P. dl = P. B. Terminale S Chapitre 13. Etude énergétiques des systèmes mécaniques.

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1 Terminale S Chapitre 13 Etude énergétiques des systèmes mécaniques. I. Travail d une force. Connaître l expression du travail élémentaire d une force Établir l expression du travail d une force extérieure appliquée à l extrémité d un ressort, par méthode graphique et par intégration. 1. Rappel de première S. En première, nous avons vu que le travail d une force pour un déplacement d est : W = F d cos ( F, d ). Mathématiquement, cela correspond à un produit scalaire. On rappelle que le travail est une grandeur algébrique, qui peut donc prendre un signe positif ou négatif. On a alors trois types de travaux : Si α<90 alors cos α >0 et W>0 (travail positif). On remarque que la force va favoriser le mouvement dans le sens du déplacement. On dit que le travail est moteur. Si α>90 alors cos α <0 et W<0 (travail négatif). La force va alors s opposer au mouvement du solide, on dit qu elle effectue un travail résistant. Si α=90 alors cos α =0 et W=0 (travail nul). 2. Travail élémentaire d une force. La formule mise en place précédement est utilisable lorsque le déplacement est rectiligne et que la force est constante sur le déplacement.. Comme tous les déplacements ne sont pas rectilignes, comment faire dans un cas de déplacement quelconque? On définit un travail élémentaire sur une petite distance. Le travail élémentaire dw effectué par une force pour un petit déplacement est dw = F. dl Le travail de la force pour un déplacement est égale à la somme des petits déplacements soit : W = F. dl Si les petits déplacements tendent vers zéro, mathématique la somme tend vers l intégrale du produit scalaire : W = F. dl 3. Exemples de travail de forces constantes. Le poids Travail du poids : W = P. dl = P. dl = P. = mg.(z -z ) On rappelle que le travail du poids d un corps ne dépend pas du chemin suivi.

2 Les frottements Travail d une force de frottement résistive W = F. dl = F. dl = F. = - F.d La réaction du sol Travail de la réaction du sol W = R. dl = R. dl = R. = 0 4. Travail d une force variable : la force de rappel du ressort La force de rappel du ressort n est pas constante puisqu elle dépend de l abscisse du point M. Part contre, durant le trajet infinitésimal = dx, la force reste pratiquement constante. Le travail qu'elle effectue s'écrit : dw =. = k x. dx = k x dx La valeur du travail fourni par la tension pour déformer le ressort d'une quantité x1 à x2 est : Pour étirer ou comprimer un ressort de raideur K d'une distance X depuis sa position à vide, la tension exercée sur le ressort doit fournir un travail : W = ½. k. x² Unités : W est en joule (J) - k en newton par mètre (N / m) - X en mètre (m) Remarque : Interprétation graphique Représentons le graphe donnant la valeur de la tension exercée par l'opérateur qui fait passer l'allongement du ressort de la valeur 0 à la valeur X.

3 "ire" du triangle de base X et de hauteur K X. Cette "ire" s'exprime en mètre newton (m N) soit en joule (J). II. Energie mécanique du système ressort + solide. Établir et connaître l expression de l énergie potentielle élastique d un ressort. Établir l expression de l énergie mécanique d un système solide-ressort et d un projectile dans un champ de pesanteur. Savoir exploiter un document expérimental pour calculer des énergies, reconnaître et interpréter la conservation ou la non-conservation de l énergie mécanique 1. Rappels sur l énergie. Energie cinétique d un système : Le système est assimilé un objet quasi ponctuel de masse m et de vitesse V. Son énergie cinétique est : E C = ½ m V 2 E C est en joule (J), la masse m est en kilogramme (kg), la vitesse V est en mètre par seconde (m / s). Energie potentielle de pesanteur d'un solide en interaction avec la Terre Une énergie potentielle, comme son nom l indique, est une énergie qui peut être, ou non, convertie en une autre forme d énergie ou transférée par travail, transfert thermique ou rayonnement. Tant qu elle n est pas transférée, elle est «stockée» dans le système. Elle est donc potentielle! Cette énergie existe lorsque le système est en interaction avec un autre corps. Nous avons vu en première S : E P = m g z E P est en joule (J), m est en kilogramme (kg), la norme g du vecteur pesanteur terrestre est en newton par kilogramme (N / kg), la côte z, mesurée sur un axe orienté vers le haut, est en mètre (m). En fait, l'énergie potentielle du solide en interaction avec la Terre est définie à une constante près. On convient de la prendre nulle lorsque z = Energie potentielle élastique. L énergie emmagasinée par le ressort est de la forme E = ½. k.x² Physiquement, on soit que l énergie potentielle élastique emmagasiné par le ressort correspond au travail de la force de rappel du rappel soit Epe = F. dl = ½.k.x² Unités : W est en joule (J) - k en newton par mètre (N / m) - X correspond au déplacement du ressort en mètre (m). 3. Energie mécanique du système «solide+ ressort» non amorti. Cas d oscillations non amorties. Que vaut la grandeur «Ec + Epe»? 2. π La position du centre d inertie est donnée par une équation du type x(t) = Xm.cos (.t + ϕ ) To Ec + Epe = ½ ( k. x² + m. V² ) =. = ½. k. Xm² = constante avec To = 2.π. m k

4 La grandeur Ec + Epe est définie comme l énergie mécanique Em : Em = EC + EPél Si le système solide-ressort évolue sans frottements, alors l énergie mécanique de ce système se conserve : Em = cte On a donc une conversion d énergie cinétique en énergie potentielle élastique et vice-versa. S il n y a pas de pertes énergétiques par frottements, on obtient les courbes : 4. Energie mécanique du système «solide+ ressort» amorti. Dans le cas ou le système évolue avec des frottements, l énergie mécanique n est pas constante, on a : Em = ΣW F

5 III. Energie mécanique d un projectile dans un champ de pesanteur. Exploiter la relation traduisant, lorsqu elle est justifiée, la conservation de l énergie mécanique d un système. Calculer la variation de l énergie cinétique d un système à partir de la variation d énergie potentielle et réciproquement. 1. Conservation de l'énergie mécanique d'un solide dans le champ de pesanteur terrestre. Expérience de première S : On peut calculer les énergies EC et EPP, à partir d une vidéo. On obtient, si on représente les évolutions de ces énergies en fonction du temps : Il y a une nouvelle fois conversion d énergie cinétique en énergie potentielle et inversement. S il n y a pas de frottements, la somme EC + EPP est constante Si le projectile monte alors son énergie cinétique diminue pendant que son énergie potentielle augmente. Si le projectile descend alors son énergie cinétique augmente pendant que son énergie potentielle diminue. Dans les deux cas, la somme E m = E C + E P reste constante. Exercice 1 Un enfant lance verticalement, vers le haut, une bille de masse m avec une vitesse initiale de 10,0m/s. a- Quelle est la hauteur atteinte par la bille? b- Quelle est la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol situé 1,50 m au dessous de son point de départ? On néglige la poussée d'rchimède et les frottements de l'air. On prendra g = 9,80 m / s. 2. Etude d un projectile avec frottements. En présence de frottement, l'énergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre varie. La variation de l'énergie mécanique du projectile dans le champ de pesanteur terrestre est égale au travail de la force de frottement : E m (2) - E m (1) = W 12 ( ) Exercice 2 : Diminution de l'énergie mécanique d'un parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre Un parachutiste, de masse totale m = 100 kg, saute à partir d'un hélicoptère en vol stationnaire d'une altitude de 3000 m. Durant la première phase de son saut la vitesse passe de 0 à 180 km / h. Puis, à l'ouverture du parachute, la vitesse décroît jusqu'à 18 km / h. La vitesse garde ensuite cette valeur jusqu'à l'atterrissage qui se fait sur un plateau situé à 500 m d'altitude. Dans le problème on considérera que l'intensité de la pesanteur reste voisine de sa valeur au sol g = 9,8 N / kg. a - Calculer l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre. Par convention, l'énergie potentielle du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est prise nulle au niveau de la mer (z = 0). b- Calculer l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage. c- L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est-elle restée constante? Quel est le travail de la force de frottement de l'air sur le parachutiste? d- La force de frottement est-elle constante durant le saut? Quelle était la valeur de cette force de frottement durant la dernière phase du saut à la vitesse constante de 18 km / h? e- De quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol soit également de 18 km / h?

6 Solution Exercice 1 a-calculons la hauteur atteinte par la bille. Nous conviendrons de prendre nulle l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur lorsqu'elle se trouve au point de départ O (z O = 0 m). E P (O) = 0 J En ce point O, la vitesse de la bille est V O = + 10,0 m / s. Son énergie cinétique est : E C (O) = ½ m V O 2 L'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors : E m (O) = E C (O) + E P (O) = ½ m V O En absence de frottement, l énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve. On peut donc écrire : E m (S) = E m (O) E C (S) + E P (S) = E C (O) + E P (O) soit ½ m V S 2 + m g z S = ½ m V O 2 + m g z O u sommet S de la trajectoire la vitesse V S de la bille s'annule et, au point de départ O, l'ordonnée z O est nulle. 0 + m g z S = ½ m V O Soit : z S = ½ V O 2 / g = ½.10 2 / 9,80 = 5,10 m Remarque : - La relation z S = ½ V O 2 / g montre que l'altitude atteinte par la bille ne dépend pas de la masse de celle-ci. - près avoir atteint le point S, la bille redescend en conservant toujours la même énergie mécanique. Elle repasse donc par le point de départ avec une vitesse de - 10 m / s (le signe - pour indiquer que la vitesse est alors représentée par un vecteur dirigée vers le bas). b- Calculons la vitesse de cette bille lorsqu'elle frappe le sol au point situé 1,50 m au-dessous de son point de départ O (z = - 1,50 m). On écrit encore que l'énergie mécanique de la bille dans le champ de pesanteur terrestre est la même depuis le point de départ O jusqu'au point en lequel elle frappe le sol. E m () = E m (O) soit E C () + E P () = E C (O) + E P (O) ttention : u point l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre E P () = m.g.z est négative car la masse m est positive, la norme g du vecteur pesanteur est positive mais l'altitude de la bille est négative ( z = - 1,50 m). ½ m V 2 + m g z = ½ m V O 2 + m g z O ½ m V 2 + m g z = ½ m V O Divisons par m : ½ V 2 + g z = ½ V O V 2 = V O 2-2 g z V 2 = ,8 ( - 1,50 ) = 129,4 Des deux solutions mathématiques ± 11,37, il ne faut retenir que la solution négative (le vecteur vitesse a une ordonnée négative sur l'axe tracée) : V = - 11,37 m/ s Remarque : Il est intéressant de refaire l'exercice en convenant de prendre nulle l'énergie potentielle de la bille dans le champ de pesanteur lorsqu'elle se trouve au niveau du sol. Solution Exercice 2 a- Calculons l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre. Par convention, l'énergie potentielle du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est prise nulle au niveau de la mer (z = 0). Les vitesses sont mesurées par rapport au référentiel "Terre", Galiléen.

7 Lorsqu'il quitte l'hélicoptère (z 1 = 3000 m) avec une vitesse nulle par rapport à la Terre (V 1 = 0 m/s) l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est : E m1 = E C1 + E P1 = ½ m V 2 = 1 + m g z , E m1 = J = 2, J b- Calculons l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage (z 2 = 500 m). La parachutiste atterrit sur le plateau (z 2 = 500 m) avec une vitesse V 2 = 18 km / h = / 3600 = 5,0 m / s. L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors : E m2 = E C2 + E P2 = ½ m V 2 = 2 + m g z 2 ½ ,8 500 = = J = 4, J c-calculons le travail de la force de frottement de l'air sur le parachutiste. L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre a varié de : E m2 - E m1 = = J = - 2, J En présence de frottement, l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre varie. Ici, elle diminue. Elle se transforme, progressivement, en énergie calorifique qui échauffe le parachutiste et l'air. La variation de l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est égale au travail de la force de frottement : E m (2) - E m (1) = W 12 ( ) d- Durant le saut, la force de frottement exercée par l'air sur le parachutiste varie : - vant l'ouverture du parachute cette force de frottement est quasi nulle, le poids seul agit. La vitesse du parachutiste passe de 0 à 180 km / h. - l'ouverture du parachute, la force de frottement est grande et prédomine par rapport au poids. Mais, pendant que la vitesse diminue de 180 km / h à 18 km / h, la force de frottement diminue également, sa valeur se rapproche de celle du poids. - Durant la dernière phase, on peut dire, en première approximation, que le mouvement est rectiligne uniforme. Le vecteur accélération est alors nul ( = ). La 2 loi de Newton s'écrit alors : + = soit : = - Soit, en norme : f = P = m g = 100 9,8 = 980 N e- Calculons de quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol terrestre soit également de 18 km / h = 5 m / s. En absence de frottement, l énergie mécanique du solide dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se conserve. Entre le point de départ et le point d'arrivée O, on peut donc écrire : E m () = E m (O) E C () + E P () = E C (O) + E P (O) soit 1/2 m V 2 + m g y = ½ m V 2 O + m g y O Dans cette question, nous conviendrons de prendre nulle l'énergie potentielle du solide dans le champ de pesanteur lorsque ce solide se trouve au point d'arrivée O (y O = 0 m). u départ de la chute, la vitesse V du solide est nulle et, à l'arrivée O, l'ordonnée y O est nulle. 0 + m g y = ½ m V 2 2 O + 0 soit g y = ½.V O y = V 2 O / 2.g = ( - 5 ) 2 / ( 2 9,8 ) = 1,28 m Se laisser tomber d'une hauteur de 1,28 m permet d'arriver au sol avec la même vitesse que le parachutiste équipé.

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