PRODUITS DE TAUX D INTERET Modèles de marché ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine- Séance 7. Moez MRAD. Société Générale - R&D

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1 PRODUIS DE AUX D IERE oèles e marché ESAE - DEA ASE Unversé Pars IX Dauphne- Séance 7 oez RAD Socéé Générale - R&D oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

2 PA oèle bor Forwar ognormal G ou F. Défnon u moèle. Passage e G à HJ.3 Prcng es caps e floors n avance e n arrears ans le careg.4 Dynamques es ffrérens lbors forwar Calbraon u moèle G. Calbraon es volalés. Calbraon es corrélaons 3 Smulaon one Carlo un moèle G oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

3 3 Inroucon : oèles e arché e bor are oel ou bor Forwar ognormal es un moèle consru e elle façon à coller auomaquemen aux prx e caps européens. e Swap are oel ou Swap Forwar ognormal es un moèle consru e elle façon à coller auomaquemen aux prx e swapons européennes. Remarques : Ces eux marchés ou moèles son ncompables. D où la nécessé e fare aenon lors u hege e cerans prous exoques. On essae quan même e fare coexser les eux moèles quan on les calbre. oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

4 4 oèle e marché G ou F Références : Damano rgo & Fabo ercuro Ineres Rae oels heory an Pracce Sprnger arco Avellanea & Peer aurence uanave oellng of Dervave Secures CHAPA & HA/CRC oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

5 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5 5 3 are usela & are Ruows arngale ehos n fnancal oellng Sprnger 997. Défnon u moèle e marché G u : Abour une manère rgoureuse une formule fermée pour le prx un cap/floor. a ynamque u aux bor es onnée par : Γ Γ Γ w w Pour ou on pose : Γ

6 6 Dans le care G es supposée éermnse G HJ.... Passage e G à HJ * On spose une courbe e prx ZC nale On suppose que nore horzon es un mulple e la péroe u bor On ravalle onc avec une gamme scrèe... On connaî égalemen les volalés es lbors e onc leurs ynamques On se onne égalemen Γ oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

7 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5 7 a ynamque u lbor ermnal es onnée par : * * w On connaî onc l es égal à ou nsan à :. s s ε Comme on connaî égalemen Γ on peu rouver la volalé Γ : Γ Γ

8 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5 8 On répèe l opéraon pour Prncng es caps e floors ans le care G a valeur en un caple échéance sur eurbor 6 mos fxng en - es onnée par :. s r F e E C s Ce qu onne [ ] F E C Fnalemen on oben : [ ] C Avec - e / ln u u u u u u

9 9 Exercce Ausemen e convexé n arrears ans G : Calcul u Prx un caple n arrears. es prx es caps e floors son auo-calés par rappor au marché : oèle e lac pour les lbor forwar 976 a ynamque u aux bor es onnée par : w es une consane srcemen posve es la probablé e marché oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

10 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5 e prx un caple es alors onné par : [ ] [ ] F E C Avec - e / ln On vo onc que pour passer une formule à une aure l suff e prenre u u

11 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5.4 Dynamques e fférens aux lbor forwar So <> - Pour < < e la ynamque es onnée par :.... w ρ - Pour e la ynamque es onnée par : w - Pour << e la ynamque es onnée par :.... w ρ

12 Calbraon u moèle G Pluseurs formes e volalés son possbles ou on éé ulsées : - Volalés saonnares les plus ulsées : foncon - Volalés non saonnares: foncon Parm les volalés saonnares on sngue: - Volalés séparables: φ ψ Exemple : cse ou cse exp λ - Volalés non-séparables Exp vol e Rebonao: a b c b Ψ : [ a ] e c oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

13 3. Calbraon e la volalé e Rebonao On ulse le fa que : h ² Ψ a b c ² E on mnmse le crère suvan n arche h Fnalemen la volalé G ulsée es : arché avec φ ² / Ψ φ Ψ a* b* c* * a* b* c* *² oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

14 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5 4. Calbraon es corrélaons : On ulse les volalés es swapons eurpéennes. On peu ouours écrre un aux swap comme combnason lnéare e lbor : w S

15 5 So on approche w en w Rebonao. So on ulse es approxmaons plus fnes Hull e Whe D Aspremon. On a fnalemen : h Vol xs w w ρ swapon On mnmsan les écars quaraques enre les volalés e marché e les volalés héorques on esme les corrélaons. Remarques : On peu chercher ces corrélaons en ulsan : - So es expressons paramérques u ype exponenel comme la forme e Rebonao ρ exp β ou les formes plus fnes e Schoenmaers. - So es expressons rgonomérques cf rgo & ercuro oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5

16 oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5 6 3 Smulaon one Carlo un moèle G De plus en plus e prous exoques e aux son prcés par C Exp : CRA Swapons ermua Afn e prcer ces prous on o se mere sous une seul probablé : Exemple : la proba forwar assocés à la ernère mauré u prou on peu auss se mere sous la probablé e roll En gelan le rf enre aes e scrésaon e on a ε ρ ~ ~ ~ ~ exp

17 7 Avanages e nconvénens e G Il es auomaquemen calbré aux prx e marché es caps. Dans le cas ou les volalés son séparables on es ans un care maroven Possblé e résoure les EDP e prcng u mons en réusan la menson e raval Dans un care général volalés e Rebonao par exemple le care e raval n es plus maroven. as possblé ulser es echnques one Carlo e reprou pas le smle e marché es caples. e semane prochane oez RAD / SG R&D Fxe Income 5//5