Magnétisme. I. Les milieux matériels

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1 Magnétisme Jusquà présent, nous avons étudié les propriétés des champs électriques et magnétiques dans le vide. Lorsque ces champs dépendent du temps, nous avons vu qu'ils sont solutions des équations de Maxwell. Une des conséquences de ces équations est la propagation des champs dans le vide. Les équations de Maxwell permettent de calculer les champs présents en un point de l'espace lorsque l'on connait les densités de charges et courants présentes en ce point. Or la matière, même neutre à notre échelle d'observation, et isolée de tout générateur, comporte des charges qui créent des champs. De plus ces charges sont susceptibles de se déplacer sous l'action de champs extérieurs appliqués, donc de générer des effets électromagnétiques différents selon les conditions extérieures. I. Les milieux matériels 1. Comportement des matériaux Une simple observation de la matière nous fait apparaitre sa grande diversité. En se limitant aux propriétés électromagnétiques, c'est à dire liées aux champs E ou B, et à leurs sources ρ et j, on constate que tous les matériaux n'ont pas, et de loin, les mêmes propriétés. Ainsi certains matériaux sont isolants ( j = 0 quelques soient les conditions extérieures), d'autres sont conducteurs ; parmi ces derniers, certains suivent la loi locale d'ohm j = E, d'autres non. Certains matériaux ont des propriétés magnétiques : les aimants. Ils génèrent un champ magnétique (alors qu ils sont en général isolants, et qu'il ne circule donc aucun courant dedans). 2. Charges dans la matière Les charges dans la matière se classent en deux catégories : * les charges liées, qui ne peuvent que très légèrement se déplacer à notre échelle d'observation sous l'effet d'une action extérieure ; * les charges mobiles qui peuvent se déplacer sur une grande distance, et dont le mouvement correspond à un courant électrique.

2 Par exemple pour les solides, les charges liées sont les noyaux et les électrons liés, les charges mobiles les électrons libres lorsqu'il y en a. Dans un gaz ionisé, qui comporte des ions chargés positivement et des ions chargés négativement, on peut avoir des charges mobiles des deux signes. Les conséquences électromagnétiques de la présence de matière vont résulter des influences de toutes ces charges. Les équations de Maxwell sont des équations locales qui font intervenir les densités volumiques de charges et de courants au point considéré. Elles dépendent des densités de charges et de courant associées aussi bien aux charges liées qu'aux charges mobiles. Pour comprendre l'influence des charges liées, prenons le cas d'un matériau isolant, globalement neutre. Il est constitué de noyaux chargés positivement et d'électrons chargés négativement, liés à un atome donné. En l'absence de champ appliqué, pour chaque atome le barycentre des charges positives et celui des charges négatives sont confondus, au centre du noyau. Le matériau est partout localement neutre. En présence d'un champ électrique appliqué, les noyaux et les électrons vont avoir tendance à se déplacer légèrement dans des directions opposées. Bien que ces déplacements soient faibles (en raison des forces de cohésion de la matière), les barycentres des charges positives et négatives ne seront plus confondus. L'atome constitue alors un petit dipôle, qui comme tout dipôle crée un champ électrique, qui s'ajoute au champ initial. Le champ agissant sur les charges est donc modifié, donc l'action sur ces charges aussi, donc la valeur du dipôle, donc la valeur du champ correctif...bien que le matériau reste globalement neutre, cette neutralité n'est plus vérifiée au niveau local, et le champ réellement présent dans la matière n'est pas celui appliqué de l'extérieur. De même si le champ appliqué est non stationnaire, les barycentres seront en mouvement ce qui traduit l'apparition d'une densité de courant associée aux charges dites "liées"... Ce sont ces petits déplacements des charges liées qui différencient les propriétés des différents matériaux, selon l'importance qu'elles prennent. Dans le vide (non vide de charges et de courants), il n'existe que des charges rigoureusement fixes ou totalement libres. Il existe deux types de matériau dans lesquels la situation sera plus simple : * ceux dans lesquels les propriétés sont dominées par les charges mobiles : les milieux bons conducteurs comme par exemple les métaux ou les plasmas ; * ceux dont les propriétés sont dominées par les charges liées ; Là encore, on constate deux cas : - les charges liées influent par leur présence mais leurs mouvements sont négligeables : c est le cas de certains milieux isolants tels l'air, l'eau ou le verre ; - les charges liées influent par les courants provoqués par leurs petits mouvements : c est le cas des milieux ayant des propriétés magnétiques. 3. Les milieux magnétiques L'expérience montre que les propriétés magnétiques des matériaux dépendent fortement de leur nature, et parfois aussi des conditions extérieures dans lesquelles ils sont placés.

3 Ainsi les "aimants" créent en permanence un champ magnétique autour d'eux ; un morceau de fer doux génère un champ magnétique seulement s'il est lui même plongé dans un champ extérieur (principe des électroaimants) ; le bois n'a aucune propriété magnétique, quelque soit les conditions extérieures. Les courants électriques génèrent des champs magnétiques ; par conséquent tout déplacement de charges dans la matière peut provoquer la création d un champ magnétique. Dans la matière, les électrons sont en mouvement de rotation orbitale autour du noyau ; chaque électron en mouvement constitue ainsi une source de champ magnétique. Dans un modèle simple, chaque électron a une trajectoire circulaire autour de son noyau (modèle de Bohr), ce qui est équivalent à une spire circulaire parcourue par un courant. Il est donc source d un champ magnétique. Cette notion de spire de courant permet une interprétation simple des propriétés magnétiques de la matière. II. Spires de courant (ou dipole magnétique) Elles constituent l élément fondamental de la théorie du magnétisme dans la matière. 1. Moment magnétique d une spire ds Soit un circuit C filiforme fermé, parcouru par un courant d intensité I. On oriente ce circuit suivant le sens de parcours de I. C I Σ Soit Σ une surface s'appuyant sur la courbe C, orientée par la règle du tire bouchon à partir de l'orientation de C. On définit le vecteur surface associé à la courbe C par : S = ds et le moment magnétique du circuit par : m = I S Un circuit caractérisé exclusivement par son moment magnétique est appelé dipôle magnétique. 2. Champ magnétique créé par le dipôle magnétique L'expression du champ magnétique créé à grande distance par un dipôle magnétique est admise.

4 u θ u r Μ θ Β =Β r u r + Β θ u θ B r = o 4 2 m cos r 3 B = o 4 m sin r 3 Lignes de champ créées par un dipole magnétique 3. Actions mécaniques subies par un dipôle magnétique Nous admettrons les relations données dans ce paragraphe. Considérons un dipôle magnétique m plongé dans un champ magnétique extérieur B ext ; ce champ n est celui créé par le dipôle lui même, mais provient des autres éléments présents (autres dipôles, aimants, courants...). On constate alors que le dipôle magnétique subit : * un couple de moment = m. B ext ; sous l action de ce couple, le dipôle va (s il est libre) pivoter sur lui même jusqu à atteindre une position où m et B ext sont colinéaires et de même sens (position stable) ou colinéaires et sens contraires (position instable). * une force résultante F = grad ( m * B ext ) ; sous l action de cette force, le dipôle va (s il est libre) se déplacer en suivant une ligne de champ en allant vers les zones de fort champ. Notons que cette résultante est nulle si le champ est uniforme. A cette interaction entre le dipôle et le champ extérieur on peut associer une énergie potentielle E p = m * B ext. On retrouve bien que la position stable, correspondant à un minimum d énergie potentielle correspond à m et B ext colinéaires et de même sens, et que cette énergie diminue en allant vers les zones de fort champ.

5 III. Propriétés magnétiques de la matière 1. Origine Dans la matière, les électrons sont en mouvement de rotation orbitale autour du noyau ; un électron en mouvement est donc équivalent (à grande distance, ce qui est vite réalisé compte tenu des dimensions de l'atome) à un dipôle magnétique. L'atome possède en général plusieurs électrons ; le moment magnétique de l'atome est la somme vectorielle des moments de chaque électron. En général, les moments associés aux différents électrons ayant des directions aléatoires, le moment résultant est nul. Les théories quantiques qui prennent en compte à la fois le mouvement orbital de l'électron mais aussi son spin, montrent que le moment résultant est essentiellement dû au moment magnétique des électrons célibataires, lorsqu'il en existe. Les matériaux sont ainsi classés en plusieurs catégories, dont les principales sont : * les corps diamagnétiques : ils ne possèdent pas d'électrons célibataires, et n'ont pas ou très peu de propriétés magnétiques. Exemples : N 2 Cl 2 * les corps paramagnétiques : ils possèdent des électrons célibataires. Chaque atome ou molécule possède un moment magnétique non nul, mais par agitation thermique ces moments sont orientés de manière aléatoire les uns par rapport aux autres. Le moment magnétique résultant est nul, ces matériaux ne présentent pas de moment magnétique permanent à l'échelle macroscopique en l'absence de champ extérieur. Si l'on applique un champ extérieur, les dipôles élémentaires auront tendance à s'aligner sur ce champ, et le moment résultant ne sera plus nul. Le matériau aura alors des propriétés magnétiques, qui disparaitront si l'on supprime le champ extérieur. * les corps ferromagnétiques : comme les précédents, chaque molécule possède un moment non nul, mais les interactions entres ces dipôles sont très fortes, plus fortes que l'agitation thermique, et les dipôles qui ont tendance à s'orienter parallèlement entre eux sous l action d un champ extérieur (comme pour les matériaux précédents) conserveront cette orientation même après suppression du champ extérieur. Ces matériaux présentent des propriétés magnétiques permanentes. 2. Vecteur aimantation Dans un élément de volume dτ de matière centré en M, chaque molécule possède un moment magnétique dipolaire. m i Soit dm le moment dipolaire résultant d'un élément de volume dτ (soit la somme vectorielle de tous les moments dipolaires atomiques présents dans ce volume dm = ). On définit le vecteur aimantation M par : dm = M d m i Le vecteur aimantation représente donc le moment dipolaire magnétique par unité de volume présent dans la matière.

6 Comme sous l'effet d'un champ magnétique appliqué les dipoles élémentaires ont tendance à s'aligner parallèlement les uns aux autres, le vecteur aimantation est une grandeur fonction du champ appliqué. C'est de plus une grandeur locale, car B n'est pas nécessairement uniforme. 3. Cas des matériaux ferromagnétiques Dans le cas des milieux ferromagnétiques, les dipôles élémentaires sont intenses, et vont, sous l'action d'un champ magnétique extérieur appliqué, s'aligner sur la direction de ce champ. L'aimantation résultante sera alors forte. Cette tendance à l'orientation est en compétition avec l'agitation thermique qui tend elle au contraire à répartir les dipôles dans toutes les directions, ainsi qu'à des effets microscopiques liés à la cohésion de la matière qui s'opposent à la rotation des dipôles (comparable à une force de frottement solide). En fonction du champ extérieur appliqué, l'aimantation va évoluer entre M = 0 (situation où les dipôles élémentaires sont répartis de façon isotrope) et une valeur maximale M = M s (situation où tous les dipôles élémentaires sont exactement colinéaires et de même sens). Cette valeur maximale est appelée aimantation de saturation. Cette saturation fait que le matériau ne peut pas être linéaire. 4. Champ magnétique généré Au champ magnétique extérieur va s ajouter ceux créés par tous les dipôles. Si les dipôles sont répartis de façon aléatoire ( M = 0 ) les directions des champs magnétiques créés par chacun des dipôles seront elles même aléatoires donc de résultante nulle. Si à l inverse M est non nul, un champ magnétique sera généré par l ensemble des dipôles. Dans le cas où M = M s, tous les dipôles créent en un point d obsevation donné des champs colinéaires et de même sens, donc le champ magnétique résultant sera fort. On obtient ainsi des champs de l ordre du Tesla ( le champ magnétique terrestre en France est de l ordre de T ) 5. Aimants Le principe des aimants est d amener à une orientation non aléatoire des dipôles dans un matériau (par l action d un champ extérieur, les dipôles vont s aligner dessus) afin d obtenir M non nul, puis de conserver cette propriété d alignement lorsque le champ extérieur est supprimé. Cette propriété est obtenue pour les matériaux ferromagnétiques, en raison des forces de frottements qui dominent les effets de l agitation thermique. Un aimant peut donc être décrit comme un dipôle magnétique de moment La carte de champ qu il génère est donc la même que celle créée par un dipôle isolé. M par unité de volume.

7 IV. Equation de Maxwell Ampère Dans le vide, l éqution de Maxwell Ampère relie le champ B à la densité de courant j lib corresondant aux mouvements des charges libres et à la densité de courant de déplacement : j d Rot B = o ( j lib + j d ) avec j d = Ø E o Ø t 1. Sources de champ magnétique dans la matière Nous venons de voir que les matériaux ferromagnétiques (généralement isolants) pouvaient générer un champ magnétique par le mouvement des charges LIEES. Et que ce champ magnétique est dépendant de la valeur du vecteur aimantation M. On va donc étendre l équation de Maxwell Ampère en y ajoutant une distribution de courant j lié dont l expression doit dépendre de M. Rot B = o ( j lib + j d + j lié ) Equation de Maxwell Ampère pour B Nous admettrons la relation liant et M : j lié j lié = Rot M 2. Vecteur excitation magnétique L équation de Maxwell Ampère s écrit donc : Rot B = o ( j lib + j d + Rot M ) Soit Rot ( B o M ) = o ( j lib + j d ) On définit le vecteur excitation magnétique H par : B = o ( H + M ) L équation de Maxwell Ampère s écrit alors :

8 Rot H = j lib + j d Equation de Maxwell Ampère pour H Rmq : La définition du vecteur excitation magnétique conduit à la relation dans le vide, entre ces deux vecteurs : B = o H 3. Cas de l ARQS a) Equations locales Dans le cadre de l ARQS, les équations précédentes deviennent : Rot B = o ( j lib + Rot M ) qui montre que les sources de B sont les courants électriques libres et l aimantation ; Rot H = j lib qui montre que les sources de matériels. H sont les courants électriques libres même dans les milieux b) Théorème d Ampère Dans le vide, à partir de l équation Stokes, établi le théorème d Ampère : Rot B = o j lib nous avions, en utilisant le théorème de (c) B (N). d l N = o I e Avec C une courbe fermée orientée, I e le courant enlacé par cette courbe (courant qui traverse une surface Σ s appuyant sur C et orientée par la règle du tire bouchon). Dans un milieu matériel, la même méthode conduirait à devoir prendre en compte l intensité enlacée associée aux courants liés (conséquence du terme Rot M ), ce qui rend en pratique le théorème non exploitable. Par contre on peut procéder de même à partir de la formulation locale pour H : Rot H = j lib entrainera (c) H (N). d l N = I e où I e correspond exclusivement au courant associé aux charges libres (donc au courant réellement mesurable, car on peut le faire passer dans un circuit extérieur comportant un ampèremètre).