Problèmes de dynamique du point, sans énergie

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1 Problèe e ynaque u pont, an énere I 4 aprè CCP = 9,8 On lae tober (an tee ntale) 'une hauteur h = eu blle e êe rayon, l une B e ae =, 7 k, l autre B plu léère, e ae =, 58 k Ce eu blle ont frenée par une force e frotteent queu proportonnelle à leur tee : F f = α, α étant un coeffcent potf qu et le êe pour le eu blle a) A quelle équaton fférentelle la tee, elon la ertcale ecenante O, atfat-elle? b) En éure t () en ntrouant τ = / α c) Repréenter le raphe correponant ) Donner une epreon approchée e t () pour t << τ e) Coenter f) Trouer l'équaton horare t () ) Donner une epreon approchée e t () pour t << τ h) Coenter Dan cette queton, on repren l'analye précéente, a la force e frotteent et proportonnelle au carré e la tee : F = β /, β étant un coeffcent potf qu et le êe pour le eu blle f a) Etablr l'équaton fférentelle à laquelle atfat la tee 'une blle elon l'ae ertcal ecenant cette blle et lâchée an tee ntale / b) Quelle et la enon phyque e ( / β)? t c) Montrer que t () a pour epreon t () = l th, étant une quantté que l'on éternera l l On utlera un chaneent e arable raenant l ntérale à calculer à = ln ep( ) ep( ) ep( ) ep( ) h( ) ch() h() = = th() = ch( ) ) Tracer le raphe correponant e) Quelle et la nfcaton phyque e l? f) Donner une epreon approchée e () t pour t << l / ) Coenter h) En éure l'équaton horare t (), achant que thuu = ln ch u 4 ) Donner une epreon approchée e t () juqu'au tere en t nclu On onne le éeloppeent lté pour pett : ch( ) = ; ln( ) = j) Coenter 4 k) On repren l'étue e la chute e eu blle Dan le eu ca, on aet la êe aleur β = SI Montrer que le oueent e B et une chute lbre an le e, aec une ecellente précon relate que l'on calculera l) Quel et l'écart e tance entre le eu blle en fn e chute ) Coenter II 4 Pont atérel ur un plateau ocllant ) Un plateau horzontal et ané par rapport à la Terre 'un oueent nuoïal ertcal, e part et 'autre u pont fe, 'apltue a et e pulaton ω Son alttue et z = a co ωt, l'ae Oz étant ertcal acenant On poe ur le plateau un pont atérel A e ae On uppoe que la pulaton ω et telle qu'à chaque ntant le pont atérel A rete ur le plateau Déterner l'accélératon z u plateau en foncton e a cote z ) Déterner la réacton R eercée par le plateau ur le pont atérel A en foncton e la cote z u plateau 3) Déterner la cote z M u plateau pour laquelle le oule e aal R et

2 4)Déterner la cote z u plateau pour laquelle le oule e R et nal, 5)Déterner la cote z u plateau pour laquelle le oule e R et éal au po u pont atérel A 6) On auente trè lenteent la pulaton ω e ocllaton u plateau, an chaner l apltue a Déterner la pulaton aale pour laquelle le pont A ne écolle jaa u plateau 7) Calculer ω pour : ω a = 8 c = 9,8-8) La pulaton ω u plateau et antenant upéreure à ω A l'ntant t =, la cote z u plateau et éale à a et a tee z et nulle Déterner l'ntant t3 auquel le pont A écolle u plateau 9) Déterner, à l'ntant t3, la cote z3 et la tee z 3 u plateau ) Calculer t3, z3 et z 3 pour ω 3 = 6 π ra/ ) Déterner et calculer la cote aale attente par le pont A et l'ntant t correponant III 7 Hytéré e frotteent, aprè X 999 z4 4 Rappel e la lo u frotteent ole L'acton u ole B ur le ole A en contact e écopoe en une copoante norale N et une copoante tanentelle T érfant : T µ N en l'abence e leent entre A et B T = µ N lorqu'l y a leent e A ur B µ et µ ont appelé coeffcent e frotteent repecteent tatque et ynaque et érfent l'néalté : µ µ Une e ffculté conceptuelle ajeure pour la ecrpton 'un ytèe coportant u frotteent ole et l'poblté e préor le poton 'équlbre et le blan e force à on e connaître e façon étallée l'htore e la e en équlbre Le but e ce problèe et 'llutrer ce phénoène 'hytéré ur un eeple ple Une brque paralléléppéque e po et en contact aec une paro ole nclnée 'un anle θ par rapport au plan horzontal et et relée à un reort e raeur k (fure ) Sot µ le coeffcent e frotteent tatque ; on uppoera pour plfer que le coeffcent e frotteent ynaque µ et nul et qu'un frotteent queu peret alor l'arrêt u oueent à la poton équlbre an frotteent On note le raccourceent u reort ( = correpon au reort étenu) et la force qu l eerce ur la brque On cherche à éterner cette éforaton à l'équlbre en foncton e l'anle θ On note b = / k Fure ) On uppoe abor, pour cette eule queton, µ = Déterner la poton équlbre en foncton e θ et b ) On reent éora au ca µ > Donner le plae e aleur poble e à l'équlbre an le ca : a) θ = ; b) θ = π/ ; 3) Montrer pour θ copr entre et π / qu l y a équlbre b( µ coθ nθ ) < < b( µ coθ nθ ) 4) La paro et prteent horzontale et le reort étenu ( = ) On nclne proreeent et trè lenteent la paro, l'anle θ arant e à π/ On note θ le anle où la brque e et à ler et le aleur e où elle arrête e ler Penant ce leent, l anle θ n a pratqueent pa aré 4a) La brque ne le pa ur la paro tant que θ < θ Quan θ attent θ (ou le épae un nfnent pett), θ θ θ la brque le et arrête pour la aleur e Déterner l'anle 'nclnaon pour lequel le leent apparaît Pour cet anle, éterner la nouelle aleur 'équlbre en foncton e θ et b 4b) On auente l'anle 'nclnaon; un noueau leent apparaît pour l'anle Établr la relaton entre, θ et µ 4c) Pour chaque l ete un nteralle [ θ, θ [ e non leent ; écrre la relaton e récurrence lant et θ 5) On effectue antenant le parcour nere en partant e la ertcale On note θ et leent et le poton 'équlbre correponante Problèe e ynaque, an énere, pae θ le anle uccef e

3 5a) Quelle équaton éterne l nclnaon pour laquelle a leu le preer leent? 5b) Ecrre la relaton e récurrence lant et θ θ θ 5c) Eprer le aleur arrêt aprè leent en foncton e b et θ 6) Repréenter qualtateent ur un êe raphe où θ et porté en abce et en oronnée l éoluton e et θ lorqu on fat croître θ e à π/, pu écroître θ e π/ à On utlera le fat que le pont ( θ, ), ( θ ), ( θ, ) et ( θ, e tuent ur e courbe, ) ple ont on précera le équaton C-contre le réultat e la coane aple : > plot([n(),n()3*co(),n()-3*co()],=p/); IV 3 Dan le référentel terretre, uppoé alléen, on repère un oble P e ae et e ecteur poton r = u yu y zu z râce à un repère cartéen Oy z Ce oble et peant et la peanteur et = uz L ar, ané e la tee u = uu unfore et contante, lu applque la force ( u), où éne la tee e P A l ntant, on lance P e l orne O aec la tee = u zu L orne O et au oet une ontane z e orte que le oueent n et pa lté au alttue pote On poe w = / ) Déontrer que le oueent effectue an le plan Oz ) Déterner le cooronnée e la tee en foncton u tep et e contante u problèe 3) Déterner le cooronnée e la poton en foncton u tep et e contante u problèe 4) Trouer l équaton paraétrée = f( t) z = ( t) e l ayptote e la trajectore 5) Calculer la hauteur z S u oet e la trajectore z > 6) S = w, calculer le rapport e la hauteur attente à celle qu l aurat été en l abence e frenae par l ar z V À propo e aalanche, aprè centrale 6 A Rôle e coeffcent e frotteent ) On conère un bloc e nee e ae repoant ur un plan nclné ont la pente et repérée par l anle α (fure ) Le contact entre la nee et ce plan, écrt par le lo e Coulob ur le frotteent, et caractéré par e coeffcent e frotteent tatque µ et ynaque µ On rappelle ce lo : ot T la copoante e la force eercée par un corp ur l autre tuée an le plan tanent coun au eu corp et N la copoante norale à ce plan T tanent ; l y a leent, ; l n y a pa leent, N =µ T N <µ ; µ µ On note = 9, 8 l accélératon e la peanteur Montrer que l équlbre et poble tant que α α c et eprer l anle crtque α c ) La ae e nee en équlbre ur une pente anle α c ubt une léère perturbaton qu lu onne une tee ntale u, Eprer on accélératon a en foncton e, µ et > µ 3) Anée une tee, la ae e nee arre an une réon où l anle α pren une aleur plu fable, contante À quelle conton portant ur α le oueent et-l ralent pu toppé? 4) Eplquer coent l oberaton e nobreue aalanche peret e éure e aleur nuérque pour µ et µ Problèe e ynaque, an énere, pae 3

4 B Moèle e frotteent ur ol ruueu Lorque l aalanche rencontre an a coure un ol ruueu, elle et oue à e nouelle force e frotteent ont on étue c une oélaton (fure 3) La ae e nee en oueent et alée à un paralléléppèe rectanle épaeur (elon y ), e lonueur l (elon ) et e lareur L (elon z ) Le contact aec le ol effectue onc ur un rectanle are S = Ll L aalanche et forée e paquet e nee phérque e ae ecenant la lne e plu rane pente aec une tee = u Ce bloc ont eplé en couche tante e b perpenculareent à la pente Dan une couche onnée, parallèle au plan Oz, le bloc ont en oyenne tant e a elo n le recton et z Au neau u ol, l rencontrent e apérté alée à e cylnre e ecton crculare et ae parallèle à ( Oz ), éparé une tance r Ce choc, caractéré par l anle ncence fé, obéent à la lo uante : le ecteur tee u bloc a eu copoante, une copoante n norale au plan tanent coun au bloc et à l apérté et une copoante t tuée an ce plan tanent ; aprè le choc t et nchané et n et nul ) Un bloc e éplaçant elon aec une tee oyenne, eprer la fréquence f e choc qu l ubt ) Quel et le nobre oyen N e bloc an la couche en contact aec le ol? 3) Coben e choc l aalanche an on eneble ubt-elle penant t? On notera N ce nobre 4) Penant un choc, un bloc ubt un chaneent e quantté e oueent p Déterner a projecton p ur l ae 5) Sot P = Pu la quantté e oueent e l aalanche En éure la araton e quantté e oueent P choc cauée par le choc urant t S co 6) En éure que la force e frotteent ruueu eerçant ur l aalanche et F = u 7) Sot la ae totale e l aalanche Montrer que F ru ru e et ou la fore F ru a r = u ξ en onnant l epreon u paraètre e ruoté ξ en foncton e, r, b et 8) Eplquer pourquo ξ épen e la nature u ol ur lequel l aalanche écoule 9) Un ou plueur paraètre u oèle pourraent épenre e la tee, e orte que ξ pourrat en épenre au Lequel elon ou? C Dynaque e l aalanche L aalanche e ae et épaeur éale éora une pente anle α ou le effet conjuué e on po, u frotteent ec obéant au lo e Coulob (parte A) et u frotteent ruueu e la parte B écrt par la u relaton e B7 On rappelle que = u arth et thuu = ln( ch u ) a u a a ) Déterner l équaton u oueent elon ou la fore une équaton fférentelle pour ( t) ) Eprer la tee lte attente par l aalanche et la calculer nuérqueent pour α = 35, µ =, 3, 3 l = et ξ = 3) Eprer l éoluton ( t ) e la tee e l aalanche, aec la conton ntale ( ) = On élnera α et µ au proft e l 4) Déterner la tance ( t) parcourue par l aalanche epu on pont e épart 5) Applcaton nuérque : quelle tance l aalanche a-t-elle parcourue lorqu elle attent a tee lte à % prè? Problèe e ynaque, an énere, pae 4

5 Répone I a) = α ; b) ( ) t = τ[ ep t/ τ ] ;) t ; e) tee lte ; f) t ( ep ( t ) ) = τ τ ; ) t ; a) τ = β ; b) une tee ; e) tee lte; f) t ; h) t 3 4 t t = ln ch ; ) t ; t 3 k) βh t ε = =, 4 ; 3 t βh l) =, 5 c 3 II ) z = ω z ; ) R = ( ωz) u z ; 3) zm = a ; 4) z = a ; 5) z = ; 6) ω = ; a 7) ω =, 7 ra/ ; 8) Le écollae e prout pour 3 ( t = arcco ) ; 9) z 3 = ; z ou ω 3 = aωn ωt3 aω ω z 3 z 3 = aω ; ) z t ; z ; ) 4 3 =, 76 3 =, 3 =, 46 / t4 = t 3 =, 46 ; a ω z 3 z4 = z3 =,3 III ) = b n θ ; a) <µb ; b) = b ; 4a) tan θ =µ ; = b n θ ; 4b) µ co θ n θ = n θ = bn θ µ θ θ = θ ; ; 4c) co n n ; 5a) =µ c oθ nθ ; 5b) µ co θ n θ = n θ ; 5c) = bn θ ; 6) le pont ( θ, ) et ( θ, ) ont ur la courbe = b n θ, le pont ( θ ) ont ur la courbe = b ( n θµ co θ ) et le pont, ( θ, ) ont ur la courbe = b (n θ µ co θ ) ; or c-contre u t u ; z = z w ep t w ; 3) = ut ; z = ( z w) ( ep( t) ) wt ; z w z 4) ( u) ut et z ( ) z w wt ; 5) z ln S = ( ) ; w zs 6) = ( ln) =,64 zs µ µ VA ) α c = arctan µ ; ) a = ; 3) tan α <µ µ IV ) = ( ) ep( ) ( u) ( ep( t) ) ( ) ( ) VB ) f = / r ; ) N = S /a ; 3) N = Nft ; 4) p = p co ; 5) P choc = N p VC ) n co = αµ α ; ) ( n co ) 5,6 t ξ l = ξ α µ α = ; 3) l th l t = ; ξ ξ t 4) ln ch l = ξ ; 5) = 69 Problèe e ynaque, an énere, pae 5

6 Corré I a) t = α α b) t = t = = [ ln( α ) ] = ln = τ ln α α α τ ou = τ[ ep ( t/ τ) ] c) Vor c-contre ) S t τ, t t t τ ep( ) τ ( ) = t τ τ τ t e) S t τ, la force e frotteent α et τ néleable eant le po, onc le oueent et proche e la chute lbre accélératon f) = τ t t t t t t t = t = τ ep( ) t = τ t τep( ) = τ t τ( ep( ) ) τ τ τ t t t t t ) S t τ, ep( ) τ t τ t = τ τ τ τ τ h) Mêe coentare qu en e a) La lo fonaentale e la ynaque écrt t = β b) Coe et β ont êe enon, = ( β) / a la enon une tee / c) = t = Poon t / t = ln ln = = = = t ep t ep t ep t t h t = = th t t t t ep ep ep ch = ep = = ) Vor c-contre e) et la tee lte; c et la lte e la tee lorque t ; alor la force β ten er zéro, onc = / β t f) S t t t, ep = t ) Alor t β β =, au le oble ut un oueent proche e la chute lbre h) th t = t = t qu ntère par le chaneent e arable t t t u t t u = u = = thu ln chu ln ch ln ch = = = t t Problèe e ynaque, an énere, pae 6

7 ) S pett, 4 ch 4 ln( ) ln( ch ) ln 4 = 4 4 ( 4 8) 4 ln( ch ) t t t = t 3 4 t j) Mêe coentare qu en En outre, en raon u frotteent, le tere correctf et néatf k) L abce préente l écart relatf ε aec celle e la chute lbre : 3 4 t t 4 t β h 3 ε = = =,4 6 = = = t t 6 3 3,7 β l) En fn e chute, conéron que et que ont on e h = t : 4 h h h, 5 c h β β β ε ε = = 3,58,7 ) Le frotteent étant fable, le eu boule ont un oueent proche e la chute lbre, oueent qu et népenant e la ae, onc elle ont e oueent on La force e frotteent étant la êe et la ae e la econe boule étant plu fable, cette euèe boule et un peu plu ralente, onc e troue au eu e la preère II Pont atérel ur un plateau ocllant ) z = aωn ω t z = aω co ω t z = ω z ) R = a R = z R = ( ωz) u z 3) R et au quan z et nu : zm = a 4) R et nu quan z et au : z = a 5) z = 6) R rete toujour potf ou nul a aleur nale l et au : ( ωa) ω = a 9, 8 7) ω = =, 7 ra/, 8 π 8) Le écollae e prout pour R = ( ω z) = z3 = t 3 = arcco( ) ( < ω t 3 < π) ω ω aω 9) z 3 = aωn ωt3 ou z 3 = aω ) 4 a ω 9, 8 9, 8 z3 = =, 76 t 3 = arcco, 6 = (6 π) π, 8 (6 π) z 3 =, 8 6πn(6π,) =, 46 / z 3, 46 ) z = z = ( t t3) z 3 = t4 = t3 =, =, 46 9, 8 z z 3, 46 = z =, 76 =,3 9,8 4 3 Problèe e ynaque, an énere, pae 7

8 III ) N = N N N Projeton ur le plan nclné et ur a norale : n θ = T N co θ = T = k = n θ = b n θ a) N T = Queton Queton a Queton b Queton 3 T k T = N = N = < µ <µ b b) N = T = = = b 3) N T = n θ T = co θ N = T k n θ = < µ N co θ n θ <µ co θ b µ co θ < n θ <µ co θ b b( µ co θ n θ ) < < b( µ co θ n θ ) 4a) Au épart = La conton précéente e non leent cee être érfée µ co θ n θ =, ot tan θ =µ Alor, la brque le juqu à ce que = b n θ aprè la répone à la queton 4b) La conton e non leent cee être érfée µ co θ n θ = n θ Alor, la brque le juqu à ce que = bn θ aprè le réultat e la queton 4c) µ co θ n θ = n θ =µ oθ nθ co n n = n θ ( θ, ) ( θ, ) 5a) c 5b) µ θ θ = θ 5c) b 6) Le pont et ont ur la courbe = bn θ (courbe éane) θ ont ur la courbe = b ( n θµ co θ ) Le pont ( ), (courbe nféreure) Le pont ( θ, ) ont ur la courbe = b(n θ µ co θ ) (courbe upéreure) L énoncé repréente ce courbe pour µ =, 3 La tranforaton et repréentée c-contre ; elle e préente coe une ute e eent horzontau et ertcau relant ce courbe IV a = ( u ), ot en projetant ur le tro ae : = u t y y = t z z = t / b θ Problèe e ynaque, an énere, pae 8

9 t ) La oluton énérale e l équaton fférentelle en y( t) et y = Aep S t =, y = A = : à tout ntant y =, onc y rete contant au cour u tep Coe à l ntant y =, cette éalté et au rae à tout ntant : P e eut an le plan Oz Autre jutfcaton S, à l ntant t, le oble et an le plan Oz aec une tee tuée an ce plan, la force qu l ubt ( u ) et au an ce plan, qu content au r = t F et = t ; onc, à l ntant t t, le oble et encore an le plan Oz aec une tee tuée an ce plan Coe, à l ntant, le oble et an le plan Oz aec une tee tuée an ce plan, on en éut par récurrence qu l y rete ) La oluton énérale e l équaton fférentelle en ( t) et = Aep( t) u ( ) ( ) ep( ) S t =, = A = u D où : = u t u La oluton énérale e l équaton fférentelle en z ( t) et z = Aep( t ) z z ( z ) ep( ) S t =, z = A = w D où : z = w t w t 3) t ( u) ( ep( t) ) t = = ( z )( ep( )) 4) S t ran, p( t ) = = ut z zt z w t wt e, où l équaton e l ayptote : ( u) ut et z ( z w) wt w z 5) Au oet, z = ep( t ) = t = ln( ), où aprè un peu e calcul : z w w z w z zs = ln( w ) z z w 6) San frenae par l ar, au oet z = t z = t = zs = t zt = = ; aec frenae, coe w =, w z S ( ln ) zs = ; où = ( ln) =,64 z V A ) Sot R = Tu Nu y la réacton u ol ur la nee S la nee et en équlbre, R =, ot T n α = N co α = T D aprè la lo e Coulob u frotteent, tan N = α <µ α< α c = arctan ) D aprè la lo fonaentale e la ynaque T n α = a N co α = c c D aprè la lo e Coulob u frotteent, a = ( n αc µ co α c ) = µ µ µ 3) n αµ coα < tan α <µ T N S =µ D où µ α c µ 4) Il faut éterner l nclnaon nu e pente où une aalanche éarre, ce qu peret e éterner µ, et l nclnaon au e pente où une aalanche arrête, ce qu peret e éterner Problèe e ynaque, an énere, pae 9 µ

10 B ) La urée éparant eu choc conécutf un paquet e nee ur le apérté et T = r/, où la fréquence e choc pour un paquet e nee f = / T = / r ) Il y a un paquet e nee par carré e coté a, où N = S /a 3) N = Nt / T = Nft 4) Sot p f la quantté e oueent u paquet e nee aprè le choc ur l apérté ; p, p f et p = p f p forent le tranle rectanle ené c-contre ; où p = p co p = p co p f p 5) P choc = N p 6) Du fat u po, le oueent a leu elon l ae e, la projecton e la quantté e oueent ur l ae e y ne are pa et eule et ofée la copoante e la quantté e oueent elon l ae e : Pchoc Nft co S S co F = = = co F = u t t a r a r 7) Le bloc coporte S couche, chacune contenant paquet e nee : b a S bco r = F = = ξ = a b r ξ bco 8) ξ épen e r, qu et une foncton u ol, et e, qu et une foncton u ol et e la roeur e paquet e nee e l aalanche S la talle e ce paquet e nee auente, b et auentent, co nue et peut-être bco ne are pa trop Alor, ξ épenrat eentelleent u ol 9) S la tee et trop rane, le paquet e nee ouleé pourrat ne pa aor le tep e reenr à a hauteur e épart quan l heurte l apérté uante, où une auentaton e l anle aec la tee C ) t = n αµ co α ξ ) = = l t = ξ( n α µ co α ) = ( n 35, 3 co 35 ) = 5,6 3) = ( l ) t ξ ξ ξ t = arth = l l l lt = l th ξ t ξ t l 4) = t ln ch = ξ 5) = ξ ln ch arth ln( ch( arth, 9) ) 69 = = l 9, 8 Autre éthoe e calcul : ( ) = F = ( l ) ξ ( ) 3 ξ ξ ξ l l l 9,8 = = = ln = ln = ln,9 = 69 [ ( )] ( ) p p Problèe e ynaque, an énere, pae