EXERCICE I ( 6 points ) Correction: centres étrangers 2007 modifié
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- Lucienne Goudreau
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1 Lycée de la Plaine de l Ain - Ambérieu en Bugey. Année scolaire 0 / 03. TERMINALES SCIENTIFIQUES BAC BLANC - mathématiques - CORRIGé EXERCICE I ( 6 points ) Correction: centres étrangers 007 modifié Le but de l eercice est démontrer que l équation (E) : e = admet une unique solution dans l ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Eistence et unicité de la solution. Si est solution de (E), alors e = et donc = e. Comme e > 0, on a alors > 0. donc une solution de l équation (E) est nécessairement positive. On note f la fonction définie sur [ 0 ; + [ par : f ( ) = e. Soit un réel. est solution de l équation (E) e = e = e = e = 0 f () = Étude du signe de la fonction f a. Étude du sens de variations de la fonction f sur [ [ f '( ) = + e. On a '( ) 0 0 ; +. f > donc f est strictement croissante. b. En déduire que l équation (E) possède une unique solution sur [ 0 ; + [ et que cette solution, notée α par la suite, appartient à l intervalle 0 f ( ) ;. e f est croissante et f ( ) > 0, donc l équation (E) ne possède pas de solution sur [ [ f est continue et strictement croissante sur [ 0 ;] ; f ( 0) < 0 et f ( ) > 0 donc l équation (E) possède une solution unique sur [ 0 ;] l équation (E) possède donc une unique solution sur [ 0 ; + [ - 0, e 0,63 ;+. f < 0 = f ( α ) < f ( ) donc comme f est strictement croissante, on a < α < c. Étudier le signe de f sur l intervalle [ 0 ; + [. D après ce qui précède, f < 0 sur [ 0 ;α [ ; f ( α ) = 0 ; f > 0 sur ] α ; + [
2 II. Deuième approche + On note g la fonction définie sur l intervalle [0 ; ] par : g ( ) = + e. Démontrer que l équation f () = 0 est équivalente à l équation g () = sur [0 ; ]. g () = + = + = ( + e ) + = + e e = e = f () = 0 + e. En déduire que α est l unique réel de [0 ; ] vérifiant : g (α) = α. g () = f () = 0 = α d où le résultat. 3. Calculer g () et en déduire que la fonction g est croissante sur l intervalle [0 ; α]. g forme u/v g' ( ) ( + e ) ( + ) e e e ( e ) e f ( ) = = = = ( + e ) ( + e ) ( + e ) ( + e ) g' ( ) 0 sur [0 ; α], car ( e ) + > 0, e > 0 et f ( ) 0, donc g est croissante sur [0 ; α] III. Construction d une suite de réels ayant pour limite α On considéra la suite (U n ) définie par : U 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par : U n+ = g ( U n ).. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 U n U n+ α. Pour tout entier naturel n, notons Pn la propriété : «0 U n U n+ α» Initialisation : vérifions la propriété au rang 0. U 0 = 0 et U = g (0) = /. Or d après I-.(c), / α. Donc 0 U 0 U α. Hérédité : Supposons la propriété P k soit vraie pour un entier naturel k. Démontrons alors, sous cette hypothèse, que P k+ est vraie. D après l hypothèse de récurrence, 0 U k U k+ α ; On sait que g est croissante sur [0,α]. donc g(0) g(u k ) g(u k+ ) g(α) donc / U k+ U k+ α Par conséquent 0 U k+ U k+ α et donc P k+ est vraie. Conclusion : pour tout entier naturel n : 0 U n U n+ α.. En déduire que la suite (U n ) est convergente. On note l sa limite. Ainsi d une part, pour tout entier naturel n, U n U n+ ce qui montre que la suite (U n ) est croissante. D autre part, pour tout entier naturel n, un α ce qui montre que la suite (U n ) est majorée par α. La suite (U n ) étant croissante et majorée, converge donc. 3. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de n donnée en entrée, affiche en sortie le terme Un. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N Saisir la fonction g Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de à N Affecter à U la valeur g (U) Fin pour Sortie AfficherU.
3 EXERCICE II ( 5 points ) Correction: Liban 00 O i j k. L espace est muni d un repère orthonormal (,,, ) On note (D) la droite passant par les points A ( ; ; ) et B (3 ; 5 ; ). = + t. Montrer qu une représentation paramétrique de la droite (D) est : y = 3t z = t M appartient à (D) si et seulement si AM est colinéaire à AB si et seulement si il eiste un réel t tel que AM = t AB a pour coordonnées ( ; y ; z ) Or AM + + et AB a pour coordonnées ( ; 3; ) avec t R = t M appartient à (D) si et seulement si y + = 3t D'où la réponse. z + = t = k. On note (D ) la droite ayant pour représentation paramétrique : y = + k avec k R z = k Montrer que les droites (D) et (D ) ne sont pas coplanaires. La droite (D ) a pour vecteur directeur u ( ; ; ), et la droite (D) a pour vecteur directeur AB. Les vecteurs u et AB n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles; ils ne sont donc pas colinéaires; donc les droites (D) et (D ) ne sont ni parallèles ni confondues. Recherche d'un éventuel point d'intersection. Les droites (D) et (D ) ont un point en commun si et seulement si il eiste deu réels t et k tels que + t = k t + k = ( l ) 3t = + k équivaut ( ) 3t k = 3 l or l + l l 3 0 = 3 (impossible). t = k t k = ( l3 ) Les trois équations sont incompatibles; les droites n ont pas de point commun. Les droites (D) et (D ) ne sont ni sécantes ni parallèles, elles sont donc non coplanaires. 3. On considère le plan (P) d équation 4 + y + 5z + 3 = 0. a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D). Pour tout réel t, on a 4(+t ) + ( 3t ) + 5( t ) + 3 = 0, donc tout point de (D) appartient au plan (P). La droite (D) est donc incluse dans le plan (P). b. Montrer que le plan (P) et la droite (D ) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. M( ; y ; z) (P) (D ) il eiste un réel k tel que = k = k y = + k y = + k z = k z = k 4 + y + 5z + 3 = 0 4( k) + ( + k) + 5k + 3 = 0 = 6 y = 7 z = 4 k = 4 Le point C a pour coordonnées (6 ; 7 ; 4).
4 4. On considère la droite ( ) passant par le point C et de vecteur directeur w ( ; ; ). a. Montrer que les droites ( ) et (D ) sont perpendiculaires. u. w = ( ) () + () () + () ( ) = 0 donc les vecteurs u et w directeurs de ( ) et (D ) sont orthogonau. Les deu droites sont donc orthogonales ou perpendiculaires. Elles possèdent le point C en commun, elles sont donc perpendiculaires b. Montrer que la droite ( ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. b. De même, w. AB = () () + () ( 3) + ( ) ( ) = 0 donc les droites ( ) et (D) sont orthogonales ou perpendiculaires. = 6 + λ La droite ( ) a pour représentation paramétrique : y = 7 + λ avec λ R z = 4 λ ont un point en commun si et seulement si il eiste deu réels t et λ tels que Les droites (D) et ( ) + t = 6 + λ (s) 3t = 7 + λ t = 4 λ t λ = 5 ( l ) 5t = 0 ( l ) ( l) t = t = Or (s) 3t λ = 5 ( l) 5λ = 5 (3l + l) λ = t + λ = 3 ( l3) t + λ = 3 ( l3) λ = t + λ = 3 ( l3) = 6 = 5 Les deu droites se coupent perpendiculairement en un point E( ; y ; z) tel que y = 7 = 8 z = 4 ( ) = 3 Le point E a pour coordonnées (5 ; 8 ; 3).
5 EXERCICE III ( 4 points ) Correction: Amérique du Sud nov 0 Au cours d une séance, un joueur de tennis s entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note R n l évènement «le joueur réussit le n-ième service», et R n l évènement contraire. Soit n la probabilité de R n et yn celle de R n. La probabilité qu il réussisse le premier service est égale à 0,7. On suppose de plus que les deu conditions suivantes sont réalisées : si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu il réussisse le suivant vaut 0,8 ; si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu il réussisse le suivant vaut 0,7.. On s intéresse au deu premiers services de l entraînement. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deu premiers services. a. Déterminer la loi de probabilité de X. La variable aléatoire prend les valeurs 0, et. En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre, on obtient la loi : Valeurs 0 probabilités 0,09 0,35 0,56 b. Calculer l espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. E( X ) = 0 0, , ,56 =, 47. On s intéresse maintenant au cas général. a. Donner les probabilités conditionnelles P R ( R ) n n + et ( R R ) n n D'après l'énoncé on a directement : ( R ) = 0,8 et ( R ) P R n + n P +. P R n + n = 0,7. b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : n+ = 0, n + 0,7. On se place à l'étape n : R n et R n constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des probabilités totales : P ( R n ) = P ( Rn ) PR ( R ) ( ) ( ) n n + P Rn P R = + + Rn n+ n 0,8 + yn 0,7 or n + yn = (car R n et R n sont complémentaires), donc yn = - n En remplaçant il vient : n+ = 0,8 n + 0,7 ( - n ) = 0, n + 0,7. 3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par un = 9n 7. a. Déterminer la nature de la suite (un). Pour tout entier naturel n non nul on a : un+ = 9 n+ 7 = 9 (0, n + 0,7) 7 = 0,9 n - 0,7 = 0, (9 n - 7) = 0, un Donc (un) est une suite géométrique de raison 0, et de premier terme : u = - 0,7 b. En déduire la limite de la suite (n). D'après la question précédente on a : un = - 0,7 0, n- lim 0,n- = 0 car - < 0, < donc lim n + n + un = 0 Or un = 9n 7 donc n = 9 ( u n + 7 ) donc lim n + n = 7 9
6 EXERCICE IV ( 5 points ) Correction: Amérique Sud nov 0 Candidats n ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Le plan complee est muni d un repère orthonormé ( O, u, v ) On considère les points A, B et C d affies respectives za (unité graphique cm). = i, z = i et z =. B C Partie A - Restitution organisée de connaissances Prérequis : On suppose connu le résultat suivant : Pour tous nombres complees non nuls z et ' arg z z ' = arg z + arg z ' [ mod π ] z, ( ) ( ) ( ) Démontrer que, pour tous nombres complees non nuls z et z ', on a : z arg = arg( z) arg ( z ') [ mod π ]. z ' z z z arg z ' = arg + arg ( z ') d'autre part arg z ' = arg( z) z ' z ' z ' z z D'où: arg( z) = arg + arg ( z ') on a bien arg = arg( z) arg ( z ') z ' z ' Partie B On considère la transformation f qui à tout point M du plan d affie z, distinct de A, associe le point iz M ' d affie z ' = z i On fera une figure que l on complètera au fur et à mesure.. Déterminer l ensemble des points invariants par la transformation f. M d affie z est invariant si et seulement si M =M z = z iz z z i = iz = z iz z 3iz = 0 z( z 3 i) = 0 z=0 ou z=3i Les points invariants par f sont O et le point d affie 3i.. Déterminer, sous forme algébrique, les affies des points B et C, images respectives des points B et C par f. i zb i ( i) 4 i z ( C i i + i) + i On a zb' = = = = 4i zc ' = = = = = + i z i ( i) i i z i i i + i B C ( )( )
7 3. a. Montrer que, pour tout point M distinct de A, l affie z de M ' vérifie l égalité : Pour tout point M distinct de A, l affie z de M est telle que : iz iz i ( z i) iz iz z ' i = i = = = z i z i z i z i z ' i =. z i b. En déduire que si le point M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon, alors son image M ' appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. On a z ' i = donc en considérant les modules z ' i = = z i z i z i Or z ' i = BM ' et z i = AM. L égalité précédente s'écrit alors BM ' =. AM Ainsi si M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon, alors AM =, donc BM ' = = Conclusion : si M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon, alors M appartient au cercle Γ de centre B et de rayon. c. Eprimer une mesure de l angle( u, BM ') en fonction d une mesure de l angle( u, AM ). Dans la relation z ' i =, on considère maintenant les arguments z i ( ) arg z ' i = arg = arg ( ) arg ( z i) = π arg ( z i) modulo [ π ] z i Or arg ( z ' i) = ( u, BM ') et arg ( z i) = ( u, AM ) u, BM ' = π u, AM modulo [ π ] Donc ( ) ( ) 3 3 d. On considère le point D d affie zd = + i. Vérifier que D appartient au cercle Γ. Construire le point D et son image D par f zd i = + i i = + i. 3 zd i = + i = 3 Ainsi zd i = + i 3 π arg ( zd i) = arg + i = mod ulo[ π ] 3 AD = z D i =, et ( u, AD) = π modulo[ π ]. 3 Donc D appartient au cercle Γ de centre A et de rayon. Pour construire D, on peut utiliser l'angle avec la direction de l'ae des abscisses ( u, AD) = π [ π ], ou 3 son ordonnée égale à 3. Sachant que D appartient au cercle Γ de centre A et de rayon, d après les résultats de la question précédente, son image D appartient à Γ cercle de centre B et de rayon. u, BM ' = π u, AM modulo [ π ]. D où la construction de D' à la règle et au compas. De plus ( ) ( )
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