mod 11 ou encore mod 11 car 3 5 = 243 = = 1 [11].

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1 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février Exercice 5 points Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques. (a) Quel est le reste de la division euclidienne de 6 0 par? Justifier. On a 6 2 = 6 mod, donc ( 6 2) 5 5 Le reste de la division euclidienne de 6 0 par est donc. (b) Quel est le reste de la division euclidienne de 6 4 par 5? Justifier. 6 2 mod 5, donc 6 4 mod 5. Le reste de la division euclidienne de 6 4 par 5 est. (c) En déduire que 6 40 [] et que 6 40 [5]. On a vu que 6 0 [], donc ( 6 0) 4 4 = []. mod ou encore 6 0 mod car 5 = 24 = 22+. De même 6 4 mod 5, donc ( 6 4) 0 = = mod 5 ; donc 6 40 [5]. (d) Démontrer que 6 40 est divisible par 55. Les questions précédentes montrent que 6 40 est un multiple de et de 5, donc de 5 5 = 55 qui sont premiers entre eux. 2. Dans cette question x et y désignent des entiers relatifs. (a) Montrer que l équation (E) 65x 40y = n a pas de solution. 65 et 40 ont 5 comme diviseur commun, ils ne sont pas premiers entre eux, donc d après le théorème de Bezout l équation 65x 40y = n a pas de solution dans Z Z. (b) Montrer que l équation (E ) 7x 40y = admet au moins une solution. 7 et 40 sont premiers entre eux ( 40 = 2 5). Il existe donc, d après le théorème de Bezout, au moins un couple (u ; v) tel que 7u 40v =. (c) Déterminer à l aide de l algorithme d Euclide un couple d entiers relatifs solution de l équation (E ). D où 40 = () 7 = (2) 6 = 5 +. () = 6 5 (4) = 6 (7 2 6) = 7+ 6 (5) = 7+(40 2 7) = (6) La dernière égalité peut s écrire 7 ( 7) ( 40) =, qui montre que le couple ( 7 ; ) est solution de l équation (E ). (d) Résoudre l équation (E ). En déduire qu il existe un unique naturel x 0 inférieur 40 tel que 7x 0 [40]. { 7x 40y = On a le système (par diffrence) 7 ( 7) 40 ( ) = 7(x+7) 40(y+4) = 0 7(x+7) = 40(y+4) (7). Or on a vu que 7 et 40 sont premiers entre eux : d après le théorème de Gauss 40 divise 7(x+7) et est premier avec 7, il divise donc x+7. Il existe donc k Z tel que x+7 = 40k x = 7+40k. En reportant dans (7) et en simplifiant par 40, on obtient 7k = y +4 y = +7k. Lycée Marie Curie

2 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février Vérification: si x = 7+40k et y = +7k,k Z, alors 7x 40y = 7( 7+40k) 40( +7k) = 9+680k+ 680k =. Les solutions de (E ) sont donc tous les couples ( 7+40k ; +7k) avec k Z. Soit un couple (x ; y) solution de (E ). Si x N et x < 40, alors 0 < 7+40k < 40 7 < 40k < 47 Et donc 0 < k < 2. Il y a une seule solution k = qui donne x 0 =. Effectivement : 7 = 56 = Pour tout entier naturel a, démontrer que si a 7 b [55] et si a 40 [55], alors b a [55]. a 7 b [55] ( a 7) b [55] a 7 b [55]. D après la question précédente 7 = 40 4, donc a 7 = a [55] a 40 4 a b [55]. Or a 40 [55] a 40 4 [55]. Conclusion : a b [55] Exercice 5 points Pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité mathématiques Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v ) (unit graphique : 4 cm). Soit A le point d affixe z A = i et B le point d affixe z B = e i5π 6.. Soit r la rotation de centre O et d angle 2π. On appelle C l image de B par r. (a) Déterminer une écriture complexe de r. r est la rotation de centre O et d angle 2π. Une écriture complexe d une rotation de centre Ω(ω) et d angle θ est z ω = e iθ (z ω) donc une écriture de r est : z = e i2π z. (b) Montrer que l affixe de C est z C = e iπ 6. B a pour affixe z B = e i5π 6 et C est l image de B par r. On en déduit : z C = e i2π e i 5π 6 = e i π 6. zc = e iπ 6. (c) Écrire z B et z C sous forme algébrique. z B = 2 2 i et z C = 2 2 i. (d) Placer les points A, B et C. 2. Soit D le barycentre des points A, B et C affects respectivement des coefficients 2, et 2. (a) Montrer que l affixe de D est z D = 2 + i. Placer le point D. 2 D est le barycentre des points A, B et C affecté des coefficients 2, - et 2. Parconséquent: 2 OA OB+2OC = ( (2 +2) OD quisetraduit parl égalitésurlesaffixes: 2zA z B +2z C = z D d où z D = 2 (2z A z B +2z C ) = ) 2i i+ i = i. z D = i. (b) Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle. z A = i = ; z B = e i5π 6 = car, pour tout x, e ix =. De même, z C = e i π 6 = ; zd = e iπ 6 donc zd =. Les quatre points A, B, C et D sont sur le cercle centre O et de rayon.. Soit h l homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l image de D par h. Lycée Marie Curie 2

3 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février (a) Déterminer une écriture complexe de h. h est l homothétie de centre A et de rapport 2. Une écriture complexe de h est : z z A = 2(z z A ) donc z i 2(z i) soit : z = 2z i. (b) Montrer que l affixe de E est z E =. Placer le point E. E est l image de D par h. On a : z E = 2z D i = +i i =. z E =. 4. (a) Calculer le rapport z D z C. On écrira le résultat sous forme exponentielle. z E z C z D z C = i i ( ) i z E z C 2 + = 2 i 2 + = i 2 i 2 2 i = 2 +i 2 = z D z C eiπ. = e iπ. z E z C (b) En déduire la nature du triangle CDE. On en déduit : z D z C z E z C = CD CE = e i π = donc CD = CE. ( ) zd z ( C ) arg = CE ; CD = arg ( ) π e iπ = à 2kπ près. z E z C CDE est isocèle et l angle au sommet vaut π : c est un triangle équilatéral. A /2 v D O u E B /2 C Exercice 2 5 points Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes. Un laboratoire de recherche étudie l évolution d une population animale qui semble en voie de disparition. Partie A En 00, une étude est effectue sur un échantillon de cette population dont l effectif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l origine 00). D après le modèle d évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0 ; + [, et satisfait l équation différentielle : (E) y = y( lny).. Démontrer l équivalence suivante : Une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0 ; + [, vérifie, pour tout t de [0 ; + [, si et seulement si la fonction f (t) = f(t)[ ln(f(t))] Lycée Marie Curie

4 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février g = ln(f) vérifie, pour tout t de [0 ; + [,g (t) = g(t). Soit f dérivable, strictement positive sur [0 ; + [ et vérifiant f (t) = f(t)[ ln(f(t))] (). La fonction f étant strictement positive, la fonction g = lnf est bien définie sur [0 ; + [ et g = f f f = f g. Mais alors l équation différentielle () s écrit fg = f[ lnf] g = [ g], car f 0. Réciproquement si la fonction g = lnf vérifie l équation différentielle g = [ g] (2), alors puisque g = f f existe comme dérivée de la fonction composée de f avec la fonction ln sur [0 ; + [, l équation (2) s écrit : f f = lnf f = f lnf f = f[ lnf]. On a donc bien montré l équivalence. 2. Donner la solution générale de l équation différentielle : (H) z = z. Les solutions de l équation z = z t sont les fonctions t g(t) = Ce. En déduire qu il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; + [ [ f(t) = exp +Cexp (la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x e x ). ( t )]. = Ce t +, avec C R. D après la question, les fonctions solutions de (E) sont les fonctions f telles que g = lnf f = exp(g). Et donc les solutions de l équation (E) sont toutes les fonctions f telles que : ( ) f(t) = exp +Ce t, C R. 4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par : (a) Déterminer la limite de la fonction f en +. De lim e t = +, il résulte que lim t + (b) Montrer que f (t) = ( e t exp e t [ ( )] t f(t) = exp exp. t + e t = et enfin que lim t + f(t) = lim T et = 0. ). En déduire le sens de variation de f sur [0 ; + [. On a f(t) = exp[t] où T = e t, T = 0 e t = e t, f (t) = T exp[t]. Et donc f (t) = ( ) e t exp e t et comme les exponentielles sont strictement positives, f est du signe de < 0. La fonction f est décroissante sur [0 ; + [. (c) Résoudre dans [0 ; + [ l inéquation f(t) < 0,02. ( ) f(t) < 0,02 exp e t < 0, 02 soit d après la croissance de la fonction logarithme népérien e t t t t +ln50 < ln0,02 e < ln50 e > +ln50 e > Et donc t ( ) ( ) +ln50 +ln50 > ln t > ln. ] ( ) [ +ln50 L ensemble solution est donc S = ln ; +. ( ) +ln50 On a : 0,02 millier correspond à individus. Comme ln 6, 6, la population sera inférieure à individus à partir de la dix-septième année. Au bout de combien d années, selon ce modèle, la taille de l échantillon sera-t-elle inférieure vingt individus? Lycée Marie Curie 4

5 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février Partie B En 05, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : La population teste comporte 50% d animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas ; si un animal n est pas malade, le test est positif dans 0,% des cas. On note M l événement l animal est malade, M l événement contraire et T l événement le test est positif.. Déterminer P(M), P M (T), P M (T). 0,5 M 0,99 0,0 T T 0,00 T 0,5 M 0,999 T On a p(m) = 2 ; p M(T) = En déduire P(T). p M (T) = (d après l énoncé) 000 On a p(t) = p(m T)+p ( M T ) d après la loi des probabilités totales. Et donc p(t) = p(m) p M (T)+p(M) p M (T) = = Le laboratoire estime qu un test est fiable, si sa valeur prédictive, c est dire la probabilité qu un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure 0,999. Ce test est-il fiable? On a p T (M) = p(m T) p(t) = = Comme 0,99899< 0,999, on en déduit que le test n est pas fiable Exercice 4 points Commun à tous les candidats Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.. On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = et, pour tout nombre entier naturel n, u n+ = u n +4. On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = u n 6. (a) Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+ en fonction de v n. Quelle est la nature de la suite (v n )? v n+ = u n+ 6 = u n = u n 2 = (u n 6) = v n donc la suite (v n ) est géométrique de raison q = et de premier terme v 0 = u 0 6 = 6 = 5. (b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n,u n = 5 ( ) n Donc pour tout n dans N, on a v n = v 0 q n = 5. Or v n = u n 6 donc u n = v n +6 et on obtient bien u n = 5 ( ) n +6. ( ) n +6 Lycée Marie Curie 5

6 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février (c) Étudier la convergence de ( la ) suite (u n). n ( ) n ] ; [ donc lim = 0 donc lim n + 5 = 0 n + et donc on en déduit facilement que la suite (u n ) converge et que lim u n = 6 n + 2. On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n : nw n = (n+)w n + et w 0 =. Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w 0 w w 2 w w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w (a) Détailler le calcul permettant d obtenir w 0. Appliquons la formule de récurrence définissant (w n ) pour n = 0 : 0w 0 = w 9 + donc 0w 0 = 9+ = 20 donc w 0 = 2 (b) Démontrer par récurrence que w n = 2n+. En déduire la nature de la suite (w n ). Calculer w 09. Notons P n la proposition w n = 2n+. Initialisation : w 0 = et 2 0+ = donc P 0 est vraie. Hérédité : Soit n un entier quelconque dans N. Supposons P n vraie. On sait que (n+)w n+ = (n+2)w n +. Or par hypothèse de récurrence, on sait que w n = 2n+ donc (n+)w n+ = (n+2)(2n+)+ = 2n 2 +5n+ = (2n+)(n+). n+ 0 donc on en déduit que w n+ = 2n+ = 2(n+)+ et donc P n+ est vraie. Ainsi, la proposition P n est héréditaire. Conclusion : on a montré que P 0 est vraie et que si P n est vraie, P n+ l est aussi donc, la proposition P n est vraie pour tout n dans N, à savoir que pour tout n dans N, w n = 2n+ On obtient facilement w 09 = 409 Exercice 4 Commun tous les candidats On considère la fonction f définie sur R par 6 points f(x) = ln ( +e x) + x. La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l preuve. Partie A. (a) Déterminer la limite de la fonction f en +. On a lim x + e x = 0, donc lim x + +e x = donc lim x + ln(+e x ) = 0 donc lim f(x) = + x + (b) Montrer que la droite (D) d équation y = x est asymptote à la courbe (C). Tracer (D). (c) Comme f(x) x = ln( +e x) et que lim x + ln( +e x) = 0, on en déduit que la droite (D) est asymptote (C) au voisinage de +. Étudier la position relative de (D) et de (C). Comme f(x) x = ln(+e x ) et que x R,{ x} > 0, on a +e x > et donc ln ( +e x) > 0, dont on déduit que l asymptote (D) est en dessous de la courbe (C) sur R. Lycée Marie Curie 6

7 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février (d) Montrer que pour tout réel x, f(x) = ln(e x +) 2 x. Soit x un rel. On a f(x) = ln ( +e x) + ( x = ln + ) e x + ( e x ) x = ln + e x + x = ln(ex +) ln(e x )+ x = ln(e x +) x+ x soit f(x) = ln(e x +) 2 x (e) En déduire la limite de f en. On a lim x ex = 0 donc lim x ex + =, donc lim x ln(ex +) = 0 et comme par ailleurs, lim 2 x x = +, on en déduit lim f(x) = + x 2. (a) On note f la fonction drivée de la fonction f. Montrer que pour tout x réel, f (x) = ex 2 (e x +). f est dérivable en tant que compose d une fonction x e x +, définie et dérivable sur R et valeurs dans R +,où la fonction ln est dérivable : cette compose est donc dérivable sur R, la fonction linaire que l on y ajoute pour obtenir f(x) tant elle même dérivable sur R, la fonction f est bien dérivable sur R. Sa dérivée est : f (x) = ex e x + 2 = e x (e x +) 2(ex +) (e x +) = ex 2(e x +) (e x = ex 2 +) (e x +). (b) En déduire les variations de la fonction f. Le dénominateur de f est strictement positif, donc f est du signe de son numérateur, et e x 2 > 0 x > ln(2). On en déduit donc que la fonction f est strictement décroissante sur ] ;ln2] puis strictement croissante sur [ln2;+ [. Partie B Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe (C). On note (T) la tangente à la courbe (C) au point d abscisse 0.. Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique. Le coefficient directeur de (T) est donné par f (0). C est donc f (0) = e0 2 (e 0 +) = Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soient M et N deux points de la courbe (C) d abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite (T). Soit x un rel non nul, considérons M et N les deux points de la courbe (C) d abscisses respectives x et x. L ordonnée de M est donc y M = f(x) = ln(e x +) 2 x. Pour calculer celle de N, on va utiliser l autre forme de f : y N = f( x) = ln Le coefficient directeur de (MN) est donc : [ln(e x +) 2 ] y M y x [ln(e x +) ] x 2 N = = x+ x = x x M x N x ( x) 2x 2x = 6 Les droites (MN) et (T) ayant le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles. ANNEXE ( +e ( x)) + ( x) = ln(ex +) x. Lycée Marie Curie 7

8 Terminale S Bac blanc. Mathématiques Février y 2 C (T) (D) x Lycée Marie Curie 8