Chapitre 4 : Ecoulement adiabatique avec frottement «Ecoulement de Fanno»

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1 Cours : Dynamque des gaz. Unversté de ed Boudaf sla Année Unverstare 06/07 Faculté des echnologes Opton : Energétque Département de Géne écanque aster ère Année Chaptre 4 : Ecoulement adabatque avec frottement «Ecoulement de Fanno» VI. Introducton : Le chaptre II a fat l objet de l étude de l écoulement sentropque undrectonnel d un gaz parfat à travers un tuyère en néglgeant le transfert de chaleur et (le frottement) la frcton. Dans ce chaptre on s ntéresse à l étude d un écoulement sentropque d un gaz parfat à travers une secton constante avec frcton (frottement)et sans transfert de chaleur ce qu on nom l écoulement de Fanno. Consdérons le cas de l écoulement compressble d un gaz parfat entre deux sectons d une tuyère comme llustré sur la fgure IV.. Fgure IV. : Ecoulement compressble de flude à travers une secton constante. Dans ce cas la varaton de secton est égale à zéro. Nous avons l équaton suvante : ds dv S (- ²) (IV.) v Cette équaton nous a condut à la varaton de vtesse est égale à zéro, d où : dv 0 v cst (IV.) Donc l écoulement s effectue à une vtesse constante. De même, à partr de l équaton d énerge, nous avons ; v v h h (IV.3) usque la vtesse est constante est constante donc l enthalpe est auss une constante d où la température est auss une constante. D autre part, nous avons : a r donc a=cst (IV.4)

2 Cours : Dynamque des gaz. v v (IV.5) a r Donc le nombre de ach est constant. Nous avons auss : 0 ² Donc la presson est constante. Nous avons de même : (IV.6) 0 ² Donc la masse volumque est constante. (IV.7) A partr de ces nformatons, on constate que l étude d un écoulement sentropque undmensonnel pour un gaz parfat dans une canalsaton ne produt aucune varaton dans la vtesse et les proprétés du flude tant que la secton ne change pas. Dans ce qu sut (chaptre 4 et chaptre 5) on va étuder les écoulements undmensonnels d un gaz parfat à travers une condute à secton constante. On va vor que le frottement et/ou le transfert de chaleur peut auss accélérer ou décélérer le flude. Actuellement, les écoulements des fludes sont non sentropques. Dans ces écoulements on dstngue les écoulements adabatques sans transfert de chaleur avec frcton et les écoulements avec transfert de chaleur (écoulements dabatques). Dans ce chaptre on va aborder l écoulement adabatque d un gaz parfat à travers une secton constante avec frcton, ce type d écoulement est appelé écoulement de Fanno. Dans le chaptre suvant vas aborder l écoulement dabatque d un gaz à travers une condute à secton constante sans frcton ; c est l écoulement de Raylegh. VI. Equatons de bases : Consdérons l écoulement permanent dans une condute de secton crculare constant, parfatement calorfugée, almentée par un réservor de grand volume ou règnent les condtons génératrces supposées constantes et débtant dans une encente ou règne la presson. Consdérons le volume de contrôle élémentare de la condute de secton S et la longueur dx comme représenté sur la fgure (IV.). La secton est constante, mas les autres proprétés de flude ( p,ρ,τ,h,v ) peuvent varer avec x. L applcaton de la lo de conservaton de masse et du théorème d Euler à cet élément de volume donne les équatons dfférentelles.

3 Cours : Dynamque des gaz. Fgure IV. : Volume de contrôle élémentare pour un écoulement avec frcton dans une condute de secton constante. IV.. L équaton de contnuté : L équaton de contnuté est donnée par la relaton suvante : Avec : m Sv c st v cst (IV.8) S : la masse volumque du flude ; v : la vtesse du flude ; S: la secton de la condute ; En dérvant cette équaton, on obtent : d dv 0 v (IV.9) IV.. héorème d Euler : Applquons le théorème d Euler au volume élémentare. En désgnant par df la force latérale de frottement, on obtent : Nous avons la relaton du débt massque: q m Sv df d vdv 0 S S q v df ( d) S q ( v dv) (A) m ( ) df S q dv 0 A m df S qm dv 0 m 3

4 Cours : Dynamque des gaz. On désgne par df la force latérale de frottement et df/s la perte de charge dans la condute due au frottement, elle est donnée par la relaton suvante : df S v dx D D présente le damètre de la condute. Dans le cas où la vtesse est suffsamment grande pour que le régme sot turbulent rugueux. Rappelons que dans ce cas, le coeffcent de perte de charge lnéare λ est constant et ne dépend que de la rugosté de la condute. Le théorème d Euler s écrt donc comme sut : v d dx vdv 0 (IV.0) D IV..3 Autres équatons générales : Ces équatons sont dentques à celles déjà sgnalées pour l onde de choc drote, qu est auss une transformaton adabatque rréversble : L équaton caractérstque du flude : r. Les dverses formes du théorème de Barré de Sant Venant sont applcables aux écoulements adabatques rréversbles : v² H Cp Cp v² (IV.) (IV.) (IV.3) VI.3 Relatons dfférentelles de l écoulement : Afn de prévor qualtatvement les proprétés physques de cet écoulement établssons les équatons dfférentelles relant ses dvers caractérstques au nombre de ach et au coeffcent de la perte de charge lnéare λ. Ecrvant la vtesse en foncton du nombre de ach. v v v r (IV.4) a r D autre part, nous avons : R R (IV.5) Donc v (IV.6) Introdusant cette équaton dans l équaton d Euler (IV.0), on obtent : 4

5 Cours : Dynamque des gaz. d D dx dv Dvsant cette équaton par : d dx dv D d D dx 0 0 dv v d dv our chercher l expresson élmnant v A partr de l équaton de Barré de Sant Venant : dv² r dv² r d d (IV.7) (IV.8) (IV.9) (IV.0) Introdusant le nombre de ach : v v a r r r (IV.) Donc : dv² v² ( ) ² d 0 (IV.) A partr de l équaton de la lo des gaz parfats : d d d R (IV.3) A partr de l équaton de contnuté : d dv dv² v cst (IV.4) v v² De l équaton (IV.) et l équaton (IV.4), l équaton (IV.3) donne : d En élmnant dv² ²( ) dv² v² v² d dv² ( ²( )) v² dv² de cette équaton et de l équaton d Euler, on obtent : v² d D dx ( ) ( ) ² d ² ) ( ) ² D d ( ) ² ² ) ( ) ² D d ² ) ( ) ² D d dx 0 0 dx 0 dx 0 (IV.5) 5

6 Cours : Dynamque des gaz. d D ( ) ² ( ) dx ² A partr de l équaton (IV.5), nous obtenons : (IV.5) d L équaton (IV.) donne : d dv ² dx v D( ² ) ²( ) dv² ²( ) dv ² ²( ) dx v² v D( ² ) d d ² dc² ² c² ( ) ² D ² d La presson d arrêt est donné par : ² d ² ² dx ² D ² (IV.6) (IV.7) (IV.8) ' d d Et en remplaçant ' ' d ( ) ² d ² d ² ² ( ²) d d et par leurs valeurs : ²² ' ' (IV.9) (IV.30) ² dx (IV.3) D Calculons également la varaton d entrope : ds dq d Cp d d Cp r d (IV.3) d d Et remplaçant et par leurs valeurs : ² ds dxr (IV.33) D d ² Et en élmnant dx de l expresson, on tre : D ² ds d r( ²) ( ²) (IV.34) VI.4 Interprétaton physque : 6

7 Cours : Dynamque des gaz. Les expressons de d dv v d d dv d d,, et contennent l expresson ² au dénomnateur. v D ² dx D( ² ) ( ) ² D ² ( ) ² ( ) dx ² ² d ² ² dx ² D ² Ces équatons montrent que : (IV.35) (IV.36) (IV.37) (IV.38) our un écoulement subsonque (<), le frottement entrane une augmentaton de la vtesse, du nombre de ach et une dmnuton de presson, de température et de la masse volumque. our un écoulement supersonque (>), le frottement entrane des conséquences nverses des précédentes, c est-à-dre une dmnuton de la vtesse et du nombre de ach et une augmentaton de presson, de température et de masse volumque. L expresson de d ds montre que l entrope ne peut pas être maxmale qu en un pont ou =. Comme le long de l écoulement, l entrope ne peut qu augmenter et le nombre de ach tend vers l unté. On conclut que le nombre de ach ne peut être égale à l unté qu a l extrémté de la condute, pour une valeur partculère de la longueur de la condute dte longueur crtque, comme llustré sur la fgure IV.3. A l ntéreur de la condute l ne peut pas y vor passage contnu d un écoulement subsonque à un écoulement supersonque ou vs versa. 7

8 Cours : Dynamque des gaz. 8 Fg. IV.3 : Ecoulement adabatque avec frcton dans un condut de secton constante s'approche toujours de = pour satsfare la seconde lo de la thermodynamque. La courbe calculée est ndépendante de la valeur du coeffcent de frcton. VI.5 Intégraton des équatons entre deux ponts de l écoulement : L expresson de ² d peut s écrre sous la forme : ² ²) ( ² 4 d dx D (IV.39) Et en ntégrant entre deux ponts et. ln ) ( x x D (IV.40) La représentaton graphque de la foncton précédente pour une valeur donnée de permet donc de détermner la valeur de pour une abscsse x. Les autres relatons entre les grandeurs aux ponts et s obtent à partr de la lo des gaz parfats, de l équaton de contnuté, et du théorème de Barré de Sant venant. Celu-c peut s écrre : (IV.4)

9 Cours : Dynamque des gaz. L équaton de contnuté donne : v v (IV.4) Et la lo des gaz parfats : (IV.43) En pratque cette méthode est peu commode car la relaton entre et x -x dépend de la valeur de. L ln (IV.44) D C est le coeffcent de perte de charge moyen entre 0 et L. our les condutes non crculares, D est remplacé par le damètre hydraulque, dont l expresson est donnée par : VI.6 Calculs pratques (able de Fanno) : Les applcatons pratques sont facltées en fasant ntervenr les condtons dans la secton (réelle ou fctve) ou le nombre de ach est égal à l unté. Nous caractérsons ces condtons dtes condtons sonques par l exposant. Nous avons vu que cette condton ne pouvat être réalsée qu à l extrémté de la condute. La longueur crtque L correspond à un nombre de mach à l entrée est obtenue en fasant = et = dans les expressons précédentes. On a donc : 4 Surface D h (IV.45) ermètre L équaton précédente (IV.44) est tabulée en foncton du nombre de ach dans le tableau IV. (able de Fanno). L est la longueur du condut nécessare pour développer un écoulement à partr du nombre de ach jusqu au pont sonque. luseurs problèmes comportent des petts conduts qu ne devennent jamas sonque, pour eux la soluton utlse la dfférence des tables. ar exemple la longueur L exge un développement de à est donné par : L ( L ) ( L ) (IV.46) D D D A partr du théorème de BSV : (IV.47) c D après l équaton de contnuté : v (IV.48) v ( ²) D après l équaton des gaz parfats : 9

10 Cours : Dynamque des gaz. ( ²) D après les relatons sentropques pendant l arrêt : D où : ' ' ² (IV.49) (IV.50) ' ( ²) (IV.5) ous ces rapports sont tabulés dans les tables de Fanno en foncton du nombre de ach (.le tableau IV.). Remarques : Les condtons sonques à l extrémté de la longueur crtque sont dfférentes des condtons crtques défnes au col d une tuyère, sauf en ce qu concerne les températures. En effet pusqu l y a conservaton de la température d arrêt. c Dans le cas où le changement s effectue entre et, le produt de ces rapports est utlsé par exemple. est la valeur constante de référence. VI.7 Exemple numérque : Une condute de secton constante est le sège d un écoulement adabatque d ar. A l entrée, les condtons sont = 3 bars, = 300k. A la sorte le nombre de ach est = 0.7. Etuder cet écoulement en comparant le calcul drect et l utlsaton des tables de Fanno. Calcul de la température de sorte : Le théorème de BSV s écrt : 0.(0.3) (0.7)² Donc : = 0.97= 300x0.97=78.4 K A partr des tables de Fanno : our =0.3 donc. 788 our =0.7 donc

11 Cours : Dynamque des gaz K Calcul de la presson de sorte : A partr de l équaton de contnuté : v v v v r v v r D autre part : v r Donc : v v Donc : 3. 38bar A partr des tables de Fanno : our =0.3 donc our =0.7 donc bar.43 Calcul de la presson d arrêt à l entrée et à la de sorte : r r 0. 4 ² r ( ²) 3( (0.3)²) 0. 4 ² r ( ²) 3( (0.7)²) bar.786bar A partr des tables de Fanno, on est oblgé de calculer les condtons, et au pont =. A partr des tables :

12 Cours : Dynamque des gaz. our =0.3 donc bar our =0.7 donc bar La même chose pour la température : K 54. 5k A partr du théorème de Barré de Sant Venant : 0 ' ' ' bar C est la presson d arrêt du pont crtque, d où : r our =0.3 donc.035 r 3.949bar r our =0.7 donc.0944 r.78bar Calcul de des vtesses à l entrée et à la de sorte : v r v 04.5m / s v r v 34.0m / s A partr des tables de Fanno, Nous avons ; v r v 39.78m / s D où : v v v 34.05m / s v v v 04.5m / s Calcul de de la longueur de la condute s λ=0.04 et D= 0. m: our =0.3 L donc L 3.4m D our =0.7 L donc 0.08 L 0.505m D L L L. 7m

13 Cours : Dynamque des gaz. ABLE IV. : Ecoulement adabatque d un flude vsqueux dans une canalsaton de secton constante, gaz parfat (γ =.4). (Courbes de Fanno). 3

14 4 Cours : Dynamque des gaz.

15 5 Cours : Dynamque des gaz.

16 6 Cours : Dynamque des gaz.