Analyse exploratoire. Statistique Exploratoire. Analyse en Composantes Principales. Examen terminal - Durée 2h

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1 I.U.T. de Caen LP Biostatistique Département STID Année Universitaire Responsable de cours : Alain LUCAS Seule la calculatrice type collège est autorisée. Le CM-TD-TP est autorisé. On conservera quatre chiffres après la virgule. On pourra répondre directement sur le document. Statistique Exploratoire Examen terminal - Durée 2h Un chargé d études en statistique est sollicité par un responsable de fouilles archéologiques qui souhaiterait savoir s il est possible d évaluer le volume d un crâne brisé en de multiples morceaux, et dont il faudrait plusieurs semaines avant d obtenir une éventuelle reconstitution. Le statisticien répond par l affirmative en expliquant qu il s agit simplement d une problématique de régression multiple, et que pour apporter une réponse, il aurait besoin de la valeur d un certain nombre de caractéristiques mesurées sur des crânes complets. Le responsable fournit alors au statisticien un fichier (cf. annexe 1) de données contenant 63 crânes sur lesquels dix mesures ont été réalisées, tout en précisant que des données ont malencontreusement été perdues. Après quelques recherches dans le domaine de la biologie, et notamment de l anatomie cranienne, le chargé d études a trouvé une formule mathématique reliant le volume cranien (C) aux mesures suivantes : profondeur maximale de la boîte crânienne (L) - distance 1 sur le graphique, largeur maximale de la boîte crânienne (B) - distance 2 sur le graphique, et hauteur maximale de la boîte crânienne (HP) - distance 4 sur le graphique. Analyse exploratoire 1. Comment sont représentées les données manquantes dans le fichier des données brutes? Le chargé d études se propose de lire les données via le logiciel SAS. Dans ce but, il écrit l étape DATA suivante : data skull ; infile H :\skull\skull-missing.txt dlm= firstobs=? ; input ID V1-V10 ; label V1= C V2= F V3= LP V4= L V5= B V6= BP V7= H V8= HP V9= OH V10= LB ; Que doit-il indiquer après le signe = de l option firstobs? Justifier votre réponse. Préciser le rôle de l instruction INPUT. 2. Ecrire explicitement la procédure que le chargé d études doit composer après cette étape DATA pour avoir une vue identique à celle donnée dans l annexe 2. Que représente les points dans la dernière colonne? 3. Préciser la procédure SAS qui a permis d obtenir l annexe 3. Ecrire explicitement cette procédure en indiquant les options qui ont été utilisées. A quoi correspond la dernière colonne? Les valeurs sont-elles en accord avec le fichier brute? Justifier votre réponse. 4. Rappeler la formule permettant de calculer le coefficient de variation (CV). Selon les valeurs des CV, comment peut-on qualifier les mesures de chacune des variables : homogènes ou hétérogènes? Justifier votre réponse. Analyse en Composantes Principales 1. Indiquer la transformation mathématique qui permet d écrire la relation (1) sous la forme : Y = β 0 + β 1 Z 1 + β 2 Z 2 + β 3 Z 3. (2) Préciser alors les quantités Y, Z 1, Z 2, Z 3, et β 0. Compléter l étape DATA suivante en précisant le rôle de l instruction DROP : data skull ; set skull ; X1= (V1) ; X2= (V2) ; X3= (V3) ; X4= (V4) ; X5= (V5) ; X6= (V6) ; X7= (V7) ; X8= (V8) ; X9= (V9) ; X10= (V10) ; drop V1-V10 ; 2. Le chargé d études, dans sa problématique de remplacer les données manquantes, décide de réaliser une analyse en composantes principales normée portant sur l ensemble des variables présentes dans le fichier. Préciser le nom de la procédure SAS à utiliser pour effectuer cette analyse. 3. Après compilation, le chargé d études obtient le tableau des valeurs propres suivant : Selon les notations précédentes, la relation mathématique s écrit : C = γl β1 B β2 (HP) β3, (1) où γ, β 1, β 2, et β 3 sont des paramètres inconnus à estimer. Dans la suite, le chargé d études se propose de mener les étapes suivantes : 1. analyse exploratoire des données manquantes; 2. analyse exploratoire multivariée du fichier ; 3. élaboration d une stratégie de remplacement des données manquantes; 4. estimation des paramètres du modèle (1). 1 Calculer la somme, puis la moyenne des valeurs propres. Justifier le fait d obtenir des valeurs caractéristiques. Selon la règle de la moyenne, on conserve les axes factoriels dont la valeur propre est supérieure à la moyenne des valeurs propres. Combien d axes factoriels le chargé d études serait-il amené à conserver dans le cas présent? 2

2 4. Il décide de représenter le nuage des variables dans le premier plan factoriel (cf. annexe 4 - graphique 1). Pourquoi peut-on dire que les variables X5, X6 et X10 sont particulièrement mals représentées dans ce premier plan? A l inverse, que peut-on dire des variables X2, X3 et X4? 5. Le chargé d études observe clairement que les points-variables X2, X3 et X4 d une part, et les points-variables X7, X8 et X9 d autre part sont très proches. Quelle information peut-il tirer de cette observation? Justifier votre réponse, puis confronter votre analyse au tableau suivant : 6. Il s intéresse maintenant aux variables fortement corrélées avec la première composante principale. Rappeler comment on obtient visuellement la valeur du coefficient de corrélation d une variable avec la première composante. Il se fixe un seuil (ici 0,5) à partir duquel il considère que la corrélation est significative. En s aidant du graphique 2 de l annexe 4, identifier explicitement les variables corrélées avec la première composante. Le tableau suivant corrobore-t-il vos observations? Justifier votre réponse. Modélisation de la variable log(lb) 1. A partir de la table des corrélations, identifier les deux variables les plus corrélées avec la variable log(lb). 2. Le chargé d études décide de contrôler cette analyse via un modèle de régression simple mené avec la procédure GLM. Les tables d analyse de la variance (cf. annexe 6) confirment-elles l analyse précédent? Justifier votre réponse. Comment peut-on interpréter la quantité R-carré? 3. Via la procédure REG, et selon une méthode automatique de sélection des variables explicatives (STEPWISE), le chargé d études obtient la sortie SAS présente dans l annexe 7. Préciser la part de variance expliquée par le modèle, puis écrire explicitement le modèle à partir des estimations obtenues. 4. Le chargé d études souhaite maintenant procéder au remplacement des données manquantes. Dans ce but, il écrit le programme SAS suivant : proc reg data=skull noprint ; model X10 = X1 X3 X7 ; output out=out p=pred; quit ; data out ; set out ; keep ID pred; proc sort data=skull ; proc sort data=out ; data temp ; merge skull out ; if X10 =. then X10=pred; drop pred ; Expliquer le rôle de l étape DATA au travers de l instruction KEEP. Quel est l intérêt des deux procédures SORT. Expliquer le rôle de la ligne de commande «if X10 =. then X10=pred;» en précisant le contenu de la variable pred. Modélisation de la variable log(c) 7. Via une analyse du signe des corrélations, préciser comment seront répartis les crânes selon la première composante? Comment peut-on alors caractériser la première composante principale? 8. Le chargé d études s intéresse maintenant aux variables fortement corrélées avec la seconde composante principale. Selon la même stratégie que précédemment, identifier visuellement les variables significativement corrélées avec cette seconde composante, puis vérifier votre observation à l aide du tableau ci-dessus. Sachant que les variables X2, X3 et X4 représentent des longueurs, et que les variables X7, X8 et X9 représentent des hauteurs, caractériser cette seconde composante principale, puis indiquer la répartition des crânes selon cette composante. 9. L annexe 5 présente les observations dont la qualité de représentation dans le plan principal est supérieure à 60%. Selon l analyse des deux premières composantes, préciser globalement les caractéristiques en terme de longueur et de largeur des crânes se situant dans chacun des quadrants. 10. Justifier à partir des annexes 1 et 3 que les crânes se situant à gauche sont globalement des crânes de petite taille. 11. Justifier à partir des annexes 1 et 3 que les crânes se situant à droite sont globalement des crânes de grande taille. 12. Expliquer ce qui différencie les crânes se situant respectivement au nord et au sud de la partie gauche du graphique. Justifier votre analyse à partir d un exemple. 13. Expliquer ce qui différencie les crânes se situant respectivement au nord et au sud de la partie droite du graphique. Justifier votre analyse à partir d un exemple. 1. Le chargé d étude souhaite maintenant, via une procédure REG, estimer les paramètres β j présents dans l équation (2). Compléter alors le programme SAS suivant : proc reg data=skullcomplet ; model X1 = ; output out=out p=pred; quit ; 2. En s aidant de l annexe 8, déterminer la part de variance expliquée par le modèle de régression, puis écrire explicitement l équation de régression linéaire. 3. En déduire l équation permettant d estimer directement la valeur de la variable C. 3 4

3 Annexe 1 Annexe 2 Données brutes Données brutes sous SAS Annexe 3 Statistiques descriptives 5 6

4 Annexe 4 Nuage des variables Annexe 5 Nuage des observations Annexe 6 Sorties de la procédure GLM 7 8

5 Annexe 7 Sortie de la procédure REG Annexe