Proposition Soit H un sous-groupe de G. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1

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1 SOUS-GROUPES NORMAUX ET GROUPES QUOTIENT ALEXANDRE GIROUARD 15. Conjugaison t sous-groups normaux Soit G un group. Dux élémnts x, y G sont conjugués si il xist g G tl qu y = gxg 1. La class d conjugaison d'un élémnt x G st l'nsmbl [x] := {hxh 1 : h g}. Proposition La rlation êtr conjugué st un rlation d'équivalnc. Dux sous-groups H t H d G sont conjugués si il xist g G tl qu K = ghg 1. Dénition Un sous-group H < G st normal si pour chaqu g G, ghg 1 = H. On notra H G pour indiqur qu H st un sous-group normal d G. Exmpl Si G st Abélin, ss sous-groups sont tous normaux. Exmpl Soit G = S 3 = {, (12), (13), (23), (123), (132)}. L sous-group H = {, (12)} n'st pas normal. Prnons par xmpl g = (123), on aura Donc ghg 1 H. gh = {(123), (123)(12)} = {(123), (13)} ghg 1 = {(123)(132), (13)(132)} = {, (23)}. Proposition Soit H un sous-group d G. Ls conditions suivants sont équivalnts : 1

2 2 ALEXANDRE GIROUARD (1) H st un sous-group normal d G, (2) Pour chaqu g G, ghg 1 H. (3) Pour chaqu g G, gh = Hg. Exrcic Montrz qu l cntr d'un goup st un sous-group normal. Proposition Soit φ : G H un homomorphism d groups. L noyau d φ st C'st un sous-group normal. kr(φ) = {g G : φ(g) = H }. Démonstration. (1) C'st un sous-group. (2) Il st normal. Soit g G, il faut montrr qu si x kr(φ) alors gxg 1 kr(φ). En t : {}}{ φ(gxg 1 ) = φ(g) φ(x) φ(g 1 ) = φ(gg 1 ) = φ() = H. Exrcic Soit φ : G H un homomorphism. choss suivants : Montrz ls (1) Pour chaqu g G, φ(g 1 ) = φ(g) 1. (2) L'imag φ(g) st un sous-group d H. (3) Montrz qu φ st injctif si t sulmnt si kr(φ) = { G }. 16. Groups quotints Commnçons par dux xmpls où tout fonctionn très bin. Exmpl Soit V = R 3 t W un sous-spac vctoril d W d dimnsion 2. Sur V on dénit un rlation d'équivalnc par x y x y W. On a vu qu V st un group Abélin dont l'opération st + t l'élémnt nutr st 0 V. La class d'équivalnc [x] st la class latéral [x] = {x + y : y W } = x + W. C'st l plan parallèl à W contnant x.

3 SOUS-GROUPES NORMAUX ET GROUPES QUOTIENT 3 L'nsmbl ds classs latérals st noté V/W. Sur ct nsmbl on dénit un opération + par [x] + [y] = [x + y]. Ctt opération st bin déni. En t, si [x] = [x ] t [y] = [y ] alors x x t y y. Cci signi qu'il xist w x, w y W tl qu x x = w x t y y = w y. On a donc [x ] + [y ] = [x + y ] = [x + y + (w x w y )] = [x + y]. }{{} W L'nsmbl ds classs latérals V/W st un group Abélin. (1) Il st non-vid puisqu [0] V/W. (2) L'associativité d l'opération découl d cll l'opération dans V. (3) L'élémnt nutr st [0]. (4) L'invrs d [x] st [ x]. C group st l group quotint d V par W. Exmpl Étant donné un ntir n N, on a dénit sur Z un rlation d'équivalnc a b a b nz. L'nsmbl ds classs d'équivalnc d ctt rlation st un group, nous l'avons noté Z n. Tout comm dans l'xmpl précédnt, on aurait pu notr l'nsmbl ds classs d'équivalnc Z/Z n. Passons a un construction un pu plus abstrait. Soit G un group Abéllin dont l'opération st + t l nutr st 0. Soit H un sousgroup d G. Soit G/H l'nsmbl ds classs latérals d H dans G : G/H = {x + H : x G}. Sur G/H on dénit un opération + par (x + H) + (y + H) = (x + y) + H. D la mêm manièr qu dans ls dux xmpls précédnt, on voit qu ctt opération st bin déni. En t, si x + H = x + H t y +H = y +H, alors il xist h x t h y tl qu x = x+h x t y = y +h y t donc (x + y ) + H = (x + y + h x + h y + H) = x + y + H. L'nsmbl G/H muni d ctt opération st un group. C'st l group quotint d G par H. En t :

4 4 ALEXANDRE GIROUARD (1) Il st non-vid puisqu [0] G/H. (2) L'associativité d l'opération découl d cll l'opération dans V. (3) Son élémnt nutr st [0]. (4) L'invrs d [x] st [ x]. Exmpl Soit G = Z 6, considérons l sous-group H = {0, 2, 4}. Ss classs lattérals sont 0 + H = H, 1 + H = {1, 3, 5}. L group G/H st donc constitué d ss dux élémnts. Il st isomorph à Z 2. L cas général. Notr but st d généralisr ctt construction aux groups qui n sont pas Abélins. Soit H un sous-group d'un group G dont l'opération st noté gh t l'élémnt nutr st 1. Notons G/H l'nsmbl ds classs lattérals 1 d H dans G. Lmm Soit H un sous group normal d G. Si x H = xh t yh = y H alors (x y )H = xy.h Démonstration. Il xist h x, h y H tls qu x = xh x t y = yh y. On aura donc x y H = x yh x H = x yh = x Hy par normalité = xh x Hy = xhy = xyh par normalité. Théorèm Soit H un sous-group normal d G. L'nsmbl ds classs latérals d H dans G st noté G/H. L'opération G/H G/H G/H déni par n fait un group. (xh)(yh) = xyh 1 comm H st normal dans G, ss classs gauchs t droits coincidnt

5 SOUS-GROUPES NORMAUX ET GROUPES QUOTIENT 5 Démonstration. Ct nsmbl n'st pas vid. L fait qu l'opération st bin déni découl du lmm précédnt. D'autr part (1) Étant donnés xh, yh, zh G/H, ((xh)(yh))zh = (xyh)zh = ((xy)z)h = (x(yz))h = xh(yz)h = xh((yh)(zh)). (2) La class H st l'élémnt nutr. (3) L'invrs d gh st g 1 H. Exrcic (1) Montrz qu H = {( iθ b st un sous-group d GL 2 (C). (2) Montrz qu {( ) 1 b K = ) } : θ [0, 2π[, b C } : b C st un sous-group normal d H. (3) Montrz qu K n'st pas un sous-group normal d GL 2 (C). (4) Soit h H. Montrz qu'il xist θ [0, 2π[ tl qu ( ) iθ 0 hk. (5) Montrz qu H/K st isomorph à SO(1). Exrcic Soit H un sous-group normal d'un group G. dénit un application π : G G/H par π(g) = gh. On Montrz qu π st un homomorphism surjctif. Qul st l noyau d π? Exrcic Soit H un sous-group d'un group G. Montrz qu H st normal si t sulmnt si H st l noyau d'un homomorpshim.