4;1)+011N(5;1) 1 : Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque x('):n(~; 1) et ~ (~):~(0,35; 1) en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque x('):n(2,3; 1) et x(~):n(~,2; 1) en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque ~('):0,9~(0,9;1)+0,1~(5,9) et ~ ( ~ 0,9N(0,3;1)+0,1N(3,9) 1 : en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR indépendantes lorsque ~('1: 0,9N(2,5;1)+0,1N(5;16) et ~ ( ~ O,gN(1,2;1)+0,1N(4;16) 1 : en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('):~(1,55;1) et ~(~):~(1;1) en catégories 125

14 xiv 3.59 Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que x(l):~(2,5;1) et ~(~):~(1,55;1) en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('1: 0,9N(1,4;1)+O,lN(5;1) et ~ ( ~ 0,9~(0,9;1)+0,1N(4;1) 1 : en catégories Puissance expérimentale pour deux courbes COR dépendantes lors- que ~('1: 0,9N(2,4;1)+0,1N(6;1) et ~ ( ~ 0,9N(1,4;1)+0,1N(5;1) 1 : en catégories 126

15 LISTE DES FIGURES 1.1 Deux distributions représentant les statuts négatifs (à gauche) et les statuts positifs (à droite) avec les fréquences relatives corres- pondant à une valeur de seuil critique S Courbe de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR) et droite de la non-information. 1.3 Deux courbes COR représentées en coordonnées binormales. 1.4 Deux courbes COR binormales: la courbe supérieure a une pente de 1 et la courbe inférieure a une pente de 0,7. 36

16 INTRODUCTION Dans le domaine de la santé, nous sommes souvent intéressés à mesurer le degré d'efficacité d'un test diagnostique. Par exemple, nous pouvons souhaiter remplacer un test existant par un test plus récent ou bien ajouter un nouveau test à une batterie de tests déjà existants. Nous pouvons également vouloir éliminer des tests dont la qualité du diagnostic est cliniquement insuffisante. La performance d'un test diagnostique peut être décrite au moyen de l'exactitude du diagnostic qu'il permet de poser. Au cours des dernières années, l'émergence de nouveaux tests diagnostiques a forcé l'apparition de méthodes statistiques afin d'évaluer cette performance. En conséquence, un nombre considérable de travaux sur ce sujet ont été effectués. Dans ces travaux, une méthode statistique gagne en popularité. Cette méthode consiste à utiliser la courbe de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR) d'un test diagnostique afin d'aider le chercheur à trouver la meilleure solution possible.

17 Jusqu'à ce jour, aucun travail de synthèse n'a été publié sur la méthodologie des courbes COR. De plus, plusieurs résultats importants n'ont jamais été rigoureusement démontrés. Par conséquent, le premier chapitre de ce mémoire porte sur la méthodologie des courbes COR. Entre autres, nous présentons la définition de ces courbes, les méthodes de construction et nous introduisons l'aire sous la courbe comme mesure de la performance d'un test diagnostiqiie. Enfin, on inventorie les diverses méthodes permettant de calculer l'aire sous la courbe. Le deuxième chapitre est consacré à une revue de la littérature des différents tests statistiques permettant de comparer les courbes COR. En premier lieu, les méthodes dlhanley et IVIcNeil (1982,1983) sont présentées. On introduit ensuite la méthode de Delong, Delong et Clarke-Pearson (1988) ainsi que la méthode de Metz et Kronman (1980). Le troisième chapitre présente deux études comparatives. Dans un premier temps, une étude comparative des différentes méthodes d'estimation de l'aire sous une courbe COR est effectuée par une simulation de type Monte Carlo. A l'aide du biais, de la variance et de l'écart quadratique moyen, les différentes méthodes d'estimation considérées sont examinées et une analyse critique de ces méthodes en fonction de la distribution des résultats des tests diagnostiques et de la taille des échantillons est présentée. Des conclusions sont tirées à partir des résultats de la simulation afin de choisir le meilleur estimateur dans ces situations. Puisque le comportement de certains estimateurs n'a jamais été étudié, notre première

18 3 étude comble plusieurs lacunes de la littérature. Dans un second temps, nous retrouvons une étude comparative des tests statistiques présentés au chapitre deux. Une simulation de type Monte Car10 est également utilisée dans le but de comparer des tests statistiques quant au niveau et à la puissance. Des conclusions sont tirées afin de choisir le meilleur test statistique dans des situations concrètes. Comme pour la première étude, nous innovons car aucun auteur n'a jusqu'ici comparé tous ces tests statistiques entre eux.

19 CHAPITRE 1 PRINCIPES DE BASE Dans le domaine de la santé, la performance d'un test de laboratoire peut être décrite au moyen de l'exactitude du diagnostic qu'il permet de poser. Cette exactitude réside dans le fait de pouvoir classer correctement les sujets souffrant d'une maladie ou d'un problème de nature psychologique, physiologique ou autres et les sujets en santé selon le résultat du diagnostic. Les courbes de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR) sont utilisées afin d'évaluer la performance d'un test à faire la distinction entre un individu qui n'est pas affecté par le problème ou la maladie (sujet normal) et un individu qui en est atteint (sujet anormal). En outre, les courbes COR ont été conçues afin d'évaluer des tests dans le but de trouver le plus performant. La méthodologie des courbes COR a été développée dans le contexte de la détection des signaux électroniques. En effet, les systèmes diagnostiques (tests) de plusieurs sortes sont utilisés dans le but de distinguer deux classes d'événements:

20 5 les signaux et les bruits. Dans le domaine médical, nous parlons plutôt de diagnostics positifs et négatifs. En somme, la méthodologie des courbes COR repose sur le diagnostic (positif ou négatif) du test étant donné le statut (positif ou négatif) du sujet. En fait, la méthodologie des courbes COR permet de vérifier la performance discriminatoire d'un test pour lequel deux conclusions différentes sont possibles. Avec deux possibilités pour le statut (la vérité) et deux possibilités pour le diagnostic correspondant, les données sont regroupées dans un tableau de contingence de dimension 2x2. Dans le tableau 1.1, le statut est considéré soit positif ou négatif et le diagnostic correspondant est positif ou négatif. Nous trouvons deux cellules où le statut et le diagnostic concordent, les vrais-positifs (cellule comptant a sujets) et les vrais-négatifs (cellule comptant d sujets), deux cellules où il y a discordance, les faux-positifs (cellule comptant b sujets) et les faux-négatifs (cellule comptant c sujets). Enfin, la somme du nombre de sujets de ces quatre cellules est égale au nombre de sujets dans l'échantillon (N). TABLEAU 1.1. Tableau de contingence 2x2 Statut Positif Négatif Diagnostic Positif Négatif a c b d a+b c+d a+c b+d a+b+c+d=n

21 Nous pouvons aussi considérer la fréquence relative plutôt qiie la fréquence absolue de chaque cellule. Lorsque le statut est positif, le diagnostic peut être positif ou négatif. Ainsi, nous définissons la fraction des faux-négatifs (FFN) et son complément, la fraction des vrais-positifs (FVP), par c FFN = - - a+c Nombre de faux diagnostics négatifs (FN) Nombre de statuts positifs a Nombre de vrais diagnostics positifs (VP) FVP = - a+c - Nombre de statuts positifs De façon similaire, lorsque le statut est négatif, le diagnostic peut être positif ou négatif. Ainsi, nous définissons la fraction des vrais-négatifs (FVN) et son complément, la fraction des faux-positifs (FFP), par d FVN = - b+d - Nombre de vrais diagnostics négatifs (VN) Nombre de statuts négatifs b Nombre de faux diagnostics positifs (FP) FFP = - b+d - Nombre de statuts négatifs Dans le langage médical, le terme sensibilité est utilisé pour désigner la fraction des vrais-positifs (FVP) et le terme spécificité représente la fraction des vrais-négatifs (FVN). De même, le terme fausse alarme est employé au lieu de la fraction des faux-positifs (FFP).

22 Par ailleurs, toute l'information pertinente à la performance du test peut être obtenue en utilisant seulement un membre de chacune des paires de fractions complémentaires. Le choix usuel est d'utiliser la ligne supérieure du tableau 1.1, c'est-à-dire la fraction des vrais-positifs (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP). D'autre part, une autre proportion peut être définie. Il s'agit de la fraction de l'échantillon étudié qui est correctement classifiée (FCC). Elle est définie de la façon suivante (voir Metz (1978)): Nombre de diagnostics corrects a + d FCC = - Nombre de sujets N ' Alors, nous obtenons FCC =FVP x +FVN x Nombre de statuts positifs (a + c) Nombre de sujets (N) Nombre de statuts négatifs (b + d) Nombre de sujets (N) Finalement, la prédominance de la maladie dans l'échantillon utilisé avec le test est définie par (a + c)/n, c'est-à-dire la fréquence relative des sujets de l'échantillon dont le statut est positif. De la même façon, (b+d)/n représente la fréquence relative des sujets de l'échantillon dont le statut est négatif. Bien que d'autres proportions peuvent être calculées à partir du tableau 1.1, celles décrites précédemment sont les plus importantes et les plus appropriées pour mesurer la performance décisionnelle d'un test.

23 Les résultats d'un test se présentent toujours sous forme d'une variable continue ou d'une variable discrète. La plupart des données provenant de tests de laboratoire sont le produit de variables continues. Par exemple, un appareil qui mesure la quantité d'enzymes ou la concentration d'un produit quelconque fournit des résultats sous la forme d'une variable continue. Par contre, dans le domaine de l'imagerie médicale (radiologie) et de la psychologie, les résultats des tests peuvent être présentés sous la forme d'une variable discrète nominale ou ordinale. Si nous examinons séparément la distribution des résultats d'un test pour les sujets ayant un statut positif de ceux ayant un statut négatif, trois situations différentes peuvent se présenter. Premièrement, si les distributions sont identiques, alors les résultats du test ne font aucune discrimination entre les deux statuts, la performance du test est nulle. En second lieu, si l'intersection entre le support de chacune des distributions est égale à l'ensemble vide, alors il y a une discrimination parfaite. La performance du test est à son maximum. Par exemple, la distribution des résultats des sujets ayant un statut positif peut prendre des valeurs élevées tandis que celle pour les résultats des sujets ayant un statut négatif des valeurs faibles. D'ailleurs, nous associons en général un résultat de test dont la valeur est élevée avec un diagnostic positif. La convention opposée existe mais, comme il est toujours possible d'inverser l'échelle des résultats afin

24 d'associer la maladie avec un résultat élevé du test, nous ne considérons pas ce cas. Troisièmement, l'intersection entre le support de chacune des distributions peut ne pas être égale à l'ensemble vide sans toutefois que les distributions soient identiques. Dans cette situation, les distributions se chevauchent. Lorsqu'il y a un chevauchement des distributions, une question se pose. A partir de quelle valeur un résultat de test sera déclaré positif? Nous devons alors définir un seuil critique qui correspond à la valeur du test à partir de laquelle tous les sujets ayant une valeur supérieure ou égale seront diagnostiqués positifs. Par conséquent, un sujet ayant un résultat inférieur à cette valeur sera diagnostiqué négatif. Toutefois, étant donné que les résultats des tests peuvent prendre plusieurs valeurs, comment la sensibilité (FVP) et la spécificité (FVN) se comportent-elles avec les différents choix de seuils critiques? Pour répondre à cette question, nous présentons dans la figure 1.1 un exemple de distributions de résultats de test qui se chevauchent. A gauche, nous représentons celle des statuts négatifs et à droite, celle des statuts positifs. De plus, nous identifions sur la figure une valeur de seuil critique s et les fréquences relatives des quatre cellules du tableau 1.1, correspondant à cette valeur. La région hachurée verticalement représente la fraction des sujets ayant un statut positif qui ont un diagnostic positif (FVP) et la région hachurée horizontalement représente la fraction des sujets ayant un statut négatif qui ont un diagnostic négatif (FVN). De même, la région hachurée

25 FIGURE 1.1. Deux distributions représentant les statuts négatifs (à gauche) et les statuts positifs (à droite) avec les fréquences relatives correspondant à une valeur de seuil critique S. obliquement et située à droite du seuil critique représente la fraction des sujets ayant un statut négatif qui ont un diagnostic positif (FFP) et la région hachurée obliquement et située à gauche du seuil critique représente la fraction des sujets ayant un statut positif qui ont un diagnostic négatif (FFN). En augmentant la valeur du seuil critique, la fraction des faux-positifs (FFP) et la fraction des vrais-positifs (FVP) diminuent mais, la fraction des vraisnégatifs (FVN) et la fraction des faux-négatifs (FFN) augmentent. D'autre part, en diminuant la valeur du seuil critique, c'est la situation inverse qui se produit. En somme, les composantes du couple (fausse alarme (FFP), sensibilité (FVP)) varient dans le même sens; il en est de même pour le couple (fraction des fauxnégatifs (FFN), spécificité (FVN)). Les fréquences relatives sont donc influencées si nous déplaçons le seuil critique.

26 Etant donné cette influence, comment devons-nous choisir la valeur du seuil critique? Si nous choisissons une valeur faible, alors il y aura plus de sujets ayant un vrai diagnostic positif et malheureusement, il y aura plus de faux diagnostics positifs. Par exemple, dans le domaine médical, une faible valeur pour le seuil critique signifie que la majorité des statuts positifs subiront un traitement mais, il y aura plusieurs sujets qui seront traités malgré un statut négatif. Est-il alors plus important d'avoir une sensibilité (FVP) élevée en dépit d'une fausse alarme (FFP) élevée ou bien une fausse alarme (FFP) faible en dépit d'une sensibilité (FVP) faible? Est-il plus important de traiter la majorité des sujets malades (sensibilité (FVP) élevée) ou bien de ne pas traiter inutilement les sujets ayant un statut négatif (fausse alarme (FFP) faible)? La décision appartient au spécialiste du domaine. C'est ce dernier qui est le plus apte à décider en analysant toutes les répercussions associées à une décision. En effet, traiter un sujet qui n'est pas malade est coûteux, mais ne pas traiter un sujet qui est malade est très grave. Un autre exemple concernant l'influence du seuil critique est tiré du domaine météorologique. Prévoir une tempête qui n'aura pas lieu (faux-positifs) a un coût plus petit que celui de ne pas prévoir une tempête qui aura vraiment lieu (fauxnégatifs). Dans cette situation, la valeur du seuil critique choisie sera faible de façon à garder la fraction des vrais-positifs (FVP) élevée et la fraction des fauxnégatifs (FFN) faible en dépit d'une fausse alarme (FFP) élevée.

27 12 En résumé, le chercheur du domaine d'application doit examiner les différentes valeurs de seuils critiques et les répercussions associées à ces dernières. Ces répercussions peuvent se présenter sous forme de coût, de perte de vie ou de problèmes divers. L'objectif du chercheur est donc d'obtenir un bon compromis entre la sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP) tout en tenant compte des répercussions associées à son choix. Avoir une sensibilité (FVP) élevée et une fausse alarme (FFP) faible est sans aucun doute la situation désirée. Pour faciliter la décision du chercheur, l'approche suivante est proposée. En faisant varier le seuil critique à plusieurs reprises, nous obtenons des paires différentes de sensibilité (FVP) et de fausse alarme (FFP). Ces deux valeurs sont placées sur un graphique avec coordonnées y et x respectivement. Le domaine de définition du graphique est le carré [O,l]x[O,l]. En reliant les différents points, une courbe peut être tracée. Cette courbe est appelée la "courbe de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR)" pour un test diagnostique. Dans la figure 1.2, nous présentons un exemple d'une courbe COR. Elle permet au chercheur de visualiser les différentes valeurs de sensibilité (FVP) et de fausse alarme (1-spécificité) associées à des niveaux de seuils critiques différents. Ces courbes doivent inévitablement passer par le coin inférieur gauche (FFP = O, FVP = 0) car tous les sujets peuvent être diagnostiqués négatifs et par le coin supérieur droit (FFP = 1, FVP = 1) car tous les sujets peuvent être diagnostiqués positifs. Comme nous avons mentionné précédemment, le but premier de

28 Fausse alarme (FFP) FIGURE 1.2. Courbe de la caractéristique opérationnelle du résultat (COR) et droite de la non-information. l'expérimentateur est d'avoir une sensibilité (FVP) élevée et une fausse alarme (FFP) faible. Cette situation correspond à un point sur la courbe situé près du coin supérieur gauche de l'espace COR qui correspond au carré unité. Par ailleurs, un test qui est parfaitement discriminatoire (distributions distinctes), à une sensibilité (FVP) qui vaut 1 pour toutes les valeurs de fausse alarme (FFP) comprises dans l'intervalle (0'11. Lorsque la fausse alarme (FFP) vaut O, la sensibilité (FVP) varie entre O et 1. Cette situation est représentée par une courbe qui est située sur l'axe vertical gauche et l'axe horizontal supérieur de l'espace COR. Ainsi, plus un test est performant, plus la courbe s'approche de ces axes.

29 Par contre, si nous avons la sensibilité (FVP) égale à la fraction des fauxpositifs (FFP) pour toutes les valeurs du seuils critiques, alors nous dirons que le test est non-informatif. Dans un contexte théorique, cela signifie que pour toutes les valeurs du seuil critique, la probabilité que le diagnostic du test soit positif est la même quel que soit le statut du sujet. Les résultats du test sont alors comparables à un test dont le diagnostic est basé sur le hasard. Cette situation est représentée par la droite diagonale passant par le point (0'0) et le point(1,l). Cette droite est appelée la droite de la non-information ou la droite diagonale de la chance. Cette droite est tracée à l'aide de tirets dans la figure 1.2. De plus, comme la sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP) sont obtenues séparément, en utilisant les résultats d'un test à partir de deux groupes distincts (statut positif et statut négatif), alors ces deux mesures sont indépendantes de la prédominance de la maladie. Cela signifie qu'elles ne dépendent pas de la fréquence relative des sujets dont le statut est positif ou négatif. Par ailleurs, le choix de la valeur du seuil critique d'un test peut dépendre de la prédominance de la maladie. En effet, si la fréquence relative des sujets ayant un statut positif est faible, le chercheur devrait choisir une valeur élevée pour le seuil critique sinon, plusieurs sujets seront faussement diagnostiqués positifs. De cette façon, le chercheur s'assure de garder la fraction des faux-positifs (FFP) faible. Cette situation correspond à l'utilisation d'un point avec une fausse alarme (FFP) près de O, en dépit d'une sensibilité (FVP) plus faible. En général, ce point se trouve sur la portion de la courbe qui est située près de l'axe vertical gauche de l'espace

30 15 COR où les différents points sont obtenus par des valeurs de seuil critique élevées. Cependant, si la prédominance de la maladie est forte, le chercheur devrait choisir une valeur faible pour le seuil critique. De cette façon, presque tous les sujets ayant un statut positif seront diagnostiqués positifs. Ainsi, il garde la fraction des vrais-positifs (FVP) élevée en dépit d'une fraction des faux-positifs (FFP) élevée. En général, ce point se trouve sur la portion de la courbe qiii est située près de l'axe horizontal supérieur de l'espace COR où les différents points sont obtenus par des valeurs de seuil critique faibles. Donc, selon la prédominance de la maladie, le chercheur peut choisir une valeur de seuil critique (faible ou élevée) qui répond aux caractéristiques de son domaine. Essentiellement, une courbe COR décrit un compromis entre la sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP). Elle donne un aperçu de l'ensemble de toutes les paires de sensibilité (FVP) et de fausse alarme (FFP) pour un test diagnostique. Elle représente l'habilité du test à faire une discrimination selon des valeurs différentes de seuils critiques.

31 Nature des données Dans la plupart des domaines où on utilise des tests diagnostiques, les résultats sont le produit d'une variable dichotomique, catégorielle ordinale ou continue. Dans les prochaines sections, nous décrirons selon la nature des données, la méthode à utiliser afin d'obtenir des points dans l'espace COR Données dichotomiques Dans le domaine de l'imagerie médicale, les tests diagnostiques sont générale- ment interprétés par des observateurs (radiologistes, médecins,...) qui fournissent des résultats sous forme dichotomique (positif ou négatif). L'observateur regarde une à une, les images obtenues à partir d'un échantillon de sujets. Pour chacune de ces images, il pose un diagnostic (positif ou négatif). Aucun autre diagnostic n'est permis. Par exemple, l'observateur ne peut répondre '(je ne sais pas". Cette procédure est appelée "méthode oui/nonn ou "méthode dichotomique".

32 17 Pour mesurer la performance d'un test diagnostique, nous devons connaître le statut de chacun des sujets. Ce dernier doit être obtenu par un moyen indépendant du test diagnostique qui est évalué. Evidemment, cette étape est effectuée à l'insu de l'observateur. Avec le statut de chacun des sujets, nous pouvons calculer la sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP) afin d'obtenir un point sur le graphique. Pour obtenir plusieurs points, l'observateur regarde la même série d'images à plusieurs reprises. Pour chacune des séries, l'observateur varie la sévérité de son jugement. Il fait en quelque sorte varier le seuil critique. De cette façon, nous obtenons plusieurs couples (FFP,FVP) qui permettent, en les reliant, d'obtenir une courbe COR. Toutefois, cette approche est inefficace sur le plan pratique car elle exige que l'observateur regarde la série d'images M fois pour obtenir M points sur le graphique Données discrètes En psychologie expérimentale, il est fréquent que les tests diagnostiques fournissent des résultats qui sont le produit d'une variable discrète. Ces tests se ramènent à fournir une catégorie parmi plusieurs (K). Par exemple, les catégories peuvent être représentées par une échelle ordinale; (1) définitivement négatif, (2) probablement négatif, (3) indécis, (4) probablement positif, (5) définitivement positif et l'observateur assigne une valeur de l'échelle à chacun des sujets.

33 18 Pour établir une courbe COR, il faut procéder de la façon suivante. Premièrement, seulement les résultats de la catégorie correspondant aux sujets définitivement positifs (catégorie 5) sont considérés positifs tandis que les autres sont tous considérés négatifs. Avec le statut de chaque sujet obtenu préalablement, nous obtenons la sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP). Ce couple correspond à l'utilisation d'une valeur de seuil critique élevée, c'est-à-dire que les sujets sont considérés positifs si l'observateur est certain que les sujets étudiés sont positifs. Ensuite, les sujets positifs sont définis par les sujets qui correspondent aux deux catégories les plus fortement positives (catégories 4 et 5). La sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP) sont calculées et nous obtenons un point correspondant à une valeur de seuil critique moins élevée. Cette procédure est répétée en prenant les trois catégories les plus fortement positives, ensuite en retenant les quatre catégories les plus fortement positives,.... Finalement, tous les résultats sont considérés positifs et dans ce cas, la sensibilité (FVP) et la fraction des faux-positifs (FFP) sont égales à 1. En procédant de cette façon, nous trouvons K-1 points différents à partir d'une échelle de K catégories en plus du point (0'0) et du point (1'1). L'utilisation d'une échelle ordinale de K catégories est préférable à l'utilisation d'une échelle dichotomique car la méthode à utiliser avec une échelle ordinale exige que l'observateur analyse seulement une fois l'ensemble des sujets. De plus, la méthode précédente possède l'avantage d'aider à assurer une meilleure répartition des points sur le graphique étant donné les catégories de classement.

FACULTE DE MEDECINE D ANGERS. Polycopié de cours pour les 1 e et 2 e cycles des études médicales Préparation à l examen national classant

FACULTE DE MEDECINE D ANGERS. Polycopié de cours pour les 1 e et 2 e cycles des études médicales Préparation à l examen national classant FACULTE DE MEDECINE D ANGERS Polycopié de cours pour les 1 e et 2 e cycles des études médicales Préparation à l examen national classant Année scolaire 2007-2008 SANTE PUBLIQUE ET MEDECINE SOCIALE Responsable

Plus en détail

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Analyse des données - Méthodes explicatives (STA102) Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Giorgio Russolillo giorgio.russolillo@cnam.fr Infos et support du cours Slide

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Lorsqu'une variable est qualitative et l'autre numérique, il est courant que la première identie des sous-populations (sexe, catégories socio-économiques,

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

CHAPITRE 2 CALCULS ALGEBRIQUES

CHAPITRE 2 CALCULS ALGEBRIQUES Classe de Troisième CHAPITRE CALCULS ALGEBRIQUES UTILISER DES LETTRES... 34 EXPRESSIONS EQUIVALENTES... 36 VOCABULAIRE DU CALCUL LITTERAL... 37 REDUCTIONS D'ECRITURES... 39 DEVELOPPER UN PRODUIT... 40

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Calcul d erreur (ou Propagation des incertitudes)

Calcul d erreur (ou Propagation des incertitudes) Travaux Pratiques de Physique vers. septembre 014 Calcul d erreur (ou Propagation des incertitudes) 1) Introduction Le mot "erreur" se réfère à quelque chose de juste ou de vrai. On parle d erreur sur

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. 1 Généralités sur les tests statistiques 2

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. 1 Généralités sur les tests statistiques 2 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document 4 : Les tests statistiques 1 Généralités sur les tests

Plus en détail

Evaluation d un test diagnostique - Concordance

Evaluation d un test diagnostique - Concordance Evaluation d un test diagnostique - Concordance Michaël Genin Université de Lille 2 EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michaelgenin@univ-lille2fr Plan 1 Introduction 2 Evaluation

Plus en détail

Module 2 29 Décembre 2009 Intervenant: Dhuin STATISTIQUES

Module 2 29 Décembre 2009 Intervenant: Dhuin STATISTIQUES STATISTIQUES I. Séries statistiques simples... 1 A. Définitions... 1 1. Population... 1 2. Caractère statistique... 1 B. Séries classées / représentations graphiques.... 2 1. Séries classées... 2 2. Représentations

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

C3 : Manipulations statistiques

C3 : Manipulations statistiques C3 : Manipulations statistiques Dorat Rémi 1- Génération de valeurs aléatoires p 2 2- Statistiques descriptives p 3 3- Tests statistiques p 8 4- Régression linéaire p 8 Manipulations statistiques 1 1-

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale STMG

Cours de mathématiques Terminale STMG Cours de mathématiques Terminale STMG Chapitre 1 Information chiffrée...3 I Proportions...3 II Taux d'évolution...3 a) Détermination d'un taux d'évolution...3 b) Appliquer un taux d'évolution...4 III Taux

Plus en détail

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage

Plus en détail

TABLEAU 5 Nombre moyen (et écarts types) de mots produits selon le niveau scolaire et les trois conditions de révision

TABLEAU 5 Nombre moyen (et écarts types) de mots produits selon le niveau scolaire et les trois conditions de révision Dans ce tableau, si le chercheur ne s intéresse pas aux notes item par item mais simplement à la note globale, alors il conservera seulement les première et dernière colonnes et calculera des statistiques

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Chapitre 1 : Statistique descriptive

Probabilités et Statistiques. Chapitre 1 : Statistique descriptive U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 2008-2009 Probabilités et Statistiques Emmanuel PAUL Chapitre 1 : Statistique descriptive 1 Objectifs des statistiques. Il s agit d étudier un ou plusieurs

Plus en détail

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites La problématique des tests Cours V 7 mars 8 Test d hypothèses [Section 6.1] Soit un modèle statistique P θ ; θ Θ} et des hypothèses H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 = Θ \ Θ Un test (pur) est une statistique à valeur

Plus en détail

Cours (8) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012. Test du Khi 2

Cours (8) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012. Test du Khi 2 Test du Khi 2 Le test du Khi 2 (khi deux ou khi carré) fournit une méthode pour déterminer la nature d'une répartition, qui peut être continue ou discrète. Domaine d application du test : Données qualitatives

Plus en détail

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014 Télécom Physique Strasbourg Module 2101 STATISTIQUES Cours I : Test d hypothèses Fabrice Heitz Octobre 2014 Fabrice Heitz (Télécom PS) Statistiques 2014 1 / 75 Cours I TESTS D HYPOTHÈSES Fabrice Heitz

Plus en détail

Programme de l enseignement obligatoire commun de mathématiques Cycle terminal de la série sciences et technologies du management et de la gestion

Programme de l enseignement obligatoire commun de mathématiques Cycle terminal de la série sciences et technologies du management et de la gestion Programme de l enseignement obligatoire commun de mathématiques Cycle terminal de la série sciences et technologies du management et de la gestion L enseignement des mathématiques au collège et au lycée

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (2) Variables aléatoires & Lois de probabilité R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION

Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION La corrélation est une notion couramment utilisée dans toutes les applications

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

L essentiel sur les tests statistiques

L essentiel sur les tests statistiques L essentiel sur les tests statistiques 21 septembre 2014 2 Chapitre 1 Tests statistiques Nous considérerons deux exemples au long de ce chapitre. Abondance en C, G : On considère une séquence d ADN et

Plus en détail

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire L1-S1 Lire et caractériser l'information géographique - Le traitement statistique univarié Statistique : le terme statistique désigne à la fois : 1) l'ensemble des données numériques concernant une catégorie

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Conditions d application des méthodes statistiques paramétriques :

Conditions d application des méthodes statistiques paramétriques : Conditions d application des méthodes statistiques paramétriques : applications sur ordinateur GLELE KAKAÏ R., SODJINOU E., FONTON N. Cotonou, Décembre 006 Conditions d application des méthodes statistiques

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Le documentd accompagnement des programmes de Mathématiques en classe de première et de terminale,

Le documentd accompagnement des programmes de Mathématiques en classe de première et de terminale, PROGRESSION SPIRALÉE Page 1/10 Le documentd accompagnement des programmes de Mathématiques en classe de première et de terminale, série scientifique et série économique et sociale, précise que : " Les

Plus en détail

Perrothon Sandrine UV Visible. Spectrophotométrie d'absorption moléculaire Étude et dosage de la vitamine B 6

Perrothon Sandrine UV Visible. Spectrophotométrie d'absorption moléculaire Étude et dosage de la vitamine B 6 Spectrophotométrie d'absorption moléculaire Étude et dosage de la vitamine B 6 1 1.But et théorie: Le but de cette expérience est de comprendre l'intérêt de la spectrophotométrie d'absorption moléculaire

Plus en détail

Examen d accès - 28 Septembre 2012

Examen d accès - 28 Septembre 2012 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses

Plus en détail

Master 1 Informatique Éléments de statistique inférentielle

Master 1 Informatique Éléments de statistique inférentielle Master 1 Informatique Éléments de statistique inférentielle Faicel Chamroukhi Maître de Conférences UTLN, LSIS UMR CNRS 7296 email: chamroukhi@univ-tln.fr web: chamroukhi.univ-tln.fr 2014/2015 Faicel Chamroukhi

Plus en détail

Corrections preparation BB 2012

Corrections preparation BB 2012 Corrections preparation BB 2012 Brevet 2007 - Solution Activités numériques 1 Les explications ne sont pas demandées mais nous vous les fournissons tout de même. 1) la bonne réponse est 9x 2 + 30x + 25

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab

l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab scilab à l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab Tests de comparaison pour l augmentation du volume de précipitation 13 février 2007 (dernière date de mise à jour) Table

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

2010 My Maths Space Page 1/6

2010 My Maths Space Page 1/6 A. Des statistiques aux probabilités 1. Statistiques descriptives, analyse de données. Vocabulaire des statistiques : Population : c'est l'ensemble étudié. Individu : c'est un élément de la population.

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES B. MARCHADIER Dépendance et indépendance de deux aléas numériques images Mathématiques et sciences humaines, tome 25 (1969), p. 2534.

Plus en détail

Statistiques bivariées : corrélation et régression linéaire

Statistiques bivariées : corrélation et régression linéaire : corrélation et régression linéaire Activité d'introduction Ce chapitre de statistique est présenté avec l'objectif de promouvoir la réflexion des étudiants et leur faire remarquer que ces notions statistiques

Plus en détail

Communication graphique

Communication graphique Introduction générale Partie I. La projection parallèle 1. Le dessin multivue 2. La méthode de Monge 3. L axonométrie 4. Courbes de Bézier 5. La projection cotée (topographie) Projection cotée Méthode

Plus en détail

D R O I T E S, E Q U A T I O N S E T I N E Q U A T I O N S

D R O I T E S, E Q U A T I O N S E T I N E Q U A T I O N S D R O I T E S, E Q U A T I O N S E T I N E Q U A T I O N S b.delap@wanadoo.fr Utiliser un graphique pour résoudre des inéquations à une seule inconnue. 1 er cas : les valeurs sont toutes positives : Sur

Plus en détail

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Les chapitres précédents donnent des méthodes graphiques et numériques pour caractériser

Plus en détail

Équations - Inéquations - Systèmes

Équations - Inéquations - Systèmes Équations - Inéquations - Systèmes I Premier degré Propriétés Soit f définie sur IR par f(x = ax + b avec a 0. f est une fonction affine, elle est représentée graphiquement par une droite. a est le coefficient

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option

Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option Emma Alfonsi, Xavier Milhaud - M2R SAF Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option Sous la direction de M. Pierre Alain Patard ISFA - Mars 2008 . 1 Table des matières 1 Introduction 4 2 Un

Plus en détail

Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire

Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire CHAPITRE 3 Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire Parmi les analyses statistiques descriptives, l une d entre elles est particulièrement utilisée pour mettre en évidence

Plus en détail

Les tas de sable Année 2013-2014

Les tas de sable Année 2013-2014 Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfections, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édition. Année 2013-2014 Élèves : Gaspard COUSIN,

Plus en détail

Chapitre 8 ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES

Chapitre 8 ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 8 ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES Nous abordons dans ce chapitre l analyse de données statistiques particulières

Plus en détail

Cours 043 Série 01. Mathématiques 3 e degré. [3 e épreuve niveaux A et B] ENSEIGNEMENT A DISTANCE

Cours 043 Série 01. Mathématiques 3 e degré. [3 e épreuve niveaux A et B] ENSEIGNEMENT A DISTANCE Cours 3 Série Mathématiques 3 e degré [3 e épreuve niveaux A et B] ENSEIGNEMENT A DISTANCE Éditeur responsable : Denis Van Lerberghe, Directeur Boulevard du Jardin botanique, - Bruxelles Administration

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de Terminale ES 2 Table des matières 1 Équations de droites. Second degré 7 1.1 Équation de droite.................................. 7 1.2 Polynôme du second degré..............................

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

PRISME ET RESEAU APPLICATION A LA MESURE DE LONGUEURS D'ONDE

PRISME ET RESEAU APPLICATION A LA MESURE DE LONGUEURS D'ONDE PRISME ET RESEAU APPLICATION A LA MESURE DE LONGUEURS D'ONDE PARTIE THEORIQUE A - RESEAUX 1 - Définition On appelle réseau plan le système constitué par un grand nombre de fentes fines, parallèles, égales

Plus en détail

SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. Ingénieur diplômé de l'école Supérieure d'électricité (Paris), Alexandrie,

SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. Ingénieur diplômé de l'école Supérieure d'électricité (Paris), Alexandrie, SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES PAR M. JACQUES TOUCHARD, Ingénieur diplômé de l'école Supérieure d'électricité (Paris), Alexandrie, Egypte. Je me propose d'indiquer certaines équations fonctionnelles,

Plus en détail

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2

CHAMPION Matthieu Modèles de Marché en Visual Basic ESILV S04 S6. Sommaire... 1. Introduction... 2 Sommaire Sommaire... 1 Introduction... 2 1 Trois différentes techniques de pricing... 3 1.1 Le modèle de Cox Ross Rubinstein... 3 1.2 Le modèle de Black & Scholes... 8 1.3 Méthode de Monte Carlo.... 1

Plus en détail

Principe des tests statistiques

Principe des tests statistiques Principe des tests statistiques Jean Vaillant Un test de signification est une procédure permettant de choisir parmi deux hypothèses celles la plus probable au vu des observations effectuées à partir d

Plus en détail

Analyse de la variance

Analyse de la variance M2 Statistiques et Econométrie Fanny MEYER Morgane CADRAN Margaux GAILLARD Plan du cours I. Introduction II. Analyse de la variance à un facteur III. Analyse de la variance à deux facteurs IV. Analyse

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Université Jinan Faculté de Gestion Tripoli - Liban. Statistiques. Examen Préparatoire. Version 1

Université Jinan Faculté de Gestion Tripoli - Liban. Statistiques. Examen Préparatoire. Version 1 Université Jinan Faculté de Gestion Tripoli - Liban Statistiques Examen Préparatoire Version 1 2011-2010 Statistiques Université de Jinan Faculté de Gestion Table des matières 1 Analyse statistique d'une

Plus en détail

Introduction à l'analyse statistique des données

Introduction à l'analyse statistique des données INTRODUCTION À L'ANALYSE STATISTIQUE DES DONNÉES CONCEPTS DE BASE Un certain nombre de concepts, préalables indispensables à la compréhension des analyses présentées, sont définis ici. De même pour quelques

Plus en détail

Administration unique par voie IV et sous la forme d'un bolus du principe actif. Analyse des données urinaires du principe actif

Administration unique par voie IV et sous la forme d'un bolus du principe actif. Analyse des données urinaires du principe actif Diplôme Universitaire de Pharmacocinétique de Toulouse *** Année 2007 *** Le modèle monocompartimental : Administration unique par voie IV et sous la forme d'un bolus du principe actif Analyse des données

Plus en détail

Annexe B : Les vecteurs. Scalaires et vecteurs

Annexe B : Les vecteurs. Scalaires et vecteurs Annee B : Les vecteurs Certains étudiants éprouvent de la difficulté en première session à l'école lorsqu'ils suivent le cours ING-10 "Statique et dnamique". Les vecteurs sont utilisés abondamment dans

Plus en détail

11. Evaluation de la qualité des essais

11. Evaluation de la qualité des essais 11. Evaluation de la qualité des essais L évaluation de la qualité méthodologique d un essai thérapeutique est une tâche difficile [117]. L essai thérapeutique contrôlé randomisé est considéré comme étant

Plus en détail

Introduction à la Statistique Inférentielle

Introduction à la Statistique Inférentielle UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique

Plus en détail

NOTIONS DE PROBABILITÉS

NOTIONS DE PROBABILITÉS NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...

Plus en détail

Le budget des ventes (méthodes de prévision)

Le budget des ventes (méthodes de prévision) ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES Niveau : 3 ème année MGT Groupe : 2 Année Académique : 2011/2012 Module : Gestion Budgétaire Enseignant : KHERRI Abdenacer Site web : www.gb-ehec.jimdo.com Plan du

Plus en détail

Elma m l a ki i Haj a a j r a Alla a Tao a uf u i f q B ur u kkad a i i Sal a ma m n a e n e Be B n e a n b a d b en e b n i b i Il I ham

Elma m l a ki i Haj a a j r a Alla a Tao a uf u i f q B ur u kkad a i i Sal a ma m n a e n e Be B n e a n b a d b en e b n i b i Il I ham Exposé: la technique de simulation MONTE-CARLO Présenté par : Elmalki Hajar Bourkkadi Salmane Alla Taoufiq Benabdenbi Ilham Encadré par : Prof. Mohamed El Merouani Le plan Introduction Définition Approche

Plus en détail

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de

Plus en détail

Module d'analyse des données

Module d'analyse des données *** Année 2007 *** Module d'analyse des données P.L. Toutain, A. Bousquet-Mélou UMR 181 de Physiopathologie et Toxicologie Expérimentales INRA/ENVT Ecole Nationale Vétérinaire de Toulouse 24/04/2007 Avant

Plus en détail

INTRODUCTION AUX PROBLEMES COMBINATOIRES "DIFFICILES" : LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE ET LE PROBLEME DE COLORATION D'UN GRAPHE

INTRODUCTION AUX PROBLEMES COMBINATOIRES DIFFICILES : LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE ET LE PROBLEME DE COLORATION D'UN GRAPHE Leçon 10 INTRODUCTION AUX PROBLEMES COMBINATOIRES "DIFFICILES" : LE PROBLEME DU VOYAGEUR DE COMMERCE ET LE PROBLEME DE COLORATION D'UN GRAPHE Dans cette leçon, nous présentons deux problèmes très célèbres,

Plus en détail

UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans sa documentation) est autorisée.

UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans sa documentation) est autorisée. Université René Descartes- Paris V Licence de Psychologie Année L1, Semestre S1-2005 /2006 Page 1/5 UE ADP1 Durée de l'épreuve : 1 heure 30 mn. Aucun document n'est autorisé. Seule la calculette (sans

Plus en détail

STATISTIQUES I) UN PEU DE VOCABULAIRE

STATISTIQUES I) UN PEU DE VOCABULAIRE STATISTIQUES I) UN PEU DE VOCABULAIRE Toute étude statistique s'appuie sur des données. Dans le cas ou ces données sont numériques (99% des cas), on distingue les données discrètes (qui prennent un nombre

Plus en détail

5. Étude de fonctions

5. Étude de fonctions ÉTUDE DE FONCTIONS 33 5. Étude de fonctions 5.1. Asymptotes Asymptote verticale La droite = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée

Plus en détail

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE Annexe MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE L enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque

Plus en détail

La régression logistique. Par Sonia NEJI et Anne-Hélène JIGOREL

La régression logistique. Par Sonia NEJI et Anne-Hélène JIGOREL La régression logistique Par Sonia NEJI et Anne-Hélène JIGOREL Introduction La régression logistique s applique au cas où: Y est qualitative à 2 modalités Xk qualitatives ou quantitatives Le plus souvent

Plus en détail

Séance 4: Consommation, utilité, cardinalité et bonheur

Séance 4: Consommation, utilité, cardinalité et bonheur Séance 4: Consommation, utilité, cardinalité et bonheur Sandra Nevoux Sciences Po Jeudi 24 Septembre 2015 1 / 49 L'essentiel à retenir 1 Revenu et consommation 2 3 4 5 2 / 49 Courbe d'expansion d'engel

Plus en détail

Arbres binaires. Hélène Milhem. Institut de Mathématiques de Toulouse, INSA Toulouse, France IUP SID, 2011-2012

Arbres binaires. Hélène Milhem. Institut de Mathématiques de Toulouse, INSA Toulouse, France IUP SID, 2011-2012 Arbres binaires Hélène Milhem Institut de Mathématiques de Toulouse, INSA Toulouse, France IUP SID, 2011-2012 H. Milhem (IMT, INSA Toulouse) Arbres binaires IUP SID 2011-2012 1 / 35 PLAN Introduction Construction

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante.

( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante. Chapitre : Fonctions de référence I Fonctions affines Définition d'une fonction affine f est une fonction affine si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que pour tout x, f x ( ) = ax + b

Plus en détail

Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs!

Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs! France Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs! Comme le rappelle la CNIL dans sa délibération n 88-083 du 5 Juillet 1988 portant adoption d une recommandation relative

Plus en détail

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc Terminale ES Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc EXERCICE ( points). Commun à tous les candidats On considère une fonction f : définie, continue et doublement dérivable sur l

Plus en détail