I- Activité du livre: La loi du nombre de succès. Loi binomiale

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1 Index I- Activité du livre: La loi du nombre de succès... 1 A/ Une exérience aléatoire élémentaire Vers la définition d'une éreuve de Bernoulli... 1 B/ Quatre réétitions... Un schéma de Bernoulli.... Notation du nombre de chemins, les coefficients binomiaux. (Combinaisons)... 4 C/ Cinq réétitions... 4 Une roriété des coefficients binomiaux... 4 D/ Dix réétitions... 4 Proriété des coefficients binomiaux:... 5 Triangle de Pascal II- Loi binomiale... 6 III- Échantillon, simulation, intervalle de fluctuation (Rael de seconde)... 6 Échantillon... 6 imulation... 7 Intervalle de fluctuation... 7 IV- Loi binomiale et rise de décision Le roblème :... 7 Comrendre : Les risques de se tromer... 8 Intervalle de fluctuation à 95 %... 8 Définition : Intervalle de fluctuation au seuil de 95%... 8 Prise de décision... 8 Quelques exemles de rerésentation grahiques réalisées avec sinequanon L'exemle est celui de l'activité 1 age 6 du livre I- Activité du livre: La loi du nombre de succès A/ Une exérience aléatoire élémentaire. Vers la définition d'une éreuve de Bernoulli (Jacob Bernoulli : ( )) P() = 1 3, d'où, P(E) = = 3 Bilan : On considère une éreuve à deux issues ( et ) ou ( et E ) On ose P() = et, ar conséquent P() = 1 = q Un telle éreuve à deux issues et est une éreuve de Bernoulli de aramètre. Remarques : (Comme uccès et Échec) Ne as confondre our les calculs à venir : les événements (ensembles), les robabilités (nombres), et, lors de réétition d'une éreuve l'étae à laquelle on réalise l'événement. Par exemle, on jette le dé 1000 fois de suite et on s'intéresse à l'obtention du n 6. : " Obtenir le n 6 " est un événement lors d'un lancer. : " obtenir le n 6 au ème lancer " et 500 : " obtenir le n 6 au 500ème lancer " sont des événements distincts. i le dé est équilibré, on a : P()= P( ) = P( 500 ) = 1 6 1/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

2 Ω 1-=q On définit la variable aléatoire X renant la valeur 1 si est réalisé et renant la valeur 0 sinon. X est une variable de Bernoulli qui suit la loi de robabilité de Bernoulli de aramètre. k 0 1 P(X = k) 1 L'esérance mathématique de X est E(X) =. La variance de X est : V(X) = (1 ) = q L'écart-tye de X est (X) = q B/ Quatre réétitions Un schéma de Bernoulli. 1a) Ω /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /1 loi_binomiale.odt 19/05/14

3 b) L'issue a our robabilité ( 1 ( L'issue a our robabilité ( 1 ( Loi binomiale c) P(" Obtenir deux succès ") = P() + P() + P() + P( ) + P() + P() ) = 6 ( 1 ( k Total P(X = k) ( 4 4 ( 1 ( 3 6 ( 1 ( 4 ( 1 3 ( ( Bilan : On aelle schéma de Bernoulli une exérience aléatoire où on réète n éreuves de Bernoulli de aramètre identiques et indéendantes. (C'est le fait d'avoir des éreuves identiques et indéendantes qui ermet de ne as avoir besoin d'indicer les étaes, ce serait nécessaire sinon. ar exemle, on suose une ersonne qui tire 10 fois de suite aux fléchettes : " tirer une fléchette dans la cible " est l'événement. On suose que l'exérience ermet un arentissage et que la réussite est meilleure arès les remiers tirs Il y réétition d'éreuves identiques mais elles ne sont as indéendantes... Le modèle décrit ne s'alique as) On eut associer un arbre où un chemin est une liste de n éléments et. Un chemin ayant k succès a donc n k échecs. ( k n k On considère la variable aléatoire X renant our valeurs le nombre de succès lors de ces n réétitions. X rend ar conséquent n + 1 valeurs entières de 0 à n. La robabilité d'un chemin ayant k succès et n k échecs est k q n k où q = 1. Pour déterminer la loi de robabilité de X, on est amené à comter le nombre de chemins ayant k succès et n k échecs. ) 3/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

4 ,,,,,,,,,,,,,,,, 1-1-,,,,,,,,,,,,,,,, 1- Ω 1-,,,,,,,,,,,,,,,, 1-1-,,,,,,,,,,,,,,, 1- Notation du nombre de chemins, les coefficients binomiaux. (Combinaisons) Le nombre de chemins donnant k succès et n k échecs est noté ( k) n et se lit : k armi n Ces nombres n k sont aelés coefficients binomiaux D'arès l'exemle : ( 4 0) = 1, ( 4 1) = 4, ( 4 ) = 6, ( 4 = 4, ( 4 4) = 1 Pour ceux qui veulent en savoir lus : ( n k) C/ Cinq réétitions Une roriété des coefficients binomiaux = n(n 1) (n k+ 1) k 1 1) On a un et un seul chemin our l'événement (Y = 0). P(Y = 0) = ( 5 On a un et un seul chemin our l'événement (Y = 5). (Y = 5) = ( 1 5 ) a) La robabilité d'un chemin ayant deux succès (et donc trois échecs) est ( 1 3 ( b) i un tel chemin se termine ar, on doit avoir avant un seul uccès lors des quatre remières réétitions. On a en ce cas : 4 chemins. (Voir B-, ( 4 1) = 4) i un tel chemin se termine ar, on doit avoir avant deux uccès lors des quatre remières réétitions. 4/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

5 On a en ce cas : 6 chemins. (Voir B-, ( 4 ) = 6) Finalement, on a = 10 chemins donnant deux succès en cinq réétitions. (c-à-d : ( 5 ) = ( 4 ) + ( 4 1) ). 3 c) P(Y = ) = 10 ( 1 ( Bilan : Pour calculer le nombre de chemins ( n+ 1 k ) rerésentant k succès lors de n + 1 réétitions à artir du nombre de chemins lors des n réétitions, on eut distinguer deux cas - soit on a eu k succès, n k échecs our n réétitions et 1 échec sulémentaire, - soit on a eu k 1 succès, n k + 1 échecs our n réétitions et 1 succès sulémentaire. On a donc : ( n+ 1 k ) ( k) = n ( k 1) + n Dans l'exemle : ( 5 ) succès armi 5 = ( 4 ) succès armi 4 1 échec sulémentaire + ( 4 1) 1 succès armi 4 1 succès sulémentaire D/ Dix réétitions 1) Z eut rendre toutes les valeurs entières de 0 à 10. P(Z = 0) = ( 10 et P(Z = 10) = ( 1 10 a) Une issue contenant 4 succès et 6 échecs a our robabilité : ( 1 4 ( des échecs. 6 quelque soit l'ordre des succès et b) c) il faut connaître le nombre de chemins donnant 4 succès et 6 échecs our déterminer P(Z = 4). P(Z = 4) = ( 10 4 ) ( ( où ( 10 4 ) est le nombre de chemins. d) Comme ( 10 4 ) = 10, P(Z = 4) 0,76 à 10 4 rès Proriété des coefficients binomiaux: On a n réétitions. Pour tout n N, et, our tout k N tel que k n, on a : ( n = 1 (un seul chemin ayant 0 succès) et 0) ( n = 1 (un seul chemin ayant n succès) n) ( n = n Il y a exactement n chemins avec un seul succès (donc n 1 échecs) 1) 5/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

6 ( n n 1) = n ( k) n = ( n k) n ( n+ 1 k ) ( k) = n ( k 1) + n Triangle de Pascal. et exactement n chemins ayant un seul échec (donc n 1 succès) Il y a autant de chemins ayant k succès que de chemins ayant n k succès. voir récédent et suivant (triangle de Pascal). À l'intersection d'une colonne k et d'une ligne n, on lit le nombre ( n k). À la ligne suivante n + 1, on a donc la somme des deux nombres de la ligne n au-dessus et à gauche. Tous les nombres de la colonne 0 sont égaux à 1. Tous les nombres de la diagonale sont égaux à 1 k n ( 6 + ) ( 6 = ( 7 II- Loi binomiale oit un schéma de n éreuves de Bernoulli de aramètre. (éreuves à deux issues identiques et indéendantes) X est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès. La robabilité d'avoir k succès (k rend les valeurs entières de 0 à n) est : P(X = k) = ( k) n k q n k avec q = 1. on esérance est : E(X) = n. a variance est : V(X) = nq et son écart-tye est : (X) = nq On dit que X suit la loi binomiale de aramètres n et, notée b(n ; ). 6/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

7 k k... n 1 n P(X = k) q n nq n 1 ( n k) k q n k n n 1 q n La rerésentation grahique d'une loi binomiale donne une courbe qui tend vers une courbe en cloche (courbe de Gauss). Voir en annexe quelques exemles de rerésentations grahiques III- Échantillon, simulation, intervalle de fluctuation (Rael de seconde) Échantillon Un échantillon de taille n est une liste de n résultats obtenus ar n réétitions indéendantes de la même exérience aléatoire ermettant d'étudier un caractère. On cherche à déterminer la fréquence f d'aarition de ce caractère our déterminer la roortion de ce caractère dans la oulation. Remarques: On mesure la fréquence f. (La roortion est en général inconnue). f et sont des nombres comris entre 0 et 1. imulation Lorsqu'on ne eut as étudier effectivement des échantillons, on réalise une simulation. Il existe des tables de nombres aléatoires ou bien, on utilise une machine. Les fonctions ALEA ou RAND des tableurs ermettent de faire ces simulations. Exemle: Pour simuler une roortion de 35 % dans une oulation, on eut entrer dans une cellule d'un tableur: =I(ALEA.ENTRE.BORNE(1;100)<=35;1;0) La fréquence d'aarition du 1 est de ou encore et celle du 0 de =ENT(ALEA()+0,35) retourne 0 dans 65 % des cas et 1 dans 35 % des cas En effet, ENT désigne la artie entière d'un réel. i n x < n + 1 avec n Z alors ENT(x) = n. ALEA() retourne au hasard un nombre x tel que 0 x < 1 ALEA()+0,35 est donc un nombre y comris entre 0,35 et 1,35 Lorsque 0,35 y < 1, sa artie entière est 0 Lorsque 1 y < 1,35 sa artie entière est 1 La longueur de l'intervalle [0,35 ; 1[ est 0,65, celle de [1 ; 1,35[ est 0,35 Intervalle de fluctuation Lorsque 0, 0,8 et n 5, on montre que dans 95 % des cas au moins, f [ 1 n ; 1 n ]. 7/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

8 Cet intervalle I = [ 1 n ; 1 n ] Remarque: f [ 1 n ; 1 n ] [ f 1 n ; f 1 n ] IV- Loi binomiale et rise de décision. Loi binomiale est aelé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Le roblème : Dans une oulation, on veut étudier un caractère résent dans une roortion (a riori inconnue). On rélève au hasard un échantillon de taille n dans cette oulation. (i la oulation est très grande, le fait de rocéder avec ou sans remise n'a as d'influence). On observe alors la fréquence f du caractère (f est un nombre que l'on calcule). On cherche à savoir our quelles valeurs de f, on va rejeter l'hyothèse : " la roortion du caractère est " au risque d erreur de 5%. Comrendre : Les risques de se tromer Il y a deux façons de se tromer... 1) On rejette à tort l'hyothèse " la roortion est " au seuil. est la robabilité de rejeter une hyothèse alors qu'elle est vraie. ) on accete à tort l'hyothèse " la roortion est " au seuil. est la robabilité d'acceter une hyothèse alors qu'elle est fausse. eul le remier cas nous concerne en 1. C'est-à-dire : La robabilité de rejeter cette hyothèse alors qu'elle est vraie est inférieure à 5%. On ne rend as le risque de retenir une hyothèse alors qu'elle est vraie Intervalle de fluctuation à 95 % Dans une oulation, on veut étudier un caractère résent dans une roortion oit un échantillon de taille n. oit la variable aléatoire X définie ar : X rend our valeurs le nombre d'individus de l'échantillon ayant le caractère étudié. X suit la loi binomiale b(n ; ) de aramètres n et. On cherche alors les entiers a et b dans [0 ; n] tels que :,5 % des valeurs de X sont dans [0 ; a 1] (On ne déasse as,5 %) 95 % des valeurs de X sont dans [a ; b],5 % des valeurs de X sont dans [b + 1 ; n] (On ne déasse as,5 %) Définition : Intervalle de fluctuation au seuil de 95% L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence f est l'intervalle [ a n ; b n ] * a est le lus etit entier tel que P(X a ) >,5 % * b est le lus etit entier tel que P(X b) 97,5 % tel que : 8/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

9 Conséquences directes : (Revoir si besoin l'exercice 46 age 19) P(X a 1),5 %, P(x b + 1),5 % P(a X b) 95 % En ratique : établir la distribution des fréquences cumulées. (Voir exemle ci-dessous) Prise de décision On fait l'hyothèse : la roortion du caractère dans la oulation est * i f [ a n ; b n ] alors on ne eut as rejeter l'hyothèse " la roortion du caractère dans la oulation est " * i f [ a n ; b n ] alors on rejette cette hyothèse au risque d'erreur de 5%. chématiquement : y 0, a/n b/n x1 Zone de rejet Intervalle de fluctuation Zone de rejet moins de 5 % à 95 % moins de,5% Un exemle : X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de aramètres n = 0 et = 0,4 À la calculatrice ou au tableur, on fait le tableau donnant les robabilités P(X k) de k allant de 0 à 0. On cherche le lus etit entier a tel que P(X k) > 0,05 On cherche le lus etit entier b tel que P(X k) 0,975 L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est [ a n ; b n ] 9/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

10 k P(X<=k) 0 3,65616E , , , , , , , , , , , , , , , , , , , a = 4 car P(X = 0,016 et P(X 4) = 0,05 b = 1, car P(X 11) = 0,943 et P(X 1) = 0, L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est [ 4 0 ; 1 0 ] = [0, ; 0,6] 10/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

11 b(10 ; 0,5) Quelques exemles de rerésentations grahiques réalisées avec sinequanon P(X=0) = 0, P(X = 10) = 0, P(X = 5) = ( 10 5 ) 0,55 0,5 5 0,5 y x Loi binomiale de aramètres n = 10 et = 0,5 Esérance = 5 Écart tye = 1, b(100 ; 0,) P(X=0) = 0, P(X = 10) = ( ) 0,10 0,8 90 0,003 P(X = 0) = ( ) 0,0 0,8 80 0,1 P(X = 30) = ( ) 0,30 0,8 70 0,003 P(X = 40) = ( ) 0,40 0, y 0,1 0,05 B(100;0,) Loi binomiale de aramètres n = 100 et = 0, Esérance = 0 Écart tye = 4 x 11/1 loi_binomiale.odt 19/05/14

12 Quelques exemles de rerésentations grahiques réalisées avec sinequanon b(100 ; 0,7) P(X=0) = 0, P(X = 10) = ( ) 0,710 0, P(X = 60) = ( ) 0,760 0,3 40 0,008 P(X = 70) = ( ) 0,770 0,3 30 0,087 y 0,1 0,05 B(100;0,7) Loi binomiale de aramètres n = 100 et = 0,7 Esérance = 70 Écart tye = 4, x Retour au aragrahe : loi binomiale 1/1 loi_binomiale.odt 19/05/14