Travaux dirigés de mécanique quantique L2 ; 2016

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1 Travaux dirigés de mécanique quantique L2 ; 2016 Constantes Physiques c = m/s k B = J/K h = Js = Js ɛ 0 = F/m e = C R = m 1 a 0 = m m e = kg m p = kg m n = kg N A = mol 1 2 /(2m ea 2 0) = e 2 /(8πɛ 0a 0) = ev 1 Introduction à la mécanique quantique 1 Diffraction des particules quantiques Outre les phénomènes de diffraction des électrons ou des neutrons thermiques, diverses expériences d interférences, du type fentes d Young, ont également permis de vérifier l expression de la longueur d onde de de Broglie. Les particules utilisées ont été des électrons, des neutrons, des ions, et, plus récemment, des molécules. Les longueurs d onde mises en jeu sont cependant bien inférieures à celles de la lumière ainsi que nous allons le voir. a) Déterminer l expression de la longueur de l onde associée à un faisceau monocinétique d électrons accélérés sous une différence de potentiel V. Calculer cette longueur d onde pour V = 10 kv. Des molécules de fullerène C 60 ont été utilisées pour effectuer une expérience d interférences. Ces molécules comportent 60 atomes de carbone situés aux sommets d un icosaèdre tronqué (voir figure), polyèdre ayant la structure d un ballon de football. b) Les molécules sortent d un four à environ 1000 K à une vitesse la plus probable de 220 m/s. Calculer la longueur d onde de de Broglie des ondes associées à ces molécules. c) Un faisceau collimaté de ces molécules traverse un réseau nanogravé de SiN x composé de fentes de largeur nominale 50 nm et dont la période est de 100 nm. La figure d interférence est mesurée à une distance D du réseau avec une résolution de l ordre du micromètre (voir figure de droite). Les premiers minima bordant la frange centrale sont bien visibles. Estimer D à partir des données du problème. 2 Diffraction d électrons a) On envoie sur un cristal métallique, où deux atomes voisins sont distants de a = 200 pm, un faisceau d électrons d énergie cinétique E c = 20 ev. Évaluer la longueur d onde de de Broglie, λ db, caractéristique des électrons. b) Est-ce qu on peut prévoir un phénomène de diffraction? Pourquoi? 1

2 3 Recul dû à des photons a) Un faisceau de lumière infrarouge a une longueur d onde de 852 nm. Quelle est la quantité de mouvement d un seul photon de ce faisceau? b) Si un atome de césium (avec masse m Cs = 133 u) absorbe des photons avec un taux dn/dt = s 1, quelle est l accélération de l atome, exprimée en g? 4 Déplacement de recul Un système atomique dans un état excité d énergie E 1 revient dans son état fondamental d énergie E 0 en émettant un photon qui emporte la différence d énergie rendue disponible. On suppose le système, de masse m, initialement au repos. Montrer que la conservation de la quantité de mouvement lui communique un certain recul et qu il emporte, en conséquence, une fraction δe de la différence d énergie E a = E 1 E 0, laissant au photon l énergie E a δe. Montrer que dans les conditions courantes non relativistes où E a mc 2, on a δe E 2 a/(2mc 2 ). 5 Effet Compton La figure suivante illustre l effet Compton. En physique quantique, un faisceau de radiation électromagnétique, de fréquence ν, est considéré comme un flux de photons qui ont des caractéristiques de particules. Chacune de ces particules a une énergie E = hν et une quantité de mouvement p = h/λ, où λ est la longueur d onde. La diffusion de ces particules sur des particules chargées peut alors être vue comme une collision. On suppose qu un photon se déplaçant le long de l axe des x subit une collision avec une particule de masse m 0. Suite à la collision, le photon est diffusé suivant un angle θ et sa fréquence est changée. Trouver l augmentation de la longueur d onde du photon en fonction de l angle de déflection. y y h 0 h/ 0 h E 0 h/ x p, E x Avant la collision Après la collision 6 Pression de radiation On considère un faisceau de lumière monochromatique d intensité I (unité W/m 2 ) et de fréquence ν frappant une surface totalement absorbante. On suppose que la lumière est incidente suivant la normale à la surface. En utilisant la théorie électromagnétique classique, on peut montrer qu il y a une pression sur la surface, appelée la pression de radiation, qui est reliée à l intensité de la source par P = I/c. a) Cette pression de radiation est-elle présente dans la description quantique en terme de photons? b) Quelle est la pression de radiation en fonction du flux de photons N? 2

3 2 La fonction d onde 7 Amplitude de probabilité Une particule peut suivre deux trajectoire différentes et indiscernables, vers un détecteur. Les deux différentes amplitudes de probabilité pour les trajectoires sont : A 1 (x) = B e ikx A 2 (x) = D e i(kx+ϕ). Les quantités B et D sont réelles et ϕ représente une différence de phase. a) Quelle est la probabilité que la particule prenne la trajectoire 1? b) Quelle est la probabilité que la particule prenne la trajectoire 2? c) Quelle est la probabilité totale de détecter la particule par le détecteur? d) Supposons que B = D. Calculez les probabilités totales pour les deux cas ϕ = 0 et ϕ = π. 8 Fonction d onde et probabilités Au temps t = 0, une particule est représentée par la fonction d onde : A x a, si 0 x a, Ψ(x, 0) = A (b x) (b a), si a x b, 0, ailleurs, où A, a et b sont des constantes. a) Normaliser Ψ (c est-à-dire, exprimer A en fonction de a et b). b) Tracer Ψ(x, 0) en fonction de x. c) Où est-il plus probable de trouver la particule à t = 0? d) Quelle est la probabilité de trouver la particule à gauche de a? Contrôlez votre résultat pour les cas limites b = a et b = 2a. 9 Valeurs moyennes Considérons la fonction d onde normée : 2 sin kx, si 0 x a, Ψ(x, 0) = a 0, ailleurs, où k = nπ/a et n est un nombre entier (n = 1, 2, 3, 4 ). a) Pour n = 1, 2 et 3, déterminer quelles valeurs de x sont les plus probables dans une observation. b) Déterminer les valeurs moyennes de la position pour les même trois valeurs de n. c) Déterminer aussi les valeurs moyennes de la quantité de mouvement. 10 Dérivés partielles Considérons la fonction d onde : ( ) 2π Ψ(x, t) = sin (x vt). λ Pour cette fonction, calculer les quatre dérivés partielles suivantes : Ψ(x, t) x, Ψ(x, t) t, 3 2 Ψ(x, t) x 2, 2 Ψ(x, t) t 2.

4 11 Valeur absolue d une fonction d onde Montrer que la fonction Ψ (x, t)ψ(x, t) est forcement réelle et positive (ou zéro). 12 Normalisation Normaliser la fonction : Ψ(x, t) = A e ( Cm/2 )x 2 e (i/2) C/m t. C est à dire, trouver la constante A exprimée en fonction de C, m et. On donne que + dx exp( x2 ) = π. Exercices supplémentaires Fonction d onde exponentielle Une fonction d onde est de la forme ψ(x) = Ae x /a. a) Normaliser la fonction d onde et préciser la valeur de A en fonction de a. b) Tracer la densité de probabilité ψ(x) 2 en fonction de x. c) Quelle est la probabilité P (b) de trouver la particule entre b et +b. Tracer P (b) en fonction de b. Evaluer la valeur b 99 de b pour laquelle P (b) = Réponses : a) A = 1/ a c) b 99 = a ln(100)/2 Densité en parabole inversée Une fonction d onde est de la forme ψ(x) = A 1 x 2 /a 2 pour a x +a et zéro en dehors. a) Normaliser la fonction d onde et préciser la valeur de A en fonction de a. b) Tracer la densité de probabilité ψ(x) 2. Quelle est la position la plus probable? c) Calculer les valeurs moyennes de la position x et de la quantité de mouvement p. d) Calculer la valeur de moyenne de la position au carré x 2. En déduire l écart quadratique moyen x = x2 x 2 Réponses : a) A = 3/(4a) d) x = a/ 5 4

5 Interféromètre de Mach-Zender Dans un interféromètre de Mach-Zender, les photons émis par une source traverse une lame séparatrice qui leur fait suivre deux chemins possibles de même longueur. Sur chaque chemin, les photons sont réfléchis sur des miroirs puis envoyés sur deux détecteurs par une seconde lame séparatrice. On a 4 amplitudes de probabilités possibles de modules identiques A. On note A b1 et A b2 les amplitudes pour passer par le chemin du bas et arriver sur les détecteur 1 et 2. A h1 et A h2 sont celles pour passer par le chemin du haut et arriver sur les détecteurs 1 et 2. Sur le chemin du haut, on place un appareil qui donne un déphasage Φ à la lumière. Pour le moment Φ = 0. Détecteur 2 Miroir Chemin Haut Lame séparatrice Lame séparatrice Détecteur 1 Chemin Bas Miroir a) A chaque fois qu un photon subit une réflexion sur un miroir ou une réflexion directe sur une lame, il subit un changement de phase de π. A chaque fois qu un photon traverse une lame ou subit une réflexion après avoir traversé l épaisseur de la lame, il ne subit pas de changement de phase. Trouver les expressions des amplitudes de probabilité. b) En déduire les probabilités P 1 et P 2 d arriver aux détecteurs 1 et 2. c) On applique maintenant une phase supplémentaire Φ sur le chemin du haut. Retrouver les amplitudes de probabilité et les probabilités. Réponses : b) P 1 = 4A 2, P 2 = 0 c) P 1 = 4A 2 cos 2 (Φ/2), P 2 = 4A 2 sin 2 (Φ/2) 5

6 3 L équation de Schrödinger 13 Largeur de bande d une émission de télévision Le signal émis par une station de télévision contient des impulsions de largeur totale t 10 6 s. Expliquer pourquoi ce n est pas possible de transmettre le signal dans la bande AM (ν 0.5 MHz ν 1.5 MHz). 14 Transitions atomiques et nucléaires Revenir à exercice 4, où nous avons calculé le déplacement de recul pour un système atomique qui émet un photon. On a observé une petite différence entre l énergie du photon émis et l énergie de l état excité de l atome due à ce recul. a) Supposons maintenante que le niveau excité d énergie E 2 possède une durée de vie τ. En déduire qu il a une largeur en énergie E 2. Qu en est-il, à cet égard, de l état fondamental? A quelle condition un photon émis comme indiqué plus haut peut-il être réabsorbé par un autre système de la même espèce, supposé au repos dans son état fondamental? b) Appliquer ces résultats aux deux exemples suivants : raie lumineuse visible du mercure : E a = 4, 86 ev, τ = 10 8 s, m = 3, kg ; émission γ du noyau de nickel : E a = 1, 33 MeV, τ = s, m = 1, kg. 15 L oscillateur harmonique quantique On considère un oscillateur mécanique, de masse m, à une dimension, soumis au potentiel harmonique V (x) = 1 2 kx2. L énergie mécanique totale de cet oscillateur en fonction de sa position x et de sa quantité de mouvement p s écrit : E = p2 x 2m + V (x). a) Rappeler brièvement en quoi consiste le mouvement d un tel oscillateur si x(t = 0) = x 0 et p x (t = 0) = 0. Préciser son énergie mécanique en fonction de x 0. b) Dans une approche quantique, on se propose de voir comment les inégalités de Heisenberg permettent de prévoir l existence d un état fondamental. On rappelle que la dispersion a d une grandeur a est donnée par : ( a) 2 = (a a ) 2, où... symbolise la valeur moyenne au sens quantique pour un état du système. i : Donner un argument classique de plausibilité pour l hypothèse suivante : x = 0 et p x = 0. ii : iii : iv : Montrer que ( x) 2 = x 2 et que ( p x ) 2 = p 2 x. Utiliser l inégalité de Heisenberg x p x /2 pour borner inférieurement l énergie E de l oscillateur par une fonction de p 2 x uniquement. Montrer que cette fonction E possède un minimum absolu que l on exprimera en fonction de la pulsation caractéristique du système ω = k/m. 16 Vitesse d un virus Considérons un virus de taille 1 nm. Supposons que sa densité est égale à celle de l eau et que le virus est localisé dans une région environ égale à sa taille. Quelle est la vitesse minimale du virus? 17 Commutateurs Prouver que, pour des opérateurs A, B and C, les identités suivantes sont vraies : a) [B, A] = [A, B] b) [A + B, C] = [A, C] + [B, C] c) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] 6

7 18 Incertitudes de la position et de la quantité de mouvement Une particule est décrite par la fonction d onde suivante ( π ) 1/4 ψ(x) = e ax 2 /2. a Calculer x et p et vérifier la relation d incertitude. On donne + où Γ(n + 1) = nγ(n), Γ(1/2) = π et Γ(1) = 1. x n exp( x 2 ) dx = Γ((n + 1)/2) pour n 0 19 La position d un positron La vitesse d un positron est mesurée à : v x = (4.00 ± 0.18) 10 5 m/s, v y = (0.35 ± 0.12) 10 5 m/s, v z = (1.41 ± 0.08) 10 5 m/s. Dans quel volume minimal était positionné le positron au moment de la mesure? Exercices supplémentaires Interaction forte En physique nucléaire, l interaction forte entre deux protons (ou neutrons) est due à une particule qu on appelle le pion (noté π). La particule est émise par un des protons puis absorbée par l autre, ce qui transmet l interaction. Pendant que la particule existe, l énergie du système est augmentée de son énergie de masse m π c MeV. La création de la particule est possible car l énergie du système n a pas une valeur fixe mais une certaine dispersion E. a) Trouver pendant quel temps typique τ le pion peut vivre, par utilisation de la relation d incertitude de Heisenberg. b) En déduire quelle distance d le pion peut parcourir au maximum durant sa vie. Cette distance est la portée des forces nucléaire. Comparer là à la taille typique d un noyau. c) On reprend le calcul mais en supposant que la masse du pion tend vers zéro. Comment évoluerait la distance d interaction? Comparer au cas du photon, particule de masse nulle qui transmet l interaction électromagnétique. Réponses : b) d m Atome d hydrogène Un atome d hydrogène est composé d un proton de charge e et d un électron de charge e et de masse m e. Le proton peut être supposé fixe et l électron se déplace autour du proton dans un potentiel Coulombien où r est la distance proton-électron. V (r) = e2 1 4πɛ 0 r a) On suppose que l incertitude sur la position de l électron est r et que la valeur moyenne de l impulsion p est nulle. En utilisant la relation d incertitude, trouver que l énergie E doit être supérieure à une certaine expression dépendant uniquement de r. b) Chercher la valeur minimale possible de l énergie E min et trouver pour quelle distance r min elle est obtenue. c) Calculer les valeurs numériques de E min et r min et comparer aux énergies et tailles connues pour l atome d hydrogène. On rappelle e = C, = kg m 2 s 1, ɛ 0 = C 2 m 3 kg 1 s 2 et m e = kg. Réponses : b) r min = 2 4πɛ 0 /(m e e 2 ), E min = e 2 /(8πɛ 0 r min ) 7

8 Relation de Heisenberg Une fonction d onde normée est de la forme ψ(x) = 1 ( πx ) cos a 2a pour a < x < a et zéro sinon. a) Expliquer pourquoi x = 0 et p x = 0. b) Calculer x. c) Calculer p x. d) Vérifier la relation d incertitude de Heisenberg. On donne les relations suivantes : π/2 π/2 cos 2 (x) dx = π 2, π/2 π/2 x 2 cos 2 (x) dx = π3 6π Réponses : b) x 0.36 a, c) p x 2.2 /a 8

9 4 Le puits infini 20 Particule quantique dans un puits rectangulaire infini On considère une particule piégée dans un puits de potentiel. On suppose que le potentiel est nul pour 0 x a et infini (très grand), pour x < 0 et pour x > a. Une particule n allant jamais dans une région de potentiel infini, la fonction d onde ψ(x) doit s annuler pour x < 0 et x > a. V (x) = V (x) =0 V (x) = 0 a x L équation de Schrödinger s écrit, pour 0 x a : dont une solution générale s écrit : 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = Eψ(x), ψ(x) = A sin kx + B cos kx. a) Trouver la valeur de l énergie E en fonction de k. b) La fonction ψ étant continue, elle doit s annuler en x = 0 et x = a. En déduire que B = 0 et que ka = nπ où n est un entier. Pourquoi la valeur n = 0 est-elle exclue? c) En déduire que les niveaux d énergie sont donnés par : E n = 2 π 2 2ma 2 n2. d) Représenter la fonction d onde ψ n (x) ainsi que la densité de probabilité ψ n (x) 2 des trois premiers niveaux. 21 L équation de Schrödinger pour un système à deux corps Considérer le Hamiltonien pour un système unidimensionnel de deux particules de masses m 1 et m 2, soumises à un potentiel qui dépend seulement de la distance entre les deux particules x 1 x 2. H = p2 1 2m 1 + p2 2 2m 2 + V (x 1 x 2 ) a) En déduire l équation de Schrödinger avec les nouvelles variables x et X, où : x x 1 x 2 (distance relative), X m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 (centre de masse) b) Utiliser une séparation de variables pour trouver les équations qui régissent l évolution du centre de masse et de la distance relative entre les particules. Interpréter les résultats. 22 Puits infini, symétrique autour l origine Considérer une particule de masse m, piégée dans un puits infini (dans une dimension) de largeur a : 0, si a V (x, 0) = 2 x a 2,, ailleurs. Trouver les état propres du Hamiltonien (c.a.d. les états stationnaires) et les énergies correspondantes. Vous devriez trouver des résultats similaires à l exercice 20. 9

10 23 Valeurs moyennes dans un puits infini Considérer une particule de masse m dans une potentiel infini en une dimension : { 0, si 0 < x < a, V (x, 0) =, ailleurs Supposons que la particule se trouve dans l état stationnaire ψ n = a) x et p b) x 2 et p 2 c) x p 2 nπx a sin a d énergie E = π2 2 n 2 2ma. Calculer : 2 24 Loi de quantification Déduire la loi de quantification d un puits carré infini, E n = 2 k 2 n 2m = π2 2 n 2 2ma 2 n = 1, 2, 3, 4, 5,..., directement par ajustement, en supposant qu on place un nombre entier de demi-longueurs d onde, λ/2, dans la largeur a du puits. 25 Le noyau d un atome Avant la découverte du neutron, on pensait qu un noyau de numéro atomique Z et de masse Am p était composé de A protons et de A Z électrons mais il y avait un sérieux problème concernant l importance de l énergie fondamentale pour une particule aussi légère que l électron confinée dans une région aussi petite que le noyau. a) On approxime le noyau par un puits infini, de largeur m. Estimer l énergie fondamentale d un électron en ev. Utiliser les expressions trouvées précédemment pour les énergies d une particule dans un puits infini (exercice 24, par exemple). On appelle la plus basse de ces énergies l énergie de point zéro". C est l énergie cinétique minimale qu a un objet simplement par le fait qu il soit confiné dans une petite région de l espace. L approximation faite en supposant que le noyau est un puits infini est justifiable, de même que le fait de faire un calcul unidimensionnel. Par contre, si l énergie de point zéro est beaucoup plus large que l énergie de masse mc 2 de l électron, l expression normale de l énergie doit être remplacée par une version relativiste. b) Quelle est l énergie de masse de l électron (en ev)? c) Trouver une version relativiste de l énergie quantifiée d un puits infini. Vous pouvez utiliser la technique de l exercice 24 en prenant p = h/λ pour la quantité de mouvement. d) Avec cette formule (correcte) pour l énergie, recalculer l énergie du fondamental. Pour qu un électron reste dans le noyau avec cette énergie fondamentale, la profondeur du potentiel doit être plus grande que cette énergie de point zéro. Le potentiel attractif agissant sur l électron est l attraction Coulombienne. e) Estimer le potentiel en utilisant la même distance entre particules que la largeur du potentiel utilisée auparavant, m. Les valeurs des charges sont Q 1 = Ae et Q 2 = e et on prendra une valeur typique pour le nombre de nucléons : A 100. f) Comparer cette valeur à l énergie de point zéro trouvée. Quelle est la conséquence pour le modèle de noyau proposé? En 1932, Chadwick a découvert le neutron et nous savons maintenant qu un noyau consiste en Z protons et A Z neutrons, les neutrons ayant une masse proche de celle du proton. g) Expliquer pourquoi l énergie de point zéro d un neutron posera moins de problèmes que celle de l électron. 10

11 Exercice supplémentaire Le puits de potentiel fini Une particule est soumise à un potentiel V (x) = 0 pour a/2 < x < +a/2 et V (x) = V 0 dans les autres cas. On va chercher des états stationnaires d énergie 0 < E < V 0 fixée, c est à dire des états où la particule est piégée dans le puits. On résout donc l équation 2 d 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 dans les trois régions. Il existe différentes familles de solutions, on va se concentrer sur les solutions paires de l équation. a) Montrer que dans la région x < a/2, les solutions paires sont de la forme ψ(x) = A cos(kx). Préciser la valeur de k. b) Montrer que, dans la région x > a/2, les seules solutions physiquement acceptables sont de la forme ψ(x) = B exp( κx) et préciser la valeur de κ. Montrer de même que, pour x < a/2, ψ(x) = B exp(+κx). c) La fonction d onde ψ et sa dérivée dψ/dx doivent être continues. En utilisant ces conditions en x = a/2, en déduire que tan(ka/2) = κ/k > 0. d) En utilisant le fait que 1 + tan 2 = 1/ cos 2, réécrire cette condition sous la forme où k 0 = 2mV 0 / 2. cos(ka/2) = k/k 0 avec tan(ka/2) > 0 e) Résoudre graphiquement cette équation. Sur un axe k, tracer les zones où tan(ka/2) > 0. Puis tracer cos(ka/2). Trouver enfin les intersections de ces courbes avec k/k 0. Montrer qu on a un nombre fini de solutions. Discuter combien de solutions paires on a en fonction de k 0 et de a. f) Représenter schématiquement les deux premières solutions. g) Montrer que, quand k 0, on retrouve les solutions paires du puits infini. En plus des solutions paires vues dans cet exercice, il existe des solutions impaires. Elles peuvent se trouver de la même manière en supposant que ψ(x) = A sin(kx) dans la région centrale et on trouve alors qu elles satisfont des relations similaires : sin(ka/2) = k/k 0 avec tan(ka/2) < 0 11

12 5 Autres applications de l équation de Schrödinger 26 Etat fondamental de l oscillateur harmonique à une dimension Soit une particule de masse m soumise à un potentiel harmonique V (x) = 1 2 kx2. L équation de Schrödinger s écrit : 2 d 2 ψ(x) 2m dx kx2 ψ(x) = Eψ(x) a) On cherche une solution de cette équation sous la forme ψ 0 (x) = A 0 exp( x 2 /2σ 2 ) Trouver pour quelle valeur de σ et de l énergie E 0 cette fonction d onde est une solution de l équation de Schrödinger. Exprimer E 0 en fonction de la pulsation de l oscillateur harmonique ω = k/m. Cette solution correspond au niveau fondamental puisqu elle ne s annule pas. b) On cherche maintenant à montrer qu il existe d autres solutions que ψ 0 (x). On suppose que ces solutions s écrivent : ψ(x) = f(x) exp( x 2 /2σ 2 ) où σ prend la même valeur qu à la question précédente. Montrer que, pour que ψ(x) soit une solution, il faut que f satisfasse l équation : ( ) 2E σ 2 f 2x f + ω 1 f = 0 c) Montrer que f 1 (x) = A 1 x est une solution de l équation précédente pour une énergie E 1 que l on déterminera. D une manière générale, les solutions de cette équation sont toujours des polynômes. En déduire la fonction d onde ψ 1 (x). d) Représenter les fonctions ψ 0 (x) et ψ 1 (x) ainsi que les densités de probabilités correspondantes. 27 Marche de potentiel Considérer la marche de potentiel : V (x) = { 0, si x 0 V 0, si x > 0 a) Pour une particule incidente de la gauche, d énergie E < V 0, une partie de la fonction d onde sera réfléchie. Calculez la réflectivité, c est à dire la densité de probabilité de l onde réfléchie, divisée par la densité de probabilité de l onde incidente. b) Calculer la réflectivité pour le cas E > V Chute de potentiel Une particule de masse m et énergie cinétique E > 0 s approche d une chute abrupte de potentiel, V 0 (voir la figure). a) Quelle est la probabilité que la particule soit réfléchie par la falaise, si E = V 0 /3? 12

13 b) Dans la figure, c est un chariot qui s approche de la falaise. Evidemment, la probabilité pour ce chariot d être réfléchi est bien moindre que le résultat de la question précédente. Expliquer pourquoi ce potentiel ne représente pas une falaise. c) Quand un neutron libre s approche d un noyau, il va être exposé à une chute de potentiel, très abrupte, de V = 0 à l extérieur, à environ -12 MeV dans le noyau. Supposez qu un neutron, émis avec une énergie cinétique de 4 MeV par un événement de fission, subit une collision avec un tel noyau. Quelle est la probabilité pour le neutron d être absorbé, et du coup d initier une autre fission? Suggestion : En partie a), vous avez calculé la probabilité de réflexion R. Utiliser T = 1 R pour arriver à la probabilité de transmission. 29 L équation de Schrödinger pour un potentiel constant Considérer une particule de masse m contenue dans un potentiel V (x) en une dimension. Supposer que, dans une région, V (x) est constant, V (x) = V. Pour cette région, et pour l énergie E de la particule, trouver les états stationnaires de la particule quand : a) E > V, b) E < V, c) E = V 30 Barrière de potentiel Considérer une barrière de potentiel carrée 0, si x < 0 V (x) = V 0, si 0 < x < l 0, si x > l a) On assume que la particule incidente d énergie E > V vient de x =. Trouver les états stationnaires. Utiliser les conditions en x = 0 and x = l. b) Trouver les coefficients de réflexion et de transmission. c) Représenter le coefficient de transmission en fonction de l épaisseur de la barrière de largeur l et discuter le résultat. 31 Paquet d onde Considérer une particule libre de masse m où la fonction d onde au temps t = 0 est donnée par a ψ(x, 0) = e a2 (k k 0) 2 /4 e ikx dk. (2π) 3/4 Calculer l évolution temporelle du paquet d onde ψ(x, t) et la densité de probabilité ψ(x, t) 2. Représenter qualitativement la densité de probabilité pour t < 0 et t > 0. Vous pourrez utiliser les relations suivantes : pour tous nombres complexes α et β tel que π/4 < arg(α) < π/4, e α2 (y β) 2 π dy = α 32 Premier état excité de l oscillateur harmonique Les fonctions d ondes d énergie données de l oscillateur harmonique ont une forme mathématique simple pour de petits n. Il n est donc pas trop difficile de vérifier par une substitution directe qu elles satisfont à l équation de Schrödinger indépedante du temps. On a et pour les valeurs propres de l énergie V (x) = C 2 x2, E n = (n + 1/2)hν. Faire cette vérification pour n = 1 où la fonction d onde est donnée par : ψ 1 = A 1 ue u2 /2 where u = (Cm)1/4 π h x, 13

14 33 Pénétration d une barrière Estimer la distance de pénétration pour une petite particule de poussière, de rayon r = 10 6 m et de densité ρ = 10 4 kg/m 3, se déplaçant à petite vitesse v = 10 2 m/s, si la particule arrive sur une barrière de potentiel de hauteur égale à deux fois son énergie cinétique dans la région située en dehors de la barrière de potentiel. 14

15 6 Le formalisme de la Mécanique quantique 34 Espace de Hilbert en trois dimensions Considérons un espace de Hilbert à trois dimensions et une base orthonormée (les vecteurs de la base sont tous normalisés et orthogonaux entre eux) définie par : { 1, 2, 3 }. Les deux kets α et β sont : a) Construire les vecteurs adjoints α et β. α = i i 3 β = i b) Trouver les produits scalaires α β et β α, et confirmer que β α = ( α β ). c) Trouver tous les neuf éléments de matrice de l opérateur  α β dans cette base et écrire la matrice correspondante. 35 Un état physique Considérons deux kets ψ et ψ tels que ψ = e iθ ψ, où θ est un nombre réel. Montrer que si ψ est normalisé, ψ l est aussi. 36 Algèbre de Dirac Supposons que, dans une certaine base { u i }, les opérateurs A et B soient représentés par des matrices (A ij ) (B ij ), respectivement. Le ket ψ est représenté par c i et le bra ϕ par b i. a) Trouver la représentation matricielle de l opérateur AB. b) Trouver la représentation du ket A ψ. c) Trouver une expression pour le scalaire (nombre) ϕ A ψ dans différentes représentations. 37 Décomposition spectrale Supposons que les fonctions ϕ n, avec n = 1, 2,..., forment une base orthonormée pour l espace des états d un système physique. A est un opérateur avec pour éléments de matrice A mn = ϕ m A ϕ n. Montrer que cet opérateur peut s écrire A = A mn ϕ m ϕ n m,n=1 38 Représentation d une matrice dans l espace de Hilbert On considère deux kets α et β. Supposons que ψ 1 α, ψ 2 α, ψ 3 α,... et ψ 1 β, ψ 2 β, ψ 3 β,... sont tous connus, avec ψ 1, ψ 2, ψ 3,... qui forment un ensemble complet de kets de base. Trouver la représentation matricielle de l opérateur α β dans cette base. 39 Base orthonormée On considère les fonctions d ondes φ n (x) = 2/a sin(nπx/a) d énergie donnée pour un puits infini de largeur (n = 1, 2,...) positionné entre x = 0 et x = a. On associe à chacune de ces fonctions un ket n φ n. On rappelle que le produit scalaire, exprimé en terme de fonctions d ondes, est donné par m n = φ m(x)φ n (x) dx a) Montrer que les φ n sont normées, c est à dire que n n = 1. b) Montrer que les φ n sont orthogonales les unes aux autres, c est à dire que m n = 0 si n m. 15

16 Les n forment donc un ensemble orthonormé d états. On imagine que cet ensemble est complet. Imaginons une fonction d onde ψ(x) qui décrit un état physique quelconque, elle peut alors s écrire On peut lui associer un ket ψ = n A n n. c) Montrer que ψ ψ = n A n 2 ψ(x) = A n φ n (x). d) Si on a un autre état physique ψ avec ses coefficients B n associés, montrer que ψ ψ = n B na n. n=1 40 Change le braquet On considère une base orthonormée composée de seulement deux états 1 et 2. On considère l état α = C( 1 i 2 ) où C est un nombre complexe. a) Trouver le bra α correspondant à α b) Calculer le produit scalaire p = α α. Vérifier que p est réel et positif. c) Quelle valeur doit prendre le module de C pour que le vecteur α soit normé, c est à dire pour que α α = 1? d) Trouver un ket β qui soit orthogonal à α, c est à dire tel que β α = Moment cinétique Un système quantique peut se trouver dans trois états notés 1, 0 et 1 qui forment une base orthonormée pour les états du système. On considère un état, noté α = A ( ) où A est réel. a) Trouver la valeur que doit prendre A pour que α soit normé. b) On considère l opérateur S représenté par la matrice suivante dans la base Calculer le ket S 0. c) Calculer le ket S α. S = 0 1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 0 d) On considère les kets β = A ( ) et γ = B ( 1 1 ). Trouver la constante de normalisation B puis vérifier que les états α, β et γ sont orthogonaux les uns aux autres. 16

17 7 Valeurs propres et vecteurs propres 42 Représentation matricielle d un opérateur Le Hamiltonien pour un système à deux niveaux est : Ĥ = E ( ), où { 1, 2 } est une base orthonormée, et E est un scalaire ayant la dimension d une énergie. Ecrivez la matrice qui correspond à Ĥ. Calculez les valeurs propres, et les vecteurs propres (normalisés) comme des combinaisons linéaires des vecteurs de la base. 43 Mesures quantiques On considère une base orthonormée { 1, 2, 3 } où une grandeur physique A est représentée par : A = a où E 0 et a sont des constantes positives. a) On procède à une mesure de l observable A. Quels résultats peut-on obtenir? On prépare le système dans l état : ψ = 1 3 ( ). b) Quel(s) résultat(s) donnerait alors une mesure de A? Avec quelle(s) probabilité(s)? Quel est l état du système après chaque résultat de mesure? c) On effectue un grand nombre de mesures de la grandeur sur un grand nombre de systèmes identiques tous préparés dans l état ψ. Quelle en est la moyenne? 44 Diagonalisation d une matrice Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ( ) 0 1 A = L adjoint Dériver les propriétés suivantes sur l adjoint d un opérateur a) ( A ) = A. b) (λa) = λ A. c) (A + B) = A + B. d) (AB) = B A. 46 Hamiltonien en H 3 On considère un système avec un espace des états à trois dimensions. Une base orthonormée est choisie. Dans cette base, le Hamiltonien est représenté par la matrice H = E a) Quels sont les résultats possibles quand on mesure l énergie du système? Une particule est dans l état ψ représenté dans cette base par i 1 i 3 i b) Trouver H, H 2 et H. 17

18 47 Trois observables Le Hamiltonien pour un certain système à trois niveaux est représenté par la matrice H = ω Deux autres observables A et B sont représentées par les matrices A = λ où ω, λ et µ sont des nombres réels positifs , B = µ a) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de H, A et B b) Si vous mesurez l énergie et les quantités A et B, quelles valeurs pouvez vous trouver?, 48 Mesures On considère un système quantique, décrit dans une base orthogonale à trois états notés 1, 2 et 3. On considère deux observables A et B dont les matrices sont A = a B = b La matrice B étant diagonale, ces états propres sont simplement les états de la base et ses valeurs propres les valeurs apparaissant sur sa diagonale. a) Les vecteurs propres de A sont λ 1 = 1, λ 2 = ( )/ 2 et λ 3 = ( 2 3 )/ 2. Vérifiez que ce sont bien des vecteurs propres, trouvez les valeurs propres correspondantes. Que constatez vous? b) On prépare le système dans l état ψ = ( )/ 3. Quelles sont les probabilités de trouver le système dans les états λ 1, λ 2 et λ 3 après une mesure de la quantité A? Quels sont les résultats possibles de la mesure et les probabilités associées? c) Après avoir mesuré la quantité A, on mesure la quantité B. Suivant l état obtenu pour le système après la mesure de A, trouver la probabilité de trouver les différentes valeurs possibles pour B. d) On prépare le système dans l état ψ = ( )/ 2. Mêmes questions que précédemment. 18

19 8 Le spin 49 Matrices de Pauli On appelle matrices de Pauli les trois matrices suivantes : σ x = ( ) 0 1, σ y = 1 0 ( ) ( ) 0 i 1 0, σ z = i On rappelle que, par convention, les matrices de Pauli σ x, σ y et σ z sont associées à la mesure des composantes d un spin 1/2 selon les directions Ox, Oy et Oz. On a la relation suivante : S = 2 σ. Ces matrices sont données dans la base des vecteurs propres associés à σ z. On notera + z et z les vecteurs propres de σ z correspondant respectivement aux valeurs propres +1 et 1. a) Calculer les vecteurs propres et les valeurs propres de chacune des matrices. b) Donnez les composantes de S dans la base { + z et z } Soit u un vecteur unitaire quelconque. c) Donnez les composantes de u en coordonnées sphériques d) Calculer S u = S u dans la base { + z et z }. e) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de S u. Retrouver les résultats de la question a). f) On prépare un spin dans l état + z, on effectue ensuite une mesure du spin selon u. Calculer la probabilité de se trouver, après la mesure, dans l état + u, vecteur propre associé à la valeur propre positive de S u. 50 Commutations des spins Calculer les relations de commutations [σ i, σ j ], où j = x, y, z et les σ i sont les matrices de Pauli. 51 Action des opérateurs de spin Les valeurs propres de S z sont + /2 et /2. Nous appelons les vecteurs propres correspondants + 1/2 et 1/2, et utilisons ces vecteurs comme notre base. Calculer S i + 1/2 et S i 1/2 pour i = x, y, z. 52 L opérateur S x + S y. On considère une particule de spin 1/2. a) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de S x + S y. b) Considérons le vecteur propre associé avec la valeur propre la plus grande. On appelle ce vecteur α. Si l électron est dans l état α et qu on mesure le spin suivant la direction z, quels sont les résultats possibles de mesure? c) Quelles sont les probabilités pour les résultats de la question précédente? d) Supposons qu un électron est dans un état correspondant au vecteur α. Trouver, si c est possible, la direction n suivant laquelle une mesure de spin donnera avec certitude S n = /2. 53 Somme des matrices carrées Montrer que σ 2 x + σ 2 y + σ 2 z = 3I. En déduire la valeur de S 2. 19

20 9 Mesures du spin ; Stern-Gerlach 54 Détermination de l état magnétique d un atome d argent On considère un atome d argent dans un état de moment magnétique arbitraire : α + z + β z (1) avec α 2 + β 2 = 1. On rappelle que le moment magnétique µ d une particule de spin 1/2 (comme l est l atome d argent dans son état fondamental) est donné par : où σ est le vecteur des matrices de Pauli. µ = γ S = γ 2 σ a) Montrer qu il s agit d un état propre de u µ avec la valeur propre +γ 2 pour un vecteur unitaire u dont on précisera la direction (ses angles polaires). Suggestion : on montrera au préalable qu on peut toujours mettre les coefficients α et β sous la forme α = cos(θ/2), β = e iϕ sin(θ/2) à une phase globale près. b) Alice fournit à Bob un atome d argent dans un état de moment magnétique a priori inconnu du type (1). Bob peut-il déterminer cet état par des mesures de type Stern et Gerlach? c) Alice fournit maintenant à Bob N atomes d argent (N 1), tous préparés dans le même état (1). Montrer qu une stratégie possible pour que Bob détermine (de manière approchée) cet état consiste à séparer cet ensemble d atomes en deux classes sur lesquelles il effectuera deux mesures incompatibles de leur moment selon deux directions orthogonales. 55 Accélération dans un champ magnétique La force dans un champ magnétique est : F = ( e m e S z ) Bz z êz. a) Déterminer l accélération d un atome d hydrogène dans un champ magnétique avec un gradient de 10 T/m. b) Supposons que les atomes sont émis par un four avec une température de 400 C et que l aimant a une longueur de 1 m. Quelle sera la déflexion du faisceau d atomes quand il sort de l aimant? 56 Projection d un spin Considérons un électron dont la projection du spin sur l axe ê z est de + 2. a) Quelle est la probabilité que sa composante suivant une direction ˆn, qui forme un angle θ avec l axe ê z, soit + 2 ou 2? b) Quelle est la valeur moyenne de la projection du spin sur ˆn? 57 Stern-Gerlach, direction ê y Considérons un appareil de Stern-Gerlach, où les atomes sont sélectionnés initialement avec leur spin pointant suivant +x. Montrer que, si on fait une mesure le long de l axe ê y, les probabilités de trouver le spin positif ou négatif sont chacunes de 50%. 58 L expérience de Stern-Gerlach avec K Dans une certaine expérience de Stern-Gerlach, un faisceau d atomes de potassium (masse : M = kg) sort d un four de température 150 C. Chaque atome a une énergie cinétique de J. Les atomes passent à travers un champ magnétique inhomogène, dont le gradient est T/cm sur une distance de 2.0 cm, puis continuent à se déplacer sans champ appliqué pendant 10.0 cm avant d être déposé sur une plaque collectrice. Quelle est la distance maximale entre les deux lignes sur le détecteur? 20

21 59 Stern-Gerlach comme un filtre de spin Considérons le dispositif sur la figure suivante Pour un faisceau d électrons, une moitié suivra le chemin du haut, l autre moitié celui du bas (gauche). Si nous mettons un bloqueur sur le chemin où passent les particules de spin bas (centre), le faisceau sortant ne contiendra que des particules de spin haut. Dans ce cas, le dispositif agit comme un filtre de spin. On représente, de manière abstraite, un tel filtre par une boîte en indiquant par une flèche la direction du spin qui traverse le filtre (droite). Quelles fractions des particules incidentes émergent quand on utilise sur le faisceau les combinaisons de filtres suivantes? 21

22 10 Les échecs de la physique classique 60 Rayonnement du corps noir a) On considère la loi de déplacement de Wien et on étudie un corps noir maintenu à la température de 2500 K. Calculer, en nanomètres, la longueur d onde pour laquelle l émission est maximale d après la loi de Wien. Cette longueur appartient-elle au visible? b) Démontrer la loi de déplacement de Wien à partir de la formule de Planck : ( ) 8πhc 1 ρ(λ, T ) = λ 5 exp( hc λk ) 1, BT où ρ(λ, T ) est la densité d énergie électromagnétique du rayonnement de corps noir par unité d intervalle de longueur d onde, pour la longueur d onde λ et la température T. c) D après la loi de Planck, montrer que la puissance totale émise par un corps noir (c est-à-dire pour toutes les longueurs d onde) est proportionnelle à la puissance quatrième de la température T. 61 Effet photoélectrique On envoie sur une photocathode en potassium une radiation ultraviolette λ = 253, 7 nm (raie du mercure) ; on constate que l énergie maximale des photoélectrons éjectés est 3,14 ev. Si on envoie une raie visible λ = 589, 5 nm (raie jaune du sodium), l énergie maximale est alors 0,36 ev. a) Retrouver la valeur de la constante de Planck. b) Calculer l énergie d extraction minimale des électrons du potassium. c) Calculer la longueur d onde maximale des radiations pouvant produire un effet photoélectrique sur le potassium. 62 L atome d hydrogène de Bohr Selon le modèle de Bohr de l atome d hydrogène, l électron tourne autour du proton sur des orbites circulaires. a) Considérant un référentiel dont l origine est au centre du proton, écrire l équation fondamentale de la dynamique pour le mouvement de l électron sur une orbite circulaire. En déduire la vitesse v de l électron en fonction de la distance r entre l électron et le proton. b) Bohr postule que seules certaines trajectoires circulaires privilégiées, appelées orbites stationnaires, peuvent être suivies par l électron. Pour quantifier ces orbites, Bohr reprend une condition établie antérieurement partant de l idée que toute grandeur d un système quantique qui s exprime en joules secondes, comme la constante de Planck, est égale à un multiple entier de cette constante. Montrer que l intégrale de la quantité de mouvement p d une particule le long d une trajectoire quelconque Γ, à savoir : S = p d l Γ a bien les mêmes dimensions que la constante de Planck. Dans le cas de la trajectoire circulaire d un électron, déterminer la condition de quantification en intégrant sur un cercle. Cette condition de quantification a été interprétée par Louis de Broglie comme une condition de résonance de l onde associée à l électron. c) Calculer l expression des rayons r n des orbites stationnaires. d) Calculer numériquement le rayon a 0 de la plus petite orbite stationnaire, appelé rayon de Bohr. e) Calculer l énergie E n de l électron lorsqu il circule sur une orbite stationnaire. 22

23 63 Temperature des étoiles a) Comme λν = c, la loi de déplacement de Wien peut être mise sous la forme λ max T = const, où λ max est la longueur d onde à laquelle le rayonnement spectral est maximum pour une température T donnée. La valeur déterminée expérimentalement pour la constante de Wien est m K. Si on assume que la surface d une étoile se comporte comme un corps noir, nous pouvons obtenir une bonne estimation de leur température par une mesure de λ max. Pour le Soleil, λ max = 510 nm, alors que, pour l étoile polaire, λ max = 350 nm. Trouver les températures de surface de ces deux étoiles. b) En utilisant la loi de Stefan et les températures obtenues, déterminer la puissance émise par 1 cm 2 de surface stellaire. 64 Travail d extraction La figure ci-dessous montre le résultat d une expérience ou une photocathode du sodium a été illuminée par de la lumière. L énergie cinétique des électrons éjecté a été mesurée en fonction de la fréquence de la lumière : a) Calculer le travail d extraction pour le sodium b) Quelle longueur d onde de la lumière est nécessaire pour obtenir des électrons d énergie J? 65 Modèle de Bohr a) Calculez (en nm) la longueur d onde de la lumière émise quand un atome d hydrogène subit une transition du 2 eme état excité vers le 1 er état excité. b) Sans calcul numérique, comment se compare-t-elle à la longueur d onde de la lumière émise dans une transition de 1 er état excité vers l état fondamental? 66 Séries de Rydberg a) Utiliser la formule de Rydberg pour calculer les longueurs d ondes pour les trois premières raies dans la première série de Rydberg (la série de Lyman), en nm. b) Avec la même formule, estimer l énergie d ionisation pour l hydrogène. 23

24 11 L atome quantique 67 L état fondamental de l atome d hydrogène Un atome d hydrogène est formé d un seul électron lié à un proton. Le proton a une masse très supérieure à celle de l électron. Une bonne approximation consiste donc à mettre l origine du référentiel à la position du proton et à considérer seulement le mouvement de l électron autour de l origine. Dans ce cas, on a un potentiel avec une symétrie sphérique ; e2 V (r) = 4πε 0 r. a) Formuler l équation de Schrödinger pour l électron, en coordonnées sphériques. b) Pour un potentiel central comme celui-ci, on peut factoriser la fonction d onde en une fonction radiale et une fonction angulaire ; ψ(r, θ, ϕ) = R(r) Y (θ, ϕ). Faire cette substitution dans l équation de Schrödinger. c) Montrer que cette équation de Schrödinger peut être écrite sous la forme : 1 R(r) ( r 2 R(r) ) 2m er 2 r r 2 (V (r) E) = où l 2 est la partie angulaire du Laplacien : l 2 = [ 1 sin θ La fonction d onde pour l état fondamental est : où a 0 = 4πε 0 2 /(m e e 2 ) est le rayon de Bohr. ( sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ ( 1 ψ( r) = πa 3 0 ) 1/2 e r/a0, 1 Y (θ, ϕ) l 2 Y (θ, ϕ) = const., 2 ] ϕ 2. d) Montrer que ψ( r) est bien une solution l équation de Schrödinger (pour la partie radiale comme pour la partie angulaire). e) Montrer que la fonction ψ( r) est normalisée. 68 Rayon de l atome d hydrogène La fonction d onde pour l état fondamental de H est : ( 1 ψ( r) = πa 3 0 ) 1/2 e r/a0, La densité de probabilité de présence de l électron autour du noyau, comme fonction de r, peut être trouvée par intégration de ψ( r) 2 sur une fine couche sphérique pour un rayon compris entre r et r + dr. Le résultat est que la densité de probabilité est : P (r) = ψ ( r)ψ( r) 4πr 2. Calculer le rayon pour lequel cette densité de probabilité est maximale. 24

25 12 Evolution dans le temps des systèmes quantiques 69 Evolution d un spin Un atome est plongé dans un champ magnétique orienté suivant z. Quand le spin est dans un des états ± z il a une énergie définie ±ɛ. L atome est initialement préparé dans un état ψ(t = 0 = + x = ( + z + z )/ 2 a) Écrire l état ψ(t) b) A l instant t, on fait une mesure du spin suivant x. Quelle est la probabilité P (+x, t) que le spin se trouve dans l état + x? En déduire P ( x, t). c) Calculer la valeur moyenne S x (t) du spin suivant x au temps t. Que constatez vous? 70 Evolution d une fonction d onde On considère une particule dans un puit infini compris entre 0 et L. On considère deux fonctions d ondes d énergies données : la fonction ψ 1 (x) = 2/L sin(πx/l) d énergie E 1 et la fonction ψ 3 (x) = 2/L sin(3πx/l) d énergie E 3 = 9E 1. Initialement, le système est préparé dans un état décrit par la fonction ψ(x, t = 0) = (ψ 1 (x) + ψ 3 (x))/ 2. a) Ecrire la fonction d onde ψ(x, t) décrivant la particule au temps t. b) A l instant t, quelle est la densité de probabilité P (a/2, t) de trouver la particule autour du point x = a/2? Trouver également P (a/4, t) et tracer les deux probabilités en fonction de t. 71 Hamiltonien et évolution On considère une base composée de deux états 1 et 2. Dans cette base, le hamiltonien H (l opérateur représentant l énergie) s écrit : ( ) 1 1 H = ɛ 1 1 a) Diagonaliser le Hamiltonien, trouver les énergies propres E 0 et E 1 et les vecteurs propres correspondants E 0 et E 1. b) A l instant initial, le système se trouve dans l état ψ(t = 0) = 1. Ecrire cet état comme une combinaison linéaire de E 0 et E 1. c) En déduire l état du système au temps t. d) Quelle est la probabilité P (t) de trouver la particule dans l état 1 au temps t? Tracer P (t). 72 Formalisme de Dirac et problème à deux états Soient ψ 1 et ψ 2 deux vecteurs propres de norme unité d un hamiltonien H correspondant à deux valeurs propres différentes E 1 et E 2 (on pourra poser E 1 E 2 = ω). a) On considère le vecteur d état ψ défini par ψ ψ 1 ψ 2. Normer ψ à l unité et calculer la valeur moyenne H de l énergie pour cet état, ainsi que l écart quadratique moyen : E H 2 H 2 On considère l observable A possédant les propriétés : b) Quelles sont les valeurs propres a de l observable A? A ψ 1 = ψ 2 A ψ 2 = ψ 1 c) Construire les combinaisons linéaires ψ ± de ψ 1 et ψ 2, vecteurs propres de A. On suppose qu à l instant t = 0 le système décrit par H se trouve dans l état ψ relatif à la valeur propre a = 1. d) Quel est le vecteur d état du système à l instant t? e) Quelle est la probabilité lors d une mesure de la grandeur A effectuée à l instant t de trouver la valeur a = 1? 25

26 73 L ion moléculaire H + 2 L ion moléculaire H + 2 est formé de deux protons et d un électron. Une base du système est constituée par les états 1 (électron localisé sur le proton 1) et 2 (électron localisé sur le proton 2). La distance entre les deux protons est D. E 0 = 13, 6 ev est l énergie de l état fondamental de l atome d hydrogène. L hamiltonien dans la base { 1, 2 } s écrit : 0 E 0 + H = q2 4πε 0 D A(D) A(D) E 0 + q2 4πε 0 D a) Justifier la forme de l hamiltonien H dans la base { 1, 2 }. b) Déterminer les niveaux d énergie E + (D) et E (D) de l ion H + 2 (les valeurs propres) et les vecteurs propres de l hamiltonien H. L expérience donne les courbes suivantes pour les énergies E + (D) et E (D). L état fondamental stable de l ion H + 2 se situe au minimum de la courbe E (D). L asymptote commune (E = E 0 ) à E + (D) et E (D) correspond à la dissociation H + 2 H + H+ : ε est donc l énergie de liaison de l ion H + 2. c) La théorie précédente n est qu une première approximation de la théorie générale de l ion H + 2. Montrer qu elle rend cependant compte qualitativement des résultats expérimentaux. On a A(D) = Ce αd avec α = 2m E 0 /. d) Tester sa validité quantitative de la manière suivante : étudier le minimum de l expression trouvée pour E (D) et, en prenant la valeur expérimentale de ε = 2, 65 ev, en déduire R. Comparer avec le résultat expérimental qui est R 1 Å. On donne m = 0, kg, q = 1, C, = 1, Js. 26

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