Baccalauréat blanc S - 4 heures Lycée Descartes - Rabat - février 2006

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1 Baccalauréat blanc S - 4 heures Lycée Descartes - Rabat - février 006 L utilisation de la calculatrice est autorisée EXERCICE Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct graphique est cm. O, u, v. a. Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation : z 4z+ 8=0 ) 6 points. L unité b. écrire les solutions z et z de cette équation sous forme exponentielle z sera la solution dont la partie imaginaire est positive). Placer dans P les points A et B d affixes respectives z et z.. On considère l application f qui, à tout point M d affixe z non nulle, associe le point M d affixe où z désigne le conjugué de z. z = z a. Calculer les affixes des points A et B images de A et B par f. Placer ces points sur la figure. b. Montrer que pour tout point M distinct de O, les points O, M et M sont alignés et que OM OM =. 3. a. Montrer que z = z = z b. Soit C le cercle de centre I, d affixe, et de rayon. Soit M un point de C distinct de O. Montrer que M est situé sur une droite d que l on caractérisera. Placer C et d sur la figure. c. Soit M un point quelconque du cercle C, distinct de O, A et B. Construire M, l image de M par f. EXERCICE Réservé aux candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité Dans cet exercice, on pourra utiliser les résultats suivants : Pour tous réels a et b, 5 points cosa b)=cos a cosb+ sin a sin b ; sina b)=sin a cosb cos a sinb Si une fonction h, dérivable sur R, a une dérivée constante égale à λ, alors h est une fonction affine définie par hx)=λx+µ où µ est une constante réelle). On se propose de résoudre l équation différentielle E) : y + 4y + 4y = 5sin x On note E 0 ) l équation différentielle : y + 4y + 4y = 0 [. a. Soit θ le nombre réel de 0 ; π [ défini par tanθ= 4 3. Vérifier que cosθ= 3. En déduire la valeur de sinθ. 5

2 b. Soit ϕ la fonction définie sur R par : ϕx) = sinx θ). Montrer que ϕ est une solution particulière de E).. Démontrer qu une fonction f est solution de E) si, et seulement si, la fonction f ϕ est solution de E 0 ). 3. On suppose qu il existe une fonction g solution de l équation di érentielle E 0 ). On pose pour tout réel x, hx)=g x)e x. a. Prouver que la dérivée seconde de h est nulle sur R. b. En déduire h x) puis hx) en fonction de x. c. Donner toutes les solutions de l équation E 0 ). 4. Résoudre l équation différentielle E). EXERCICE 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité mathématiques On rappelle le petit) théorème de Fermat : si p est un nombre premier qui ne divise pas l entier naturel a, alors on a la congruence a p mod p Partie A. a. Prouver que 9 est un nombre premier. b. Soit x N et n un entier naturel tel que n mod 8. En utilisant le théorème de Fermat, prouver que x n x mod 9.. On considère l équation E) : 7x 8y = où x, y) Z. a. Quel théorème permet d affirmer que l équation E) admet au moins un couple solution d entiers relatifs? b. En utilisant l algorithme d Euclide, trouver un tel couple solution. Partie B Soit A = {x N, x < 9}={0,,,..., 8}. Pour x A, on note f x) le reste de la division euclidienne de x 7 par 9 et g x) le reste de la division euclidienne de x 5 par a. Prouver que f x) A et x 7 f x) mod 9. On admettra la démonstration est analogue) que g x) A et x 5 g x) mod 9. b. Pour x A, prouver que g [ f x) ] = x. 4. Applications : On attribue à chaque lettre de l aphabet et aux deux signes + et, l entier donné par le tableau ci-dessous : a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a. Bob code le mot «GAUSS»à l aide de la fonction f et envoie le message codé à Alice. Voici le codage des deux premières lettres «G»et «A» :

3 Message initial G A Entier associé 7 Utilisation de f mod 9 7 mod 9 Message codé X A Compléter son message. b. Alice reçoit le message suivant, codé par Bob, à l aide de la fonction f : J I L L R Décrypter ce message à la place d Alice. EXERCICE 3 9 points Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f x) = ln +e x ). Sur la feuille annexe, à remettre avec la copie, on a représenté la courbe représentative C de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormal O, ı, j. a. Question de cours sur 0,5 point) : démontrer que lim ln x =+. x + b. Déterminer les limites de f en et +. c. Montrer que pour tout réel x, f x)= x+ ln +e x ). d. En déduire que C admet en une asymptote oblique, notée d, d équation y = x. Préciser la position de d par rapport à C.. étudier les variations de f. Dresser son tableau de variations. 3. Sur la feuille annexe, tracer d ainsi que la droite, tangente à C au point d abscisse 0. Partie B Soit g et h les fonctions définies sur [0 ; + [ par ). g t)=ln+ t) t et ht)=ln+ t) t+ t. étudier les variations et dresser les tableaux de variations des fonctions g et h.. Montrer que pour tout réel t positif, t t ln+ t) t. 3. En déduire que pour tout réel x, e x e x f x) e x ) Partie C. Soit a un nombre réel strictement supérieur à et n un entier naturel non nul. On pose A n = a + a a n. a. Exprimer A n en fonction de n et montrer que la suite A n ) n N est majorée par a. b. Justifier la convergence de la suite A n ) n N et déterminer sa limite.. On définit les suites S n ) n N et T n ) n N par : S n = e + e + + e n et T n = e + e e n Déterminer la limite des suites S n ) n N et T n ) n N. 3

4 Partie D Soit u n ) n N la suite définie par : u = + e et pour tout entier naturel n non nul, u n+ = + ) e n+ u n.. Démontrer par récurrence que pour tout naturel n non nul, u n > 0.. Soit v n ) n N la suite définie par v n = ln u n ) pour tout entier naturel n non nul. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, v n = f )+ f )+ + f n) ) b. Montrer que la suite v n ) est croissante. c. à l aide des relations ) et ), montrer que pour tout entier naturel n non nul, S n T n v n S n. d. Montrer que la suite v n ) n N est majorée et qu elle converge. e. On note l la limite de la suite v n ) n N. Prouver que e+ e ) l e. 3. Montrer que la suite u n ) n N converge. à l aide de la calculatrice, donner un encadrement de sa limite. 4

5 Annexe à rendre avec la copie Nom : prénom : y x