Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé. Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée.

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1 Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Eercice (commun) A. Etude de f en ) On a : lim = et lim e = e =. Par composition, il vient alors : On a immédiatement : lim =. On en déduit finalement (limite d un produit) : lim e =. lim e = ) a. Pour tout réel strictement positif, on a : e f = e = e = e, f = b. On a déjà vu : lim =. e e e Par ailleurs, on a : lim = lim = ep' = ep = e = (note : cette limite est censée être connue des élèves et peut être admise). e On en déduit (composition) : lim = et, enfin : lim e =. e e ( f ) lim = Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

2 Du résultat précédent, on tire immédiatement : La droite Δ d équation y = est asymptote à la courbe C en. ) a. La fonction g est dérivable sur comme somme de deu fonctions dérivables sur : la fonction eponentielle et la fonction polynôme :. Pour tout réel, on a alors : g' t = e t t t On a alors : g' () t > e > e > t >. t Par ailleurs : g' () t = e = t =. On a donc : Pour tout réel t strictement négatif : g' ( t ) < et la fonction g est strictement décroissante ; g ' = ; Pour tout réel t strictement positif : g' ( t ) > et la fonction g est strictement croissante ; On déduit de cette étude que la fonction g admet un minimum global pour t =. Or, on a : g = e =. On a donc, pour tout réel t : g() t g Finalement : t =, soit : e t. t t, e b. On déduit immédiatement de ce qui précède que la courbe C est située au-dessus de la droite Δ. En particulier : Pour tout réel strictement positif, C est située au-dessus de Δ. B. Etude de f en On procède de façon analogue à ce qui a été fait à la première question de la partie A. On a : lim = et lim e e = =. Par composition, il vient alors : lim e =. Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

3 On a immédiatement : lim =. On en déduit finalement (limite d un produit) : lim e = C. Etude de f en ) Limite à gauche en. On a : lim = et lim e =. Par composition, il vient alors : < On a immédiatement : lim =. < lim e =. < On en déduit finalement (limite d un produit) : e = < lim Limite à droite en. On a : lim = et lim e > On a immédiatement : lim =. > =. Par composition, il vient alors : On a donc affaire à une forme indéterminée du type. > lim e =. On peut écrire, pour tout réel non nul : Comme > composition : f e e = =. e lim = et lim = (croissance comparée), il vient finalement, par lim e = > Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

4 ) La limite de la fonction f à droite en n étant pas finie, on en déduit immédiatement : La fonction f n est pas continue en. Puisque la fonction f n est pas continue en, on en déduit immédiatement : La fonction f n est pas dérivable en. ) Pour étudier la dérivabilité à gauche en, il convient d étudier : Pour tout réel non nul, on a : f f f = = e Or, on a vu à la question précédente que l on avait : lim e =. < On en déduit :. < f f lim. La fonction f est dérivable en à gauche de nombre dérivé égal à. 4) D après la question précédente, la demi-tangente T est horizontale (son coefficient directeur est nul). L équation réduite de T est donc : y = k où k est une constante à f =, on a immédiatement : k =. déterminer. Comme T passe par l origine ( ) Une équation de T, demi-tangente à C en O( ; ), est : y =. T est la demi-droite correspondant au points d abscisses négatives de l ae des abscisses. D. Fin de l étude de f ) La fonction inverse est dérivable sur et sur dérivable sur. On en déduit alors que la fonction et sur. La fonction identité est dérivable sur et sur.. La fonction eponentielle est e est également dérivable sur On déduit finalement de ce qui précède que la fonction f est dérivable sur Pour tout réel non nul, on a alors : f ' = e e = e = e et sur. Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/5 Jeudi 7 décembre 9

5 La fonction eponentielle prenant des valeurs strictement positives, le signe de la dérivée f ' est celui du rapport. On a immédiatement, en étudiant le signe du produit ( ) et en ecluant la valeur : D où : Pour tout réel strictement négatif : f '( ) > ; Pour tout réel de l intervalle ] ; [ : ' f < ; f ' () = (et on a : f () = e = e) ; Pour tout réel de l intervalle ] ; [ : f ' >. La fonction f est strictement croissante sur les intervalles ] ;] et [ [ La fonction f est strictement décroissante sur l intervalle ] ; ]. ; ; En tenant compte des limites obtenues précédemment, on obtient le tableau de variation : f '( ) f e ) On obtient la figure fournie page suivante. Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/5 Jeudi 7 décembre 9

6 C Δ T Eercice (commun) ) Comme F est un primitive de f, F est dérivable sur [ ; [ Or,, > donc F > et ainsi : et F f =. F est strictement croissante sur [ ; [. ) a) Prouver par récurrence sur n que n Initialisation : Pour n =, on a a = et, ( a) n na. a = a donc la propriété est vraie. Hérédité : n Supposons la propriété vraie à un certain rang n, soit ( a) na. Lycée Fénelon Sainte-Marie 6/5 Jeudi 7 décembre 9

7 n On veut alors prouver que ( a) ( n ) a. Or, comme a, a donc on peut écrire, grâce à l hypothèse de récurrence : n n a = ( a) ( a) ( na)( a) Mais : ( na)( a) = na a na² = ( n ) a na² et comme na², on a : n ² a n a na n a. Ainsi, la propriété est vraie au rang n. Finalement, la propriété est initialisée et héréditaire donc elle est vraie n. b) Si, on pose = a, on a a = et le résultat précédent s applique n donc en particulier pour n =, ce qui donne : ( ) = En ajoutant, on obtient bien :. ) a) La fonction g est définie et continue sur [ ; [ en tant que composée de fonctions continues, G est bien définie et dérivable sur [ ; [ et il en va de même pour F G avec : (F G) F G f g = = =. D après la question précédente, on a. sur [ ; [ donc Ainsi, (F G) et donc : F G est croissante sur [; [. b) On a F() = G() =. Comme F G est croissante sur [; [, on a, F G F() G() = Lycée Fénelon Sainte-Marie 7/5 Jeudi 7 décembre 9

8 Soit : F G c) g ( ) ½ = = donc les primitives de g sur [; [ sont de la forme : ½ ( ) k = k avec k. ½ 9 On veut G() = donc 4 G() = ( ) k = k = soit k = et ainsi : 9 4 G = ( ). 9 9 d) On a lim ( ) = donc par composition, lim =. Alors, par produit puis somme, on obtient : lim G =. Comme, F G, le théorème des gendarmes (ou comparaison) permet de conclure que : lim F =. 4) Une équation de la tangente à C F au point d abscisse est donnée par : y = F ()( ) F() Or, F() = et F () = f () = donc l équation recherchée est : y = ( ). Lycée Fénelon Sainte-Marie 8/5 Jeudi 7 décembre 9

9 5) D après ce qui précède, F est définie sur [; [, croissante de à et toujours au dessus de sa tangente d équation y = ( ) en. On peut alors déduire l allure suivante pour C F : C F Eercice (commun) ) En remplaçant, dans l équation fournie, les coefficients par leurs valeurs, on obtient : Soit, en divisant par 5 : 5 i' t i t = e sin t i' t i t = 4e sint L intensité i est bien solution de l équation différentielle : y' y = 4e sint E ) Pour tout t réel, on a : () = ( ) ( ) = ( a b) cost ( a b) sin t e g' t e acost bsint e asint bcost Lycée Fénelon Sainte-Marie 9/5 Jeudi 7 décembre 9

10 On a alors : g solution de ( E) t, g' () t g() t = 4e sint t, ( a b) cost ( a b) sin t = 4sin t t, a b cost a b sint e acost bsint e = 4e sint t, a b cost a b sin t acost bsin t = 4sin t a b= a b = 4 a= b b = 4 a = b = La fonction g définie par : est solution de l équation différentielle ( E ). ( ) g: t cost sint e ) On a : f solution de ( E), '() () 4 sin () () () () () () () () () () () () t f t f t = e t t, f ' t f t = g' t g t t, f ' t f t g' t g t = t, f ' t g' t f t g t = t, f g ' t f g t = f g solution de y' y = On a bien : = f solution de E f g solution de y' y E' 4) On a : y' y = y' = y. On a donc affaire à une équation différentielle de la forme y' = ay avec a =. Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

11 D après le cours, les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : où C est une constante réelle quelconque. t Ce, Les solutions de l équation ( E' ) sont les fonctions de la forme : où C est une constante réelle quelconque. t Ce 5) D après la question ), l intensité i du courant étant une solution de l équation différentielle ( E ), la fonction i g est solution de l équation différentielle ( E' ). Il eiste donc une constante réelle C telle que : On a donc : t, i g t = Ce () t, i t = g t Ce = cost sint e Ce Or, on précise qu à l instant t =, l intensité du circuit est égale à ampères. L intensité i t étant eprimée en ampères, il vient donc : () On en tire immédiatement : C = 4. Il vient donc : i = cos sin e Ce = C = t t, i t = cost sint e 4e Le temps étant eprimé en secondes, on a : t = ms= s et l intensité correspondante dans le circuit s écrit (la valeur approchée est la valeur arrondie au centième d ampère) : i = cos sin e 4e,96 t t L intensité dans le circuit au bout de millisecondes vaut environ,96 ampères (valeur arrondie au centième d ampère) Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

12 Eercice 4 (NON spécialité mathématiques uniquement) [5 points] ) «AM minimale» équivaut à : «P H, AP AM». Or, les distances étant des réels positifs et la fonction carrée étant strictement croissante sur, on a l équivalence : AP AM AP AM On a donc : «AM minimale» P H, AP AM P H, AP AM «AM minimale» «AM minimale» «AM minimale» ) Le point M appartenant à la branche d hyperbole H, on a : Or, on a aussi : A;. D où : AM ;. Le repère considéré étant orthonormal, on a : M ; avec >. d = AM = AM = ( ) =, d = ) La fonction d est la somme de la fonction et de la fonction. La première est une fonction polynôme. Elle est donc dérivable sur et donc, à fortiori, sur. La seconde est la composée de la fonction carrée et de la fonction inverse. La fonction carrée est dérivable sur et donc, à fortiori, sur. Pour tout réel strictement positif, on a >. La fonction inverse est dérivable sur. On en déduit finalement que la fonction est dérivable sur. En définitive, la fonction d est dérivable sur dérivables sur cet intervalle. comme somme de deu fonctions Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

13 On a alors : 4, ' d = = = Pour tout réel strictement positif, on a : >. On en déduit immédiatement que le signe de l epression obtenue ci-dessus est celui de son numérateur : Pour tout réel strictement positif, le signe de d' ( ) 4 est celui de la fonction f définie par f :. 4) D après la question précédente, pour étudier le signe de d' de f ( ). La fonction f est dérivable sur Pour tout strictement positif, on a : de 4. On a alors immédiatement : Si ;, 4 < 4 f ' = ; 4 Si ;, 4 > 4 En définitive : comme fonction polynôme et on a :, ' = 4 = 4 f, il convient d étudier celui >. On en déduit que le signe de f ' et f '( ) < ; et f '( ) >. est celui La fonction f est strictement décroissante sur l intervalle strictement croissante sur l intervalle ; 4 ; 4 et Lycée Fénelon Sainte-Marie /5 Jeudi 7 décembre 9

14 5) On a vu, à la question précédente, que la fonction f était strictement décroissante sur l intervalle ; 4. La conclusion est inchangée si on travaille sur l intervalle ; 4. Or, f = =. On a donc : ;, f < f = 4. La fonction f ne s annule donc pas sur l intervalle ; 4. La fonction f est continue sur l intervalle ; 4 en tant que fonction polynôme. D après la question précédente, elle est strictement croissante sur cet intervalle. On vient de voir que l on avait : f 4 <. lim f = lim 4 = lim 4 =. Enfin, on a : Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors d affirmer que la l équation f ( ) = admet une unique solution, notée α, sur l intervalle ; 4. En définitive : L équation f ( ) = admet une unique solution, notée α, sur l intervalle ] ; [. En tabulant la fonction f avec un pas égal à, on obtient d abord : Puis, avec un pas égal à, : On obtient enfin, avec un pas égal à, : < α <, < α <, 4, 8 < α <, 9 (note : on pouvait aussi obtenir cet encadrement à partir d une valeur approchée fournie par la calculatrice) 6) D après la question 5), on a : Si ] α[ f f ( α ) = ; Si ] α [ f ;, < ; ;, >. Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/5 Jeudi 7 décembre 9

15 On en déduit immédiatement : La fonction d est strictement décroissante sur l intervalle ] ;α ] et strictement croissante sur l intervalle [ α ; [. La fonction d admet un minimum pour = α. 7) On a : M α; α et AM α ; α on peut en donner le coefficient directeur :. Comme α, la droite ( AM ) n est pas verticale et m = α = α α α ( ). Par ailleurs, la fonction inverse admettant comme dérivée la fonction : coefficient directeur de la tangente à H en M vaut : m' =. α, le Il vient alors : 4 ( ) α α α α f α mm ' = = = = = = α α α α α α α α α α α Le repère considéré étant orthonormal, l égalité mm ' = nous permet immédiatement de conclure : La droite ( AM ) est perpendiculaire à la tangente à H en M. FIN DU CORRIGE Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/5 Jeudi 7 décembre 9

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