Lycée Privé Catholique Maintenon TERMINALE FASCICULE MATHEMATIQUES M. MAGNE

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1 Lycée Privé Catholique Maintenon TERMINALE FASCICULE DE MATHEMATIQUES DEVOIRS MAISON Année 2010/2011 M. MAGNE

2 Thème : Les Fonctions Devoir Maison à rendre le : Partie A On considère la fonction polynôme définie pour tout réel par : = Etudier les variations de. 2. Montrer que l équation =0 admet une racine réelle et une seule,, et que appartient à l intervalle ]1,6; 1,7[. Partie B Soit l ensemble des réels strictement supérieurs à 1. On considère la fonction numérique définie sur par : = 1 1+ On désigne par la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormé on prendra comme unité 4 cm. 1. Etudier les variations de on utilisera pour cela les résultats de la partie A. 2. Ecrire une équation de la droite tangente à la courbe au point d abscisse 0. Etudier la position de la courbe par rapport à la droite dans l intervalle ] 1,+1[. 3. Montrer que la courbe est située au-dessus de sa tangente au point d abscisse 1. Tracer la courbe, la droite et la tangente à au point d abscisse 1. A.MAGNE-TS-DM1

3 Thème : Les Suites Devoir Maison à rendre le : et sont les suites définies par : =1, =7 et = = Soit une droite munie d un repère ;. Pour tout N, on considère les points et d abscisses respectives et. 1. Placer les points,,,,, 2. Soit la suite définie par = pour tout entier N. Démontrer que est une suite géométrique de raison 1 3. On en précisera le premier terme Exprimer en fonction de. 3. Comparer et. Etudier le sens de variation des suites et. Interpréter géométriquement ces résultats. 4. Démontrer que les suites et sont adjacentes. 5. Soit la suite définie par = + pour tout N. Démontrer que est une suite constante. En déduire que les segments [ ] ont tous le même milieu. 6. Montrer que les suites et sont convergentes et calculer leur limite. Interpréter géométriquement ce résultat. A.MAGNE-TS-DM2

4 Thème : Les Complexes Devoir Maison à rendre le : Exercice n 1 : Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct ;,. On note le point d affixe. A tout point du plan, distinct de et d affixe, on associe le point d affixe : = 1. a Déterminer les points du plan tels que l on ait =. b Déterminer le point associé au point d affixe 1 ; déterminer le point tel que le point associé ait pour affixe Etant donné un nombre complexe distinct de, on pose =+ et = + avec,, réels. a Déterminer et en fonction de et. b Déterminer l ensemble Γ des points, distincts de, pour lesquels est réel. c Placer,,,, et Γ sur une figure unité graphique : 4cm 3. Soit un nombre complexe différent de. a Montrer que : = 1 b On suppose que, d affixe, appartient au cercle Γ de centre et de rayon 1. Montrer que appartient aussi à Γ. Exercice n 2 : 1. Ecrire le complexe 1+ sous sa forme trigonométrique et exponentielle. 2. En déduire la forme exponentielle du complexe =1+ pour tout Z. 3. Pour quelles valeurs de, =1+ est-il un réel? A.MAGNE-TS-DM3

5 Thème : Les Equations Différentielles Devoir Maison à rendre le : Partie A La fonction est définie sur l intervalle ]0,+ [ par : =20+10 On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal ; ;. On prendra comme unité graphique 1 cm. 1. Etudier la limite de la fonction en Etudier les variations de la fonction et dresser son tableau de variations. 3. Tracer la courbe. 4. Etablir que l équation =10 admet une unique solution strictement positive. Donner une valeur décimale approchée à 10 près de. Partie B On note la valeur, en degré Celsius, de la température d une réaction chimique à l instant, étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l instant =0, est 0=10. On admet que la fonction qui, à tout réel appartenant à l intervalle ] 0,+ [ associe, est solution de l équation différentielle : =20 1. Vérifier que la fonction étudiée dans la partie A est solution de l équation différentielle sur l intervalle ] 0,+ [. 2. On se propose de démontrer que cette fonction est l unique solution de l équation différentielle, définie sur l intervalle ] 0,+ [ qui prend la valeur 10 à l instant 0. a On note une solution quelconque de l équation différentielle, définie sur ] 0,+ [ vérifiant 0=10. Démontrer que la fonction est solution, sur l intervalle ] 0,+ [ de l équation différentielle : =0 b Résoudre l équation différentielle. c Conclure. 3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-t-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondi à la minute. A.MAGNE-TS-DM4

6 Thème : Les Intégrales Devoir Maison à rendre le : Les questions 1 et 2 sont indépendantes. N est l ensemble des entiers strictement positifs. Pour tout entier de N, on considère l intégrale = ln 1. a Démontrer que pour tout dans l intervalle ]1;[ et pour tout entier naturel, on a : ln ln >0 b En déduire que la suite est décroissante. 2. a Calculer, à l aide d une intégration par parties. b Démontrer à l aide d une intégration par parties que, pour tout N : = +1 c En déduire, et. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de et les valeurs approchées à 10 près par défaut. 3. a Démontrer que, pour tout N : 0. b Démontrer que, pour tout N : +1. c En déduire la limite de. d Déterminer la valeur de + + En déduire la limite de. A.MAGNE-TS-DM5

7 Thème : Logarithme et Exponentielle Devoir Maison à rendre le : Préambule : Rappeler la dérivée de où est une fonction dérivable. En déduire la dérivée de la fonction h définie sur ] 0 ; + [ par : h=ln 1. Soit la fonction définie sur R par : =ln 6ln+5 a Etudier sens de variation, limites en 0 et en + b Calculer la dérivée seconde de. Pour quelle valeur de l égalité =0 est-elle vérifiée? Déterminer l équation cartésienne de la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse. 2. On considère la fonction définie sur R par : =ln 6ln a Calculer les dérivées première et seconde de. b Etudier le sens de variation de et en déduire le signe de. c Etudier le sens de variation de et en déduire le signe de. d En déduire la position relative de et. 3. Construire la courbe lorsque varie sur l intervalle ] 0 ;150[ On prendra un repère orthogonal en choisissant pour l unité : 1 sur l axe des abscisses et 1 sur l axe des ordonnées On construira les points d abscisses pour entier. Construire dans le même repère la droite et préciser son point d intersection T avec l axe des ordonnées. 4. Résoudre algébriquement dans R l inéquation : >0. Résoudre graphiquement dans R l inéquation : 3. A.MAGNE-TS-DM6

8 Thème : Géométrie dans l Espace Devoir Maison à rendre le : On considère le cube d arête 1 é, représenté ci-dessous. 1. a Exprimer plus simplement le vecteur + +. b Montrer que le produit scalaire. est nul. c Démontrer de même que le produit scalaire. est nul. d Démontrer que la droite est perpendiculaire au plan. 2. Soit le centre de gravité du triangle. Déduire de la question 1 que le point est le point d intersection de la droite et du plan, et préciser la position du point sur le segment [] 3. Dans cette question, l espace est orienté par le repère orthonormal direct ;,, a Ecrire une équation du plan. b Ecrire une représentation paramétrique de la droite passant par le point et perpendiculaire au plan. c Déterminer les coordonnées du point d intersection de la droite avec le plan. d En déduire la distance du point au plan. A.MAGNE-TS-DM7

9 Thème : Les Probabilités Devoir Maison à rendre le : On dispose de deux urnes et contenant des boules indiscernables au toucher. contient boules blanches et 3 boules noires. est un entier supérieur ou égal à 1 contient 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire au hasard une boule de et on la met dans, puis on tire au hasard une boule de et on la met dans ; l ensemble de ces opérations constitue une épreuve. 1. On considère l événement :«après l épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ». a Montrer que la probabilité de l événement peut s écrire : = b Déterminer la limite de lorsque tend vers On considère l événement :«après l épreuve, l urne contient une seule boule blanche». Vérifier que la probabilité de l événement peut s écrire : 6 = Un joueur mise 20 euros et effectue une épreuve. A l issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans : Si contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2 euros. Si contient 2 boules blanches, le joueur reçoit euros. Si contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien. a Expliquer pourquoi le joueur n a aucun intérêt à jouer tant que ne dépasse pas 10. Dans la suite, on considère >10 et on introduit la variable aléatoire qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur par exemple, si après l épreuve, l urne contient une seule boule blanche, =2 20. b Déterminer la loi de probabilité de. c Calculer l espérance mathématique de. d On dit que le jeu est favorable pour le joueur si et seulement si l espérance mathématique est strictement positive. Monter qu il en est ainsi dès que l urne contient au moins 25 boules blanches. A.MAGNE-TS-DM8

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