Interaction newtonienne ; champ 1/r 2
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- Amandine Thibodeau
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1 Interaction newtonienne ; champ 1/r Exercice 1: Utilisation de la 3 ème loi de Kepler Un satellite terrestre a son périgé à 350km d'altitude, et une période de 5843s. 1. Calculer le demi-grand axe de sa trajectoire (on donne R T = m, g 0 = 9.8 ms - ).. Calculer l'excentricité e de cette trajectoire, ainsi que l'altitude de l'apogée. Exercice : Demi-ellipse dite «de transfert» Un satellite de masse m tourne autour de la terre sur une orbite circulaire (orbite "basse", rayon r 1 et vitesse V 1 ), on veut le transférer sur une orbite circulaire (orbite "haute", rayon r et vitesse V ). Pour cela, on lui fait décrire une demi-ellipse (dite orbite de transfert) dont un des foyers est le centre de la terre, et qui se raccorde tangentiellement aux deux orbites circulaires précédentes. On allume donc les propulseurs du satellite pendant une durée brève au début et à la fin de cette demi-ellipse, ce qui correspond à communiquer à chaque fois au satellite un supplément de vitesse (sans changement de sa direction) de façon quasi-instantanée. Calculer ces suppléments de vitesse. On donne: r 1 =6700km, r =4000km, rayon terrestre R T =6400km, champ de gravitation au niveau du sol: g 0 =9.8ms -. Exercice 3: Trajectoire circulaire-satellite géostationnaire Dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen), un satellite artificiel de masse m se déplace suivant une orbite circulaire de rayon r=r+h autour de la terre (h étant son altitude par rapport à la surface terrestre). Ce mouvement peut s étudier simplement à l aide du PFD. 1. Vitesse du satellite sur une trajectoire circulaire a) Montrer que la vitesse V est constante, et donner son expression en fonction de G, M, R et h. Soit g 0 le champ de gravitation à la surface de la terre, g 0 =9,8ms - et R le rayon terrestre R=6400km. b) Retrouver la vitesse à partir de la formule générale p = m C. Montrer que le rapport T est une constante pour tous les satellites terrestres. Quelle est r 3 la loi équivalente pour le système solaire? 3. Exprimer l énergie cinétique et l énergie mécanique du satellite ; quelle est la relation simple entre les deux? 4. Un satellite est dit géostationnaire lorsqu'il est immobile dans tout référentiel lié à la terre. a) Démontrer qu'un satellite géostationnaire a obligatoirement sa trajectoire dans le plan équatorial. b) Calculer son altitude h en fonction de g 0 et de R T. 5. Pour placer le satellite S sur une trajectoire circulaire, on utilise une fusée qui va lui fournir un travail W pour l amener sur son orbite circulaire avec la vitesse initiale calculée précédemment. Le satellite est initialement sur une base de lancement située à la latitude!, il est donc au départ immobile par rapport. a) Quelle est l énergie mécanique du satellite avant son lancement? (on tiendra compte de la rotation de la terre ) b) Calculer le travail W que la fusée doit fournir au satellite. Où doit-on placer de préférence la base de lancement? k
2 c) Calculer, en pourcentage, l économie réalisée entre un lancement depuis l équateur (" 1 = 0) et un lancement depuis le nord de l Europe (" = 55 ) Exercice 4: Tir balistique Un missile balistique quitte le sol terrestre avec la vitesse initiale v 0 faisant un angle " avec la verticale. La suite de sa trajectoire est entièrement parcourue sous la seule action de la pesanteur terrestre, dont l intensité au sol est notée g 0. On note aussi R T le rayon terrestre. 1. On note v L la vitesse de libération, c est à dire la vitesse minimale à donner au mobile pour qu il puisse s éloigner à l infini. Déterminer v L. Dans la suite, on suppose que v 0! v L.. Déterminer l excentricité de la trajectoire, en fonction de v 0, v L et ". Exercice 5: Autre présentation du mouvement Newtonien On considère le mouvement d'une planète assimilée à un point matériel P de masse m dans le champ gravitationnel du soleil de centre 0 et de masse M >>>m. On pose g=gm et u=1/r. 1. Exprimer l'énergie potentielle newtonienne Ep de cette planète.. Montrer que la trajectoire de P vérifie l'équation différentielle suivante: où " et # sont des constantes qu'on exprimera en fonction de K, de la masse m, de l'énergie mécanique E et du moment cinétique L de la planète. 3. Résoudre l'équation différentielle (1). Montrer que la trajectoire de P est une conique dont on calculera l'excentricité en fonction d'abord de " et # puis en fonction de m, K, E et L. 4. Dans le cas d'une trajectoire elliptique, calculer le! grand axe a et le! petit axe b en fonction de m, g, E et L. Exercice 6: Ecart à la satellisation sur orbite circulaire Le lancement d'un satellite terrestre sur une orbite circulaire a été manqué: au point de lancement A, le vecteur vitesse V 0 a bien le module correspondant à l'orbite circulaire de rayon r 0, mais il fait un angle " avec la direction prévue (fig.) Déterminer les coordonnées radiales de l'apogée et du périgée de la trajectoire en fonction de r 0 et de ". On prendra 0A comme origine des angles polaires Exercice 7: Trajectoire elliptique ; changement de trajectoire 1. Un satellite artificiel de la terre, de masse m, est placé sur une orbite elliptique. Ecrire l'expression de son énergie mécanique en fonction de sa vitesse v et de sa coordonnée radiale r. Montrer que les coordonnées radiales r A et r B de l'apogée et du périgée sont racines d'une équation du second degré dont les coefficients s'expriment en fonction de l'énergie mécanique et de la constante des aires. En déduire l'expression de l'énergie mécanique en fonction du demi-grand axe de l'ellipse et établir la relation: où g 0 est le champ de gravitation terrestre au sol et R le rayon terrestre.
3 . Le satellite est initialement situé sur une orbite circulaire de rayon r 0 ; déterminer sa vitesse v 0. A son passage par un point A de l'orbite, on exerce sur le satellite dans la direction de son vecteur vitesse et de façon quasi instantanée une force qui le ralentit. La trajectoire de A devient alors une ellipse de foyer O. Déterminer la vitesse v 1 qu'il doit prendre pour atteindre la terre en un point P tel que l'angle AOP = %/ (fig.). Calculer la variation d'énergie cinétique subie par le satellite. Exercice 8: Mouvement hyperbolique répulsif : expérience de Rutherford Une particule " de masse m et de charge q=e, venant de l infini avec une vitesse, s approche avec un paramètre d impact b=oh d un noyau cible (noyau d or) de masse M>>>m et de charge Ze. 1. Monter que et où l indice 0 concerne les grandeurs au départ et l indice " les grandeurs quand la particule est de nouveau infiniment éloignée du noyau.. En déduire la déviation D de la particule en fonction de k, m, b et V Déterminer la distance minimale r min de plus courte approche du noyau en fonction de D et b. y e r e $ D V 0 H b $ x O
4 Exercice 9 : L étoile double On considère un système S constitué de deux corps ponctuels M 1 et M de masses m 1 et m en interaction gravitationnelle. On suppose que S est un système isolé, étudié dans le référentiel galiléen R d origine O. On appelle K le centre d inertie du système. 1. Montrer que le référentiel barycentrique R* du système S est galiléen. Définir la particule fictive (ou réduite) A ainsi que son équation différentielle vérifiée par son vecteur position.. Montrer que l énergie mécanique barycentrique de la particule réduite A est celle du système S dans R*. Montrer que le moment cinétique barycentrique de la particule réduite A est celui du système S dans R*. 3. On considère une étoile double composée de deux astres assimilés à deux points matériels formant un système isolé en mouvement quasi-circulaire autour du centre d inertie K de l étoile double. Données : Le rayon de la trajectoire de M est 4 fois plus grand que celui de M 1. La distance entre les deux astres est km. La période de révolution de l étoile double est 100 ans En déduire les masses m 1 et m de M 1 et M. Réponses : Ex.1 : Ex. : Ex.3 1,, 3 :V = GM R GM = g 0 R E p = " E c Eméca = "E c 4 : r = R + h = ( g or 4" T ) = km # hapogé = km GmM(R + h) 5 :W = " 1 R(R + h) mr # cos ($) = GMm R (1" R 3 # cos ($) GM ); W 1 W = 1" R# g 0 1" R# cos ($ ) g 0 = 0, 9977 %W = 1, 003W 1 Soit une économie de 0,3% si on lance le satellite d une base sur trouvant prés de l équateur. Ce n est pas la raison pour laquelle les bases de lancements sont situées prés de l équateur. L intérêt réel : il est plus facile de placer le satellite sur une orbite équatoriale. GM = g 0 R T vt = g 0 RT Ex.4 : C = Cte des aires = RT V 0 sin(") # P = V 0 sin (") V e = 1 + 4V g 0 sin (") 0 $VL 0 V 4 L Ex.5 : Ep=-mKu ; 4.. : Ex.6 : Ex.7 :
5 Ex.8 : On écrira le principe fondamental dans le référentiel Galiléen et on remarquera que On obtient donc cette équation. On exprime le moment cinétique qui est une constante vectorielle et on intègre entre t=0 et t=". On obtient l expression demandée. 8.. : On exprime l énergie potentielle : Ep=k/r, Ep(0)=Ep( ")=0 car les particules sont infiniment éloignée. Donc les énergies cinétiques sont les mêmes car l énergie mécanique se conserve : V " =V 0. On projette la relation précédente sur les axes x et y et on obtient : 8.3 : En écrivant l énergie mécanique qui se conserve au point r=rmin (un extremum donc dr/dt=0) on obtient l équation du degré que l on résout : Ex.9: 9.1. et 9.. Cours :
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